人教版数学高二B版必修5教材习题点拨3.1不等关系与不等式

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数学人教B版必修五教案3.1.1不等关系与不等式含答案

教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？(2)在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？(3)数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？(4)任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x A＜x B.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40 km/h 的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a ＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t 表示某天的气温，则26 ℃≤t ≤32 ℃.实例3，若用x 表示一个非负数，则x ≥0.实例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下图．|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v 表示速度，则v ≤40 km/h.实例7，⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，p ≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f ≥2.5%或p ≥2.3%，这是不对的．但可表示为f ≥2.5%且p ≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a 和b ，在a ＝b ，a ＞b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a －b ＞＞b ；a －b ＝＝b ；a －b ＜＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.例2比较下列各组数的大小(a ≠b)．(1)a ＋b 2与21a ＋1b(a ＞0，b ＞0)； (2)a 4－b 4与4a 3(a －b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a ＋b 2－21a ＋1b＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b ). ∵a ＞0，b ＞0且a ≠b ，∴a ＋b ＞0，(a －b)2＞0.∴(a －b )22(a ＋b )＞0，即a ＋b 2＞21a ＋1b . (2)a 4－b 4－4a 3(a －b)＝(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)－4a 3(a －b)＝(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b)[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)]＝－(a －b)2(3a 2＋2ab ＋b 2)＝－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]．∵2a 2＋(a ＋b)2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，又a ≠b ，∴(a －b)2＞0,2a 2＋(a ＋b)2＞0.∴－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]＜0.∴a 4－b 4＜4a 3(a －b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 、b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a ＜b ，且a b≥10%，由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，于是a ＋m b ＋m ＞a b .又a b≥10%，因此a ＋m b ＋m ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a 、b 为正实数，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞a b.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A．3 B．2 C．1 D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A 组3；习题3—1B 组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x －3)2与(x －2)(x －4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)m 2－2m ＋5和－2m ＋5；(2)a 2－4a ＋3和－4a ＋1.3．已知x ＞0，求证：1＋x 2＞1＋x. 4．若x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小．5．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．参考答案：1．解：∵(x －3)2－(x －2)(x －4)＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，∴(x －3)2＞(x －2)(x －4)．2．解：(1)(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)＝m 2－2m ＋5＋2m －5＝m 2.∵m 2≥0，∴(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)≥0.∴m 2－2m ＋5≥－2m ＋5.(2)(a 2－4a ＋3)－(－4a ＋1)＝a 2－4a ＋3＋4a －1＝a 2＋2.∵a 2≥0，∴a 2＋2≥2＞0.∴a 2－4a ＋3＞－4a ＋1.3．证明：∵(1＋x 2)2－(1＋x)2＝1＋x ＋x 24－(x ＋1)＝x 24，又∵x ＞0，∴x 24＞0.∴(1＋x 2)2＞(1＋x)2.由x ＞0，得1＋x 2＞1＋x.4．解：(x 2＋y 2)(x －y)－(x 2－y 2)(x ＋y)＝(x －y)[(x 2＋y 2)－(x ＋y)2]＝－2xy(x －y)．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0.∴－2xy(x －y)＞0.∴(x 2＋y 2)(x －y)＞(x 2－y 2)(x ＋y)．5．解：∵a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b )a －b ，且a ≠b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a .当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0.则(a b )a －b ＞1.于是a a b b ＞a b b a .综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b＞a b b a.。

人教版高中数学必修五第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

第三章不等式 3.1 不等关系与不等式第2课时不等式的性质与应用A 级基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________．答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0，所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)．因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1，所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2，所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32，所以－10≤－5f (1)≤－5，所以14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。

人教B版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式.pptx

利用不等式基本性质和两正数和仍是正数来证明 :
a b
b c
a b
b c
0 0
(a
b)
(b
c)
0
a
c
0
a
c.
新课讲解
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质3:
如果a b, 那么a c ___ b c; a b c _a____c___b_ .
利用不等式基本性质来证明 :
移项法
则
又因为c 0, 得： c c . ba
ab 即 1 1.
ba
即 c c. ab
练习：已知，a b，问：1 与 1 的大小？ ab
小结小结
3.1 不等关系与不等式
不等式的性质
内容
对称性
a b b a;
abba
传递性
a b,b c a c
加法性质 a b a c b c; a b,c d a c b d
a b 0 an ___ bn.
a b 0 an bn它是不等式乘法性质的推论.
不等式的性质8:
a b 0 n a ___ n b.(n N ,且n 1)
证明 : 假设n a不大于n b , 则n a n b或n a n b . 当0 n a n b时,由"0 b a bn an"得a b,
(2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管数量
的3倍;
以上不等关系用不等式组表示为
(3)截得两种钢管
500x 600 y 4000
的数量都不能为负.
3x y x0
考虑到实际问题的意义，y 还 0应有x,y∈N
新课引入
3.1 不等关系与不等式

数学人教B版必修5学案：教材习题点拨 3.1不等关系与不

教材习题点拨练习A1．解：∵a ≠b ，∴a ＞b 或a ＜b .2．解：(1)成立；(2)不一定成立；(3)一定成立． 3．解：(1)a ≥0；(2)－2≤a ＜3；(3)2＜|a －b |≤9.4．解：x 2＋2x －(－x －3)＝x 2＋3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34.∵⎝⎛⎭⎫x ＋322≥0， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋322＋34＞0.∴x 2＋2x ＞－x －3. 练习B1．解：4a 4＋a 2－1＝4a －(4＋a 2)4＋a 2＝－a 2－4a ＋44＋a 2＝－(a －2)24＋a 2.∵(a －2)2≥0,4＋a 2＞0， ∴－(a －2)24＋a 2≤0.∴4a4＋a 2≤1. 2．证明：a 2＋4b 2－2b (a ＋b )＝a 2＋4b 2－2ab －2b 2 ＝a 2－2ab ＋2b 2＝(a －b )2＋b 2. ∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0. 又∵b 2≥0，∴(a －b )2＋b 2＞0. ∴a 2＋4b 2＞2b (a ＋b )． 3．解：(a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3) ＝(a 5－a 3b 2)＋(b 5－a 2b 3) ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )(a ＋b )(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2. ∵a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，⎝⎛⎭⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，故上式＞0，即a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3.4．证明：lg x ＋log x 10－2＝lg x ＋1lg x －2＝(lg x －1)2lg x .∵x ＞1，∴lg x ＞0，(lg x －1)2≥0， ∴(lg x －1)2lg x≥0，∴lg x ＋log x 10≥2.当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时，原式中的等号成立．练习A1．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜2．解：(1)a ＞b ⇒ac ＞bc 是假命题．理由：∵a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ，c ＝0⇒ac ＝bc ＝0.(2)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2是假命题．理由：∵a ＞b ，c 2＞0⇒ac 2＞bc 2；a ＞b ，c 2＝0⇒ac 2＝bc 2＝0.(3)a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒0＜c ＜1是真命题．理由：a ＞b 且a lg c ＜b lg c ⇒lg c ＜0⇒0＜c ＜1.3．解：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜4．解：(1)不能，当a ＞b ＞0,0＞c ＞d 时，ac 与bd 的大小无法判断．如2＞1，－1＞－2,2×(－1)＝1×(－2)；2＞1，－2＞－3,2×(－2)＜1×(－3)；2＞1，－12＞－2，2×⎝⎛⎭⎫－12＞1×(－2)． (2)不能，如2＋1＞3－1，此时a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝－1，有a ＜b ，c ＞d ；但1＋2＞－1＋3，此时a ＝1，b ＝－1，c ＝2，d ＝3，有a ＞b ，c ＜d . (3)不能．①当ab ＞0，即a 、b 同号时，若a ＞b ，则1a ＜1b .②当ab ＜0，即a 、b 异号时，若a ＞b ，则1a ＞1b.5．证明：(1)∵(a 2＋7)－5a ＝a 2－5a ＋7＝⎝⎛⎭⎫a －522＋34＞0，∴a 2＋7＞5a . (2)∵(a 2＋a )－(2a －1)＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋a ＞2a －1. (3)∵(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2≥0， ∴a 2＋1≥2a .(4)∵4a 4－(4a 2－1)＝4a 4－4a 2＋1＝(2a 2－1)2≥0，∴4a 4≥4a 2－1. 练习B1．解：(1)＞ (2)＞ (3)＞ 2．证明：(1)∵0＞a ＞b ，c ＜0， ∴ab ＞0，b －a ＜0. ∴c a －c b ＝c (b －a )ab ＞0.故c a ＞cb. (2)∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －d ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0，d －c ＜0.∴1a －d －1b －c ＝(b －c )－(a －d )(a －d )(b －c )＝(b －a )＋(d －c )(a －d )(b －c )＜0.故有1a －d ＜1b －c. (3)∵c a －c －cb －c ＝c [(b －c )－(a －c )](a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c ). 又∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a －c ＞0，b －c ＞0，b －a ＜0.3c ＜a ＋b ＋c ＝0.∴c ＜0. 故c a －c －c b －c ＝c (b －a )(a －c )(b －c )＞0. ∴c a －c ＞c b －c. 3．解：∵1＜a ＜2＜b ＜3，∴1＜a ＜2,2＜b ＜3，－3＜－b ＜－2，13＜1b ＜12，∴3＜a ＋b＜5，－2＜a －b ＜0，－5＜a －2b ＜－2,2＜ab ＜6，13＜ab＜1.习题3－1A1．解：如每次考试中两位同学成绩的高低，同桌的身高、体重等关系． 2．解：(1)12－1＝2＋1(2－1)(2＋1)＝2＋1， ∴12－1－(23－1)＝2＋1－23＋1＝2＋2－2 3. (2＋2)2－(23)2＝6＋42－12＝42－6，(42)2＝32＜36＝62. ∴(2＋2)2－(23)2＜0.∴2＋2＜2 3.∴12－1＜23－1. (2)∵log 1213＝log 23＝log 49＞log 48，∴log 1213＞log 48.3．解：(1)∵(2a ＋1)(a －3)－(a －6)(2a ＋7)－45＝2a 2－5a －3－(2a 2－5a －42)－45＝2a 2－5a －3－2a 2＋5a ＋42－45＝－6.∴(2a ＋1)(a －3)＜(a －6)(2a ＋7)＋45.(2)∵(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1－⎝⎛⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)＝x 3＋x 22＋x ＋x 2＋x 2＋1－x 3－x 2－x －12x 2－12x －12＝12＞0. ∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＋1＞⎝⎛⎭⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)． (3)∵1－2xx 2＋1＝x 2－2x ＋1x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1.∵x 2＋1＞0，(x －1)2≥0，∴原式≥0.∴1≥2xx 2＋1.(4)∵a 2＋b 2－(2a ＋2b －2)＝a 2－2a ＋b 2－2b ＋2＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2a ＋2b －2.(5)∵3(a 2＋2b 2)－8ab ＝3a 2－8ab ＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32－163b 2＋6b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －4b 32＋23b 2≥0，∴3(a 2＋2b 2)≥8ab .4．证明：(1)∵a ＞b ，∴－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b . (2)∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b .∵c ＜0，∴c a ＞cb .(3)∵c ＞d ＞0，∴0＜1c ＜1d .又∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0.∴a d＞b c. 5．解：(1)∵π4＜α＜π2，∴π2＜2α－π.又∵0＜β＜π3，∴π2＜2α＋β＜43π.(2)∵0＜β＜π3，∴－π3＜－β＜0.又∵π4＜α＜π2，∴－π12＜α－β＜π2.∴－π24＜α－β2＜π4.6．解：(1)由题意得：8 000－800x ＜6 000. (2)由题意得：乙班人数为360x ，甲班人数为360x －1.∴360x ＋5≤360x －1.∵x ＞1，∴5x 2－5x －360≤0.化简得x 2－x －72≤0. 习题3－1B1．证明：(1)∵a 2＋b 2＋5－2(2a －b )＝a 2＋b 2＋5－4a ＋2b ＝a 2－4a ＋4＋b 2＋2b ＋1＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0. ∴不等式成立，且当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．(2)∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋1＋b 2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴不等式成立，且当a ＝1，b ＝－1时，等号成立． (3)∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2－ab －bc －cd －da ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2－2ab －2bc －2cd －2da ) ＝12[(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋d 2－2cd )＋(d 2＋a 2－2da )]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －d )2＋(d －a )2]≥0. ∴不等式成立，且当a ＝b ＝c ＝d 时，等号成立． (4)∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－a 2＋b22＝－a 2－2ab ＋b 24＝－(a －b )24≤0，∴原不等式成立，且当a ＝b 时，等号成立．2．解：设y ＝x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)， ∵x 2＋1＞0，故(1)当x ＞1时，x －1＞0，y ＞0，即x 3＞x 2－x ＋1； (2)当x ＜1时，x －1＜0，y ＜0，即x 3＜x 2－x ＋1； (3)当x ＝1时，x －1＝0，y ＝0，即x 3＝x 2－x ＋1. 3．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧8(x ＋19)＞2 200，8(x ＋19)x －12＞9.(2)0.22＋0.11(x －3)≤0.60.(x ≥3，且x ∈Z )4．解：设m ＝log a (3x 2＋4xy ＋y 2)，n ＝log a (2x 2＋6xy )， ∴a m ＝3x 2＋4xy ＋y 2，a n ＝2x 2＋6xy ， ∴a m －a n ＝x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2＞0(x ≠y )． ∴当0＜a ＜1时，m ＜n ；当a ＞1时，m ＞n .∴当0＜a ＜1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＜log a (2x 2＋6xy )；当a ＞1时，log a (3x 2＋4xy ＋y 2)＞log a (2x 2＋6xy )．5．解：设a b ＝c d ＝k (k ＞0)，则b ＝a k ，d ＝c k ，∴b －d ＝a k －c k ＝a －ck .∴(a ＋d )－(b ＋c )＝a －c －(b －d )＝a －c －a －c k ＝(a －c )⎝⎛⎭⎫1－1k ＝(a －c )·k －1k. ∵a ＞b ，且a 、b 为正数，∴ab ＞1，即k ＞1，∴k －1＞0.又∵a ＞c ，∴a －c ＞0.∴(a －c )·k －1k ＞0.∴a ＋d ＞b ＋c .。

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第三章不等式§3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式课时目标1.掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2.初步学会作差法比较实数的大小．1．不等式的定义含有不等号的式子叫做不等式．其中“a≥b”的含义是________，“a≤b”的含义是________．2．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．(2)符号表示a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b.一、选择题1．f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则有( )A．f(x)>g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)<g(x)D．不能确定f(x)与g(x)的大小关系2．下列四个数中最大的是( )A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2D ．lg (lg 2)3．若等比数列{a n }的公比q>0，且q ≠1，又a 1<0，那么( ) A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5 B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5 C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c5．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a<b<c B ．c<a1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．9．设x ，y ，z ∈R ，则5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小关系是__________________．10．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A 、B 的大小关系是________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．已知a 、b ∈R ，求证：a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.能力提升13．若0<a 1<a 2,00⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a b 或a ＝b a 0 < (2)> ＝ < 作业设计1．A [∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．]2．A [因为lg 2∈(0,1)，所以lg(lg 2)<0，又因lg 2－(lg 2)2＝lg 2(12－lg 2)>0，lg 2－lg 2＝12lg 2>0，所以lg 2>lg 2>(lg 2)2>lg(lg 2)．]3．B [(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1)＝a 1q (q －1)2(q2＋q ＋1)∵a 1<0，q >0且q ≠1，q 2＋q ＋1>0，∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0，∴a 2＋a 6<a 3＋a 5.]4．C [∵a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55.且2＝68，33＝69，∴a 0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .]6．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s2a＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s 2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故乙先到教室．]7.x1＋x 2≤12解析 ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0，∴x1＋x 2≤12. 8．A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .9．5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2解析 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z＝1时取到等号． 10．A ≥B解析 ∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)[(x 3－x )＋(x 3－1)]＝(x －1)2(x 2＋x ＋x 2＋x ＋1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2[2(x ＋12)2＋12]≥0，∴A ≥B .11．解方法一作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝a ＋ba 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b＝2ab a －ba ＋ba 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2aba －b a ＋ba 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．证明 (a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a )＝(a －b )(a 3－b 3)＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]∵(a －b )2≥0，(a ＋b 2)2＋34b 2≥0，∴(a －b )2[(a ＋b 2)2＋34b 2]≥0.∴a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.13．A [方法一特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0a 1，b 2＝1－b 1>b 1， ∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.]14．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。

人教版数学高二B版必修5同步训练不等关系与不等式

第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x ＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0，所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>-C.b a ->-D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45; (2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,y x ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((ba b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-b a b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即b a b a ba b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A.ba 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.b a 11<B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d ∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x ＜a;③x≥a;④0≤x ＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m ＜8.答案:-4≤m ＜8 7.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb ＜0，lg2b ＜0.又∵a ＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c ＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222v u us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u ＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。

高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5

A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

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3.1不等关系与不等式（人教实验B 版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知a ，b 为非零实数，且a |b |；③a b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B.a 2>b 2 C.21a c +>21b c + D.a |c |>b |c | 4.如果c acB.c （b -a ）>0C.cb 2<ab 2D.ac （a -c ）<0二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与ab d-的大小关系是.6.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc -ad >0，则c a -db>0； ②若ab >0，c a -db>0，则bc -ad >0； ③若bc -ad >0，c a -db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知f （x ）=ax 2+b ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.8.（20分）已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.(15分)已知0<a<1，0<b<1，0<c<1.求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能都大于14.10.（20分）若二次函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.1 不等关系与不等式（数学人教实验B版必修5）答案一、选择题1.C 解析：若a b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a >ab，故D 错；若ab >0，则a 2b <ab 2，故B 错. 2.B 解析：∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴a 2b ，c 2+1>0，∴21a c +>21bc +.4.C 解析：∵c <a 且ac <0，∴c <0<a .但b 的符号不确定，∴当b =0时，cb 2=ab 2=0，∴cb 2<ab 2不一定成立.二、填空题5.b ac -<a bd -解析：∵a >b >0，-c >-d >0，∴a -c >b -d >0，∴ 0<1a c -<1b d-. ∵a >b >0，∴b a c -<ab d-.6.3 解析：由bc -ad >0得bc >ad ，又ab >0，∴bc ab >ad ab ，即c a >d b ，∴c a -db>0，故①正确；由ab >0，c a -d b >0，得ab （c a -db ）>0，即bc -ad >0，故②正确；由c a -d b >0，得bc ad ab->0，又bc -ad >0，∴ab >0，故③正确. 三、解答题7. 解法一：整体代换.令f （3）=9a +b =m （a +b ）+n （4a +b ）=（m +4n ）a +（m +n ）b ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即f （3）=53-（a +b ）+83（4a +b ）.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元.令a +b =x ，4a +b =y ，则a =3y x -，b =43x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3. 因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y -5x ≤19，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].8.证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc . ∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这是在论证中极易忽略的）. 故a （b 2+c 2）+b （c 2+a 2）+c （a 2+b 2）>6abc .9.证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14，由（1a --b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12.同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴(1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾.∴原结论成立.10.解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），则f （1）=a+c ，f （2）=4a+c. 又∵f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4，∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32.∴ 14≤8f （2）-5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。

人教B版高中数学必修五《3.1 不等关系与不等式 3.1.1 不等关系与不等式》_11

3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢?生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.生可以表示为x≥0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需结合上述三角形草图).生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以.生如果用v 表示速度，则v≤40 km/h.生 f≥2.5%或p≥2.3%.(此时,一片安静,同学们在积极思考)生这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2p f 生也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.师同学们看这两位同学的观点是否正确?生 (齐答)大家齐声说，都可以.师同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.［合作探究］【问题】某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本.师那么销售量变为多少呢？如何表示？生可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20〕师是否有同学还有其他的解题思路？生可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生截得两种钢管的数量都不能为负.师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a ＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b⇒a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b⇒a-b＞0;a=b⇒a-b=0;a＜b⇒a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x2＞0，从而(x2+1)2＞x4+x2+1.（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）师下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a＞b,b＞c ⇒a＞c;a＞b,b＞c ⇒a-b＞0,b-c＞0⇒(a-b)+(b-c)＞0⇒a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b⇒a-b＞0⇒(a-b)+(c-c)＞0⇒(a+c)-(b+c)＞0⇒a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＞0⇒a-b＞0,c＞0⇒(a-b)c＞0⇒ac-bc＞0⇒ac＞bc.（4）a＞b,c＜0⇒ac＜bc.a＞b,c＜0⇒a-b＞0,c＜0⇒(a-b)c＜0⇒ac-bc＜0⇒ac＜bc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.不等关系与不等式（二）引入方法引导方法归纳不等式和实数的基本性质实例剖析（知识方法应用）小结示范解题。

高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.1知识点总结含同步练习题及答案

a>b } ⇒ a + c > b + d． c>d a>b a>b 可乘性： } ⇒ ac > bc； } ⇒ ac < bc． c>0 c<0 a>b>0 推论1 } ⇒ ac > bd ． c>d>0 推论a > b > 0 ⇒ an > b n (n ∈ N + , n > 1) ． 1 1 a>b 推论3 }⇒ < ． a b ab > 0 n n 可开方：a > b > 0 ⇒ √ a>√ b (n ⩾ 2, n ∈ N)．
c c < ． a b
1 1 不一定成立，因此推不出 > a b
a 的取值范围． b
−4 < −b < −1,
又因为 2 < a < 3，所以
−2 < a − b < 2. 1 1 < < 1 ，所以 4 b 2×
即
（2）因为
1 a < < 3 × 1, 4 b 1 a < < 3. 2 b
e e ． > a−c b−d 证明：因为 c < d < 0，所以 −c > −d > 0．又因为 a > b > 0，所以
1.不等式的性质描述：不等式的定义用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．实数的基本性质如果 a − b 是正数，那么 a > b；如果 a − b 等于零，那么 a = b；如果 a − b 是负数，那么 a < b．不等式的基本性质对称性：如果 a > b，那么 b < a；如果 b < a，那么 a > b ．即 a > b ⇔ b < a ．传递性：如果 a > b，b > c ，那么 a > c ．即 a > b，b > c ⇒ a > c．可加性：如果 a > b，那么 a + c > b + c ．推论1 a + b > c ⇒ a > c − b ．

人教版高中数学必修五不等式3.1不等关系与不等式(1)优秀课件

二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
结论
对于任意两个实数，，如果，那么是正数；如果，那么是负数；如果，那么等于。它们的逆命题也正确，这就是说
上面等价符号的左式反映的是实数的大小顺序，右式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与实数大小顺序之间的关系。它是不等式这一章的理论基础。
大数对应的点位于小数对应的点的右边思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
思考5：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？
人教版高中数学必修五不等式3.1不等关系与不等式(1)优秀课件
实例分析
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
实例分析各远侧横不近成看同高峰成低岭
一、用不等式表示不等关系
探究现实世界和日常生活中，既有相等关系，又
存在着大量的不等关系，在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
一、用不等式表示、用不等式表示不等关系
1、不等式的定义
2、用不等式表示不等关系
一、用不等式表示不等关系
问题1
分析：
一、用不等式表示不等关系
问题2
分析：
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
一、用不等式表示不等关系
二、实数的运算性质与大小顺序间的关系
思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？

(人教B版)高二数学必修5课件：3.1.1不等关系与不等式

4.某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初中、高中班硬件配置分别为 28万元与58万元，该学校的规模(初中、高中班级数量)所满足的条件是什么？解设该校有初中班x个，高中班y个，
20≤x＋y≤30，则有
28x＋58y≤1 800.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2.作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
明目标、知重点
பைடு நூலகம்
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论. 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.
明目标、知重点
3.比较实数a，b大小的依据 (1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对. (2)符号表示：a－b>0⇔ a>b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－ b<0⇔ a<b .
明目标、知重点
探要点·究所然情境导学现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.那么，数学中，如何表示不等关系呢？
x－2.5 (8－ 0.1 ×0.2)x 万元，

人教版数学高二B版必修53.1不等关系与不等式

3.1 不等关系与不等式知识梳理1.比较两实数大小的理论依据a-b ＞0⇔a ＞b;a-b=0⇔a=b;a-b ＜0⇔a ＜b.2.不等式的性质(1)对称性:a ＞b ⇔b ＜a.(2)传递性:a ＞b,b ＞c ⇔a ＞c.(3)加法法则:a ＞b ⇔a+c ＞b+c.推论1:a+b ＞c ⇒a ＞c-b;推论2:a ＞b,c ＞d ⇒a+c ＞b+d.(4)乘法法则:a ＞b,c ＞0⇒ac ＞bc;a ＞b,c ＜0⇒ac ＜bc.推论1:a ＞b ＞0,c ＞d ＞0⇒ac ＞bd;推论2:a ＞b,ab ＞0⇒ba 11<; 推论3:a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N +,n ＞1). (5)开方法则:a ＞b ＞0⇒n n b a >(n ∈N +,n ＞1).知识导学两个实数比较大小和他们的差之间的关系是不等式性质的基础,也是两个实数比较大小的根据.不等式的性质是本章的理论基础,要求准确理解,否则会成为百错之源.通过对性质的证明,认真体会逻辑推理的严谨性.要善于用简洁精确的数学符号语言表达和推证数学结论,理清知识之间的逻辑因果关系.疑难突破1.作差法和作商法的适用范围.剖析:作差法和作商法是比较实数大小或证明不等式的重要方法.一般的实数大小的比较都可以采用作差法,但是要考虑作差后与0的比较,通常要进行因式分解、配方或者其他变形操作,所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系.作商法主要使用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子,具有一定的局限性,作商后要与1进行比较,所以,作商后必须易于变成能与1比较大小的式子,此种方法主要使用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较.例如,比较a a b b 与2)(ba ab +大小就可以使用作商法.在解决这些问题的时候,要根据题目的具体结构特点,选择其中一种合适的方法.如是和差的形式一般用作差法,乘除的形式一般用作商法.2.证明或比较实数大小的方法及注意事项.剖析:证明一个不等式和比较实数的大小一样,根据题目的特点可以有不同的证明方法.实数比较大小,可采用作差或者作商法说明不等式两边的数或者式子的大小,从而得出结论.这里需要注意的是,使用作商法之前必须判断要证式子两边为正,才能进行下去.在证明不等式时还可以利用已经证明的结论,或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小得出结论.需要注意的是,有些结论的递推是双向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的对称性就是双向的,而传递性就是单向的.在不等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符号.有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明,它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.要注意不等式与函数的结合,函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具,尤其是函数的单调性.如:a＞b a3＞b3,可根据幂函数y=x3在R上是单调递增得到.。

人教B版人教B版高中数学必修五3.1不等关系与不等式(人教实验B版)

9.(15 分 ) 已知 0<a<1， 0<b<1， 0<c<1.
求证：（ 1 a） b，（ 1 b） c，（1 c） a 不能都大
1
于.
4
10. （ 20 分）若二次函数 y=f （ x ）的图象关于 y 轴对称，且 1≤ f （ 1）≤2，3≤ f （ 2）≤ 4，求 f （ 3）的范围 .
ab
ab
三、解答题 7. 解法一：整体代换 .
令 f （ 3） =9a+b=m（a+b） +n（ 4a+b）=（ m+4n） a+（ m+n） b，
5
m 4n 9,
m
则
解得
, 3 即 f （ 3） = 5 （ a+b）+ 8 （ 4a+b） .
m n 1,
8
3
3
n.
3
因为 1≤ a+b≤ 2， 2≤ 4a+b≤3，
3.C 解析： ∵a>b， c 2+1>0，∴
a
b
>
.
c2 1 c2 1
4.C 解析： ∵c<a 且 ac<0，∴ c<0<a. 但 b 的符号不确定，∴当
b=0 时， cb2=ab2=0，∴ cb2<ab2 不一定成立 .
二、填空题
5. b < a 解析： ∵ a>b>0， c> d>0，∴ a c>b d>0，∴ 0< 1 < 1 .
① a+b<ab；② |a|>|b| ；③ a<b；④ a2<b2 中，

人教版数学高二B版必修5自主训练3.1不等关系与不等式

自主广场我夯基我达标1.已知a ＜0,-1＜b ＜0,下列不等式成立的是( )A.a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a思路解析:由于-1＜b ＜0,所以0＜b 2＜1⇒a ＜ab 2＜0,且ab ＞0,易得ab ＞ab 2＞a.本题也可以根据a,b 的范围取特殊值来比较,比如令a=-1,b=21-. 答案:D2.“a ＞0,b ＞0”是“ab ＞0”的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:由“a ＞0,b ＞0”可推出“ab ＞0”,反之,不一定成立,选A.答案:A3.如果log a 3＞log b 3,且a+b=1,那么( )A.0＜a ＜b ＜1B.0＜b ＜a ＜1C.1＜a ＜bD.1＜b ＜a思路解析:∵a+b=1,a 、b ∈R ,∴0＜a ＜1,0＜b ＜1.∵log a 3＞log b 3,∴ba lg 3lg lg 3lg >. ∴lga ＜lgb.∴0＜a ＜b ＜1.答案:A4.若a=22ln ,b=33ln ,c=55ln ,则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c思路解析:易知a,b,c 都是正值,a b =2ln 33ln 2=log 89＞1,所以b ＞a;5ln 22ln 5=c a =log 2532＞1,所以a ＞c.所以b ＞a ＞c.答案:C5.若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系为_____________.思路解析:f(x)-g(x)=3x 2-x+1-(2x 2+x-1)=x 2-2x+2=(x-1)2+1,显然大于0,所以f(x)＞g(x).答案:f(x)＞g(x)6.日常生活中,在一杯糖水中,再加入糖,则这杯糖水变甜了,请根据这一事实提炼出一个不等式.解:设有糖水b 克,其中含糖a 克,再加入m 克糖,则原来的糖水的浓度为ba ×100%,加入m 克糖后, 糖水的浓度变为mb m a ++×100%. 由事实可知糖水变甜,浓度增大,故b a ×100%＜mb m a ++×100%, 答:当0＜a ＜b,m ＞0时,有b a ＜mb m a ++. 7.若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,e ＜0,求证:d b e c a e ->-. 思路分析:本题可以直接使用不等式的性质进行证明,首先根据c ＜d ＜0,得-c ＞-d ＞0,所以a-c ＞b-d ＞0,再由倒数的性质和e ＜0即可得到结论,也可以直接作差进行比较.证明:⎭⎬⎫>>>->-⇒<<000d a d c d c d b e c a e c a e d b e e c a d b d b c a ->-⇒-<-⇒⎪⎭⎪⎬⎫<>->-⇒>->-⇒00110. 8.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1＞0,a 3=b 3＞0,且a 1≠a 3,试比较a 2与b 2的大小. 思路分析:根据等比与等差的性质,求出a 2、b 2,再利用作差法比较.解:设{a n }的公比为q,{b n }的公差为d,则a 3=a 1q 2,b 3=b 1+2d=a 1+2d.∵a 3=b 3,∴a 1q 2=a 1+2d,即2d=a 1(q 2-1).∵a 1≠a 3=a 1q 2,∴q 2≠1.∴q≠±1.∵a 2-b 2=a 1q-(a 1+d)=a 1q-a 121-a 1(q 2-1)=21-a 1(q-1)2＜0, ∴a 2＜b 2.我综合我发展9.如果a ＜0,b ＞0,那么,下列不等式中正确的是( ) A.ba 11< B.b a <- C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 思路解析:如果a ＜0,b ＞0,那么a 1＜0,b 1＞0,∴b a 11<,选A.其余三个选项可以举反例排除. 答案:A10.若a 、b 、c ∈R ,a ＞b,则下列不等式成立的是( ) A.ba 11< B.a 2＞b 2 C.1122+>+c b c a D.a|c|＞b|c| 思路解析:应用间接排除法.取a=1,b=-1,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D.故应该选C.显然112+c ＞0,对不等式a ＞b 的两边同时乘以112+c ,得1122+>+c b c a 成立. 答案:C11.已知a ＞b ＞0,试比较2222b a b a +-与ba b a +-的大小.思路分析:本题用作差法及作商法都可比较大小.解法一:作差法:,0))(()(2))(()]())[((22222222222>++-=+++-+-=+--+-b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a ∴b a b a ba b a +->+-2222. 解法二:作商法:,121)(222222222>++=++=+-+-ba ab b a b a ba b a b a b a ∴b a b a ba b a +->+-2222. 12.如果用记号min{p,q}表示p,q 中的较小者,max{p,q}表示p,q 中的较大者.设f(x)=min{x 2-2x+6,x 2+6x+5},g(x)=max{x 2-x+2,x},试比较f(x)和g(x)的大小.思路分析:首先根据两个定义写出f(x)和g(x)的函数表达式,由于其中含有未知量x,可能要对x 的范围进行讨论,然后再作差比较大小.解:由于x 2-2x+6-(x 2+6x+5)=-8x+1,由此可知,当x ＜81时,x 2-2x+6＞x 2+6x+5. 当x≥81时,x 2-2x+6≤x 2+6x+5. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<++=.81,62,81,56)(22x x x x x x x f 而x 2-x+2-x=x 2-2x+2=(x-1)2+1＞0,所以x 2-x+2＞x.所以g(x)=x 2-x+2.(1)当x ＜81时,f(x)-g(x)=x 2+6x+5-(x 2-x+2)=7x+3, 所以当x=73-时,f(x)=g(x). 当x ＜73-时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当73-＜x ＜81时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). (2)当x≥81时,f(x)-g(x)=x 2-2x+6-(x 2-x+2)=-x+4, 所以当x=4时,f(x)=g(x).当x ＞4时,f(x)-g(x)＜0,f(x)＜g(x). 当81≤x ＜4时,f(x)-g(x)＞0,f(x)＞g(x). 13.已知a ＞0,b ＞0,且m,n ∈N +,求证:a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .思路分析:根据所求证的式子的特点,适合比差,也有利于分解因式,最后讨论因式的符号. 证明:(a m+n +b m+n )-(a m b n +a n b m )=a m (a n -b n )+b m (b n -a n )=(a n -b n )(a m -b m ).(1)当a ＞b ＞0时,a n ＞b n ,a m ＞b m .所以(a n -b n )(a m -b m )＞0.所以a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(2)同理可证,当b ＞a ＞0时,a m+n +b m+n ≥a m b n +a n b m .(3)当a=b 时,a m+n +b m+n =a m b n +a n b m .综上所述,可知原式得证.。

人教新课标版数学高二B版必修5素材例题与探究 3.1不等关系与不等式

典题精讲例1 若a ＞b(ab≠0),试比较a 1与b1的大小. 思路分析:不等式两边同乘以(或除以)一个不等于零的代数式时,要考虑此式的正负.利用分类讨论思想进行讨论,也可以直接作差,比较作差后的式子与0的大小关系,或者考虑函数y=x 1的单调性.解法一:当ab ＞0时,ab1＞0, 所以a×ab 1＞b×ab 1⇒b 1＞a1. 当ab ＜0时,ab1＜0, 所以a×ab 1＜b×ab 1⇒b 1＜a1. 解法二:a 1-b 1=aba b -. 因为a ＞b,所以b ＜a ⇒b-a ＜0.所以,当ab ＞0时,ab a b -＜0,即a 1-b 1＜0⇒ba 11<. 当ab ＜0时,ab a b -＞0,即a 1-b 1＞0⇒a 1＞b1. 解法三:函数y=x 1在区间(-∞,0)和(0,+∞)都是单调递减的,当a ＞b ＞0或a ＜b ＜0时,ba 11<; 当a ＞0＞b 时,a 1＞b 1. 黑色陷阱:本题很容易有这样的误解:一个数越大,则倒数越小,而由以上例题的结论,知这个结论只有在两个数同号的时候才是成立的;在解决这类问题时还要注意,同时乘以一个数(或式子)要考虑所乘的数(或式子)的正负来决定相乘后是否改变符号.变式训练已知a ＞b,不等式(1)a 2＞b 2,(2) a 1＞b 1,(3)b a -1＞a1成立的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3思路解析:严格的按照不等式的性质比较大小,也可以通过举例,进行排除.(1)非负数两边才能平方,原来大的仍大,如a=1,b=-3时,a 2＜b 2.(2)需考虑的符号,当a ＞b ＞0时,ba 11<.(3)b a -1-a b a b a )(1-=的符号不确定,所以也不能确定b a -1与a1的大小. 答案:A例2 已知a 、b ∈R ,求证:a 4+b 4≥a 3b+ab 3.思路分析:本题可以采用作差法,然后对作差后的式子进行整理,比较与0的大小,由于本题比较复杂,主要是次数较高,所以,首先提取公因式,降次后再进行整理.证明:(a 4+b 4)-(a 3b+ab 3)=a 3(a-b)+b 3(b-a)=(a-b)(a 3-b 3)=(a-b)2(a 2+ab+b 2)=(a-b)2［(a+2b )2+43b 2］. ∵(a-b)2≥0,(a+2b )2+43b 2≥0, ∴(a-b)2［(a+2b )2+43b 2］≥0. ∴a 4+b 4≥a 3b+ab 3.绿色通道:比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为:作差(或n 次方作差)——变形——确定符号——得出结论.其中,作差是依据,变形是手段,确定差的符号是目的,至于证题的思路体现了数学中的转化思想.这里,关键的步骤是对差式的变形.变式训练设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x ∈R ,则A 、B 的大小关系是.思路解析:利用作差法比较大小,要注意观察系数的特点进行因式分解.A-B=1+2x 4-2x 3-x 2=2x 3(x-1)-(x 2-1)=(x-1)(2x 3-x-1)=(x-1)［(x 3-x)+(x 3-1)］=(x-1)2(x 2+x+x 2+x+1)=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.所以A 、B 的大小关系是A≥B.答案:A≥B例3 (1)如果30＜x ＜36,2＜y ＜6,求x-2y 及yx 的取值范围; (2)若-3＜a ＜b ＜1,-2＜c ＜-1,求(a-b)c 2的取值范围.思路分析:在判断某些式子的取值范围时,可灵活运用不等式的性质,如涉及两个不等式的“相减”“相除”时,往往要将其转化为不等式“相加”“相乘”的运算.解:(1)∵2＜y ＜6,∴-12＜-2y ＜-4.又∵30＜x ＜36,∴30-12＜x-2y ＜36-4,得18＜x-2y ＜32.又∵2＜y ＜6,∴61＜y 1＜21. ∴5＜yx ＜18. (2)∵-3＜a ＜b ＜1,∴-3＜a ＜1,-3＜b ＜1,a ＜b.∴-4＜a-b ＜0.又∵-2＜c ＜-1,∴1＜c 2＜4.∴-16＜(a-b)c 2＜0.黑色陷阱:很容易由2＜y ＜6,得到4＜2y ＜12,从而得出-26＜x-2y ＜24.实际上这是错误的,因为y 乘以2不改变不等号的方向,而y 乘以-2就要改变符号,而此种解法就没有考虑符号的改变,所以得出了错误的结论.变式训练 (1)若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,求证:c bd a <. (2)已知2π-≤α＜β≤2π,求2,2βαβα-+的范围.思路分析:严格按照不等式的性质进行变形,除法要转化成乘法,减法转化成加法.(1)证明:⇒⎩⎨⎧>->->>⇒⎩⎨⎧<<>>0000d c b a d c b a -ac ＞-bd, 又c ＜0,d ＜0cd bd cd ac bd ac cd ->-⇒⎩⎨⎧->->⇒0⇒d a -＞c b -⇒c b c b d a <<. (2)解:∵2π-≤α＜β≤2π,∴2π-≤α＜2π, 2π-＜β≤2π. ∴-π＜α+β＜π. ∴2π-＜2βα+＜2π. ∵2π-≤-β＜2π, 2π-≤α＜2π,α＜β, ∴α-β＜0.∴-π≤α-β＜0. ∴2π-≤2βα-＜0. 例4 甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同,问甲、乙两人谁先到达教室?思路分析:本题牵涉到物理问题中的速度和路程的相关知识,首先应根据条件,表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式,然后作差比较他们所用时间的多少,所用时间少的先到.解:设总路程为s,步行速度为v 1,跑步速度为v 2.甲到教室所用的时间为t 1,则t 1=2121212)(22v v v v s v sv s +=+, 乙到教室所用时间为t 2,则22t (v 1+v 2)=s. ∴t 2=212v v s +. ∴t 1-t 2=)(2)()(24)(2121221212121221v v v v s v v v v v v v sv v v s +•-=+-+. ∵v 1＜v 2,∴t 1＞t 2.∴乙先到教室.变式训练某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按32的原价优惠.”这两车队的原价、车型是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.思路分析:根据条件写出两车队收费的函数关系,再作差进行比较,收费少的车队比较优惠,注意对自变量的大小进行讨论.解:设该单位除领队外有x 个人,甲、乙两车队的收费总额为y 甲和y 乙,则y 甲=a+21ax(a 为原每张票价),y 乙=32 (x+1)a,则y 甲-y 乙=6a (2-x), ∴x ＞2时,甲车队更优惠;x=2时,两车队收费相同;x ＜2时,乙车队更优惠.例5 已知-4≤a -b≤-1,-1≤4a -b≤5,求9a-b 的取值范围.思路分析:注意9a-b 与a-b 和4a-b 的关系,它们都是关于实数a,b 的一次式,所以,它们三个之间也具有一次线性关系,因此可以用a-b 和4a-b 表示9a-b,再根据不等式的性质得出结果. 解:设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得m=35-,n=38. 由-4≤a -b≤-1,得35≤35-(a-b )≤320. 由-1≤4a -b≤5,得38-≤38(4a-b)≤340. 以上两式相加,得-1≤9a -b≤20.绿色通道:在整体思想的指导下,采用待定系数法,首先建立待求范围的整体与已知整体的等量关系,然后通过“一次线性”不等关系的运算,求得待求的范围.黑色陷阱:根据条件可以看出a,b 不是相互独立的,而是相互制约的,因此不能直接求出a,b 的取值范围.如果先求出a,b 的范围,再用不等式的性质求9a-b 的范围,所求的范围将扩大,主要原因是变形不是等价变形.变式训练已知f(x)=ax 2-b,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,试求f(3)的取值范围.思路分析:根据条件把f(3)表示为f(1)和f(2)的关系式,再根据所给f(1)和f(2)的范围及不等式的性质可以得出f(3)的范围.解法一:设f(3)=mf(1)+nf(2),∵f(x)=ax 2-b,∴9a-b=m(a-b)+n(4a-b).比较a 、b 的系数可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.38,35n m ∴f(3)=35-f(1)+38f(2). 又-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, ∴35≤35-f(1)≤320,38-≤38f(2)≤340. ∴-1≤f(3)≤20.解法二:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎩⎨⎧=-=-).2(31)1(34)],1()2([31),2(4),1(f f b f f a f b a f b a 解得∴f(3)=3［f(2)-f(1)］+34f(1)-31f(2)=9a-b=38f(2)35-f(1). 以下同解法一.问题探究问题甲、乙、丙、丁四人利用不等式的性质给出了以下四个不同的不等式:甲:a ＞b ⇒c-a ＜c-b.乙:a ＞b+c ⇒(a-c)2＞b 2.丙:a ＞b ＞c ＞0⇒(a-c)b ＞(b-c)b.丁:a ＞b ＞0,c ＜d ＜0⇒cb d a <. 你认为他们说的正确吗?请说明理由.导思:寻找前提与结论的联系,由前提出发,正确使用性质看能否得到结论,若能,则结论正确,若不能,则结论可能错误,也可能正确.如果设定满足前提的具体数值,但这些数并不能满足结论,则可断定结论错误.探究:(1)∵a ＞b,∴-a ＜-b.∴c-a ＜c-b.故命题正确.(2)设a=0,b=-2,c=-1,显然a ＞b+c,但(a-c)2=1＜4=b 2,故命题错误.(3)依题意,⇒⎭⎬⎫>->-⇒>0b c b c a b a (a-c)b ＞(b-c)b,故命题正确. (4)c b d a c b d a b a c d d c d c <⇒->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>->-⇒>->-⇒<<001100. 故命题成立.。