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高中数学必修2期中测试卷

高中数学必修2期中测试卷2高二数学立体几何试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知平面α与平面β、γ都相交，则着三个平面可能的交线有（）A ．1条或2条B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1或2条或3条2．过正方体一面对角线作一平面去截正方体，截面不可能是（）A ．正三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．矩形 3. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（）A ．12π B ．6πC ．4π D ．3π 4. 在斜棱柱的侧面中，矩形的个数最多是（）A ．2B ． 3C ．4D ．65.设地球半径为R,若甲地在北纬45︒东经120︒,乙地在北纬45︒西经150︒,甲乙两地的球面距离为( )A ．3R πB ．6R πC 2RD ．R6. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，23=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（） A ．29B ．5C ．6D ．2157. 已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m，则α⊥β8. 下列命题中，正确命题的个数是（）（1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形（3）简单多面体就是凸多面体（4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆Ａ.0个Ｂ.1个Ｃ.2个Ｄ. 3个9. 将鋭角B 为60°, 边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若[]60,120θ∈︒︒则折后两条对角线之间的距离的最值为（）A. 最小值为43, 最大值为23B. 最小值为43, 最大值为43DABF3C. 最小值为41, 最大值为43D. 最小值为43, 最大值为2310．设有如下三个命题：甲：相交的直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l ,m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交 .当甲成立时，（）A ．乙是丙的充分而不必要条件；B ．乙是丙的必要而不充分条件C ．乙是丙的充分且必要条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件.第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．边长为2的正方形ABCD 在平面α内的射影是EFCD ，如果AB 与平面α的距离为2，则AC 与平面α所成角的大小是 .12.设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为23则其外接球的表面积为 . 13.足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体.则这个多面体有条棱,有个顶点.14．已知异面直线a 、b ，A 、B 是a 上两点，C 、D 是b 上两点，AB=2，CD=1，直线AC 为a 与b 的公垂线，且AC=2，若a 与b 所成角为60︒，则BD= .15．长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，BC=2，1BB =1，则A 到1C 在长方体表面上的最短距离为 . 16.已知点P ，直线βα、以及平面、、c b a ，给出下列命题：①若b a b a //成等角，则与、α②若βαβα⊥⊥c c，则，//③若αα//b a b a，则，⊥⊥④若βαβα⊥⊥a a ，则，//⑤若相交、异面或、或，则，b a b a b a c b c a //⊥⊥其中正确命题的序号是_______________.(把所有正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知平面⊥α平面β，直线α//a ，a 垂直于α与β的交线AB ，试判断a 与β 的位置关系，并证明结论.418. （本题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点P 为BD 1中点.（Ⅰ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（Ⅱ）求点D 1到面BDE 的距离.19．（本题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中，60ABC ∠=︒，PA=AC=a ，PB=PD=2a ，点E 为PD 的中点，（Ⅰ）PA ABCD PB EAC ⊥平面，平面；（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的θ正切值。

高中数学必修二必刷卷03下学期期中仿真必刷模拟卷(含答案)

2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【人教A版2019】期中检测卷03姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量＝（x，2），＝（1，﹣1），且∥，则•＝（）A．4B．2C．0D．﹣4【答案】D【分析】根据∥即可求出x值，从而可得出的坐标，进而可求出的值．【解答】解：∵∥，∴﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，∴，．故选：D．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示、平面向量数量积的性质及其运算2.已知复数z＝（2+i）i，其中i为虚数单位，则下列说法中，错误的是（）A．|z|＜3B．z的虚部为2C．z的共扼复数为2i+1D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】C【分析】化简复数z，求出模长|z|、虚部，写出共轭复数和z＝﹣1+2i对应的点坐标即可．【解答】解：复数z＝（2+i）i，则|z|＝|2+i|•|i|＝＜3，A正确；z＝（2+i）i＝﹣1+2i，其虚部为2，B正确；z的共轭复数为＝﹣1﹣2i，所以C错误；z＝﹣1+2i对应的点为（﹣1，﹣2），在第二象限，D正确；故选：C．【知识点】复数的模3.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．【知识点】平面向量的基本定理、向量数乘和线性运算4.已知M是△ABC内的一点，且•＝4，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（）A．12B．14C．16D．18【答案】C【分析】利用平面向量的数量积运算求得bc的值，根据三角形的面积公式求得x+y的值，再利用1的代换，结合基本不等式求得的最小值．【解答】解：在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵•＝4，∠BAC＝30°，∴cb cos30°＝4，∴bc＝8，∴S△ABC＝bc sin30°＝×8×＝2，∴1+x+y＝2，即x+y＝1，且x＞0，y＞0，∴＝（）（x+y）＝10++≥10+2＝10+6＝16，当且仅当＝，即y＝3x＝时取等号，∴的最小值是16．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.定义复数的一种运算z1*z2＝（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满足a+b＝3，则z*最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先由新定义用a和b表示出z*，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：z*＝，∴，z*＝．故选：B．【知识点】基本不等式及其应用、虚数单位i、复数6.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，侧棱SB与平面ABC所成的角为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】推导出△ABC为等腰直角三角形，BM⊥AC，SA⊥BM，从而BM⊥平面SAC，BM⊥MN，当MN 最小时，△BMN的面积最小，此时MN⊥SC，过S作SE⊥SC，交CA的延长线于点E，则SE∥MN，连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB与MN 所成角的余弦值．【解答】解：由题意知△ABC为等腰直角三角形，因为M为AC的中点，所以BM⊥AC．又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BM，所以BM⊥平面SAC，所以BM⊥MN，故△BMN的面积．由题意知，所以，所以，当MN最小时，△BMN的面积最小，此时MN⊥SC．当MN⊥SC时，过S作SE⊥SC，交CA的延长线于点E，则SE∥MN，连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．因为SA⊥平面ABC，所以∠SBA为直线SB与平面ABC所成的角，所以∠SBA＝45°，所以SA＝AB＝4，所以，．又，所以，所以，，在Rt△EMB中，由题意知，所以由余弦定理得：＝＝，故当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为．故选：D．【知识点】异面直线及其所成的角7.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直【答案】A【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选：A．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系8.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（）A．2B．4C．4D．2【答案】B【分析】结合S原图＝2S直观图，可得答案．【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，∴原来图形的面积S＝2×2＝4，故选：B．【知识点】斜二测法画直观图二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】对于A：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于B：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于C：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．对于D：直接利用平行线成比例的应用求出结果．【解答】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，如图所示：根据三角形法则：对于A：，故选项A正确．对于B：E，F分别为线段AD，CD的中点，所以，故选项B正确．对于C：过E作EH∥DC，所以，所以，故，整理得，所以，即＝，故选项C错误．对于D：根据平行线分线段成比例定理，点B、G、D共线，故选项D错误．故选：AB．【知识点】平面向量的基本定理10.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（）A．是单位向量B．C．D．【答案】ABD【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确．【解答】解：A．∵，∴由得，，∴是单位向量，该选项正确；B．∵，∴，该选项正确；C.，∴由得，，即，∴，该选项错误；D．∵，由上面得，，∴，该选项正确．故选：ABD．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算11.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】对于A，由∠BAD＝，CE∥AD，得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由CE⊥AB，DE⊥AB，得直线AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为，知直线AB与平面CDE不垂直；对于D，推导出DE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面CDE．【解答】解：对于A，∵∠BAD＝，CE∥AD，∴AB与CE不垂直，∵CE⊂平面CDE，∴直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；对于B，∵CE⊥AB，DE⊥AB，CE∩DE＝E，∴直线AB⊥平面CDE，故B正确；对于C，AB与CE所成角为，∴直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；对于D，如图，∵DE⊥BF，DE⊥AF，BF∩AF＝F，∴DE⊥平面ABF，∵AB⊂平面ABF，∴DE⊥AB，同理得CE⊥AB，∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面CDE，故D正确．故选：BD．【知识点】直线与平面垂直12.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线BC与B1M所成的角为90°B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABCC．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°D．B1M⊥CM【答案】ABC【分析】选项A，连接MC1，易知BC∥B1C1，故∠MB1C1即为所求．由勾股定理可知A1B1⊥B1C1，由三棱柱的性质可知BB1⊥B1C1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形AMDE为平行四边形，故MD∥AE，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，则∠BNB1即为所求，在Rt△BNB1中，由三角函数可求出tan∠BNB1的值，从而得解；选项D，在△CMB1中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和B1C的长，判断其结果是否满足≠即可．【解答】解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．∵AB＝BC＝2，AC＝，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE∥AM，DE＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1＝，BN＝AB＝，∴tan∠BNB1＝＝，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2＝，＝+＝，＝＝10，显然≠，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面所成的角、直线与平面垂直三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，则|﹣2|＝．【答案】5【分析】通过向量垂直，数量积为0，求出m，然后利用向量的模的运算法则求解即可．【解答】解：向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，可得＝0，即﹣（﹣2m﹣1）+2＝0，解得m＝，所以＝（2，1），＝（﹣5，0），所以|﹣2|＝5．故答案为：5．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为【答案】72【分析】集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，z2＝（1+i）z1＝（cos+i sin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，再用正方形PQRS的面积减去4个等腰直角三角形的面积可得．【解答】解：集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，z2＝（1+i）z1＝（cos+i sin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，如图：所以所求图形的面积为﹣4×＝﹣1＝，故答案为：【知识点】复数的代数表示法及其几何意义15.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且＝，若＝，则+＝（用表示）．【分析】根据可得出，进而得出，并且，，从而可用表示出．【解答】解：∵，∴，∴，∴＝．故答案为：．【知识点】向量数乘和线性运算16.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2，点P为线段DE上一点，当三棱锥P﹣ACE的体积为时，＝．【分析】过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，证明AF⊥平面BCDE，再由已知求得AF，进一步求出三棱锥D﹣ACE的体积，利用求得，进一步得到答案．【解答】解：如图，过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，由BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为，得，∴AF＝，则＝4×2×；∵＝．∴，则．故答案为：．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．【分析】（1）可设D（x，y），然后根据即可得出D（3，6），进而可得出向量的坐标，进而求出的值；（2）可求出，，然后根据与平行即可求出k的值．【解答】解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．【知识点】平行向量（共线）、平面向量共线（平行）的坐标表示18.已知z∈C，z+2i和都是实数．（1）求复数z；（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+2i＝a+（b+2）i，，∵z+2i和都是实数，∴，解得，∴z＝4﹣2i．（2）由（1）知z＝4﹣2i，∴（z+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，∵（z+ai）2在复平面上对应的点在第四象限，∴，即，∴，∴﹣2＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣2，2）．【知识点】虚数单位i、复数、复数的代数表示法及其几何意义19.已知集合A＝{z||z|≤1}，（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．（2）若z∈A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z（3）若B＝{z||z﹣ai|≤2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接利用复数的模，求解复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系，并在复平面内画出图形单位圆即可．（2）若z∈A，求z取值时，画出图形，即可求出|z﹣（1+i）|的最大值、最小值．（3）利用B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义，画出图象即可得到满足A⊆B时实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{z||z|≤1}，z＝x+yi，∴x2+y2≤1（2）|z﹣（1+i）|的几何意义是圆上的点到（1，1）点的距离，如图：当z＝，|z﹣（1+i）|最小值＝．当z＝，|z﹣（1+i）|最大值＝．（3）B＝{z||z﹣ai|≤2}，的几何意义是，复平面内的点与（0，a）的距离小于等于2，A⊆B，则满足如图所示的情况，即﹣1≤a≤1时，成立．【知识点】集合的包含关系判断及应用、复数的模20.如图，已知图1中△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D，E分别是AC，BC的中点，沿着DE把△CDE折起到△C′DE，使得平面C′DE⊥平面BADE，图2中AD＝，AB＝4，F为BC′的中点，连接EF．（Ⅰ）求证：EF∥平面AC′D；（Ⅱ）求四棱锥C′﹣ABED的侧面积．【分析】（Ⅰ）由中位线以及线面平行判定定理即可证明；（Ⅱ）由线面垂直、面面垂直即可求解．【解答】（Ⅰ）证明：取AC′中点G，连接DG，FG，由点F、G分别是BC′，AC′的中点，得GF∥AB，GF＝AB，又DE∥AB，DE＝AB．所以四边形DEFG是平行四边形，所以DG∥EF，且EF⊄平面AC′D，DG⊂平面AC′D，所以EF∥平面AC′D；（Ⅱ）因为△ABC是等腰三角形，AC＝BC，AD＝，AB＝4，所以∠ACB＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝2．分别取DE、AB的中点H、I，连接C′H，HI，C′I，从而有C′H⊥DE．又因为平面C′DE⊥平面BADE，平面C′DE∩平面BADE＝DE，所以C′H⊥平面BADE，又HI⊂平面BADE，所以C′H⊥HI，在△C′HI中，C′H＝HI＝1，∴，又翻折后，C′A＝C′B，在△C′IA中，，∴四棱锥C′﹣ABED的侧面积为：+＝1+．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、直线与平面平行21.现有一块长方形钢板ABCD（如图），其中AB＝4米，AD＝6米，运输途中不慎将四边形AEPF部分损坏，经测量AE＝1.5米，AF＝3米，tan∠AEP＝4，∠AFP＝45°．现过点P沿直线MN将破损部分切去（M，N分别在AB，AD上），设DN＝t米．（1）请将切去的△AMN的面积表示为t的函数f（t）；（2）当DN的长度为多少时，切去的△AMN面积最小？并求出最小面积．【分析】（1）计算P到AB，AD的距离，根据相似比求出AM，得出三角形AMN的面积；（2）利用基本不等式即可得出f（t）的最小值及其对应的t的值．【解答】解：（1）过P分别向AD，AB作垂线，垂足分别为G，H，则四边形AGPH为矩形，△PGF为等腰直角三角形，设PG＝x，则GF＝x，PH＝AG＝AF﹣FG＝3﹣x，HE＝AE﹣AH＝1.5﹣x，∴tan∠AEP＝＝＝4，解得x＝1．∴AG＝2，NG＝4﹣t，由△NPG∽△NMA可得，即，∴AM＝，∴f（t）＝•（6﹣t）＝（0≤t≤3）．（2）f（t）＝＝++2≥2+2＝4，当且仅当＝即t＝2时取等号．故当DN＝2m时，切去的△AMN面积最小，最小面积为4m2．【知识点】解三角形22.已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠ADC＝，如图，DE∥CF，且DE＝3，CF＝4，∠DCF＝，且平面ABCD⊥平面CDEF．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDEF；（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理及勾股定理证出线线垂直，再利用面面垂直的性质得证；（Ⅱ）证明CF⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，再利用体积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题知在△ACD中，，则由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC＝，则AC2+CD2＝AD2，∴AC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面CDEF；（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面CDEF，又，且CF⊂平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，∴CF⊥平面ABCD，∵，∴四棱锥F﹣ABCD的体积为．【知识点】直线与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积。

高一数学必修第二册期中测评(一)

数学 BS
第 16 页
11．已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x，若 α∈(0，π)，且 f(α)＝ 22，则 α
的值为( AC )
π A.16
B．1116π
9π
7π
C.16
D.16
数学 BS
第 17 页
解析 ∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋12cos 4x＝cos 2xsin 2x＋12cos 4x＝12sin 4x＋12cos 4x＝ 22sin4x＋π4，∴f(α)＝ 22sin4α＋π4＝ 22，则 sin4α＋π4＝1，∴4α＋π4＝2π＋2kπ(k ∈Z)，即 α＝1π6＋k2π(k∈Z)．又 α∈(0，π)，∴当 k＝0 时，α＝1π6；当 k＝1 时，α＝196π. 故选 AC.
期中测评(一)
数学 BS
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时间：120 分钟满分：150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列等式成立的是( C )
A．sin π3＝12
B．cos 56π＝－12
C．sin－76π＝12
D．tan 23π＝ 3
＝－sin A＝－12.
数学 BS
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3．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( B )
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
解析 a＝(2,0)，∴|a|＝2.|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×1
＝12，∴|a＋2b|＝2 3.
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【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题含答案(1)

对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．
在Rt△ 中，，
由勾股定理得，
∴球的表面积，故选A.
考点：球的体积和表面积
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.
【详解】
设长方体的棱长分别为，则，
所以，于是，
设球的半径为，则，所以这个球面的表面积为．
本题选择C选项.
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面ABC，，则该球的体积为_________.
15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
【详解】
如图：连接，，
在三角形中，，故C正确．
平面，，与垂直，故A正确；

2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题附答案(1)

【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题附答案(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（） A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+3．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（） A ．643B ．32C ．54D ．644．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．46．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C ．26D ．42+9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A ．1763 B ．1603C ．1283D ．3211．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56πC ．14πD ．64π12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是．（请把正确结论的序号都填上）15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.16．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积. 23．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．24．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.25．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ；（2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形，故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．A解析：A 【解析】【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则2a OA =,1PO ⊥平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=-令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．4．B解析：B 【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．5．C解析：C 【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C 【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．A解析：A 【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．C解析：C 【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π．本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B解析：B 【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，，设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦，即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =，故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键解析：27310x y -+=【解析】【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.14．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直．【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错．故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．15．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 16．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k，下底半径为3k，由因为母线与底面的夹角是60o，得到母线长为2k，高为3k.就可以根据轴截面的面积k=，代公式求出侧面积即可.解出6【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k，下底半径为3k，由于母线与底面的夹角是60o，所以母线长为2k3k.由于轴截面的面积为1803，所以()46318032k k k+⨯=，解得6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为解析：26+ 【解析】【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 26+【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】【解析】【分析】将y y =()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值；【详解】解：y ==()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC +，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，1BA ==min y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围．【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，77k -≤≤或34k =±．【解析】【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 相切时，由223402321k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又202357554DE DFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 22．（1）见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积. 【详解】（1）在平面图中，因为12BE AB CD ==且//BE CD ，所以四边形EBCD 是平行四边形；在立体图中，连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ，所以//PD 平面MCE ；（2）在平面图中，因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥；在立体图中，PD DE ⊥，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ，在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==所以11222OM PD AD ===，又1BCE ADE S S ∆∆==，所以1236M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.23．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 24．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=，设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值. 25．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：34 (,)55C-，(5,0)D，直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD的方程为750x y+-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F+++=设(3,4)(01)C m m m-<≤，则D(5+4,0)m，从而()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=解之得(54),0D m F=-+=,103E m=--,整理得22435(2)0x y x y m x y+---+=，所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A-，所以22(3)45OA=-+=， 1分又因为4AC=，所以1OC=，所以34(,)55C-， 3分由4BD=，得(5,0)D， 4分所以直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD的方程为1(5)7y x=--，即750x y+-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m-<≤，则5OC m=． 7分则55AC OA OC m=-=-，因为AC BD=，所以5+4OD OB BD m=-=，所以D点的坐标为(5+4,0)m8分又设OCD∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F+++=，则有()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =，易得1//AD BB 且112AD BB =，所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，DE平面ABC.所以//【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。

【典型题】高中必修二数学下期中一模试题(带答案)

【典型题】高中必修二数学下期中一模试题(带答案)一、选择题1．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π 2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（）A ．2B ．3C ．2D ．2 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（）A ．5B ．6C ．35D 417．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π 9．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+10．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π11．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷三(含解析)

人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷三(考试版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知复数z 满足2z =，则202134i z +-的最小值是（）A ．5B ．2C ．7D ．32．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．232+B ．8C ．6D ．223+4．已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形5．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，1AC =，3AB =，且90BAC ∠=，2AD =，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（）A ．82πB ．4πC ．823πD ．8π6．已知点E 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11AA B B 内（含边界），F 是1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则tan BCE ∠的最小值为（）A ．55B ．21-C ．31-D ．357．在平面上，1212,1AB AB OB OB ⊥==，12AP AB AB =+.若12OP <uu u r ，则OA 的取值范围是（）A ．50,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．57,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,22⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．7,22⎛⎤⎥ ⎝⎦8．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且3sin cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A ．(6,23⎤⎦B ．(0,43⎤⎦C ．(23,43⎤⎦D ．(6,43⎤⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

新人教版高中数学必修第二册期中检测试卷含答案解析

新人教版高中数学必修第二册期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.已知向量a ＝(1，m )，向量b ＝(－1，3)，若a ∥b ，则m 等于( ) A. 3 B.－ 3 C.33 D.－33 答案 B解析由题意得1×3－m ×(－1)＝0，∴m ＝－ 3. 2.已知i 为虚数单位，z ＝41＋i ，则复数z 的虚部为( )A.－2iB.2iC.2D.－2 答案 D解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ，则BE →·EA →等于( )A.－2B.－1C.1D.2 答案 B解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0) E (0,1)，BE→＝(－2,1)，EA →＝(0，－1)，BE →·EA→＝－1. 4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i 为虚数单位，在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析由题意可得11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，则其共轭复数为12－12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12位于第四象限.5.在长方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，则BF →等于( ) A.－34a ＋12b B.34a －12b C.12a －34b D.12a ＋34b 答案 A解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12AD →＋14AB →－AB →＝12b －34a .6.在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( ) A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ＝22， ∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(2a )2－b 22a ·(2a )＝22，∴a 2＝b 2，则a ＝b ，∴A ＝B ＝π4， ∴C ＝π2，∴△ABC 为等腰直角三角形.7.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|BC →|的最小值是( ) A.2 B.4 C.2 3 D.12 答案 C解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝－12|AB →||AC →| ＝－2⇒|AB→||AC →|＝4， |BC→|＝|AC →－AB →|⇒|BC →|2＝|AC →－AB →|2 ＝|AC→|2＋|AB →|2＋4≥2|AB →||AC →|＋4＝12，当且仅当|AC →|＝|AB →|时取等号，所以|BC→|≥2 3. 8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b 在b 上的投影为( )A.2B. 3C.1D.－1答案 A解析 a ＋b 在b 上的投影为 (a ＋b )·b |b |＝a ·b ＋b 2|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＋11＝2.9.已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 答案 A解析因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1，故|a |的最小值为5－4＝1.10.已知点O 是△ABC 内一点，满足OA →＋2OB →＝mOC →，S △AOBS △ABC＝47，则实数m 为( ) A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案 D解析由OA →＋2OB →＝mOC →得13OA →＋23OB →＝m 3OC →，设m 3OC →＝OD →，则13OA →＋23OB →＝OD →， ∴A ，B ，D 三点共线，如图所示，∵OC→与OD →反向共线， ∴|OD →||CD →|＝m m －3， ∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →|＝m m －3＝47，解得m ＝－4.11.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状不可能是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案 ABD解析由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形.12.设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2<0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0答案ABD解析设z＝a＋b i，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2ab i，对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为a sin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2，故B 成立；λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i 是虚数单位，则复数3＋i1－3i ＝________，其实部为________.答案 i 0解析 3＋i 1－3i ＝(3＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝3＋9i ＋i ＋3i 210＝i ，其实部为0. 15.已知向量a ，b 的夹角为θ，且|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝3，则θ＝________. 答案 π6解析由题意，利用向量的夹角公式，得cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，又由θ∈[0，π]，∴ θ＝π6.16.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC →＝λAD →＋μAB →，则λ＋μ＝________. 答案 32解析因为EC →＝ED →＋DC →＝12AD →＋AB →，所以λ＋μ＝12＋1＝32. 17.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为___________.答案 80 5解析由已知，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC ＝15°，由正弦定理，得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)，在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC ＝30°，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，∴BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12 ＝160sin 15°＝40(6－2)；在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12 ＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB ＝805，则两目标A ，B 间的距离为80 5. 三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知复数z ＝3＋m i (m ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数. (1)求复数z ；(2)若z ＝(2－i)w ，求复数w 的模|w |. 解 (1)(1＋3i)·(3＋m i)＝(3－3m )＋(9＋m )i ， ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3m ＝0，且9＋m ≠0， ∴m ＝1，∴z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )·(2＋i )(2－i )·(2＋i )＝5＋5i 5＝1＋i.∴|w |＝12＋12＝ 2.19.(12分)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若c 满足c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，求c 的坐标. 解 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4). ∴a ＋b ＝(－2,6)，∴a －b ＝(4，－2)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20， ∴|a ＋b |＝(－2)2＋62＝210， ∴|a －b |＝42＋(－2)2＝2 5. 设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝－20210×25＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.(2)设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ∵c ⊥(a ＋b )，(c ＋a )∥b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6y ＝0，－3(y ＋2)－4(x ＋1)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－23，即c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23.20.(14分)在△ABC 中，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围.解由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3.∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3， ∴π3<A ＋π3<2π3， ∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1，∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]. 21.(14分)设复数z 1＝2－a i(a ∈R )，z 2＝4－3i. (1)若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2； (2)若z 1z 2是纯虚数，求z 1的共轭复数.解 (1)∵z 1＋z 2＝6－(3＋a )i 是实数， ∴3＋a ＝0，a ＝－3，z 1＝2＋3i ， ∴z 1·z 2＝(2＋3i)(4－3i)＝17＋6i.(2)∵z 1z 2＝2－a i 4－3i ＝(2－a i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝(8＋3a )＋(6－4a )i 25是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋3a ＝0，6－4a ≠0，即a ＝－83，z 1＝2＋83i ，故z 1的共轭复数为2－83i.22.(15分)已知|a |＝2，|b |＝3，(a ＋2b )·(b －3a )＝9.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)在△ABC 中，若AB→＝a ，AC →＝b ，求BC 边的长度. 解 (1)∵(a ＋2b )·(b －3a )＝－3a 2＋2b 2－5a ·b＝－3×22＋2×(3)2－5a ·b ＝9，∴a ·b ＝－3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×3＝－32，又θ∈[0，π]，∴θ＝56π.(2)∵BC→＝AC →－AB →＝b －a ， ∴|BC →|2＝(b －a )2＝b 2＋a 2－2b ·a ＝(3)2＋22－2×(－3)＝13，∴BC 边的长度为|BC→ |＝13. 23.(15分)在△ABC 中，已知cos B ＋(cos A －2sin A )cos C ＝0.(1)求角C 的余弦值；(2)若BC ＝5，AB 边上的中线CD ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )，所以－cos(A ＋C )＋(cos A －2sin A )cos C ＝0，sin A (sin C －2cos C )＝0，又sin A ≠0，所以sin C ＝2cos C ，tan C ＝2，因为C ∈(0，π)，所以0<C <π2，由三角函数的基本关系式，可得1－cos 2C ＝4cos 2C ，解得cos C ＝55.(2)因为CA→＋CB →＝2CD →，所以|CA →|2＋|CB →|2＋2|CA →|·|CB→|cos C ＝4|CD →|2，所以|CA →|2＋5＋25|CA →|×55＝4×2，解得|CA→|＝1. 又sin C ＝1－cos 2C ＝255，所以S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝1.。

高中数学必修二期中测试卷02(测试范围：必修第二册第六、七、八章)(含答案)

期中测试卷02（本卷满分150分，考试时间120分钟）（人教A 版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。

A 、4- B 、512-C 、1-D 、1 【答案】D【解析】∵b a λ=，∴)31()4(+-λ=-m m ，，，则⎩⎨⎧+λ=-λ-=)3(4m m ，解得4=λ或1-=λ，又0<λ，∴1-=λ，∴1=m ，故选D 。

2．下列说法中错误的是( )。

A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 135 【答案】B【解析】平行于y 轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B 错误，由斜二测画法的基本要求可知A 、C 、D 正确，故选B 。

3．在下列命题中，正确命题的个数为( )。

①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ； ③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ⑤R z ∈的一个充要条件是z z =； ⑥1||=z 的充要条件是zz 1=。

A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，1-=x 时，0)23()1(22=+++-i x x x ，②错， z 为实数时，也有R z z ∈+，③错，0==b a 时， 0)()(=++-i b a b a ，④错，⑤⑥正确，故选B4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。

A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直【答案】D【解析】若β⊥α，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A 不正确；若平面α、β都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项B 不正确；若平面α、β都垂直于同一平面，则平面α、β可以平行，也可以相交，选项C 不正确；若平面α内存在一条直线与平面β垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知β⊥α，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面β，故选项D 正确；故选D 。

人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷一(含解析)

人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷一(考试版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．复数21i -（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i--2．已知1e ,2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-；③123a e e =+，1233b e e =-A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =，2b =，60A =︒，则B 为（）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°4．如图，'''Rt O A B 是OAB 的斜二测直观图，其中''''O B B A ⊥，斜边''2O A =，则OAB 的面积是（）A ．22B ．2C ．1D ．225．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直6．已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且满足230OA OB OC ++=，则OA BC ⋅的值为（）A ．4-B ．1-C ．1D ．47．如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V -=，则球O 的体积是（）A ．32πB ．16πC ．323πD ．8π8．如图，在三棱锥S ABC -中，SAB △和SBC △均为正三角形，E 为棱SC 的中点，若3AC AB =，2AB BC ==，则异面直线AC 与BE 所成的角的余弦值为（）A ．32B ．12C ．22D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

高一数学必修2期中考试试卷

高一数学必修2期中考试试卷一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)-2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（） A ．2- B ．2 C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)- 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是（） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（） A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a α，b α⊂，则//a bC ．若//a α，//b α，则//a bD ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8. 20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（）A ．1B ．C ．D ． 29. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边主视图左视图A ．16 B ．13 C ．12D ．1 10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：（共5小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____. 13. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 光线从点（―1，3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（4，6），则反射光线所在直线方程的一般式是．15. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）16. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。

河南省高二下学期期中考试数学试题(解析版)

A ．无极大值点()g x C ．在上单调递增()g x ()0,∞+8．已知集合{N U x =∈后利用分类加法原理可求得结果.【详解】若报考三所高校的人数为3:1:1，则不同的报考方法有种.1333C A 18=若报考三所高校的人数为2:2:1，则不同的报考方法有种.233318C A =故这五名学生不同的报考方法共有36种. 故选：D 6．A【分析】由于，利用二项式定理将其展开，由于246被3整除，从而()202320232452461=-可求出结果.【详解】.()()()()20231202320232202312022202302023202320232452461C 2461C 2461C 2461=-=-+-+⋅⋅⋅+-因为246被3整除，所以被3除的余数为. 2023245132-+=故选：A 7．D【分析】由导函数的图象结合函数，可得出的单调性和极值可()f x '()()2g x f x x =-()g x 判断ACD ；的零点个数不能准确判断，可判断B. ()g x 【详解】如图，绘制函数的图象，2y x =可知当时，，所以函数在上单调递减. ()1,x ∈+∞()()20g x f x x ''=-<()g x ()1,+∞由图可知，,，00x ∃<()00g x '=当时，，单调递减， ()0,x x ∈-∞()()20g x f x x ''=-<()g x 当时，，单调递增，()0,1x x ∈()0g x '>()g x 故是函数的极大值点，的零点个数不能准确判断. 1x =()g x ()g x 故选：D.8．Ca b cÎ【分析】设，，种情况讨论求解即可.a b cÎ【详解】设，，a c所以，同为奇数或同为偶数.220x ax a +-=由，可知有两个非零实根， 222450a a a ∆=+=>220x ax a +-=故有3个零点，A 正确.()f x 由，得.因为， ()0f x '=22320x ax a +-=222412160a a a ∆=+=>所以恰有2个零点，且在这两个零点周围的符号发生改变， ()f x '()f x '所以有2个极值点，B 正确.()f x 因为是二次函数，所以不可能是增函数，C 不正确.()2232f x x ax a =+-'()f x '若为增函数，则恒成立，则，解得，D 正确. ()f x ()0f x '≥224120a a +≤0a =故选：ABD 11．ACD【分析】令，求得，可判定A 正确；化简二项式为0x =064a =，求得其展开式为，结()()3322432222(4)xx x x x ++-+=+481234644812(4)x x x x +=+++合选项B 、C 、D ，逐项判定，即可求解.【详解】由，()()3322212012122222x x x x a a x a x a x ++-+=++++ 令，可得，所以A 正确；0x =3302264a =⨯=又由()()()()333322222224322222222(2)(2)(4)x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+=++⋅-+=+-=+⎣⎦⎣⎦，根据二项展开式可得：，43034012412242304333481233(4)C 4()C 4()C 4()C 4()644812x x x x x x x x +=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+++⋅⋅由，可得，所以B 不正确； 2580,0,12a a a ===25812a a a ++=由，可得，所以C 正确；3690,0,0a a a ===3690a a a ++=由，可得，所以D 正确. 04812,48,12,641a a a a ====04812125a a a a +++=故选：ACD. 12．ABC【分析】先对不等式变形得，发现是与双变量之间的关系，然0m n k -+<k n m <-k ,n m。

2024-2025学年高二期中测试卷(直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、数列)(解析版)

高二数学上学期期中测试卷（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、数列）（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知直线l―(5―2m)y―3=0的倾斜角为π2，则m=（）A．12B．0C．32D．52【答案】D【分析】由倾斜角为π2得直线与x轴垂直，从而得系数关系.【详解】由题意直线l倾斜角为π2，则直线l⊥x轴，―(5―2m)y―3=0中，y的系数为0，即―(5―2m)=0，解得m=52．此时，直线l:x=.故选：D．2．（23-24高二上·北京·期中）圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x―3)2+y2=1的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】B【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆C1:x2+y2=4，则圆心C1(0,0)，半径r1=2，圆C2:(x―3)2+y2=1，则圆心C2(3,0),半径r2=1，所以两圆圆心距|C1C2|=3=r1+r2，所以两圆外切.故选：B.3．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,4)，则C的焦点坐标为（）A．(8,0)B．(4,0)C．(0,4)D．(0,8)【答案】B【分析】根据给定条件，求出p，进而求出焦点坐标.【详解】依题意，42=2p⋅1，解得p=8，所以抛物线C:y2=16x的焦点坐标为(4,0).故选：B4．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100，则a1+a13的值为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【分析】直接由等差数列的性质即可求解.【详解】由题意a1+a13=2a7=25×(5a7)=25×(a3+a5+a7+a9+a11)=40.故选：C.5．（23-24高二下·山西·期中）已知双曲线x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±x，则直线y=b a x―ab交抛物线y2=4x所得的弦长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】由双曲线的渐近线方程得出a=b，进而得出直线方程，再联立直线与抛物线方程，结合弦长公式及韦达定理求解即可．【详解】因为双曲线x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±x，所以a=b，所以y=ba x―ab=x―1，代入抛物线y2=4x得，x2―6x+1=0，设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1，所以|AB|===8，故选：D．6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，且点F(2,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A B C D．【答案】C【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出b，从而求出a，即可求出离心率．【详解】因为双曲线的右焦点为F(2,0)，则c=2，即a2+b2=c2=4，双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，不妨取bx+ay=0，又点F(2,0)到双曲线C的一条渐近线的距离为1，可得1==b，所以a==所以双曲线的离心率e=ca==故选：C．7．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A．161B．155C．141D．139【答案】B【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．【详解】令数列：1,7,15,27,45,71,107,⋯为数列{a n}，于是a7=107，依题意，数列{a n+1―a n}为：6,8,12,18,26,36,⋯，于是a7―a6=36数列{(a n+2―a n+1)―(a n+1―a n2,4,6,8,10,⋯是等差数列，(a8―a7)―(a7―a6)=12，则a8―a7=(a7―a6)+12=36+12=48，因此a8=a7+48=107+48=155，所以该数列的第8项为155.故选：B8．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知实数a1,a2,a3,a4,a5成等比数列，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，且{1,4}⊆{a1,a2,a3,a4,a5}，则a1的最小值为（）A．116B．164C．―12D．―8【答案】D【分析】结合题意，a1取最小值时为负数，且a2=4，利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意，要使a1最小，则a1，a3，a5都是负数，则a2和a4选择1和4，设等比数列{a n}的公比为q(q<0)，当a2=4时，a4=1，所以a4a2=q2=14，所以q=―12，所以a1=a2q=4―12=―8；当a2=1时，a4=4，所以a4a2=q2=4，所以q=―2，所以a1=a2q=1―2=―12；综上，a1的最小值为―8.故选：D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列{a n}中a10<0,a11>0，且a11>|a10|，则下列结论正确的有（）A．S n≥S10B．S9=S10C．S19>0D．S20>0【答案】AD【分析】设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的性质及求和的性质，可对四个选项逐一判断其正误，从而得到答案．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，由a10<0,a11>0，得d>0，对于A，数列{a n}是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则(S n)min=S10，即S n≥S10，A正确；对于B，S10―S9=a10<0，B错误；对于C，S19=19(a1+a19)2=19a10<0，C错误；对于D，由a11>|a10|=―a10，得a10+a11>0，S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)>0，D正确.故选：AD10．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为C的圆x2+y2―4x+6y+11=0与点A(0,―5)，则（）A．圆C的半径为2B．点A在圆C外C．点A在圆C内D．点A与圆C【答案】BD【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出|AC|，即可判断.【详解】因为x2+y2―4x+6y+11=0，即(x―2)2+(y+3)2=2，所以圆心为C(2,―3)，半径r=A错误；又|AC|==>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；因为|AC|=A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|―r=D正确.故选：BD11．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆C:x24+y23=1，F1、F2分别为它的左右焦点，A、B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．点P到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B．cos∠F1PF2的最小值为14C．若△F1F2P为直角三角形，则△F1F2P的面积为32D．PF1⋅PF2的范围为[2,3]【答案】ACD【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用P位于椭圆上顶点时∠F1PF2最大求解即可；对于C，利用P点坐标求△F1F2P的面积即可；对于D，设P(x,y),利用二次函数求PF1⋅PF2的范围即可.【详解】对A，易知a=2,b==1，则a+c=3,a―c=1，故A正确；对B，P位于椭圆上顶点时∠F1PF2最大，此时cos∠F1PF2最小，且F1P=PF2=2,F1F2=2故此时△F1F2P为等边三角形，cos∠F1PF2=12，故B错误；对C，若△F1F2P B知，∠F1PF2≤60∘，所以∠F1F2P=90∘或∠F2F1P=90∘，不妨设∠F1F2P=90∘，则此时P点横坐标x P=1，代入C:x24+y23=1，得|y P|=32，故△F1F2P的面积为：12×2×|y P|=32，故C正确；对D，F1(―1,0),F2(1,0),设P(x,y),则PF1⋅PF2=(―1―x)(1―x)+y2=x2+y2―1，由x24+y23=1得：y2=3―3x24，故PF1⋅PF2=14x2+2，∵―2≤x≤2,故PF1⋅PF2∈[2,3]，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．（23-24高二上·全国·期中）直线l1:mx+2y+1＝0，l2:x+(m―1)y―1=0，若l1∥l2，则m=.【答案】2【分析】根据两直线平行求解参数即可.【详解】解：因为直线l1:mx+2y+1＝0，l2:x+(m―1)y―1=0，l1∥l2，所以m(m―1)=2且两直线不重合，解得m=2或m=―1，当m=―1时两直线重合，舍去，所以m=2．故答案为：2．13．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若直线l:ax+by+1=0始终平分圆C:x2+y2―6x+2y+9=0，则(a―2)2+(b―2)2的最小值为．【答案】52【分析】先得到圆心坐标C(3,―1)，将其代入直线方程，得到3a―b+1=0，从而得到(a―2)2+(b―2)2=10a+52≥52，得到答案.【详解】C:x2+y2―6x+2y+9=0⇒(x―3)2+(y+1)2=1，故圆心C(3,―1)，由题意得C(3,―1)在l:ax+by+1=0上，代入得3a―b+1=0，则(a―2)2+(b―2)2=(a―2)2+(3a+1―2)2=a2―4a+4+9a2―6a+1=10a2―10a+5=10a―+52≥52，当且仅当a=12时，等号成立，故答案为：5214．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2,n=2k―1―a n,n=2k，(k∈N∗)，若S n为数列{a n}的前n项和，则S10=．【答案】26【分析】分奇偶讨论，结合等差等比定义以及求和公式求解即可.【详解】当n=2k―1,k∈N∗时，a n+2―a n=2，即数列{a n}的奇数项构成等差数列, 其首项为1，公差为2 ，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 9=5×1+5×42×2=25.当n =2k ,k ∈N ∗时,a n +2a n=―1，即数列{a n }的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为―1，则 a 2+a 4+a 6+⋯+a 10==1，所以 S 10=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 9)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 10)=26故答案为：26四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（23-24高二上·山东泰安·期中）已知△ABC 三个顶点分别为A (1,1)，B (―1,―3)，C (3,―1)．(1)求△ABC 的面积；(2)过△ABC 内一点P (1,0)有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．【答案】(1)6(2)x ―2y ―1=0【分析】（1）求出直线AB 的方程、点C 到直线AB 的距离、|AB |，由S △ABC =12|AB |⋅d 可得答案；（2）求出直线AC 的方程，设M (x 0,y 0)，则N (2―x 0,―y 0)，根据点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，可得x 0、y 0可得答案.【详解】（1）A (1,1)，B (―1,―3)，C (3,―1)，∴直线AB 的斜率k AB =2，∴直线AB 的方程为2x ―y ―1=0，∴点C 到直线AB 的距离d ==∵|AB |==∴S △ABC =12|AB |⋅d =12=6；（2）由题知，直线AB 的斜率k AC =―1，∴直线AC 的方程为x +y ―2=0，设M (x 0,y 0)，则N (2―x 0,―y 0)，∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴2x0―y0―1=02―x0―y0―2=0，解得x0=13y0=―13，∴直线l的斜率k l=0+1 31―13=12，∴直线l的方程为y―0=12(x―1)，即x―2y―1=0．16．（15分）（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=8m+5，圆C:(x―1)2+(y―2)2 =25．(1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．(2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，m=1【分析】（1）根据直线经过定点，而定点在圆内，即可求证，（2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）l:(2m+1)x+(m+1)y=8m+5变形为(2x+y―8)m+x+y―5=0，∴2x+y―8=0x+y―5=0，∴x=3，y=2，故直线恒过(3,2)．又(3―1)2+(2―2)2<25，∴(3,2)在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关．（2）设圆心到直线l的距离为d，则d2+=25，∴d==∴m=1±故m=117．（15分）（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+1}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.【答案】(1)证明见解析(2)S n=2n+1―n―2【分析】（1）由S n和a n的关系式消去S n得递推式a n=2a n―1+1，由此构造等比数列{a n+1}；（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.【详解】（1）当n=1时，a1+1=2a1，解得a1=1.因S n+n=2a n①，当n≥2时，S n―1+(n―1)=2a n―1②①-②得，a n+1=2a n―2a n―1，即a n=2a n―1+1，则a n+1=2(a n―1+1)，即a n+1a n―1+1=2，(n≥2)，又a1+1=2.所以{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）法一、由（1）可得a n+1=2⋅2n―1=2n，即a n=2n―1，S n=(21―1)+(22―1)+(23―1)+⋯+(2n―1)=(21+22+23+⋯+2n)―n=2―2n+11―2―n=2n+1―n―2法二、由（1）可知a n+1=2⋅2n―1=2n，即a n=2n―1，又由题知：S n+n=2a n(n∈N∗).代入可得S n=2a n―n=2n+1―n―2.18．（17分）（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P,Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为B，当△BPQ l的斜率k.【答案】(1)x24+y22=1(2)±1【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得a,b，进而得到椭圆方程；（2）设l:x=ty+1，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据S△BPQ=12|EB|⋅|y1―y2|，结合韦达定理可构造方程求得结果.【详解】（1）由题意得：F1(―c,0)，F2(c,0)，A(0,b)，∴AF1=(―c,―b)，AF2=(c,―b)，∴AF1⋅AF2=―c2+b2=0，即b2=c2，∴a2=b2+c2=2b2；当直线l过焦点且与x轴垂直时，l:x=±c，不妨令l:x=c，x=cy2b2=1得：y=±b2a，∴|PQ|=2b2a=2，由a2=2b22b2a=2得：ab=∴椭圆C的方程为：x24+y22=1.（2）由题意知：直线l斜率不为0，可设l:x=ty+1，ty+1y22=1得：(t2+2)y2+2ty―3=0，则Δ=4t2+12(t2+2)=16t2+24>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则y1+y2=―2tt2+2，y1y2=―3t2+2，∴|y1―y2|===又B(―2,0)，∴|EB|=1―(―2)，∴S△BPQ=12|EB|⋅|y1―y2|=32×=t=±1，∴直线l的斜率k=1t=±1.19．（17分）（20-21高二上·江苏苏州·期中）数列{a n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，记数列{b n}的前n项和为S n.已知a1=b1,a2=b2≠a1.（1）若b k=a m（m,k是大于2的正整数）求证：S k―1=(m―1)a1；（2）若b3=a i（i是某个确定的正整数），求证:数列{b n}中每个项都是数列{a n}的项.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由a1=b1,a2=b2≠a1可得：d=a1(q―1)，代入b k=a m整理得：b1q k―1=a1+(m―1)d，即q k―1=2―m+(m―1)q，再利用等比数列前n项和公式求出S k―1，化简即可求证；（2）利用b3=a1q2，a i=a1+(i―1)d=a1+(i―1)a1(q―1)，可得q2=1+(i―1)(q―1)，即q2―(i―1) q+i―2=0，可求得q=i―2，进而可判定i―2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1 (n∈N∗)，数列{a n}中的某一项a m=a1+(m―1)a1(q―1)(m∈N∗)，只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即存在方程a1q n―1=a1+ (m―1)a1(q―1)中m有正整数解即可，即可求证.【详解】（1）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1,a2=b2≠a1，即a1+d=b1⋅q，所以d=a1(q―1)，由b k=a m得：b1q k―1=a1+(m―1)d，所以b1q k―1=a1+(m―1)a1(q―1)，即q k―1=1+(m―1)(q―1)=2―m+(m―1)q，=(m―1)a1所以S k―1==a1[m―1―(m―1)q]q（2）b3=a1q2，a i=a1+(i―1)d=a1+(i―1)a1(q―1)，由b3=a i得q2=1+(i―1)(q―1)，即q2―(i―1)q+i―2=0，解得：q=1或q=i―2，因为i是某个确定的正整数，所以i―2是整数，即q是整数，设数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1(n∈N∗)，数列{a n}中的某一项a m=a1+(m―1)a1(q―1)(m∈N∗)，现在只要证明存在正整数m，使得b n=a m，即存在方程a1q n―1=a1 +(m―1)a1(q―1)中m有正整数解即可，m―1=q n―1―1=1+q+q2+⋯+q n―2，所以m=2+q+q2+⋯+q n―2，q―1若i=1，则q=―1，那么b2n―1=b1=a1，b2n=b2=a2当i≥3时，因为a1=b1,a2=b2≠a1，只要考虑n≥3的情况，因为b3=a i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b n}中任意一项为b n=a1q n―1(n∈N∗)与数列{a n}的第2+q+q2+⋯+q n―2项相等，从而结论成立.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的通项公式和数列求和问题，解题的关键点是由条件得出d=a1 (q―1)，利用这个关系将b k=a m化简整理可得q k―1=2―m+(m―1)q，即可对S k―1化简，第二问关键是得出q=i―2是整数.。

新课标人教版B版高一数学必修2期中期末试卷(含答案)(2套)

普通高中课程标准实验教科书——数学第二册[人教版]高中学生学科素质训练新课标高一数学同步期中测试本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥 2．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（） A ．πQ B ．2πQ C ． 3πQ D ． 4πQ3．已知高与底面的直径之比为2：1的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500π，则球的体积为（）A ．π53500B ．π5310000C ．π5320000 D ．π5325004．到空间四点距离相等的平面的个数为（）A ．4B ．7C ．4或7D ．7或无穷多 5．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于（） A ．10（5－2）米 B ．（6－15）米C ．（9－45）米D ．52米6．已知ABCD 是空间四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则（）A ．1＜MN ＜5B ．2＜MN ＜10C ．1≤MN ≤5D ．2＜MN ＜57．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角（）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定8．已知平面α ⊥平面β ，m 是α 内一条直线，n 是β 内一条直线，且m ⊥n ．那么，甲：m ⊥β ；乙：n ⊥α ；丙：m ⊥β 或n ⊥α ；丁：m ⊥β 且n ⊥α ．这四个结论中，不正确的三个是（）A ．甲、乙、丙B ．甲、乙、丁9．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组10．棱台的两底面积分别为S 上、S 下、平行于底面的戴面把棱台的高自上而下分为两段之比为m ∶n 则截面面S 0为（）A ．nm mS nS ++下上B ．n m S m S n ++下上C ．(nm mS nS ++下上)2D ．(nm S m S n ++下上)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为．12．α 、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m ⊥n （2）α ⊥β （3）n ⊥β （4）m ⊥α 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________．13．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= _____．14．还原成正方体后，其中两个完全一样的是．（1）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中被截去一部分，其中EF ∥A 1D 1．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？若FH ∥EG ，但FH<EG ，截取的几何体是什么?① ②③ ⑤ ⑥ ④④ ⑥ ①⑤ ③②① ⑤ ⑥ ④③ ②④ ② ⑥ ③ ①⑤16．（12分）有一正三棱锥和一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合．①说明组合体是什么样的几何体？②证明你的结论．17．（12分）正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm，9cm，11cm，求它的侧面积．18．（12分）三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S-BCED的体积．19．（14分）如图，在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点（1）证明：AD D F ⊥1；（2）求AE D F 与1所成的角；（3）证明：面面AED A FD ⊥11．20．（14分）如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2 BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA．高一新数学期中测试题参考答案一、DBDDA ADBCD．二、11a3；12．①③④⇒②；13．7∶5；14．②③；三、15．五棱柱，三棱柱，三棱台。

高一年级数学必修2期中测试题

高一数学必修2测试题一、选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

D.2、下列命题中错误的是：（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（）A. 300B.450C. 600D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）A.3a π;B.2a π; C.a π2; D.a π3.A BD A ’ B ’D ’ C C ’9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A. 2cm;B.cm 34; C.4cm; D.8cm 。

10、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).11、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定. 12、圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:16)5()2(22=-+-y x 的位置关系是（）A 、外离B 相交C 内切D 外切二、填空题（5×5=25）13、底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。

人教A版高中必修二试题期中考试数学试题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作期中考试数学试题一、选择题1．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为（）A ．()0,1B ．()0,1-C ．()1,0D ．()1,0-2．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＝ 2B ． x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝43．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为A.± 2B.±2C.±2 2D.±44．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ． ,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥5．已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，直线l 被圆C 截得的弦长为23，则a=( )A ．2B ．2-2C ．2-1D ．2+1 6．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( ) A ．在圆上 B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能7．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =则下列结论正确的是A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝19．圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是A ．-3B ．3C ．22D ．810．已知矩形ABCD ，1AB =，BC x =，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( )A ．任意)2,0(∈x ，都存在某个位置，使得AB CD ⊥B ．任意)2,0(∈x ，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥C ．任意x>1，都存在某个位置，使得AB CD ⊥D ．任意x>1，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥二、填空题11．在空间直角坐标系中，点A （1，－2,3）关于平面xoz 的对称点为B ，关于x 轴的对称点为C ，则B 、C 间的距离为___________________12．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是__________________________________________13．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为14．在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为23的正方形，四条侧棱长都为3，则侧棱与底面所成角的余弦值为．15．直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.三、解答题16．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0．试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1．17．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 最短时，写出直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.18．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．19．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点.证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .20.21．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1,2)且与圆O 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆O 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(3)圆O 上有一动点00(,)M x y ，00(2,)ON x y =，若向量122OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．参考答案一、选择题1-5 CBBDC, 6-10 BDAAC二、填空题 11.6 12.1)21()1(22=-+-y x 13.43 14.36 15.2 三、解答题16.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7. ----------4分 (2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·m －8×2＝0，8×(－1)－n ·m ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2. 即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.-----------8分(3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n 8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.------------12分17.(1) 已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.-----------------------------------------4分(2) 当弦AB 最短时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0-----------8分 (3) 当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为34.---------------------------------12分18．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2(a －1)2＋(b －1)2＝r 22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.-----------------------4分(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.-----------------------4分(3)方法一设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.------------------12分方法二由A (1,12)，B (7,10)，得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.19.证明 (1)由四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .---------------------------6分(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)，知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .------------------------------------12分20.证明：（1）设AC 与BD 交于O ，连接PO ，依题意知，PO 为△BDD 1的中位线，PO ∥BD 1，PO ⊂面PAC,BD 1⊄面PAC,∴BD 1∥面PAC -----------4分(2)在正方形ABCD 中，AC ⊥BD,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥面ABCDAC ⊂面ABCD ，∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD=B ，∴AC ⊥面BDD 1B 1而AC ⊂面PAC,∴面PAC ⊥面BDD 1B 1-----------9分（3）由（2）知，∠CPO 即为PC 与面BDD 1B 1所成的角∵AB=AD=1，∴22=CO 又知DP=1，∴2=PC在Rt △COP 中，sin ∠CPO 21==PC CO ∴∠CPO=300,即PC 与面BDD 1B 1所成的角为300---------------13分21.解 (1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.---------------------------5分(2)当直线m 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，m 与圆的两个交点坐标为(1，3)和 (1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线m 不垂直于x 轴时，设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线m 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.---------------------------10分(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(2x 0，y 0)，∵122OQ OM ON =+， ∴00000015(,)(2,2)(,)(3,)22x y x y x y x y =+=⇒0012,35x x y y == .∵x 20＋y 20＝4，∴2212()()435x y +=，即2213625x y +=. ∴Q 点的轨迹方程是2213625x y +=，--------------------------------------------14分。

【典型题】高中必修二数学下期中试卷附答案(1)

15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130
B．140
C．150
D．160
11．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的
体积（单位： cm3 ）是（）
A． 4 3
B． 10 3 3
C． 2 3
D． 8 3 3
12．已知平面且 l ， M 是平面内一点， m ， n 是异于 l 且不重合的两条
③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选 A．
8．C
解析：C 【解析】【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积．【详解】解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
4．A
解析：A 【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程 x2 y2 2x 2 y a 1 0 ，即 (x 1)2 ( y 1)2 2 a ，
则圆心坐标为 (1,1) ，半径 r 1 a ，
11 2
又由圆心到直线的距离为 d
2 是 SA， SC 的中点，现将 SCD 沿 CD 翻折到 PCD 位置，使 PB 2 3
（1）证明： PD 面 ABCD ；（2）求二面角 E BD C 的平面角的正切值；（3）求 AB 与平面 BDE 所成的角的正弦值. 23．在四棱锥 S ABCD 中，平面 SAB 平面 ABCD ，平面 SAD 平面 ABCD .
（Ⅰ）证明： SA 平面 ABCD ；（Ⅱ）若底面 ABCD 为矩形， SA 2AD 3AB ， F 为 SC 的中点， BE 2 BC ，求直