北师大版必修三 第一章 统计本章知识体系 学案
数学北师大版高中必修3北师大版高中数学必修3第一章《统计》小结与复习课课件
各层中抽 样时采用 前两种方 式
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分析样本，估计总体
几个公式
样本数据： 1 平均数：
x ，x2， ，xn
2
x1 x 2 x n x n
2 2
12
( x1 x ) ( xn x ) 标准差： s s n
分析样本的分布情况可用 样本的频率分布表 样本的频率分布直方图
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百 分比.。 分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图 的一般步骤解题。
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解：（１）样本频率分布表如下：
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计 频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1
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例题
某校高中三年级的295名学生已经 编号为1，2，……，295，为了了 解学生的学习情况，要按1：5的比 例抽取一个样本，用系统抽样的方 法进行抽取，并写出过程。
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[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段， 每段 抽取一人，关键是确定第1段的编号。 解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为 295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5 人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编 号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为 291～295的5名学生。采用简单随机抽样的方法， 从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为 k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为 k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样 本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……， 288，293。
2021学年高中数学第一章统计案例2.2_2.4学案北师大版选修1_2
2.2 独立性检验2.3 独立性检验的根本思想2.4 独立性检验的应用学习目标χ2的意义和独立性检验的根本思想．知识点一2×2列联表思考某教育行政部门大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：体育文娱总计男生210230440女生60290350总计270520790如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系〞？答案可通过表格与图形进展直观分析，也可通过统计分析定量判断．梳理设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格.BAB1B2总计A1 a b a＋bA2 c d c＋d总计a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．知识点二统计量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)知识点三独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．1．列联表中的数据是两个分类变量的频数．( √)2．事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( ×)3．χ2是判断事件A与B是否相关的统计量．( √)类型一2×2列联表及其应用例1 (1)两个变量X，Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：YXy1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d假设两个变量X，Y独立，那么以下结论：①ad≈bc；②aa＋b≈cc＋d；③c＋da＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；④c＋aa＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；⑤(a＋b＋c＋d)(ad－bc)(a＋b)(b＋d)(a＋c)(c＋d)≈0.共中正确的序号是________．(2)甲、乙两个班级进展一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如以下联表：成绩优秀不优秀总计用频率估计的方法可判断成绩与班级________关．(填“有〞或“无〞) 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 (1)①②⑤ (2)无 解析 (1)因为变量X ，Y 独立， 所以aa ＋b ＋c ＋d ≈a ＋c a ＋b ＋c ＋d ×a ＋ba ＋b ＋c ＋d，化简得ad ≈bc ，故①⑤正确；②式化简得ad ≈bc ，故②正确． (2)根据2×2列联表得频率表如下：由于1790×12＝17180，而19＝20180；7390×12＝73180，而718＝70180； 1790×12＝17180，而790＝14180； 7390×12＝73180，而1945＝76180. 这些频率之间相差不大，可以认为成绩是否优秀与班级没有关系．反思与感悟 (1)2×2列联表X ，Y 对应的数据是从总体中抽取样本的统计数据，所以即使X ，Y 独立，ad －bc 一般也不恰好等于零．(2)2×2列联表中，|ad －bc |越小，说明“X ，Y 独立〞正确的可能性越大；|ad －bc |越大，说明“X ，Y 有关联〞(即X ，Y 不独立)正确的可能性越大．跟踪训练1 在列联表中，相差越大，两个变量之间的关系越强的两个比值是( ) A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 A 解析aa ＋b 和cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个变量之间的关系越强．类型二 利用χ2公式判断两变量的关系例2 为研究时下的“韩剧热〞，对某班45位同学的爸爸、妈妈进展了问卷调查，结果如下表所示.喜欢韩剧 不喜欢韩剧总计 妈妈 31 13 44 爸爸 15 21 36 总计463480试问：是否有99%以上的把握认为“喜欢韩剧和性别有关系〞？ 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 由表中的数据，得χ2＝80×(31×21－15×13)244×36×46×34≈6.715.因为6.715>6.635，所以有99%以上的把握认为喜欢韩剧和性别有关系． 反思与感悟 解独立性检验问题的根本步骤跟踪训练2 某研究小组调查了在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人．女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船．(1)根据以上数据建立2×2列联表； (2)判断晕船是否与性别有关系． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下：晕船情况性别晕船 不晕船 总计 女 10 24 34 男 12 25 37 总计224971(2)χ2＝71×(10×25－12×24)222×49×37×34≈0.08.因为0.08<2.706，所以我们没有理由说晕船与性别有关.1．变量X 和Y 的列联表如下，那么( )Y X y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱 B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 C解析 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )，假设(ad －bc )2越大，那么χ2越大，说明X 与Y 的关系越强．2．如果有95%的把握说事件A 与B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．χ2B ．χ2C ．χ2D ．χ2考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 A解析 把χ2的值与临界值比，从而确定A 与B 有关的可信程度． 当χ2>6.635时，有99%的把握认为A 与B 有关系； 当χ2>3.841时，有95%的把握认为A 与B 有关系； 当χ2>2.706时，有90%的握认为A 与B 有关系；当χ2≤2.706时，就没有充分的证据认为A 与B 有关系．应选A.3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系〞的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，那么以下说法中正确的选项是( ) A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的思想 答案 D解析 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中确实定性是存在差异的． 4．为了判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，那么认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法解析 由χ2公式计算得χ2≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为0.05.5．某省进展高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进展了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示：赞同 不赞同 总计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计341650(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关〞． 由公式，得χ2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963<6.635，所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．假设χ2值较大，那么拒绝假设，认为两个事件有关． 2．独立性检验的步骤 ①画列联表． ②计算χ2.③将得到的χ2值和临界值比拟，下结论．一、选择题1．下面是一个2×2列联表：那么表中a，b的值分别为( )A．94,96 B．52,50C．47,46 D．54,52考点分类变量与列联表题点求列联表中的数据答案 C解析a＝68－21＝47，b＝21＋25＝46.2．以下关于独立性检验的说法中，错误的选项是( )A．独立性检验依据小概率原理B．独立性检验得到的结论一定正确C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D．独立性检验不是判断两个分类变量是否相关的唯一方法考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的思想答案 B解析独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，也可能无关，应选B.3．下面关于χ2的说法正确的选项是( )A．χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关B．χ2的值越大，两个事件的相关性就越大C．χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关D．χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)考点独立性检验及其根本思想题点独立检验的思想答案 B解析χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关．选项D中公式错误，分子上少了平方．应选B.4．利用独立性检验来考察两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系〞的可信程度．如果χ2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系〞的百分比为( )A.25% B．75%C．2.5% D．97.5%考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的方法答案 D解析由表中数据可知，当χ2≥5.024，P(χ2≥k)＝97.5%，应选D.5．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，以下说法中：①假设统计量χ2>6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，那么某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；②假设从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，那么在100个吸烟者中必有99个人患有肺病；③假设从统计中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误．正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3考点独立性检验及其根本思想题点独立性检验的思想答案 B解析统计量χ2仅仅说明一个统计推断，并不能说明个别案例或某些情况，从而③正确，应选B.6．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如以下联表：那么统计量χ2的值约为( )考点 分类变量与列联表 题点 答案 A解析 根据列联表中的数据，可得统计量 χ2＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.应选A.7．假设有两个变量x 和y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：对同一样本，以下数据能说明x 与y 有关的可能性最大的一组是( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝3，b ＝2，c ＝4，d ＝5 考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 D解析 对于同一样本，|ad －bc |越小，说明x 与y 相关性越弱．而|ad －bc |越大，说明x 与y 相关性越强，通过计算知，对于选项A ，B ，C 都有|ad －bc |＝|10－12|＝2.对于选项D ，有|ad －bc |＝|15－8|＝7.显然7>2，应选D. 二、填空题8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________．(填“有关的〞或“无关的〞) 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 有关的解析 χ2＝27.63>6.635，有99%以上的把握认为这两个量是有关的．9．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：根据表中数据，那么以下说法正确的选项是________． ①性别与知道想学专业有关； ②性别与知道想学专业无关； ③女生比男生更易知道所学专业． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 ②解析 χ2＝304×(63×82－42×117)2180×124×105×199≈0.041，因为值非常小，所以性别与知道想学专业无关．10．有两个变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：那么正整数a 的最小值为________时，有90%以上的把握认为“x 与y 之间有关系〞． 考点 独立性检验及其根本思想 题点 独立性检验的方法 答案 1解析 由题意χ2＝65[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]215×50×45×20＝13(13a －60)290×60>2.706，易得a ＝1满足题意． 三、解答题11．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观〞景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：临界值有：(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观〞景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观〞景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得χ2≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观〞景点与年龄有关．(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，从中任选2人的根本领件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为815.四、探究与拓展12．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进展调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如以下联表：假设工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，那么有______的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关． 答案 95%解析 设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙的人〞为事件A ，由得P (A )＝q ＋35100＝35， 所以p ＝25，q ＝25，a ＝40，b ＝60.χ2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4.167>3.841.故有95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．13．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表： 甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异〞？解 (1)甲厂抽查的产品中有86＋182＋92＝360(件)优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有85＋159＋76＝320(件)优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)2×2列联表如下：χ2＝1000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.353>6.635，所以能够在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异．〞。
高中必修三数学统计教案
高中必修三数学统计教案
主题：统计学概述
目标：学生能够了解统计学的基本概念和应用，并掌握一些基本的统计方法。
一、引入
通过实例引入统计学的概念，让学生了解统计学在日常生活中的重要性。
二、概念介绍
1.统计学的定义和作用：统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的一门学科，是现代科学和社会科学中不可或缺的工具。
2.统计学的基本概念：总体、样本、抽样、数据等。
三、常用统计方法
1.描述统计方法：平均数、中位数、众数等。
2.概率统计方法：频率分布、概率分布、期望值等。
3.推断统计方法：参数估计、假设检验等。
四、练习
1.实例分析：通过实例让学生掌握如何应用统计方法进行数据分析。
2.练习题：让学生做一些实践练习，巩固所学的统计方法。
五、总结
总结本节课的内容，强调统计学的重要性，并展望后续学习内容。
六、作业
布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
七、扩展
介绍一些统计学在现代科学研究和社会应用中的具体案例，激发学生对统计学的兴趣和好奇心。
注：此为一份简单的高中必修三数学统计教案范本，具体教学内容和方法可根据教学需求进行调整和改进。
北师大版高中数学必修三第一章统计§1.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章统计§1从普查到抽样课时目标 1.了解普查与抽样调查的概念.2.明确普查与抽样调查的优缺点．1．统计的概念统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科．2．普查(1)定义：普查是指一个________或一个________专门组织的__________大规模的全面调查，目的是为了详细地了解________重要的国情、国力．(2)普查的主要特点：①所取得的资料更加全面、________；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的________．(3)普查的对象________时，普查无疑是一项非常好的调查方式．3．抽样调查(1)定义：通常情况下，从调查对象中______________抽取一部分，进行__________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为________，被抽取的一部分称为________．(2)抽样调查最突出的优点①____________.②______________________.一、选择题1．为了了解某种花的发芽天数，种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是()A．200个表示发芽天数的数值B．200个球根C．无数个球根发芽天数的数值集合D．无法确定2．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是()A．40 B．50C．120 D．1503．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是1004．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是()A．某城市B．某城市的所有家庭的收入C．某城市的所有人口D．某城市的工薪阶层5．对于下列调查：①测定海洋中微生物的含量；②某种灯泡使用寿命的测定；③入学报考者的学历调查；④全国人口普查．其中不属于样本调查的是()A．①②B．③④C．②③D．①④6．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是()A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解初三年级某班的每个学生周末(星期六)晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况D．为了考察一片试验田某种水稻的穗长情况题号123456答案二、填空题7．抽样调查一定要保证________原则，尽可能地避免人为因素的干扰，并且要保证每个个体以相同的可能性被抽取到．8．(1)对某班学生视力作一个调查；(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查．对于上述3个实际问题所应选用的调查方法分别为__________、____________、____________.9．某公司新上市一款MP4，为了调查产品在用户中受欢迎的情况，采用什么形式调查为好____________(填“普查”或“抽样调查”)．三、解答题10．儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了了解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的调查方案．(该地区共10个县)11．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是2名同学设计的方案：学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．请你分析上述2名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？能力提升12．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是()A．总体是指这箱2 500件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的50件包装食品D．样本容量是5013．某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象．校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？普查与抽样调查是我们调查问题常用的方法，它们各有优缺点．普查一般适用于：总体容量不大，要获取详实、系统和全面的信息；而抽样调查一般适用于：大批量检验，且检验对检验对象具有破坏性．答案知识梳理2．(1)国家地区一次性某项(2)①系统②数量(3)很少 3.(1)按照一定的方法调查或观测总体样本(2)①迅速、及时②节约人力、物力和财力作业设计1．A2．C[由于样本容量即样本的个数，抽取的样本的个数为40×3＝120.]3．D[此问题研究的是运动员的年龄情况，不是运动员，故A、B、C错，故选D.] 4．B 5.B 6.B7．随机性8．普查抽样调查抽样调查9．抽样调查10．解可采用如下抽样：先从该地区10个县中随机抽取4个县，再在随机抽取的各县中随机抽取5个乡(镇)，在随机抽取的乡(镇)中再随机抽取5个行政村，在被抽中的行政村中各抽取24户有3岁以下儿童的住户，在样本户的3岁以下儿童中随机抽取1名儿童．当抽样村符合要求的家庭不足24户时，将其全部调查，不够的户在邻村补齐(邻村是指距离最近的非抽样村)．(根据实际情况，也可有其他合理的抽样)11．解学生甲的方法得到的样本不能够反映不上网的居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量；学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到平均每户居民的月用水量．12．D[质检部门关心的是食品的质量，所以质检部门检查的也是食品的质量，得到的数据也是食品的质量．因此，无论总体还是个体还是样本都是指食品的质量，故A、B、C错．]13．解由于学生的身高会随着年龄的增长而增高，校医务室想了解全校高中学生的身高情况，在抽样时应当关注高中各年级学生的身高，并且还要分性别进行抽查．如果只抽取高一的学生，结果一定是片面的．这个问题涉及的调查对象的总体是某校全体高中学生的身高，其中准备抽取的50名学生的身高是样本．。
高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修23
高中数学第一章计数原理整合学案北师大版选修2-3知识建构综合应用专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法“两个原理”是两种重要的计数方法，它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据，在排列、组合应用题中，基本上全是用加法和乘法连结了排列数与组合数的计算.所以正确地使用加法和乘法原理是解决排列、组合应用题的基础.一、树形图法【例1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试写出他们四个人所有不同的排法.解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类：由此可写出所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.所以他们四个人共有9种不同的排法.二、依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时，可以用依次排序法.依次排序法就是把数字或字母分为前后，首先排前面的数字或字母再依次排后面的数字或字母，将最后的数字或字母排完，则排列结束，这种方法多用于数字问题.【例2】用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项；（2）求这个数列共有多少项；（3）若a n=341,求n.解：(1）用1、2、3、4四个数字排成三位数，前11项由小到大的顺序为111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个数，每一个位置都有4种排法，根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.（3）比a n=341小的数有两类，分别是：①1××2××②31×32×33×根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44项，所以n=44+1=45.三、转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题，但是在实际生活中常会遇到这样的问题：车辆牌照的号码、电话号码、电报号码等等，都是一些重复排列.事实上，解决这些问题借助于“两个原理”非常容易办到.【例3】（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能？解：（1）因为每个同学都可以分配到任何一个小组中去，有3种分法，所以课外小组的分配共有N=3×3×3×3=34=81种方法.（2）因为每一项冠军都可被任何一个同学获得，有4种可能，所以冠军获得者共有的可能总数为N=4×4×4=43=64种.从此例可以看出，在解重复排列的问题时，首先应把题意分析清楚，判断出应以哪一个为主来考虑分配，也就是说应该正确判断出哪一个应作为底数n，哪一个应作为指数m，这是解题的关键所在.专题二排列组合解题方法一、直接法（元素、位置优先考虑法）1.特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.2.特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置. 【例1】有两排坐位，前排11个，后排12个，现安排2人就座，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2个人不左右相邻，那么不同的排法的种数是（）.346 C解析：法一：因为前排中间3个坐位不能坐，所以实际可坐的坐位前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18C112A22；（2）两人均在后排，共A212种，排除两相邻的情况A22A111，即A212-A22A111；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右时为C14C14A22；②两人同左或同右时为2（A24-A2213A）.综上，不同的排法种数为C18C112A22+（A212-A22A111）+C14C14A22+2（A24-A22A13）=346种.法二：一共可坐的位置有20个，2个人就座方法数为A220，排除两人左右相邻的情况，可把能坐的20个坐位排成连续一行（B与C相接），任两个坐位看成一个整体，即相邻的坐法有A1 19A22，但这其中包括B、C相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上2A22.∴不同的排法种数是A2 20-A119·A22+2A22=346种.答案：B绿色通道:本题综合运用了特殊元素分析法与特殊位置分析法、间接法以及分类讨论的思想方法，若考虑不周，很难做对，是难度较大的创新题..二、插空法不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点，首先排定某些元素，再用余下的元素进行插空，这样处理有关的排列组合问题，往往能收到111良好的解题效果.【例2】马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？解：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空档里.6盏亮着的灯排在一起，中间空档有5个，从5个空档中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有C35=10种.三、捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”.【例3】用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数，共有多少个？解：先将1与2，3与4，5与6捆绑起来分别看作一个元素再与7，8排列， 所以共有A 33A 24A 22A 22A 22=576种.四、间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法.带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法（排除法），即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数.【例4】从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ （1）A 、B 、C 三人至少一人入选； （2）A 、B 、C 三人至多二人入选. （1）解法一：（直接法） 可分三类，①A、B 、C 三人只选一人，有13C ·C 49=378种，②A、B 、C 三人中选择二人，则还须从其余9人中选3人，有C 23·C 39=252种，③A、B 、C 三人都入选则有C 33·C 29=36种， ∴共有378+252+36=666种. 解法二：（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三个都不选的情况，共有C 512-C 59=666种. （2）解法一（直接法）可分三类，由（1）可得共有C 59+13C ·C 49+C 23·C 39=756种. 解法二（间接法）先从12人中任选5人，再减去A 、B 、C 三人均入选的情况，即 C 512-C 29=756种.绿色通道:从以上解题过程可以看出：解决排列组合题目时，要从基本概念入手，正面分析问题、解决问题，直接法为常用方法；但从正面入手，情况较为复杂，不易解决时，可以从问题的反面入手，将其转化为一个简单的等价问题来解决，往往收到意想不到的效果.. 五、隔板法这类问题的特征是：（1）被分的元素没有区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素.具备这些条件时就可以用公式：将n 个相同元素分成m 份（n≥m)时，有C 11--m n 种分配方法.【例5】某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？解：因为名额没有区别，因此，可以在11个名额所产生的10个空隙中插入8个板，即将这11个名额分成9份，有C 810种分配方法.类似情况还有：将20个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子，每个盒子里的小球数不小于盒子的编号，共有多少种放法？可首先分别在盒子中依次放入0，1，2，3个小球，问题即转化为14个相同元素分成4份的问题，即有C 313种放法. 专题三二项式系数的求法 一、通项公式法通项公式T r+1=C rn a n-r ·b r (r=0,1,2,…,n)仅表示（a+b)n的展开式中的第r+1项. 特别地，对于(a-b)n，其通项公式是 T r+1=(-1)rC rn ·a n-r ·b r(r=0,1,2,…,n). 【例1】求(x 2+24x-4)5的展开式中含x 4的项的系数. 解：∵(x 2+24x-4)5的展开式的通项为 C r5(x 2+24x )5-r (-4)r, 而(x 2+24x)5-r 的二项展开式的通项为C kr -5x 2(5-r-k)(24x)k ,∴T r+1=C rr k C -55x 2(5-r-k)(24x)k ·(-4)r=(-4)rC r 5C kr -54k x10-2r-4k.∵0≤r≤5,0≤k≤5-r,(r,k∈N ), 令10-2r-4k=4,可得k=0,1时，r=3,1.∴含x 4的项的系数为（-4)3C 35C 0240+(-4)1C 15C 1441=-960.二、数列求和法【例2】（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x 2的系数为___________. 解析：由等比数列求和公式得 原式=xx x 6)1()1(-+-.所以原式中x 3的系数是（x-1)6的展开式中x 4的系数，即26C ·(-1)2=15.答案：15三、利用乘法分配律【例3】（x+2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为_____________.解析：要得到含x 10的项，必须是(x+2)10的展开式中的项C 210x 822与第二个因式中的x 2作积或者是（x+2)10的展开式中的项C 010x 1020与-1作积,故x 10的系数为4C 210-1=179.答案：179四、特殊值法（赋值法）【例4】若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（）.-1C.解析：令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4;令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4,两式相乘，得(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+3)4·(2-3)4=1.答案：A五、转化法【例5】在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为（）.240 C解析：由于求的是x的系数，故与x2项无关，从而原题可以转化为求(3x+2)5的展开式中x 的系数.（3x)·24=240x，故选B.易求得，T5=C45答案：B科海观潮排列组合的由来排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书.所谓“四象”就是每次取两个爻（ｙáｏ)的排列，“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾记载与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题.排列的历史可以上溯到殷周之际的占卜术，较完整的文字记载则见于《易经》.“易”含变化的意思，书中称：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”“两仪”可=4种不同的排列，称为“四象”，用两种基本符号阳爻和阴爻表示，每次取两个，就有22即太阳、少阴、少阳、太阴；每次取三个，共有23=8种不同的排列，称为“八卦”，即乾（qián）、兑（duì)、离（lí)、震（znèn)、巽（xùn)、坎（kǎn)、艮（gèn)、坤（kūn)；若每次取六个，则可得26=64种不同的排列，叫做“六十四卦”.这是一种特殊的排列问题，即从n种事物中每次取r种，而且允许重复的排列数，答案应是n r.但是古代没有指数概念，对于很大的r来说，求出答数并非易事.唐代张遂（公元683年—公元727年）、宋代沈括（公元1031年—公元1095年）都曾计算过棋局总数，即围棋盘上所有可能的不同布局的总数，这相当于从事物（黑子、白子、空位）中每次取出361个（围棋盘的格点数）的排列数，与《易经》中的卦象数目是同一类数学问题.沈括在《梦溪笔谈》中详细地记述了计算棋局总数的理论根据和过程.古代的棋盘共有17路289个点，后来发展到19路361个点.唐朝僧人一行（俗名张遂）曾计算过一切可能摆出的棋局总数.后来，11世纪北宋时期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了围棋布局总数问题.他利用一些排列、组合的办法对一行的计算作了分析.沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局总数可达到10 00052的数量级.。
数学北师大版必修3教案： 第一章统计1.1第1课时 含解
2.2 分层抽样与系统抽样整体设计教学分析教学通过实例介绍了分层抽样与系统抽样及其步骤.分层抽样是高考的热点,其抽样过程中,在每一层常用简单随机抽样和系统抽样,因此建议改变教材的顺序,先学习系统抽样,再学习分层抽样.值得注意的是在教学过程中，教师适当介绍当nN 不是整数时，应如何实施系统抽样. 三维目标1.理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣.2.理解分层抽样，掌握其实施步骤，培养学生发现问题和解决问题的能力.3.掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力，让学生领会到客观世界的普遍联系性.重点难点教学重点：实施系统抽样的步骤,分层抽样及其步骤.教学难点：当nN 不是整数，如何实施系统抽样,确定各层的入样个体数目,以及根据实际情况选择正确的抽样方法.课时安排2课时教学过程第1课时 系统抽样导入新课思路1.上一节我们学习了简单随机抽样，那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样.但是如果总体中的个体较多时，怎样抽取样本呢？教师点出课题：系统抽样.思路2.某中学有5 000名学生，打算抽取200名学生，调查他们对奥运会的看法，采用简单随机抽样时，无论是抽签法还是随机数法，实施过程很复杂，需要大量的人力和物力，那么有没有更为方便可行的抽样方法呢？这就是今天我们要学习的内容：系统抽样.推进新课新知探究提出问题(1)某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？(2)请归纳系统抽样的定义和步骤.(3)系统抽样有什么特点？讨论结果：(1)可以将这500名学生随机编号1—500，分成50组，每组10人，第1组是1—10，第二组11—20，依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2，然后每隔10个号抽取一个，得到2，12，22， (492)这样就得到一个容量为50的样本.这种抽样方法称为系统抽样.(2)一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫作系统抽样.其步骤是：1°采用随机抽样的方法将总体中的N 个个体编号;2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k ∈N,l≤k);3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(l ∈N,l≤k);4°按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l+k)，再加上k 得到第3个个体编号(l+2k)，这样继续下去，直到获取整个样本.说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.(3)系统抽样的特点是：1°当总体容量N 较大时，采用系统抽样.2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k ＝［nN ］. 3°预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.应用示例思路1例1 某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件,要求产品检验员每天抽取50件零件,检查其质量状况.假设一天的生产时间中生产机器零件的件数是均匀的,请你设计一个调查方案.解：我们可以采用系统抽样,按照下面的步骤设计方案.第一步 按生产时间将一天分为50个时间段,也就是说,每个时间段大约生产5010000 =200件产品.这时,抽样距就是200.第二步 将一天中生产出的机器零件按生产时间进行顺序编号.比如,第一个生产出的零件就是0号,第二个生产出的零件就是1号等.第三步 从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法,抽取一件产品,比如是k 号零件.第四步 顺序地抽取编号分别为下面数字的零件：k+200,k+400,k+600,…,k+9 800.这样总共就抽取了50个样本.点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样，它是公平的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样.变式训练1.下列抽样不是系统抽样的是( )A.从标有1—15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D.电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈 分析：C 中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所以不是系统抽样.答案：C2.某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号. 解：抽样过程是：(1)按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的5名学生，依次下去，59组是编号为291—295的5名学生；(2)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l≤5)；(3)按照一定的规则抽取样本,抽取的学生编号为l+5k(k=0,1,2,…，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，…，288，293.3.为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，应采用什么抽样方法较恰当？简述抽样过程.解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：(1)随机地将这1 000名学生编号为1，2，3，…，1 000.(2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体.(3)在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18.(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998.例2 某装订厂平均每小时大约装订图书362册,要求检验员每小时抽取40册图书,检查其质量状况.请你设计一个调查方案.解：我们可以采用系统抽样,按照下面的步骤设计方案.第一步 把这些图书分成40个小组,由于40362的商是9,余数是2,所以每个组有9册书,还剩2册书.这时,抽样距就是9.第二步 先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册书,不进行检验.第三步 将剩下的书进行编号,编号分别为0,1, (359)第四步 从第一组(编号分别为0,1,…,8)的书中按照简单随机抽样的方法,抽取1册书,比如说,其编号为k.第五步 顺序地抽取编号分别为下面数字的书：k+9,k+18,k+27,…,k+39×9.这样总共抽取了40个样本.点评：如果遇到nN 不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.变式训练1.某校高中三年级有1 242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一个样本，那么( )A.剔除指定的4名学生B.剔除指定的2名学生C.随机剔除4名学生D.随机剔除2名学生分析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于401242的余数是2，所以要剔除2名学生.故选D.答案：D2.从2 008个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为( )A.99B.99.5C.100D.100.5答案：C3.为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本.分析：由于501003不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体. 解：(1)随机地将这1 003个个体编号为1，2，3， (1003)(2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1，2，3， (1000)(3)确定分段间隔.501000=20，则将这1 000名学生分成50组，每组20人，第1组是1，2，3，...，20；第2组是21，22，23，...，40；依次下去，第50组是981，982， (1000)(4)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤20).(5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为l+20k (k=0,1,2,...，19)，得到50个个体作为样本，如当k=2时的样本编号为2，22，42， (982)思路2例1 从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A.5,10,15，20，25B.3，13，23，33，43C.1,2,3，4，5D.2，4，6，16，32分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中d=550=10,k 是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B 满足要求.答案：B点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来，从第2个号码开始，每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔.变式训练某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是_____________抽样方法.答案：系统知能训练1.从学号为0—50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学竞赛，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号不可能是( )A.1，2，3，4，5B.5，15，25，35，45C.2,12,22,32,42D.9，19，29，39，49答案：A2.采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为( ) A.8310 B.831 C.101 D.801 答案：A3.某单位的在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本.4.某学校有学生3 000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样.解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：①将3 000名学生随机编号1，2， (3000)②确定分段间隔k=1003000=30，将整体按编号进行分100组，第1组1—30，第2组31—60，依次分下去，第100组2971—3000；③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(l ∈N ,0≤l≤30)；④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l 加上间隔30得到第2个个体编号l+30，再加上30，得到第3个个体编号l+60，这样继续下去，直到获取整个样本.比如l ＝15，则抽取的编号为：15，45，75， (2985)这些号码对应的学生组成样本.拓展提升将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000，001，002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000，002，…，019，如果在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为______________.分析：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为l ＝015，分段间隔为k=501000 =20，则在第i 组中抽取的号码为015+20(i －1).则抽取的第40个号码为015＋(40-1)×20=795. 答案：795课堂小结通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获取样本.作业调查某班学生的身高情况,利用系统抽样的方法,样本容量为40.这个班共分5个组,每个组都是8名学生,他们的座次是按照身高高矮进行编排的.李立是这样做的,抽样距是8,按照每个小组的座次进行顺序编号.你觉得这样抽取的样本具有代表性吗?分析：假设这个班的学生是这样编号(这个编号也代表他们的身高)的：第一组 a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7＜a 8;第二组 b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5＜b 6＜b 7＜b 8;第三组 c 1＜c 2＜c 3＜c 4＜c 5＜c 6＜c 7＜c 8;第四组 d 1＜d 2＜d 3＜d 4＜d 5＜d 6＜d 7＜d 8;第五组 e 1＜e 2＜e 3＜e 4＜e 5＜e 6＜e 7＜e 8.如果按照李立的抽样方法,比如在第一组抽到了8号,也就是a 8,那么所抽取的样本分别为a 8,b 8,c 8,d 8,e 8.显然,这样的样本不具有代表性,它们代表的身高偏高.。
6 1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 教案
单元（章节）课题
北师大版必修三 第一章 统计
本节课题
1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差
三维目标
1.知识与技能：能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息
2.过程与方法：通过相关案例研究，体会数字特征在描述相关问题中的作用，培养学生观察分析问题能力。
3.情感态度与价值观选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力
提炼的课题
平均数、中位数、众数、极差、方差的应用
教学重难点
重点:平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用。
难点:根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息
教学手段运用
教学资源选择
PPT、学案.
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好。
D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好。
2.甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）
甲
25
41
40
37
22
14
19
39
21
42
乙
27
16
44
27
44
16
40
40
16
40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
3.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是
课后作业布置
必做：课本第31页A组第1 题。
高中数学 第一章 统计教案 北师大版必修3
第一章统计§1从普查到抽样(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解并掌握：普查、抽样调查、总体、样本、个体这些基本概念．(2)在调查中，会选择合理的调查方式．2．过程与方法(1)初步经历数据的收集、处理过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力．(2)通过数据收集的学习，培养学生应用、分析、判断能力．3．情感、态度与价值观(1)通过小组合作调查研究，培养学生的合作意识和处理问题的能力．(2)通过解决身边的实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．●重点难点(1)掌握普查与抽样调查的区别与联系．(2)掌握总体、样本及个体间关系．(3)获取数据时，选择哪种调查方式较好，何时用普查，何时用抽样调查，并能说明理由 .(4)应用意识的培养，设计方案教学时要注意初高中知识的链接，抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平入手，逐步引入、渗透、将重、难点逐一化解．(教师用书独具)●教学建议高中统计的学习，是在初中统计的基础上的深化与延伸．在教学中，引导学生复习初中统计学习的内容，在此基础上对高中统计学习的主要内容和重点给出学生做分析，以此从整体上把握本章的内容．充分分析和利用教材的实例，指导学生认识到抽样调查的必要性．围绕问题，让学生讨论如何进行抽样才能使得样本具有代表性．●教学流程设置情境，提出如人口普查，收视调查等问题，引发学生的兴趣和问题意识⇒引导学生明确普查与抽样的必要性，掌握普查与抽样调查的区别与联系⇒通过例1及变式训练，使学生理解总体、样本等概念，突出了重点⇒通过例2及变式训练，使学生掌握调查方式的选取，选择普查还是抽样调查的关键是什么，从而强化了重点⇒通过例3及变式训练，使学生学会调查方案的设计，获得运用数学方法探索问题和解决问题的途径，突破难点⇒课堂小结，总结升华，让学生对知识有一个系统的认识，突出重点，抓住关键⇒完成当堂双基达标检测落实各个知识点，突出重点，强化难点课标解读1.了解普查的意义和抽样调查的概念，理解抽样调查的必要性和重要性(重点)．2．体会普查和抽样调查的各自的优点和区别，会对一些实际问题进行合理的抽样调查．(难点).普查【问题导思】1．我国常进行的普查有哪些？(举例)【提示】人口普查、农业普查、工业普查等．2．普查还被称作什么调查？【提示】整体调查或全面调查．普查是为了了解总体的一般情况，对所有的对象都无一例外地进行调查，也称整体调查或全面调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．当普查的对象很多时，普查的工作量就很大，要耗费大量的人力、物力与财力，并且组织工作繁重、时间长．更值得注意的是，在很多情况下，普查工作难以实现．抽样调查继“三聚氰胺”、“瘦肉精”、“染色馒头”等国内食品安全事件的不断曝光，食品安全问题越业越受到人们的关注，也得到各级政府部门的重视．食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率是99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？【提示】检测人员是不可能逐个检查的，是抽取少量的牛奶来检查得到的．通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．普查与抽样调查的比较调查方法特点普查抽样调查优点①所取得的资料更加全面、系统；②调查特定时段的总体的信息①迅速、及时；②节约人力、物力、财力，对个体信息的了解更详细缺点耗费大量的人力、物力、财力获取的信息不够全面、系统适用范围总体容量不大，要获取详实、系统、全面的信息①大批量检验；②破坏性检验；③不必要普查等总体、样本等概念辨析题2013年某部门从某校高三1 256名学生中抽取300名学生进行身高的统计分析．下列说法正确的是( )A．1 256名学生是总体B．每个被抽取的学生是个体C．抽取的300名学生的身高是一个样本D．抽取的300名学生的身高是样本的容量【思路探究】对照总体、个体、样本及样本的容量的概念加以判断．【自主解答】研究的对象是学生的身高情况，故总体为1 256名学生的身高，样本容量为300，个体为每个被抽取的学生的身高，综上，C正确．【答案】 C解决此类问题的关键是分清有关概念：总体是研究对象的全体，总体中的所有个体数目为总体容量，组成总体的每个对象称为个体，从总体中抽取若干个个体称为样本，样本中个体的个数称为样本容量，要弄清概念的实质．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是( ) A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80 D．样本容量是20【解析】总体是80件产品的质量，样本是抽取的20件产品的质量，总体容量是80，样本容量为20.【答案】 D调查方式的选取标检验，应当选用何种调查方式？为什么？【思路探究】从调查所需时间和费用，以及是否具有破坏性考虑选择何种调查方式．【自主解答】应该用抽样调查的方法对该批小包装饼干进行卫生达标检验．采用普查的方法来检验食品是否卫生达标是不合适的，因为这里检查的目的是决定是否让这批小包装饼干出售，而普查的结果却使得这批小包装饼干完全不能出售，与检查的目的相违背．一般地，如果检验具有破坏性，则需要通过抽样调查来推断总体的特征．1．对总体进行调查，选择普查还是抽样调查关键是看调查的目的和两种调查方式的各自特点．2．一般地，总体数较多或调查中对产品具有破坏性时，多采用抽样调查．3．很多情况下，普查难以实现，在通常情况下，总是通过抽样调查来代替普查．假如你是某印刷厂的一名质检人员，负责对《新坐标》的印刷质量进行检查．你应该采用“普查”还是“抽样调查”，试说明理由．【解】如果对每一份《新坐标》都进行检查在理论上是可行的，但是实际上是不可行的．《新坐标》单科的发行量都在100万册以上，若普查要浪费大量的人力和物力，得不偿失，故应采取抽样调查的方式检查图书的印刷质量．调查方案的设计下面是三位同学为电视台设计的调查方案：同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放至互联网的某网站上，只要上网登录该网站的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样我就可以很快地统计出收视率了．同学B：给我们居民小区的每一个住户发一个是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．同学C：我在电话号码本上随机地选取一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三位同学设计的调查方案是否能获得比较准确的收视率？为什么？【思路探究】判断A，B，C三位同学的设计调查方案是否能获得较准确的收视率，关键是看他们的样本是否具有代表性，即看每个个体被抽到的机会是否相同．【自主解答】调查的总体是所有可能看电视的人群．同学A的设计方案考虑的人群是上网且登录某网站的人群，那些不能上网或不登录该网站的人就排除在外，故用此方法抽取的样本代表性差．同学B的设计方案考虑的人群是小区居民，有一定的片面性，故抽取的样本代表性差．同学C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，有一定的片面性，因此抽取的样本代表性差．总之，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率，他们获得的样本代表性差．1．在统计活动中，需要对统计方案进行仔细的设计，以避免一些外界因素的干扰或人为因素的影响．2．根据调查问题的特点设计抽样调查的不同方案，应遵循的原则是：抽取的部分个体具有广泛的代表性，能很好的代表总体，否则调查结果与实际情况不相符．2013年春季，某知名的全国性服装连锁店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查，调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料瓶的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”，根据这次调查结果，在某大城市A，服装颜色的众数(大多数人的选择)为红色，而当年全国服装协会发布的是咖啡色，这个结果是否意味着A城市的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色？你认为这两种调查的差异是由什么引起的？【解】这个结果意味着A城市中，光顾这家服装连锁店的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色．由于光顾服装连锁店的人是一种比较容易得到的样本，不一定能代表A城市其他人群的想法，而A城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点，从而带来了调查结果的差异.概念模糊致误(2013·合肥检测)从某年级的1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析．下列说法正确的是( )A．1 000名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的125名学生的体重是一个样本D．抽取的125名学生的体重是样本容量【错解】 B【错因分析】不清楚抽样调查的是学生的体重而不是学生．【防范措施】 1.正确理解总体、样本、样本容量、个体的定义．2．仔细审题，分析好各个选项．【正解】 C选择普查还是抽样调查的依据是调查的目的以及两种调查方式优缺点的比较，一般来说对于必须全部检验的问题一定要用普查的方法；若调查具有一定的破坏性或难度相当大，可以用抽样调查的方法．1．某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是( )A．40 B．50C．120 D．150【解析】每班3人，共40个班．故样本中的个体数为3×40＝120.即样本容量为120.【答案】 C2．下列调查时，必须采用“抽样调查”的是( )A．调查某城市今年7月份的温度变化情况B．调查某一品牌5万包袋装鲜奶是否符合卫生标准C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市D．了解全班50名学生100米短跑的成绩【解析】检查袋装鲜奶的质量，具有破坏性，不宜用普查方式．【答案】 B3．为了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )A．总体 B．总体容量C．总体的一个样本 D．样本容量【解析】200个零件的长度为总体的一个样本．【答案】 C4．有人说“如果抽样方法设计得好，对样本进行视力调查与对24 300名学生进行视力普查的结果会差不多，而且对于教育部门掌握学生视力状况来说，因为节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取”，你认为这种说法有道理吗？为什么？【解】这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查的结果接近于普查的结果，因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.一、选择题1．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中5 000名学生成绩的全体是( )A．总体B．个体C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量【解析】依据抽样调查的要求可知选A.【答案】 A2．抽样调查在抽取调查对象时( )A．按一定的方法抽取B．随便抽取C．全部抽取D．根据个人的爱好抽取【解析】根据抽样调查的要求，可知选A.【答案】 A3．下列调查方式合适的是( )A．要了解一批电视机的使用寿命，采用普查方式B．要了解收看中央电视台的“法制报道”栏目的情况，采用普查方式C．要保证“神舟十号”载人飞船发射成功，对重要零件采取抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可采取抽样调查方式【解析】检测电视机的寿命，具有破坏性，不宜用普查方式，故A不正确；由于收视观众较多，分布广，所以B不正确；对于“神舟十号”重要零件，数量不大，且至关重要，所以适合普查，因此C不正确；故选D.【答案】 D4．(2013·南昌检测)下列调查中属于抽样调查的是( )①每隔5年进行一次人口普查；②某商品的质量优劣；③某报社对某个事件进行舆论调查；④高考考生的身体检查．A．②③B．①④C．③④ D．①②【解析】①④为普查，②③为抽样调查．【答案】 A5．下面问题可以用普查的方式进行调查的是( )A．检验一批钢材的抗拉强度B．检验海水中微生物的含量C．检验10件产品的质量D．检验一批汽车的使用寿命【解析】A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D该试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用．【答案】 C二、填空题6．为了准确调查我国某一时期的人口总量、人口分布、民族人口、城乡人口、受教育的程度、迁徒流动、就业状况等多方面的情况，需要用________的方法进行调查．【解析】要获得系统、全面、准确的信息，在对总体没有破坏的前提下，普查无疑是一个非常好的方法，要求全面、准确调查人口的状况，应当用普查的方法进行调查．【答案】普查7．检验员为了检查牛奶中是否含有黄曲霉素MI，应采用________的方法检验．【解析】这是大批量的破坏性检验，不可能进行普查，应当采取抽样调查的方法检验．【答案】抽样调查8．为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考察分析．在这个问题中，70人的会考成绩的全体是________，样本是________，样本容量是________．【解析】由总体、样本、样本容量的定义知：70人的会考成绩的全体是总体，样本是30人的会考成绩．样本容量是30.【答案】总体30人的会考成绩30三、解答题9．某市有7万名学生参加学业水平测试，要想了解这7万名学生的数学成绩，从中抽取了1 000名学生的数学成绩．(1)在此项调查中总体是什么？(2)在此项调查中个体是什么？(3)在此项调查中样本是什么？(4)在此项调查中样本容量是什么？【解】(1)总体是7万名学生的数学成绩．(2)个体是7万名学生中每一名学生的数学成绩．(3)样本是从7万名学生的数学成绩中抽取1 000名学生的数学成绩．(4)样本容量是1 000.10．某县有在校高中生6 400人，初中生30 200人，小学生30 300人．该县电教站为了了解本县对计算机的推广及学生掌握的熟练程度，该部门应如何抽取样本？【解】因为影响学生计算机知识的掌握及使用情况的因素是多方面的，不同的乡镇，不同的学校，办学条件也不同，因此在进行抽样时，宜将学生按城、乡及高中、初中、小学分别抽样．另外，三类学生人数相差较大．因此，为了提高样本的代表性，还应考虑他们在样本中所占的比例大小．11．你的班主任想全面了解你班学生的学习和思想状况．请你帮助班主任设计一个调查方案．【解】因为一个班的人数不是太多，为了帮助班主任全面了解班里学生的学习和思想状况，可以采取普查的方法进行调查．可以先设计一个问卷，包括同学们对学习的各种看法，同学们的爱好、心理和思想状况等，然后发放给每一个学生，并全部收回，然后进行统计，这样就可以全面了解每个学生的学习和思想状况了.(教师用书独具)指出下列调查分别适于进行普查，还是适于进行抽样调查．(1)调查除夕之夜我国有多少人观看中央电视台的春节联欢晚会；(2)调查某工厂生产的一万件胶卷中有无不合格产品；(3)调查一万张面值为100元的人民币中有无假币；(4)调查当今中学生中，喜欢听年轻教师讲课的多，还是喜欢听老教师讲课的多．【解】(1)我国人口众多，地域辽阔，要用普查的方式调查有多少人在除夕之夜看了“春节联欢晚会”，需投入大量的人力、财力，实属得不偿失．(2)把未曾使用的胶卷逐个仔细检查，实际是把全部产品报废，显然是愚蠢的设想．(3)一万张人民币，数量虽大，但不应允许有一张假币给人民群众造成经济损失，也不应允许任何制造假币者逃脱法网，况且，用目前的技术手段检查一万张人民币中是否有假币混入，并非难事，也不需太多时间．(4)当今中学生的数量实在太庞大了，又很分散．这四项调查工作，只有第(3)项应以普查的方式进行，其余三项均以抽样调查的方式进行为妥．“三聚氰胺奶粉事件”举国震惊，质检也变得尤为重要，由于总体中的个体数是很大的，检验人员只能从一大批罐装奶粉中进行抽样调查．你能从这个例子出发说明一下抽样调查的必要性吗？【解】如果普查，会很费时费力，等检查完了，奶粉可能变质了，况且检查奶粉具有破坏性，每罐奶粉检查时必须拆开，这样检查就会得不偿失，没有什么意义了．而此时抽样调查就比较理想了．§2抽样方法2．1 简单随机抽样(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解统计学需要解决的问题、抽样的必要性，简单随机抽样的概论，掌握简单随机抽样的两种方法．2．过程与方法通过对生活中的实例分析、解决，体验简单随机抽样的科学性及其方法的可靠性，培养分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过身边事例研究，体会抽样调查在生活中的应用，培养抽样思考问题意识，养成良好的个性品质．●重点难点重点：掌握简单随机抽样常见的两种方法(抽签法、随机数法)难点：理解简单随机抽样的科学性，以及由此推断结论的可靠性学生已有的认知基础是，初中学习过统计的基础知识，并对总体、样本、个体等知识有了初步的了解，对为什么要进行抽样已有了感性认识，但对如何实施抽样缺乏系统的了解．对简单随机抽样的概念的认识上，学生对抽签法有感性认识，但对抽样过程的科学、合理、使每个个体被抽到的可能性相等的理解存在差异，因而对概念的本质理解也可能有所差异．在利用抽签法进行简单随机抽样时，学生对此方法比较熟悉，但对程序化或流程图式的解决问题模式接触不多，因而可能出现解题过程的不完善．在利用随机数法进行简单随机抽样时，学生在对物件进行标号时由于位数的不一致而可能产生抽样过程的错误，同时在选号的规则上可能带来一些误差．(教师用书独具)●教学建议考虑到学生的知识水平和理解能力以及课堂教学的信息量，教师可从信息技术和数学知识的有效整合入手，从实际生活中提炼数学素材，从激励学生探究知识入手，通过直观演示，优化教学，使学生在熟悉的知识背景下探求新知．通过视频片断，实例图片，Excel表格的综合应用，丰富学生的体验，给学生多一点空间和时间，把任务角色还给学生，使学生亲历数学发现、创造的过程，获得对数学价值的认识，通过分层激励，让不同层次的学生获得最大进步．●教学流程设置情境，提出问题一锅水饺的味道如何品尝？⇒引导学生结合现实生活中的实际问题，思考讨论得出随机抽样的概念⇒引导学生明确抽样的必要性，掌握抽样的特点及方法突出“等可能性”特征⇒通过例1及变式训练使学生进一步明确随机抽样的特征，明确什么是简单随机抽样⇒通过例2及变式训练使学生掌握抽签法的应用，体会抽签法的“公平性”，突破难点，突出重点⇒通过例3及变式训练使学生掌握随机数法的应用，体会该种方法的科学性与优越性⇒课堂小结，总结升华，让学生对知识有一个系统的认识，突出重点，抓住关键⇒完成当堂双基达标，落实各个知识点，突出重点，强化难点课标解读1.理解简单随机抽样的概念及其两种方法(重点)．2．会用简单随机抽样方法解决实际问题(难点)．3．抽签法和随机数法的异同(易混点).简单随机抽样的概念【问题导思】1．某月某种商品的销售量、电视剧的收视率等这些数据是如何得到的？【提示】一般是从总体中收集部分个体数据得出结论．2．要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗？应如何判断？【提示】不需要，只要将锅里的汤“搅拌均匀”品尝一小勺就知道汤的味道．在抽取样本的过程中，要保证每个个体被抽取到的概率相同．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．这是抽样中一个最基本的方法．简单随机抽样的方法简单随机抽样{抽签法随机数法简单随机抽样的概念(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里．(3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．【思路探究】要判断所给的抽样方式是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的特点．【自主解答】(1)不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个体数是无限的而不是有限的．(2)不是简单随机抽样．因为它是放回抽样，简单随机抽样，可分为不放回抽样和放回抽样，而本章定义中规定的是不放回抽样，所以它不是简单随机抽样．(3)不是简单随机抽样．因为它是一次性抽取，而不是“逐个”抽取．简单随机抽样具备以下四个特点：①总体的个体数较少，②逐个抽取，③不放回抽样，④等可能抽样．判断抽样方法是否是简单随机抽样，只需看是否符合上述四个特点，若有一条不符合就不是简单随机抽样．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是( )A．某电影院有32排座位，每排40个，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡镇有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，要抽取田地480亩估计全乡田地平均产量【解析】根据简单随机抽样的特点进行判断：A的总体容量较大，用简单随机抽样的方法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样的方法比较简单、方便；C中由于学校各类人员对这一问题的看法的差异可能很大，不宜采用简单随机抽样；D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不易采用简单随机抽样．【答案】 B。
高中数学第一章计数原理2排列第2课时排列的应用学案北师大版3
第2课时排列的应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．知识点排列及其应用1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n)＝n！n－m！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪训练1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？类型二排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．(1)男、女各站在一起；(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？(3)5个歌唱节目中A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，则排列的方法有多少种？命题角度2 定序问题 例3 7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法．n 个不同元素的全排列有A nn 种排法，m 个不同元素的全排列有A mm 种排法．因此A nn 种排法中，关于m 个元素的不同分法有A m m 类，而且每一种分类的排法数是一样的．当这m 个元素顺序确定时，共有A nnA m m种排法．跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？命题角度3 特殊元素与特殊位置问题例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？类型三数字排列问题例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0.(2)有无重复数字．(3)奇偶数．(4)某数的倍数．(5)大于(或小于)某数．跟踪训练 5 (1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个？(2)由0,1,2,3,4,5六个数字组成的六位数中，数字1排在奇数位上的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位来理解)1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种 B．360种 C．480种 D．720种2．有6道选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求3道选D的题目任意两道不相邻，则不同的排列方法种数为( )A．72 B．144 C．288 D．363．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一种画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式的种数为( )A．A22A44A55B．A23A44A55C．A44A55A33D．A44A554．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法答案精析知识梳理知识点1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！n(n－1)(n－2)…2·1n！ 1题型探究类型一例1 解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．跟踪训练1 解第1类：挂1面旗表示信号，有A13种不同的方法；第2类：挂2面旗表示信号，有A23种不同的方法；第3类：挂3面旗表示信号，有A33种不同的方法．根据分类加法计数原理，得可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．例2 解(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A44种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有A22种排法，由分步乘法计数原理知共有A33·A44·A22＝288(种)排法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A 33·A 55＝720(种)不同的排法．(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A 44种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A 35种排法，故有A 44·A 35＝1 440(种)不同的排法．(4)先排男生有A 33种排法．让女生插空，有A 33A 44＝144(种)不同的排法．跟踪训练2 解 (1)先排歌唱节目有A 55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A 46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A 55·A 46＝43 200(种)方法．(2)先排舞蹈节目有A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A 44·A 55＝2 880(种)方法．(3)将AB 捆绑一起，CDE 也捆绑一起，应用捆绑法共有A 22A 33A 66＝8 640(种)方法．例3 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520(种)不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的1A 33.故有A 77A 33＝840(种)不同的排法．跟踪训练3 解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2·A 77A 44＝420(种)不同的站法．例4 解 (1)方法一 把同学作为研究对象．第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A 56种． 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A 46种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A 46种排法．由分类加法计数原理，共有A 56＋4×A 46＝2 160(种)排法． 方法二 把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A 16种方法．第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A 46种方法．由分步乘法计数原理，可得共有A 16·A 46＝2 160(种)排法．方法三 (间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A 57种；甲在首位的情况有A 46种，所以符合要求的排法有A57－A46＝2 160(种)．(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A26种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法．根据分步乘法计数原理，有A26·A35＝1 800(种)方法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A25种方法．第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法．根据分步乘法计数原理，共有A25·A35＝1 200(种)方法．(4)用间接法．总的可能情况是A57种，减去甲在首位的A46种，再减去乙在末位的A46种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A35种，所以共有A57－2A46＋A35＝1 860(种)排法．跟踪训练4 解6门课总的排法是A66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A55种排法；数学排在最后一节，有A55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A44种排法．因此符合条件的排法有A66－2A55＋A44＝504(种)．例5 解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A45个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A55个和A14A44个．故能被3整除的五位数有A55＋A14A44＝216(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．跟踪训练5 解(1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有A33种方法．第二步：把0,2,4三个数排列在偶数位上，有A33种方法．根据分步乘法计数原理，可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A33·A33＝36(个)．第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有A33种方法．第二步：把0,2,4三个数排列在奇数位上，有2×A22种方法．根据分步乘法计数原理，可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A33×2×A22＝24(个)．根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有36＋24＝60(个)．(2)第一类，当数字“1”在首位时，其他数字不受限制，其排列方法有A55种，所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有A55＝120(个)．第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”的位置只能在千位或十位，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法有A44种，所以当数字“1”不在首位时，满足条件的六位数共有2×4×A44＝192(个)．根据分类加法计数原理，可得满足条件的六位数共有120＋192＝312(个)．当堂训练1．C 2.B 3.A 4.240 5.240。
2017-2018学年高中数学北师大版三教学案：第一章§4数据的数字特征含答案
[核心必知]1．众数、中位数、平均数（1）众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．(2)中位数的定义及求法:把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．（3）平均数：①平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、x n，那么错误!＝错误!,叫作这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1）标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝错误!［（x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］．其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝错误![(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)－n错误!2]＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）－错误!2.3．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．4．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．[问题思考］1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示:不一定．若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数；不是,可以是一个，也可以是多个．2．如何确定一组数据的中位数？提示：（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．（2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．讲一讲1。
据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元）如下：（1)(2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元)（3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[尝试解答］(1)平均数是错误!＝1 500＋错误!≈1 500＋591＝2 091（元）．中位数是1 500元,众数是1 500元．(2)新的平均数是错误!′＝1500＋错误!≈1 500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量．2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述它的某种集中趋势．练一练1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下:(1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2）假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：（1)平均数为错误!（1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2）＝320(件)，中位数为210件,众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额。
高中数学第一章统计3统计图表教学案北师大版必修3(2021学年)
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3 错误!预习课本Ｐ16～２3,思考并完成以下问题(1）条形统计图的定义、特点及制作步骤分别是什么？(２)折线统计图的定义、特点及制作步骤分别是什么?(3）扇形统计图的定义、特点及制作步骤分别是什么？（4）茎叶图的定义、特点及制作步骤分别是什么?有什么统计意义？错误!1．条形统计图建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字）表示样本类别（样本值），用纵轴上的单位长度表示一定的数量,根据每个样本(或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形统计图,也称为直方图.2.折线统计图建立直角坐标系,用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量,根据样本值和数量的多少描出相应各点,然后把各点用线段顺次连接,得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况,这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线统计图.[点睛] 折线统计图与条形统计图类似,其画法与条形统计图基本一致,只是将条形换成点，并且顺次连成了直线段.3.扇形统计图用一个圆表示总体,圆中各扇形分别代表总体中的不同部分,每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形统计图．[点睛］扇形统计图中各扇形代表的百分比之和为1,即整个圆的面积视为整体“1”．在用圆表示总体后,理论上应根据各部分所占总体的比例计算出相应扇形的圆心角,从而确定每个扇形的大小．但实际操作时，只要求扇形的大小与各部分所占比例大小大致相符即可.４．茎叶图(1)概念:统计中有一种被用来表示数据的图叫作茎叶图.它的思路是将数据中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位上的数作为“茎”,将变化大的位上的数作为“叶”,即“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎＂，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上往下排列,共茎的叶一般按从大到小或从小到大的顺序同行列出．（2)用茎叶图表示数据有两个突出特点其一,统计图上没有信息的损失,所有的原始数据都可以从这个茎叶图中得到;其二,茎叶图可以随时记录,方便表示与比较．但是，当数据量很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了.[点睛］茎叶图是一能保留原始数据且能简化数据进而表现数据分布的一种统计图表.５．四种统计图表的比较（１）当数据量很大时一般选用条形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况,并能清晰地表示出各个区间的具体数目,但是条形图会损失数据的部分信息．（2）折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况.（３）扇形统计图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据的多少．(4)茎叶图可以动态地表现数据的分布特征，但不适合数据量比较大的情况.条形统计图[典例］容.为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题：（１)求抽取的学生数；（2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；（3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比.[解] （1)从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人,女生有10人;喜欢收听《故宫博物院》的男生有３0人,女生有15人;喜欢收听于丹析《论语》的男生有３０人,女生有38人;喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有4２人;喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人,女生有45人.所以抽取的学生数为20+10+3０+15+30+３８＋６4+４2＋6＋4５=３00(人）．（2)喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人,女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为错误!,由于该校有 3 ０00名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有＼f(1０6,300)×３ 0０0＝１ 060（名)．(3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为＼f（４5，3０0)×１00%=15％．（1)绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置,第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中,我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画（描述)就越精确.（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准,它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．[活学活用]为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如图所示．（1)估计该校男生的人数;(２)估计该校学生身高在１7０～185 ｃｍ之间的学生占总人数的百分比是多少.解：(1）样本中男生人数为40,由分层抽样比例为1０％估计全校男生人数为400.（2)由统计图知，样本中身高在17０～185 ｃm之间的学生有１4＋13+4+3+1=3５（人)，样本容量为70,所以样本中学生身高在１７0~１８５ cｍ之间的占＼f（３5,７0）＝５0%，故可估计该校学生身高在170~１85 cｍ之间的学生占总人数的50％。
高中数学 第一章 统计 1.3 统计图表教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
1.3统计图表本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1)掌握常用四种统计图表(条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图)的功能及其特点；(2)能针对实际问题和收集到的数据的特点，选择科学的统计图表；(3)能从统计图表中获取有价值的信息．2、过程与方法通过“复习—巩固—加深—引入新知”的过程中掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图，能科学选择合适的图表示数据，并能从图中得到数据．3、情感态度与价值观在探究活动中，通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．二、教学重点：用统计图表表示数据．三、教学难点：统计图表的制作．四、教学建议在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了象统计图、条形图、折线统计图、扇形统计图等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习茎叶图，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性的选择一些合适的图表．新课导入设计导入一一图胜千字，看懂图是21世纪所有人必须具备的能力．如图所示，大家能从这图中的得到什么样的信息？这就是我们这一节要解决的问题．导入二初中我们学习了条形统计图、折线统计图、扇形统计图这一节我们继续更深入地学习这些知识．看看这些知识除了我们初中学习过的，还有没有更深的知识．是不是还有其它的方法表示数据．【教学过程】：✧名人指引华罗庚教授：数无形，少直观；形无数，难入微。
图形和数据若能恰当、准确的结合起来，必然是最具有说服力的。
扇形图、频数分布直方图都是常见的统计图，在网上、书籍、杂志、报纸上我们还会看到许多其他形式的统计图或统计表，它们使数据变得一目了然，让读者很快就能了解作者想要表达的信息．那么，哪种统计图表可以较为准确而迅速地反映出要表达的信息呢？✧世界人口下面是权威机构公布的一组反映世界人口的数据：1957年世界人口30亿，17年后（即1974年）增加了10亿，即达40亿；又过13年达到50亿；到1999年全世界总人口达到60亿。
数学北师大版必修3教案： 第一章统计§3 含解析 精品
§3 统计图表整体设计教学分析在义务教育阶段,学生已经通过实例,学习了象形统计图、条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图,并能解决简单的实际问题.(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大,若是承接现行《大纲》的话,建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容)在这个基础上,高中阶段还将进一步学习茎叶图,并在学习中不断地体会它们各自的特点,在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的图表.通过问题1和问题2,一方面让学生通过具体的实例,初步体会总体及其分布的含义,同时为后面理解总体分布的意义、用样本的频率分布估计总体的分布作一个铺垫；另一方面复习义务教育阶段已经学过的一些统计图,并进一步发展学生从统计图表中获取信息的能力.三维目标1.通过实例初步体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,掌握条形统计图、折线统计图、扇形统计图,体会它们各自的特点,提高学生的画图能力；2.能根据实际需要选择适当的统计图表来分析数据,进一步发展学生从统计图表中获取信息的能力.重点难点教学重点：条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图及其应用.教学难点：根据实际需要选择适当的统计图表.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.下面是权威机构公布的一组反映世界人口的数据：1957年世界人口30亿,17年后(即1974年)增加了10亿,即达40亿；又过13年达到50亿；到1999年全世界总人口达到60亿.以此速度,人口学专家预测到2025年,世界人口将达到80亿；而到2050年人口将超过90亿,其中亚洲人口最高,将达到52.68亿,北美洲3.92亿、欧洲8.28亿、拉丁美洲及加勒比地区8.09亿,非洲17.68亿.那么怎样看出世界人口的总体变化情况呢？教师点出课题：统计图表.思路2.前面我们学习了科学的抽样方法,那么抽出样本后,怎样用图表来分析所得数据呢？教师点出课题：统计图表.推进新课新知探究提出问题1.什么叫条形统计图？有什么特点？2.什么叫折线统计图？有什么特点？3.什么叫扇形统计图？有什么特点？4.什么叫茎叶图？有什么特点？讨论结果：1.用一定的单位长度表示一定的数量,并根据数据的多少画出长短不同的直条,然后把这些直条按照一定的顺序排列起来,这样的统计图叫作条形统计图.条形统计图可以表示同类指标在不同地区、不同时间、不同条件的对比关糺.也可以表示总体的结构及其在时间上的变化.从条形统计图上很容易看出各种数量的多少.2.用一定单位长度表示一定的数量,根据数量多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,形成折线,用折线的升降来表示数量之间的关系及变化趋势的图形叫作折线统计图.折线统计图可以表示一种数量的增减变化情况,也可以表示几种数量的相互依存和发展变化的趋势或情况.3.用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫作扇形统计图(或称饼形图),特点是能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例.4.当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫作茎叶图.茎叶图的特征：(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.(3)当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.应用示例思路1例1 我们对50人的智商情况进行了调查,如果按照区间［80,85),［85,90),…,［115,120)进行分组,得到的分布情况如图1所示.图1(1)有多少人的智商在90—105之间?(2)有多少人的智商低于100?(3)有多少人的智商不低于100?你还能从图中获得其他的信息吗?解：(1)38人的智商在90—105之间；(2)29人的智商低于100；(3)21人的智商不低于100.点评：由于已经学习过一些统计图表的知识,学生在回答上面几个问题时可能比较容易,教师还可以鼓励学生从这个统计图中获取更多的信息,并通过该问题初步体会分布的含义.变式训练1.丁文静是集邮爱好者,她每年都要对自己收藏的邮票进行整理.到2006年年底,她收藏的邮票达到了100张；当2007年年底到了的时候,她发现自己收藏的邮票已经有200张了.她用图2来表示自己的收藏成果,这样的描述合适吗？丁文静的邮票收藏情况图2解：从高度看,上图中第二个正方体确实是第一个正方体的2倍；但从体积上看,却是23(即8)倍.这样就会使读者产生错误的印象,以为2007年丁文静收藏的邮票比2006年多得多，所以这样的描述不合适.2.有许多人认为鹌鹑蛋比鸡蛋更有营养,是不是这样呢？检测发现,每100克鹌鹑蛋和鸡蛋的可食部分中各种维生素B的含量分别为：维生素B1约0.18毫克和0.15毫克；维生素B2约0.79毫克和0.31毫克；维生素B6约0.02毫克和0.12毫克.学生甲用以下两幅条形图比较两种蛋的各种维生素B含量,如图3.图3学生乙用一幅条形图比较两种蛋的各种维生素B含量,如图4.图4问：这两位同学谁画得较好?解：甲同学制作的两幅条形图采用的单位长度不一致,很难比较两种蛋的各种维生素B的含量,乙同学的直方图采用了同一单位长度,把三种维生素含量放在一起比较,准确直观容易区分,所以乙同学的条形图较好.例 2 下面是关于某个总体包含的所有学生的身高分布的几种表述,其中哪一种表述反映的总体信息较多?(1)身高在160 cm以下的学生数占50%,不低于160 cm的学生数占50%(如图5(a)).(2)身高在150 cm以下、150—160 cm之间、不低于160 cm的学生数分别占10%、40%、50%(如图5(b)).(3)身高在150 cm 以下、150—160 cm 之间、160—170 cm 之间、不低于170 cm 的学生数分别占10%、40%、40%、10%(如图5(c)).(a) (b)(c)图5解：从该总体包含的所有学生的身高分布的几种表述(包括文字和统计图)来看,不难发现：从(1)—(3),反映的总体信息依次增多.就这个问题而言,说“身高在160 cm 以下的学生数占50%,不低于160 cm 的学生数占50%”,是身高分布一种很粗略的表述；说“身高在150 cm 以下、150—160 cm 之间、不低于160 cm 的学生数分别占10%、40%、50%”,则相对精确一些；而说“身高在150 cm 以下、150—160 cm 之间、160—170 cm 之间、不低于170 cm 的学生数分别占10%、40%、40%、10%”,表述就更精确了.点评：对于同样的数据,可以用不同的方式来表示.变式训练1.某中学在一次健康知识竞赚活动中,抽取了一部分同学测试的成绩为样本,绘制的成绩统计图如图6,请结合统计图回答下列问题：(1)本次测试中,抽样的学生有多少人？(2)分数在90.5—100.5这一组的频率是多少？(3)这次测试成绩的众数落在哪个小组内？(4)若这次测试成绩80分以上(含80分)为优秀,则优秀率约为多少？图6解：(1)2+3+4+41=50(人);(2)频率=504 总数频数=0.08;(3)众数落在80.5—90.5这一小组内;(4)这次测试成绩的优秀率约为90%.2.2003年11月,中国女排以11连胜的战绩夺回了阔别17年的世界冠军,重振了“敢于拼搏,敢于创新,团结起来,在不利的条件下赢得最大的胜利”的中国女排精神.其中11月12日的中美之战是关键的一战,中国女排在1∶2局数落后的不利情况下,顽强拼搏,最后反败为胜,以3∶2击败夺冠道路上的主要竞争对手.项目中国美国发球得分 3 7一攻得分37 35防守反击得分29 25拦网得分13 13 因对方失误得分27 22总得分109 102 上表是中美两国比赛的技术数据统计,如图7,学生甲用两幅条形图比较中美两国比赛的得分情况,学生乙用一幅条形图比较中美两国比赛的得分情况,哪一个效果好？从统计表中你能获取哪些信息？学生甲制作学生乙制作图7解：学生甲的方案由于纵轴单位刻度不同,不容易对两国排球赛的得分情况进行比较；而学生乙将两张图合并成一张图,可以一目了然地看出两国排球赛的得分情况的差异,因此,乙的效果更好.分析表中的数据我们可以大概地了解到,中国队战胜美国队的主要因素是失误较少,防守反击比较成功,而中国队发球的威力不大,这是需要提高的.例3 有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台,记录下上午8：00—11：00间各自的销售情况(单位：元)：甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.你能用不同的方式分别表示上面的数据吗?解：从上面的数据不易直接看出各自的分布情况,为此,我们可以先将以上的数据按照不同的方式进行表示.上述的数据可以用如图8所示的图形来表示,横线下面的数字表示销售额的十位数,上面的数字分别表示各自销售额的个位数.图8也可以用条形统计图(图9)将上图进行简化：图9点评：根据实际需要选择适当的统计图表来分析数据.变式训练某地农村某户农民年收入如下(单位：元)：土地收入打工收入养殖收入其他收入4 320 3 600 2 350 850请用不同的统计图来表示上面数据.分析：题意的要求是将此四个数据用统计图展示出来,在所有的统计图中,可利用条形统计图、折线统计图、扇形统计图来表示.解：用条形统计图表示,如图10所示.图10用折线统计图表示,如图11所示.图11用扇形统计图表示,如图12所示.图12思路2例1 下面是跃进厂各车间男、女工人数统计表：根据表中数据,制成条形统计图.解：步骤是：①根据图纸的大小,画出两条相互垂直的射线.(注意水平射线下面和垂直射线左面必须留有一定空白,注明直条数量和统计的内容)②在横轴上确定直条的位置.③在纵轴上根据数量的多少确定单位长度.④根据数据的多少画出长短不同的直条.画直条的步骤：1°先在纵轴上找到80(一车间的男工有80人),用铅笔过此点作横轴的平行线.2°用三角板的直角边对齐一车间的直条位置画两条与横轴垂直的平行线,画到与水平线相交为止,涂上阴影或涂色均可.(注意：直条的宽窄要一致,长短要准确,条与条之间间隔要均等)3°在直条上方标明数量的多少.4°依次画出其他直条.⑤在图的上方写标题.统计图如图13所示.跃进机床厂各车间男、女数统计图图13点评：条形统计图比统计表更形象、直观、具体,使人看了统计图以后,对事物在数量方面的变化与发展,以及事物总体与部分之间的关系等情况,留下了深刻的印象.变式训练观察如图14所示的条形统计图,你知道了什么？某小学2003年—2006年购买图书统计图2007年1月制图14答案：该小学2006年购买图书最多,比购买图书最少的2003年多300本.例2 某地2007年每月的月平均气温如下表：月份一二三四五六七八九十十一十二平均气温(℃) 2 5 10 16.5 22 28 32 32.5 26 19 11.5 5 根据上表中的数据,制成折线统计图.解：制作步骤：(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线.(2)适当分配各点的位置,确定各点的间隔.(3)在与水平射线垂直的射线上,根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少.(4)按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来.折线统计图如图15所示.图15点评：折线统计图不但可以表示数量的多少,还可以反映数量增减的变化趋势.变式训练1.如图16所示的条形统计图,你知道了什么？2001—2004年国产与进口54厘米彩电平均零售价统计图图16答案：从折线统计图中可以看出国产与进口彩电降价的情况.在这场持续的价格大战中,消费者无疑是最大的受惠者.2.如图17是一张某居民区水箱水位统计图,请你根据图中的变化情况编一段这个居民区的故事.图17答案：根据统计图的曲线变化情况,可以编出各种故事,如：8点钟居民们都开始洗菜、洗车等,是个用水高峰期,因此统计图上水位开始下降.9点到10点用水的人越来越少,水箱开始放水进来,因此10点钟水又满了.11点时水箱的水位变成0,可能是水箱破了,水都漏光了.说明：没有标准的答案,只要有道理,就可以算好故事.例3 某学校有50名学生,对出行使用的交通工具,统计数据如下：①步行：20人;②骑自行车：15人;③坐公交：10人;④其他：5人.根据以上数据,制成扇形统计图.解：画图步骤：(1)画一个圆.(2)按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角度数.交通工具人数比例圆心角度数步行20人40% 144°骑自行车15人30% 108°坐公交10人20% 72°其他5人10% 36°(3)根据算出的各圆心角的度数画出各个扇形,并注明相应的百分比,各比例的名称可以注在图上,也可用图例表明.扇形统计图如图18所示.图18注意：不用彩色,也可用白色、涂黑、斜线、网状等表示,学会动手画出扇形统计图.点评：扇形统计图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数.总之,用统计图来表示数量关系更生动形象、具体,使人一目了然.变式训练1.如图19所示的条形统计图,你知道了什么？大王村青年养禽场养的鸡、鸭、鹅数量统计图图19答案：大王村养禽养的鸡最多,其次是鸭,再就是鹅.2.下面两幅统计图(如图20、图21),反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题.甲、乙两校参加课外活动的学生2003年甲、乙两校学生参加人数统计图(1997—2003年) 课外活动情况统计图图20 图21(1)通过对图20的分析,写出一条你认为正确的结论；(2)通过对图21的分析,写出一条你认为正确的结论；(3)2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？解：(1)1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快;(2)甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多；(3)2 000×12%+1 100×10%=350.例4 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场得分情况如下：甲12 15 24 25 31 31 36 36 37 39 44 49 50 乙8 13 14 16 23 26 28 33 38 39 51 9 17(1)用茎叶图表示上面的数据.(2)根据你所画的茎叶图,分析甲、乙两名运动员的得分情况.解：(1)如图22所示的茎叶图中,中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数.图22(2)从茎叶图上可以看出：甲运动员的得分比较集中在茎为3的一行,且大致关于这一行对称,中位数是36；乙运动员的得分主要分散在四行,中位数是23.所以甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.点评：如果茎叶图中的数据大致集中在一行,说明这些数据比较稳定；如果收集到的是两组不连续的数据,并且是一位或两位数的整数,并且需要对比,那么可以先考虑使用茎叶图来统计.变式训练1.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图23所示),则甲、乙两人得分的中位数之和是( )图23A.62B.63C.64D.65分析：利用茎叶图可得甲得分的中位数是22628=27,乙得分的中位数是36,所以甲、乙两人得分的中位数之和是63.答案：B2.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球10个.命中个数的茎叶图如图24.则罚球命中率较高的是____________.图24分析：观察茎叶图可知,甲运动员的呼中个数与乙相比位于茎叶图的下方,也就是说甲罚球命中率较高.答案：甲3.下图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图25可知( )图25A.甲运动员的成绩好于乙运动员B.乙运动员的成绩好于甲运动员C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D.甲运动员的最低得分为0分答案：A知能训练1.下面哪种统计图没有数据信息的损失,所有的原始数据都可以从该图中得到( )A.条形统计图B.茎叶图C.扇形统计图D.折线统计图分析：所有的统计图中,仅有茎叶图完好无损地保存着所有的数据信息.答案：B2.当收集到的数据量很大或有多组数据时,需要比较各种数量的多少,用哪种统计图较合适( )A.茎叶图B.条形统计图C.折线统计图D.扇形统计图分析：由于需要比较各种数量的多少,并且收集到的数据量很大或有多组数据,符合条形统计图的特点.答案：B3.2007年某市居民的支出构成情况如下表所示：食品衣着家庭设备用品及服务医疗保健交通和通讯教育文化娱乐服务居住杂项商品和服务40.4% 4.2% 8.9% 5.0% 8.9% 17.7% 11.5% 3.4% 用下列哪种统计图表示上面的数据较合适( )A.都一样B.茎叶图C.扇形统计图D.折线统计图分析：扇形统计图和条形统计图均可以将统计中的所有数据所占整体百分比直观显示出来,但最佳的统计图表应当是扇形统计图,其显示得更为直观一些.答案：C4.下表给出了2006年A、B两地的降水量.(单位：mm)1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A 9.2 4.9 5.4 18.6 38.0 106.3 54.4 128.9 62.9 73.6 26.2 10.6B 41.4 53.3 178.8 273.5 384.9 432.4 67.5 228.5 201.4 147.3 28.0 19.1为了直观表示2006年A、B两地的降水量的差异和变化趋势,适当的统计图是__________.答案：条形统计图和折线统计图拓展提升在第28届奥运会上,中国运动员奋力拼搏共夺得32块金牌,其分布如下：射击球类水上项目力量型项目田径体操4 8 8 9 2 1画出扇形统计图,从扇形统计图中看出中国在什么项目上有优势呢？解：扇形统计图如图26：第28届奥运会中国金牌分布统计图图26从扇形统计图中看出中国在力量型项目、水上项目和球类项目上有优势.课堂小结本节课复习巩固了用条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图来分析数据.作业习题1—3 1、2.设计感想本节依据学生的认知特点,首先复习了条形统计图、折线统计图、扇形统计图、茎叶图的定义,再举例说明了其适用范围.实际教学时,可以针对学生的实际,选择使用本节的例题和练习题.。
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第一章统计本章知识体系专题一三种抽样方法的比较例1 (1)某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本；(2)从10名同学中抽取3人参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样Ⅱ.系统抽样方法Ⅲ.分层抽样方法问题与方法配对正确的是( )A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ解答(1)中由于这500户家庭之间的收入有明显的差异，故采用分层抽样；(2)中个体无差异，且总体中个体数目较少，则采用简单随机抽样．答案 A规律方法选择抽样方法的标准是：先判断总体中个体有无差异，当总体中个体有差异时，无论总体中个体数目的多少，都应选择分层抽样；当总体中的个体无差异时，再判断总体中的个体数目的多少，如果个体数目较少，则用简单随机抽样，如果个体数目较多，则用系统抽样．(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( C )A ．50B ．40C ．25D ．20(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1_800件.解析：(1)根据系统抽样的特点可知分段间隔为1 00040＝25，故选C.(2)设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4 800－x )件．由分层抽样特点，结合题意可得5080＝4 800－x4 800，解得x ＝1 800.专题二 统计图表例2 2018世界锦标赛中国女子排球队队员的年龄如下： 号 2 3 4 6 7 8 9 10 12 15 16 18 年龄/岁252424242523292924262422解答 用条形统计图表示如下图所示．用扇形统计图表示如下图所示．规律方法从不同的角度出发，可作出不同的统计图．小明家2018年的四个季度的用电量如下：季度名称用电量(单位：千瓦·时)第一季度250第二季度150第三季度400第四季度200各种电器用电量(单位：千瓦·时)空调250冰箱400照明100彩电150其他100(1)从哪幅统计图可看出各个季度用电量变化情况？ (2)从哪幅统计图可看出冰箱用电量超过总用电量的14？(3)从哪幅统计图可以清楚地看出空调用电量？ 解：(1)折线统计图； (2)扇形统计图； (3)条形统计图．专题三 用样本的频率分布估计总体分布例3 如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料．(单位：cm)区间 界限 [122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人数 5 8 10 22 33 区间 界限 [142,146)[146,150)[150,154)[154,158)人数201165(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134 cm 的人数占总人数的百分比．思路探究 (1)根据频数计算出频率．分“分组”、“频数”、“频率”三列，列出频率分布表．(2)根据频率分布表画出频率分布直方图．(3)根据频率分布表计算出身高低于134 cm 的频率． 解答 (1)样本的频率分布表：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150)110.09[150,154) 6 0.05 [154,158) 5 0.04 合计1201.00(2)画出频率分布直方图，如下图所示：(3)因为样本中身高低于134 cm 的人数的频率为5＋8＋10120＝23120≈0.19，所以估计身高低于134 cm 的人数约占总人数的19%.规律方法 通常利用样本的频率分布和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计．频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们就可以大致估计出总体的分布．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100 cm.解析：底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.专题四 用样本的数字特征估计总体的数字特征例4 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99 乙：110,115,90,85,75,115,110 (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定． 思路探究 (1)由简单随机抽样的特点判断； (2)“茎”上写十位或百位，“叶”上写个位； (3)计算方差的大小比较稳定性．解答 (1)根据三种抽样的特点可知为系统抽样． (2)茎叶图为：(3)x 甲＝17(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)＝100，x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，所以x 甲＝x 乙＝100.s 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2]≈3.428 6，s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]≈228.571 4.由于x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲车间产品较稳定．规律方法 总体的平均数与标准差往往通过样本的平均数、标准差来估计．一般地，样本容量越大，对总体的估计越精确．平均数描述集中趋势，方差、标准差描述波动大小，也可以说方差、标准差反映各个数据与其平均数的离散程度．一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位与原单位相同．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125) 标值分组频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．专题五线性回归分析例5 每立方米混凝土的水泥用量x(kg)与28天后混凝土的抗压强度y(kg/cm2)之间的关系有如下数据：x 150160170180190200y 56.958.361.664.668.171.3x 210220230240250260y 74.177.480.282.686.489.7(1)(2)若y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)如果两种水泥用量下的抗压强度相差12.5，则水泥用量相差多少？思路探究先画出散点图，确定y与x之间是否线性相关，再根据求回归直线方程的步骤求出回归直线方程，最后根据回归方程确定水泥用量的差别．解答(1)由已知数据可画出散点图如下图所示：(2)x＝205，y＝72.6，∑i＝112x2i＝518 600，∑i＝112x i y i＝182 943，则b＝∑i＝112x i y i－12x y∑i＝112x2i－12x2≈0.304，a＝y－b x＝72.6－0.304×205＝10.28，故所求的线性回归方程为y ＝0.304x ＋10.28.(3)设两种水泥用量为x 1，x 2，则对应抗压强度为y 1＝0.304x 1＋10.28，y 2＝0.304x 2＋10.28.由题意y 1－y 2＝0.304(x 1－x 2)＝12.5， 所以x 1－x 2≈41.12.故当两种水泥用量下的抗压强度相差12.5 kg/cm 2时，水泥用量相差41.12 kg. 规律方法 两个变量之间的关系可能是确定的函数关系，也可能是不确定的相关关系． 分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线，直线的方程叫作回归方程．求回归方程的步骤：(1)先把数据制成表，从表中计算出∑i ＝1nx i ，∑i ＝1ny i ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i，x ，y ；(2)计算回归系数a ，b ； (3)写出回归方程y ＝bx ＋a .有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温(℃) －2 －3 －5 －6 销售额(万元)20232730y ＝bx ＋a 的系数b ＝－2.4.则预测平均气温为－8℃时该商品的销售额为( A )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元解析：x ＝－2＋－3＋－5＋－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以25＝(－2.4)×(－4)＋a .所以a ＝15.4，所以回归直线方程为y ＝－2.4x ＋15.4.当x ＝－8时，y ＝34.6，即预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为34.6万元．故选A.专题六 数形结合思想例6 为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如图所示的茎叶图，根据茎叶图求：(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)观察茎叶图，估计甲、乙两个网站哪个更受欢迎，并说明理由．思路探究茎叶图的比较可以观察茎叶图中反映的信息，通过极差可以粗略判断分散集中程度．解答(1)根据茎叶图，得甲网站的点击量的最大值是73，最小值是8，乙网站的点击量的最大值是71，最小值是5.则甲网站的极差为73－8＝65，乙网站的极差为71－5＝66.(2)观察茎叶图，得甲网站点击量在[10,40]间的有20,24,25,38，共4个，所以甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝27.(3)观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．规律方法数形结合思想在本章中的重要应用是通过频率分布的态势对总体进行估计及根据散点图确定两个变量是否具有相关关系，并做出判断．统计图表(频率分布直方图、茎叶图)与数字特征(平均数、中位数、方差)是高考的重点和热点内容，几乎每年必考，通常以茎叶图和频率分布直方图为载体，考查平均数、中位数、方差等的计算．高考对变量间的相关性的考查呈逐年上升的趋势，主要考查借助散点图直观地分析两个变量间的相关关系，知道回归直线经过样本中心，会求回归方程，并能利用方程对有关变量作出估计．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、y乙，中位数分别为m甲、m 乙，则下列关系中正确的是②(填序号).①x 甲<x 乙，m 甲>m 乙 ②x 甲<x 乙，m 甲<m 乙③x 甲>x 乙，m 甲>m 乙 ④x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：由茎叶图m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29. ∴m 甲<m 乙． x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716. ∴x 甲<x 乙．。