高二数学双曲线知识点及例题
高二数学双曲线知识点及例题
一 知识点
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：
x a y b
a b 222
2100-=>>()，
（2）焦点在y 轴上的：
y a x b
a b 222
2100-=>>()，
（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质：
（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222
2x x a y b
a b -=>>()
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 <>=
>41离心率：e c
a
e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±
5渐近线：y b a
x = <>=±62
准线方程：x a c
5．若双曲线的渐近线方程为：x a
b y ±
= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
)0(22
22≠=-λλb
y a x
【典型例题】
例1. 选择题。
121
122
.若方程
表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=
A m
B m m ..-<<-<->-2121或
C m m
D m R ..≠-≠-∈21
且
2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）
A. 必要但不充分条件
B. 充分但不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=
A. 焦点在x 轴上的椭圆
B. 焦点在y 轴上的椭圆
C. 焦点在y 轴上的双曲线
D. 焦点在x 轴上的双曲线
416913
221212.双曲线
上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9)
63
33
93
例2. ()
已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-?? ??
?
例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且 sin sin sin B C A -=3
5
，求顶点A 的轨迹方程。
例4. （1）求与椭圆x y 2294152
+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。
（2）求与双曲线x y M 2294
1921-=-?? ???有共同渐近线，且经过点，的双曲线
的标准方程。
例5. 已知双曲线方程x y 22
42
1-
= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；
（2）是否存在直线l ，使点N 112，?? ?
?
?为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
例六：1. 若x k y k 22
211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c
的取值范围是（ ） A. ()1，+∞
B. （0，2）
C. ()2，+∞
D. （1，2）
2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或
23
3
B. 2
C.
23
3
D. 3
3. 圆C 1：()x y ++=312
2和圆C 2：()x y -+=392
2，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
[例题答案]
例一：
解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照 易知：2+m 与m+1应同号即可。
∴+>+>???+<+
?20102010m m m m 或 ∴>->-???<-<-??
?m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或
2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<
若当时，表示双曲线
当时，表示直线ab c c <≠=???000
∴选A
300.sin cos ααα是第二象限角，，∴>< ∴
α 0 原方程化为： x y 221?-=sin cos sin cos ααα α 易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正 ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5 设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223 222c m n mn )cos =+-?π ()10022 =-+-m n mn mn ∴=mn 36 ∴= ??=??=S mn F PF ?121260123632 93sin 、 例二： 解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0） 依题意：9321811625119 116A B A B A B -=-=??????=-=-?? ????? ∴-=所求双曲线方程为： y x 22 169 1 例三： 分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=35转化为b c a -=3 5，结合 ∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又∵c ＝5，a ＝3，∴b ＝4 ∴-=<-顶点的轨迹方程为 A x y x 22 916 13() 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键； （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程； （3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。 例四： 解：（1）由椭圆方程知： a b c ===325，， ()( ) ∴-焦点，，，F F 12 5050 ∴-=设双曲线的标准方程为：x a y b 2122 121 由已知条件得：c c a c a b a b 111 1 21212 1155221===+??? ?????==?? ? ∴-=所求双曲线的标准方程为：x y 2 24 1 （2）解法一： M 921，在第四象限-?? ??? 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123 -==± 将点的横坐标代入M x y x = =-=-922 3 3 ∴双曲线的焦点必在x 轴上 ∴-=设双曲线方程为：x a y b 222 21 ()∴=?? ???--=???? ????==???b a a b a b 2 39211188222 22 2 ∴-=所求双曲线标准方程为： x y 22 188 1 解法二： 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±2 3 ∴-=≠设所求双曲线方程为：x y 22 94 0λλ() 又所求双曲线过点， M 921-?? ?? ? ()∴?? ? ??--=∴=9291422 2 λλ， ∴-=所求双曲线方程为： x y 22 188 1 例五： 解：（1）设AB 的方程为：y －1＝k （x －1） y kx k x y y =+--=??? ??142 122，消去 ()()124424602222-+--+-=k x k k x k k ()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 112212 1222++?? ?? ? ∴+= --+=--=x x k k k x x k k k 122 21222 4412222121，即 ∴= k 1 2 ()()()又 ?=----+-4441224622 22k k k k k 将代入k = >1 2 0? ∴-+=所求直线的方程为：AB x y 210 （1）另解法： ()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 112212 1222++?? ?? ?