量子相位算符的不确定关系及其演化方程
量子力学4-不确定关系
dxdydz
空间某点附近单位体积内出现粒子的概率 概率密度: 空间某点附近单位体积内出现粒子的概率， 而粒子出现在整个空间内的概率应等于1，即：
*
2
归一化条件:
整个空间
2
dv 1
另外 波 数还应该满足如下的标准条件 另外，波函数还应该满足如下的标准条件： (1) 单值： 单值 任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。 (2) 有限： 粒子出现在空间某处的概率不可能大于1。 (3) 连续。 粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。
1 sin 0 . 777 50 . 9 极大值出现在 的方 向，与实验符合的很好。
k 1
德布罗意波
例题18-10 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角 10m,求电子速度。 为 2 ,铝的晶格常数a为4.05 4 05×10-10 求电子速度 解： 参看图示,第 第一级最大的条件是： 级最大的条件是：
3.3 10 8 eV
对氢原子光谱，当 对氢原子光谱 当n不是很大时，这一能级宽度是很小的。所以氢原子谱线系中 不是很大时 这一能级宽度是很小的 所以氢原子谱线系中 的各分立谱线是相当细的。
(2) 由
E h
hc 得： hc E 2
所以 该激发态的平均寿命为 所以，该激发态的平均寿命为：
P Px P sin 1 x
代入德布罗意关系：
h Px 即 x p x h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h p
得出：
h Px P sin 即 x
x p x h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并了一条重要的物理规律： 不确定关系揭示了一条重要的物理规律
量子力学中的时间演化算符
量子力学中的时间演化算符量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它的基本原理是波粒二象性和不确定性原理。
在量子力学中，时间演化算符是一个非常重要的概念，它描述了量子系统在不同时间点上的演化过程。
时间演化算符的概念最早由保罗·迪拉克提出，他认为一个量子态在时间上的演化可以通过一个算符来描述。
这个算符被称为时间演化算符，通常用符号U(t)表示。
时间演化算符的作用是将一个初始态演化到另一个时间点的态。
在量子力学中，一个量子态可以用一个波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它包含了系统的所有信息。
时间演化算符的作用是将初始态的波函数演化到另一个时间点的波函数。
具体而言，时间演化算符U(t)作用在初始态的波函数上，得到另一个时间点的波函数。
时间演化算符的形式可以通过薛定谔方程来推导。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子系统的演化规律。
薛定谔方程可以写成如下形式：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，ħ是普朗克常数的约化值，ψ是系统的波函数，H是系统的哈密顿算符。
根据薛定谔方程，我们可以得到时间演化算符的形式：U(t) = exp(-iHt/ħ)其中，exp是指数函数，i是虚数单位，t是时间。
这个形式的时间演化算符被称为薛定谔算符。
薛定谔算符的形式非常简洁，但是它的应用却非常广泛。
通过薛定谔算符，我们可以计算量子系统在不同时间点上的态。
例如，我们可以计算一个粒子在一个势场中的运动轨迹，或者计算一个原子在不同能级之间的跃迁概率等等。
除了薛定谔算符，量子力学中还有其他形式的时间演化算符。
例如，对于开放系统，我们需要考虑系统与环境的相互作用。
在这种情况下，时间演化算符可以写成如下形式：U(t) = T exp(-i/ħ ∫ H(t') dt')其中，T是时间序列算符，H(t')是包含系统与环境相互作用的哈密顿算符。
这个形式的时间演化算符被称为Dyson算符。
Dyson算符的形式更加复杂，但是它能够描述开放系统的演化过程。
高等量子力学 量子动力学
六、能量本征矢
知道时间演化算符随时间变化，还需要知道它如何作用于 一态矢才能求出态矢的时间变化。如果我们选用能量本征态 为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。 有
Η a′ = Ε a′ a′ ； α , t0 = 0 = a′ a′ a = ca′ a′ a′ a′
e
− iHt
= a′′ a′′ e
− i Η ( t − t0 )
t0
容易验证该 u ( t , t0 ) 满足 Schrodinger 方程：
∂ i ∂ t exp − i t dt ′Η ( t ′ ) = − i Η ( t ) u ( t , t ) ′ ′ Η u ( t , t0 ) = − dt t ( ) 0 t0 ∂t ∂t t0
第二章：量子动力学
(物理状态和观测量随时间的变化)
2.1 时间演化和 Schrodinger 方程
时间在量子力学中是参量而非算符，因而不是 可观测量。与谈论坐标算符那样谈论时间算符 是无意义的。 相对性量子理论确将时空对等处理，但代价是 将位置作为参量而非观测量处理。
一、时间演化算符
设一物理态矢在 t0 由 α 表示，在 t > t0 状态由 α , t0 ; t lim α , t0 ; t = α ，简写成， 表示。由于时间是连续参量，
= ca ' a '
a'
：
iΕα ′t − iΕ a′′t * B = Ca ′ a ′ e B Ca′′e a′′ = a ′′ a′
C
a ′a ′′
* a′
Ca′′
量子力学中的时间演化与薛定谔方程
量子力学中的时间演化与薛定谔方程量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论框架，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，时间演化是一个重要的概念，而薛定谔方程则是描述量子系统时间演化的基本方程。
在经典力学中，我们可以通过牛顿第二定律来描述物体的运动。
而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的位置和动量信息。
薛定谔方程就是描述波函数随时间演化的方程。
薛定谔方程的一般形式可以写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
这个方程可以看作是量子力学中的运动方程，它告诉我们波函数随时间如何变化。
薛定谔方程的解决方法有很多种，其中最常见的是分离变量法。
通过将波函数Ψ分解成位置和时间的乘积形式，我们可以将薛定谔方程分解为两个独立的方程，一个是关于位置的方程，另一个是关于时间的方程。
这样，我们可以分别解出它们的解析解，然后将它们组合起来得到波函数的解。
薛定谔方程的解决方法还包括数值解法和近似解法。
数值解法通过离散化的方法，将薛定谔方程转化为一个矩阵方程，然后利用数值计算方法求解。
近似解法则是在一些特定情况下，对薛定谔方程进行近似处理，得到近似的解析解。
薛定谔方程的时间演化是量子力学中的一个基本概念。
它告诉我们波函数随时间如何变化，从而揭示了量子系统的动力学性质。
根据薛定谔方程，我们可以计算出波函数在任意时间的值，从而得到粒子的位置、动量等物理量的概率分布。
薛定谔方程的时间演化还可以用于描述量子系统的演化过程。
例如，在一个封闭的量子系统中，如果系统的哈密顿量不随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将保持不变。
这就是所谓的定态解，它描述了系统处于一个稳定的状态。
然而，如果系统的哈密顿量随时间变化，那么根据薛定谔方程，系统的波函数将随时间演化。
这种演化可以描述系统从一个态向另一个态的转变过程。
例如，在一个受到外界扰动的量子系统中，系统的波函数将随时间逐渐演化到一个新的稳定态。
量子力学中的不确定关系
量子力学中的不确定关系量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学理论。
它的重要概念之一就是不确定关系，也称作海森堡不确定原理。
本文将详细探讨量子力学中的不确定关系，包括其起源、表达方式以及实际应用。
一、不确定关系的起源不确定关系最早由德国物理学家海森堡于1927年提出。
当时，他注意到无法同时确定粒子的位置和动量，即无法精确测量一个粒子的位置和动量，精确测量其中一个性质将导致另一个性质的不确定性增加。
海森堡通过研究确定了量子力学中的不确定关系。
二、不确定关系的表达方式根据不确定关系，粒子的位置和动量无法同时被精确测量。
量子力学中用数学表示不确定关系的方式是通过不确定性原理，即位置不确定性原理和动量不确定性原理。
1. 位置不确定性原理位置不确定性原理指出，在同一时刻对粒子的位置进行测量，得到的结果将存在一定的不确定性。
其数学表达式为：Δx · Δp ≥ ℏ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数（h除以2π）。
2. 动量不确定性原理动量不确定性原理表明，对粒子的动量进行测量时，得到的结果也会存在一定的不确定性。
动量不确定性原理的数学表达式为：Δp · Δx ≥ ℏ/2Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ为普朗克常数。
这两个不确定性原理共同构成了量子力学中的不确定关系，限制了对粒子位置和动量的精确测量。
三、实际应用不确定关系在科学研究和技术应用中具有重要意义。
1. 实验验证通过实验验证不确定关系，科学家进一步验证了量子力学理论的正确性。
例如，通过对电子的位置和动量测量实验，验证了不确定关系的存在。
2. 精密测量不确定关系的存在限制了对粒子位置和动量的精确测量，但科学家们可以通过增加测量的重复性和改进测量设备，使得测量结果更加精确和可信。
这对于精密测量在科学研究和技术应用中有着重要意义，例如原子钟的精确定时。
3. 量子力学的发展不确定关系的提出和研究推动了量子力学的发展。
量子力学中的算符方法
量子力学中的算符方法量子力学是研究微观粒子行为和相互作用的物理学分支。
在量子力学中，算符方法是一种非常重要的工具，用于描述和计算量子系统的性质和演化。
本文将介绍量子力学中的算符方法并探讨其应用。
一、算符的基本概念和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象。
算符作用于态矢量上，表示对该态进行某种观测或操作。
算符可以是线性的，也可以是非线性的。
线性算符满足加法和乘法的封闭性，而非线性算符则不满足。
算符在量子力学中有一些重要的性质。
首先，算符的本征值表示了相应物理量的可能取值，并且测量这个物理量将得到其中的一个本征值。
其次，算符的本征态对应于相应本征值的特定态矢量。
算符的平均值是多次测量得到的结果的平均数，可以通过对态矢量进行投影运算得到。
二、量子力学中的常见算符1. 哈密顿算符哈密顿算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它描述了量子系统的能量和演化。
哈密顿算符通常用H表示，其本征值对应于能量的可能取值，本征态对应于特定能量的态矢量。
2. 动量算符动量算符在描述粒子的运动和动量时非常有用。
在一维情况下，动量算符由p = -iħ(d/dx)给出。
动量算符的平方对应于粒子动能的可能取值。
3. 位置算符位置算符用于描述粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符由x给出。
位置算符的平方对应于粒子位置的可能取值。
4. 自旋算符自旋算符用于描述粒子的自旋性质。
自旋算符通常用S表示，与角动量的算符类似。
自旋算符的本征值对应于自旋的可能取值，本征态对应于特定自旋的态矢量。
三、算符方法的应用量子力学中的算符方法在许多领域有广泛的应用。
下面列举了一些典型的应用。
1. 算符的对易关系算符的对易关系对量子力学中的不确定性原理和测量理论有重要影响。
两个算符的对易关系由它们的对易子给出。
例如，位置算符和动量算符的对易子为[iħ]，这表明位置和动量不能同时完全确定。
2. 算符的演化算符方法可以用于描述量子系统的演化过程。
算符根据薛定谔方程进行时间演化，并通过作用于态矢量计算物理量的期望值。
海森堡不确定关系公式推导
海森堡不确定关系公式推导海森堡不确定关系，这个名字听起来是不是有点拗口？实际上，它描述的是一个非常神奇的量子世界现象。
让我们像在聊家常一样，把这个复杂的公式剖析一下，看看它到底怎么回事。
1. 不确定关系的基本概念1.1 什么是海森堡不确定关系？首先，海森堡不确定关系，顾名思义，就是在量子力学中，我们对粒子的某些特性不能同时知道得特别准确。
这有点像我们想要同时掌握一部手机的电量和信号强度，结果发现电量表和信号强度表竟然互相干扰，你越知道一个，就越不清楚另一个。
1.2 这个关系怎么来的？要解释这个问题，我们需要搞清楚两个关键概念：位置和动量。
位置就是粒子在空间里的具体位置，而动量则是它的质量和速度的乘积。
在量子力学中，海森堡发现，当我们越精确地测量粒子的位置时，动量的测量就变得越模糊；反之亦然。
就像你在试图用放大镜看清一只蜜蜂时，它的飞行轨迹却显得模糊不清。
2. 公式推导的简单步骤2.1 基本的数学工具要推导海森堡不确定关系的公式，我们得用到一些基本的数学工具。
这里最核心的就是傅里叶变换。
傅里叶变换有点像是把一个信号从时域转换到频域，让我们可以同时看到它的频率成分。
换句话说，它帮我们把复杂的信号分解成不同的部分，好让我们更容易理解。
2.2 从波函数谈起粒子的行为可以用波函数来描述。
波函数就像是一种描述粒子可能位置和动量的“概率波”。
在量子力学里，这个波函数的平方代表了粒子在某个位置的概率。
利用傅里叶变换，我们可以将这个波函数从位置空间转换到动量空间。
这样，我们就可以看到粒子的位置和动量分别是什么样的了。
3. 公式的推导过程3.1 位置和动量的标准差我们在数学上定义了位置的不确定性（标准差）为Δx，而动量的不确定性为Δp。
根据海森堡的不确定关系公式，我们可以得到一个公式：Δx * Δp ≥ ħ / 2，其中ħ是普朗克常数除以2π。
3.2 公式的意义这个公式告诉我们，位置的不确定性和动量的不确定性之间有一个下限。
任意量子演化过程中的几何相位特征
任意量子演化过程中的几何相位特征王鹏;贾培军【摘要】给出了任意量子演化过程中的几何相表达式.证明了几何相的测量不变性与消失特性.在任意量子演化过程中不仅观察到了几何相,还发现有其它几何结构,诸如长度和距离等几何结构也存在.指出了所有这些几何量之间的关系.【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)001【总页数】6页(P23-28)【关键词】几何相位;量子演化;几何结构【作者】王鹏;贾培军【作者单位】延安大学物理与电子信息学院;延安大学资产与实验室管理处,陕西延安,716000【正文语种】中文【中图分类】O413自从 Berry［1］发现量子系统经过绝热、周期和参量变化可以获得重要的相位因子以后，人们开始寻找量子系统经历周期演化所获得的几何结构。
这里的几何结构指那些与参量时间关系无关的量。
Berry相位是具有这样本质的一种几何结构。
根据厄米线束中的平行输运完整性可以很好地解释 Berry相位。
Aharonov和Anandan（AA）在不考虑哈密顿量参量的绝热和周期演化情况下证明了几何相的存在［2］。
AA相被认为是希尔伯特空间 Q的投影 P中围绕闭合曲线平行输运的完整变换。
后来，由于人们发现几何相的完整性可以实现容错量子门［3，4］，这使得几何相的完整性成为人们关注的热门课题，从而导致了对量子计算［5－9］和量子信息［10－13］中完整效应的研究。
Samuel和Bhandari在薛定谔、非周期、非归一演化条件下得到了几何相［6］。
然而，该几何相是个间接定义，取决于开路径的初末点的简单闭合。
如果末点不闭合，那么该几何相就不再具有测量不变性。
Anandan等人利用群理论基石在投影的希尔伯特空间 P中获得了任意演化几何相的无限小角元。
Aitchison以非动力学方式定义了薛定谔、非周期、非归一演化几何相［7］。
后来，Mukunda给出了几何相动力学方法的一般理论［8］。
本文主要研究了任意演化量子系统所获得的几何相位、距离、长度。
不确定关系Uncertainty...
1 R(12
−
1 n2
)
n = 2,3, 4....
赖曼系 (紫外)
ν
=
R(
1 22
−
1 n2
)
n = 3, 4,5....
巴尔末系(可见)
ν
=
1 R( 32
−
1 n2
)
n = 4,5, 6....
帕邢系 (近红外)
ν
=
1 R( 42
−
1 n2
)
n = 5, 6, 7....
布拉开系(红外)
ν
=
R(
一、原子结构模型
1）汤姆孙模型：
被α 粒子散射实验
所否定.
−
− −
−
−−
均匀分布 的正电荷
2）卢瑟福的原 子太阳系模型
10−10 m
∼ 10−15 m
− −
9
卢瑟福α 粒子散射实验（1909年）
α
粒子：高速运动的氦原子核
H
+ e
+
实验表明：大多数
α 粒子散射角很 小，ϕ →0.
但也有约1/8400的
Hα， Hβ， Hγ ，• • •等各谱线的波长。
12
用“波数”表示巴耳末系
ν~ = 1 = R( 1 − 1 )
λ
22 n2
n = 3,4,5....
R = 4 = 1.097 ×107 m−1 里德伯常数 B
类似地得出氢原子在红外和紫外区的各个谱 线系:
13
氢原子在不同光区的各个谱线系:
ν
=
量。
解： Δr ΔP ≥ / 2
M +
rn
V
不确定关系,薛定谔方程
k (r , t ) i E k (r , t ) t
2 2 k (r , t ) i k (r , t ) px p x k (r , t ); 2 k (r , t ) 2 x x 2 2 k (r , t ) i py k (r , t ) p y k (r , t ); 2 k (r , t ) 2 y y 2 2 k (r , t ) i k (r , t ) pz p z k (r , t ); 2 k (r , t ) 2 z z
作业-4
1、p33 练习2。 2、写出一维谐振子(V(x)=mω2x2/2)的哈密顿量 算符
ˆ H
。
3、习题2-3。
2.3.2
Schrodinger 方程的讨论
讨论2个问题： 1、定域的几率守恒；2、初值问题,传播子。 一、定域的几率守恒 －－在全空间找到一个粒子的几率总和不随时间变化
即
d 2 (r , t ) dr 0 dt
证明：
推导得
( ) i ( ) 0 t 2m
定义：几率流密度
i j ( ) 2m
, 得几率连续方程(微分形式)， j 0 t 积分形式， dv j ds （15） t v （利用高斯公式： j dv j ds ）
。 λ 与Ψλ 是一一对应或一对多对应。
Ψλ ：本征值为λ 的本征函数
一对多对应称为简并。 若一个本征值对应N个不同本征函数， 则称N重简并或简并度N。
Δ. 已知t=0初态 (r ,0)，如何求t>0的态 ( r , t ) ？ ˆ 本征态： (r ,0) (r ) 1. 若t=0初态是 H
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系
量子力学中，动能算符 量子力学中，
h2 2 h2 ˆ T =− ∇ =− 2µ 2µ r 2
∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂r r ∂r + sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2 ˆ ˆ ˆ h2 1 ∂ 2 ∂ L2 pr2 L2 =− = + r + 2 2 2 µ r ∂r ∂r 2 µ r 2µ 2µ r 2
∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
五、平均值公式
ˆ 态下， 在ψ 态下，力学量 F 的平均值为
F = ∑ f n cn
n
n
2
= ∑ f n cn ∫ψ nψ *dτ = ∫ψ * (∑ cn f nψ n )dτ
n n
ˆ ˆ = ∫ψ * F (∑ cnψ n )dτ = ∫ψ * Fψ dτ
或者
* * ˆ * * ˆ ψ * Fψ dτ = ∑ cn cm ∫ψ n Fψ m dτ = ∑ cn cm f m ∫ψ nψ m dτ ∫ nm
px = hk （连续取值） 连续取值）
xψ = x′ψ ( x − x′)ψ = 0 ψ = δ ( x − x′)
x′
（连续取值） 连续取值）
4.任意力学量算符 本征值方程 本征值 本征函数 值。
ˆ A
ˆ Aψ = λψ λ = A1 , A2 , A3 ,L , An ,L
量子力学 -不确定关系
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系
微观粒子的运动要由概率波来描述，概率波只能给出粒 子在各处附近出现的概率。即：微观粒子任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
电子的单缝衍射
x
电子一个一个 地通过单缝
y
电子束
屏 幕
长时间积累后 出现衍射图样
a
缝
2
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
32
3 电子位置的不确定范围为 x 2p 2.95 10 m
电子位置的不确定范围甚至比原子的大小还要 大几亿倍。
例2： 电视显像管中电子的加速度电压为10 kV，电子 枪的枪口的直径为0.01 cm。试求电子射出电子枪后的 横向速度的不确定量。 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm 解：
5.28 1029 Vx 5.28 1026 m / s m
不确定关系对宏观物体来说,实际上是不起作用的
不确定关系可以用来判别系统行 E E0 3.39eV, 例4：已知电子处于某能级
求：该能级能量的最小不确定量E ； 由该能级跃迁到基态，辐射光子的 、 。
px 不能同时具有确定值 . 对于微观粒子, h 不能忽略, x、 此时，只有从概率统计角度去认识其运动规律 . 在量子力学 中，将用波函数来描述微观粒子.
不确定关系是量子力学的基础
例1：一电子具有200 m/s 的速率，动量的不确定 范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范 围有多大？ 电子的动量为 p mv 9.1 1031 200 1.8 1028 解： 动量的不确定范围为 p 0.01% p 1.8 10
v x 0.58 m s 2mx
2eU 7 v 6 10 m/s m
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ ˆ ˆ ˆ [z,py ] z,px 0
ˆ ˆ ˆ ˆ [p x , p y ] p x , p z p y , p z 0 ˆ ˆ
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <5>[ A, BC] = B[A, C] +[A, B]C ；
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ <6>[ AB, C] = A[B, C] +[A, C]B 。
ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ 证明<5>：等式右边= BAC BCA ABC BAC= ABC BCA
ˆ x i 和 p j 的对易关系是量子力学算符的
基本对易关系，由它们可以推出其他的一些算符 （有经典对应的）对易关系。
2. 角动量算符的对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [Lx , L y ] L x L y L y L x
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ = ( yp z zp y ) (zp x xp z ) (zp x xp z ) ( yp z zp y )
(矢量式)，
即角动量算符的定义式。
ˆ2 ,L ] [L2 , L ] [L2 ,L ] 0 ； ˆ ˆ ˆ ˆ [L ˆ x b. 利用 L L iL可以证明： y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ L2 , L x ] = L2 L x L x L2
ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 3 ˆ 2ˆ ˆ 2ˆ = L x + L y L x + Lz Lx L x L x L y Lx Lz
量子力学中的相干态与非相干态的演化分析
量子力学中的相干态与非相干态的演化分析量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它在近一个世纪的发展中取得了巨大的成就。
相干态和非相干态是量子力学中重要的概念，它们在量子信息、量子计算和量子通信等领域扮演着重要角色。
本文将对相干态和非相干态的演化进行分析，并探讨它们在实际应用中的意义。
首先，我们来介绍相干态和非相干态的概念。
在量子力学中，相干态是指量子系统的态可以通过干涉实验展现出明显的干涉效应，而非相干态则相反。
相干态的一个重要特征是它具有明显的相位关系，不同分量之间的相位差是确定的。
相干态可以通过干涉实验来观察到干涉条纹，如双缝干涉实验。
而非相干态则不具备这种干涉效应，无法观察到干涉条纹。
接下来，我们来讨论相干态和非相干态的演化过程。
在量子力学中，系统的演化由薛定谔方程描述。
对于相干态，其演化过程可以保持相位关系不变，因此仍然是相干态。
而对于非相干态，其演化过程会破坏相位关系，导致其变成相干态或者仍然是非相干态。
这种演化过程可以通过量子纠缠、量子测量等方式实现。
在实际应用中，相干态和非相干态有着不同的用途和意义。
相干态在量子信息处理中具有重要的作用。
例如，量子计算中的量子比特需要保持相干态，以实现量子并行计算和量子纠错等功能。
此外，在量子通信中，相干态可以用来传输量子信息，保持信息的完整性和准确性。
非相干态在某些情况下也具有重要的应用价值。
例如，在量子测量中，非相干态可以作为测量基准，用来测量其他量子态。
此外，非相干态还可以用来模拟经典概率分布，用于某些量子模拟和优化算法中。
相干态和非相干态的演化过程不仅在理论上有着深刻的意义，也在实验上得到了广泛的验证。
实验上可以通过干涉实验、量子纠缠实验等手段来观察和探究相干态和非相干态的演化过程。
例如，通过双缝干涉实验可以观察到相干态的干涉条纹，验证了相干态的存在和演化过程。
通过量子纠缠实验可以观察到非相干态的演化过程，验证了非相干态的存在和演化过程。
总结起来，相干态和非相干态是量子力学中重要的概念，它们在量子信息、量子计算和量子通信等领域具有重要的应用价值。
【量子力学】3.7 算符的对易关系 不确定关系
二、对易关系的物理意义
1. 定理：如果两个算符 F^和 G有^ 一组共同的本征
2. 3.
函数，而且组成完备系，则算符
G对^n 易.
和F^
证明：设 Fˆn fnn， Gˆn gnn 当本征函数时 (FˆGˆ GˆFˆ )n gn fnn fngnn 0
FˆGˆ GˆFˆ
即有 Fˆ ,Gˆ 0
一般情况，力学量完全集所包含的力学量 个数等于体系的自由度数。
例:① 三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需 p^三p个^p力^学量.
x yz
②态氢需原子H^中,3^lr2电个,^lz子相自互由对度易是的3力,完学全量确. 定它的状
三、非对易关系的物理意义----不确定关系
1、不确定关系的严格推导
对易关系的物理意义： 若两算符对易，则两算符存在共同的本征函
数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符 表示的力学量同时有确定的值。
推广到两个以上算符： 若一组算符存在共同的本征函数。而且这些
共同本征函数组成完备系，则这组算符中的任 何一个和其余的算符对应。
其逆定理也成立。
如：①动量 P^x, P^y满, P^z足
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
量同时具有确定值。
3.力学量完全集
要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的 力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体 系状态的力学量称之为力学量的完全集合.
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
量子态与量子态的演化
量子态与量子态的演化量子力学是描述微观世界的一种理论，它的基本概念之一就是量子态。
量子态是描述一个量子系统的状态，它包含了该系统的全部信息。
量子态的演化是指量子系统在时间的推移下，从一个初始态演化到另一个态的过程。
在本文中，我们将探讨量子态的基本性质以及它们的演化规律。
首先，让我们来了解一下量子态的基本概念。
在量子力学中，一个量子态可以用一个向量表示，这个向量被称为波函数。
波函数包含了关于量子系统的所有信息，它可以描述系统的位置、动量、能量等等。
一个量子态可以是一个纯态，也可以是一个混合态。
纯态是指一个量子系统处于一个确定的状态，它可以用一个确定的波函数表示。
例如，一个自旋为上的电子可以用波函数|↑⟩表示。
在量子力学中，我们可以通过薛定谔方程来描述纯态的演化规律。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
根据薛定谔方程，我们可以计算出在任意时刻的波函数，从而得到量子态的演化过程。
混合态是指一个量子系统处于多个可能的状态之一，但我们无法确定它处于哪个具体的状态。
混合态可以用一个密度矩阵来描述。
密度矩阵是一个厄米矩阵，它包含了关于量子系统的统计信息。
对于一个混合态，我们可以通过对密度矩阵进行迹运算来计算出系统的物理性质，例如平均值、方差等等。
接下来，让我们来讨论量子态的演化规律。
在量子力学中，量子态的演化是通过一个演化算符来描述的。
演化算符是一个幺正算符，它可以将一个量子态变换为另一个量子态。
在纯态的情况下，演化算符可以用薛定谔方程来求解。
而在混合态的情况下，演化算符可以用密度矩阵的迹运算来求解。
量子态的演化规律可以分为两种情况：幺正演化和非幺正演化。
幺正演化是指量子态在时间演化下保持幺正性质，它可以通过一个幺正算符来描述。
在幺正演化下，量子态的模长保持不变，只有相位发生改变。
非幺正演化是指量子态在时间演化下不保持幺正性质，它可以通过一个非幺正算符来描述。
在非幺正演化下，量子态的模长会发生改变，同时相位也会发生改变。
量子力学与不确定度关系
量子力学与不确定度关系不确定度关系是量子力学最引人注目的问题之一，应当指出，其原名曾为“测不准关系”，测不准关系中的“测不准”一词是名词翻译的不准确。
我国物理学名词审定委员会在)1998 年7月提出的《物理学名词》中，已将“测不准关系”更改为“不确定度关系”。
不确定度关系反映了微观粒子运动的基本规律，它是量子力学中一个极为重要的关系式，也是与经典物理学的主要差别的标志。
对其物理实质，不同的物理学派有不同的理解及解释。
不确定度关系究竟包含了多少物理内涵，通过分析或多或少可以再认识一些。
1 不确定度关系的产生背景1.1 不确定度关系的理论推导1926年，当量子力学的数学框架确定以后，玻恩采用了几率波的观念，在《论碰撞过程的量子力学》的论文中提出了波函数的统计解释。
以后人们从理论上推导出了不确定度关系，做出了比较严格的证明,因篇幅所限。
下面只给出结果1.2 不确定度关系的历史由来1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动力学的直觉内容》的论文，公布了他所建立的不确定度关系。
他的结论主要是通过“射线显微镜”假想实验来论证的，是对假想实验的分析以及利用德布罗意义关系得出的，仪器的分辨能力概念在他的论证中起了重要作用。
下面作一简单引述。
设想用光子去碰撞一个静电子，碰击后电子获得的动量为，能量为。
对光学仪器而言，根据波动论，光子的波长越短，仪器的分辨能力越高，电子的位置测得会越准确。
若代表测量电子位置的某种误差，上述分析意味着光子的波长越短，光子的动量、能量就越大，这意味着碰撞中动量、能量的转移越大。
即电子的动量改变量与光子的动量成正比例：由德布罗意关系：由上两式可得联立可得显然，海森伯得出的不确定度关系是一种测量效应，是为仪器测量精度规定的上限。
应该指出，这种假想实验是无法在现实中实现的，它仅仅是一种假想。
1.3不确定度关系的实验证实直到1974年，江森等人做出了电子束的单缝衍射实验，不确定度关系才在实验上得到了证实，这个证明在现有各种量子力学文献中都有叙述，这里也只给出结论。
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(25)
从(25) 式中我们可以发现, 对Fock 态|n > ,Susskind 的量子相位算符和Pegg 的量子相 位算符有完全相同的不确定关系。同时, 我们亦可发现, 在Fock态|n > 下, 两种算符的期 望值都是不确定的, 这是光子数算符和两种相位算符都不对易的必然结果。 3.2、相干态|a > 为了更明显地说明第二节的观点, 我们考虑在相干态|a>下, 两种相位算符的不确定关 系有何特征。相干态|a > 可表为
(22)
式(22) 表明在Fock 态|n> 里, 两种量子相位算符有相同的期待值, 而且, 当n≠0 时, 有
< ������|C2 (φ)|n >=< ������|（ cos ∅）2 |n >=1 2 < ������|S 2 (φ)|n >=< ������|（ sin ∅ ） |n >=1 2
量子相位算符的不确定关系及其演化方程；
第 4 页，共 7 页
3、特殊态下的不确定关系（进一步通过演算分析二者自定义相位算符的特点和优缺） 3.1、Fock 态|n > 首先, 我们用 Fock 态|n> 代替态|f >, 那么当������ < s 时, 可以得到
< ������|������ (������)|������ >=< ������| cos ∅ |n >=0 < ������|������(������)|������ >=< ������| sin ∅ |n >=0
在Hilbert 空间里, 我们假设|f > 是归一化的, 即
(14） (15)
< f |f >=
∞ 2 n=0 |Fn |
=1
对足够大的 S , 我们可以认为|Fn |2 仅仅在nf < s (但|f > > Nf , 其中Nf 为态 |f > 中的平均光子数) 的情况下有较明显的值, 那么我们从下式可以发现, Susskind和 Pegg两种量子相位算符在态|������ > 里有相同的平均值。
nf n=0
< ������ |C2 (φ)|f >= < ������ | cos2 ∅| f >= < ������ cos ∅ f >= < ������ |C(φ)2 |f >
< ������|������ (������)|������ >< ������|������ (������)|������ > < ������ cos ∅ n >< ������ cos ∅ f >+< ������ cos ∅ s >
C ������ = 2 [ei ������ + ei ������ S ������ = 2������ [ei ������ − ei ������ C ������ ，S ������
1 1
] ] (5)
+
我们可以得到如下的关系式
= 2������ 0 >< 0
1
(6)
������ 2 ������ + ������ 2 ������ = 1 − 2������ 0 >< 0
1 ������������������ ∅ = [������ ������������ + ������ −������������ ] 2 ������������������ ∅ = 2������ [������ ������������ − ������ −������������ ]
正弦算符sinÁ、余弦算符co sÁ和光子数算符N 满足下面一系列关系
< ������ cos ∅ f> = < ������ C φ f>(在n ≤ nf 条件下)。而且 < ������ cos ∅ f > 可以不为0, 但< ������ C(φ) f > 则为0。
(19) (20) (21)
最后, 我们可以得到
(△ cos ∅)2 = △ C(φ ) 2 + | < ������ cos ∅ f > |2 ≥ △ C(φ ) 2 △N ∙△ cos ∅ ≥△ N ∙△ C(φ ) ≥ 1 2|< ������������(������)������ >|= 1 2| < ������ | cos ∅ |f > |
[8]
（11） （12）
△A ∙△ B ≥ 1 2|< C > ������|
而，
量子相位算符的不确定关系及其演化方程；
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△O= < O2 >f −< O >f 2
这里，< O >f 是在任意给定的物理态|f >下的平均值。
(O = A, B, C)
(13)
|f >可以在Fock态中展开 |f >= ∞ n=0 Fn |n >
[2]
������ = ������ + ������+
这里湮灭算符 a 可被表为
(1) (2)
������ =
∞ i=0
������ >< ������ + 1 ������ + 1
产生算符������+ 可由(2)的厄密共轭给出。 2.1、Susskind 和Glogower定义的量子相位算符
e������������ =
由(6) 式我们很容易发现, C ������ 和S ������ 不同于经典意义的正弦和余弦函数, 因为二者的平 方和不等于1。这些三角相位算符与光子数算符有以下对易关系
������，C ������ ������，S ������
= −������S ������ ， = −������C ������
同理
△ N ∙△ sin ∅ ≥△ N ∙△ C(������) ≥ | < ������| cos ∅ |f > | △ cos ∅ ∙△ sin ∅ ≥△ S(������) ∙ △ C(������) ≥ 1 4 | < ������|0 >< 0|������ > | ≥ 0
综上，由(20)、(21) 我们可以得出这样的结论: 在不确定关系上, Susskind 相位算符 ������ (φ)和������ (φ) 要优于Pegg相位算符, 即Pegg 相位变化总是大于或等于Susskind 相位变化, 也即是对一给定的物理态|f > ,Susskind 相位起伏要比Pegg 相位起伏小。换言之, 如果态 |f > 是(cos ∅ , ������ ) 或(sin ∅ , ������ ) 的最小不确定态,那么它也一定是(������ (φ ) , N )或 (������ (φ) , N )的最小不确定态, 而反过来确不一定正确。 尽管(10)式中[cos ∅ , sin ∅ ] = 0, 但(21) 告诉我们, 对任意的态|������ > ,△ cos ∅ · △ sin ∅却大于或等于△ ������ (φ ) · △ ������ (φ)。 Pegg 相位变化偏离最小不确定关系的原因主要是态|f >和真空态|0 >的重叠积分不为0, 从而在(19) 式中< ������| cos ∅ |f >或< ������ | sin ∅ |������ > 变得明显了。可以看出Susskind相位算 符的优越性更加特出。
[5]
(7)
2.2、 Pegg和Barnett在s + 1 维空间定义的量子相位算符
ei φ =
������−1 i=0
������ >< ������ + 1 + ei
������ +1 ∅0
������ >< 0
(8)
这里∅0 是一任意常数。在此定义下, eiU是厄密的相位算符。同样可以给出正弦算符 sin ∅和余弦算符cos ∅
（10）
方程组(10) 表明由Pegg和Barnet t 定义的量子相位算符满足经典三角函数的关系, 正弦 算符sin ∅和余弦算符cos ∅也彼此对易, 但此时它们和光子数算符的对易关系变得复杂了。 2、不确定关系 对任意的算符A, B,
C
如果它们满足下面的对易关系
A, B =������ C
将有
[cos ∅， sin ∅]=0 sin 2 ∅+cos 2 ∅=0 ������ ， cos ∅ =−i sin ∅+ ������ ， sin ∅ =−i cos
������ +1 2 ������ +1 ∅+ 2 ������
1
(9)
e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 −e −i ������ +1 ∅0 0><������ e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 +e −i ������ +1 ∅0 0><������
[1− 7 ]
有不少科学家对量子相位算符进行了广泛的研究
。量子相位算符已经被很多科学
家所研究 , 其中最具代表性的要数 Susskind 和 Glogower 在 1964 年以及 Pegg 和 Barnett 在 1988 年定义的量子相位算符了。但长期以来人们还没有找到为广大读者所普遍接受的量子 化相位算符。量子化相位算符至少应具备两点条件: 1. 它应是厄密的, 即是可观测的物理量; 2. 从量子力学理论过渡到经典理论时, 它应具有经典相位的含义。 本文分别从相位算符Susskind和Pegg两者不同的表述方法， 不确定性的推导以及特殊情 况下不确定性的演化方程的优缺点加以分析， 最后本文还将讨论量子相位算符随时间变化时 的情况。 以上作为正文前四部分， 最后第五点讨论Susskind和Pegg两者各自方法的优点和不 足之处，得到本文前者将优于后者的结论。 2、相位算符 最早提出量子相位算符的是Dirac[1] 。他从经典的泊松括号出发, 假设相位算符和光子 数算符满足对易关系 φD ，N = −������。但是, 如果选择如下表象, 设在该表象里光子数算符N 是对角的, 则当我们应用此对易关系在该表象计算φD 的矩阵元的时候就将导致错误 。在 Dirac之后,W. H. Louisell[2]、D.Judge 和J. T. Lewis [3]、L. Susskind 和J. Glogower[4] 、 D. T. Pegg 和S. M. Barnett [5] 等先后为寻找合适的量子相位算符作了大量的理论研究工作。 光子数算符被定义为