量子相位算符的不确定关系及其演化方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 1 页,共 7 页
量子相位算符的不确定关系及其演化方程
陈红(安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011) 指导老师:江燕燕 摘要 量子相位算符已经被很多科学家所研究,其定义也有多种多样, 其中最具代表性
的是Susskind、Glogower定义的相位算符以及Pegg、Barnett定义的相位算符。本文从不确 定关系角度出发, 证明在不确定关系上, 前者将优于后者。 进一步地研究发现: 二者的随时 间演化的方程具有相同的形式。 本文主要从讨论这两种量子相位算符的不确定关系, 并对它 们作详细地比较, 最后给出两种相位算符随时间的演化方程。 本文给出相位算符的演化方程, 它具有与其它力学量算符的演化方程相同形式。 关键词 量子相位算符,不确定关系,对易关系 1、引 言
1 ������������������ ∅ = [������ ������������ + ������ −������������ ] 2 ������������������ ∅ = 2������ [������ ������������ − ������ −������������ ]
正弦算符sinÁ、余弦算符co sÁ和光子数算符N 满足下面一系列关系
(10)
方程组(10) 表明由Pegg和Barnet t 定义的量子相位算符满足经典三角函数的关系, 正弦 算符sin ∅和余弦算符cos ∅也彼此对易, 但此时它们和光子数算符的对易关系变得复杂了。 2、不确定关系 对任意的算符A, B,
C
如果它们满足下面的对易关系
A, B =������ C
将有
在Hilbert 空间里, 我们假设|f > 是归一化的, 即
(14) (15)
< f |f >=
∞ 2 n=0 |Fn |
=1
对足够大的 S , 我们可以认为|Fn |2 仅仅在nf < s (但|f > > Nf , 其中Nf 为态 |f > 中的平均光子数) 的情况下有较明显的值, 那么我们从下式可以发现, Susskind和 Pegg两种量子相位算符在态|������ > 里有相同的平均值。
而它们的起伏
2
(23) (24)
△S(φ)=△ C(φ)= △cos ∅ =△sin ∅= 1 2
于是, 我们求得
△ N ∙△ cos ∅ =△ N ∙△ C φ = 0 △ N ∙△ sin ∅ =△ N ∙△ S φ = 0 △ cos ∅ ∙△ sin ∅ =△ C φ ∙△ S φ = 1 2
[5]
(7)
2.2、 Pegg和Barnett在s + 1 维空间定义的量子相位算符
ei φ =
������−1 i=0
������ >< ������ + 1 + ei
������ +1 ∅0
������ >< 0
(Hale Waihona Puke Baidu)
这里∅0 是一任意常数。在此定义下, eiU是厄密的相位算符。同样可以给出正弦算符 sin ∅和余弦算符cos ∅
∞ i=0
i >< i + 1
(3)
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 2 页,共 7 页
它和湮灭算符a由下式相联系
������ = e������������ ������ + 1
1
1
2
(4)
+
显然ei φ 不是厄密的相位算符,但是可由此定义正弦算符S ������ 和余弦算符C ������
< ������ |������ (φ)|f >= < ������ |������(φ)|f >=
nf ∗ n=0 Fn F n+1 =< ������ | cos ∅ |f > nf ∗ n=0 Fn+1 F n =< ������ sin ∅ f >
(16)
然而, 两种量子相位算符在态|f > 中的方均值确不总是一样的, 当且仅当在一定条件下时 二者才取相同的值。
[2]
������ = ������ + ������+
这里湮灭算符 a 可被表为
(1) (2)
������ =
∞ i=0
������ >< ������ + 1 ������ + 1
产生算符������+ 可由(2)的厄密共轭给出。 2.1、Susskind 和Glogower定义的量子相位算符
e������������ =
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 4 页,共 7 页
3、特殊态下的不确定关系(进一步通过演算分析二者自定义相位算符的特点和优缺) 3.1、Fock 态|n > 首先, 我们用 Fock 态|n> 代替态|f >, 那么当������ < s 时, 可以得到
< ������|������ (������)|������ >=< ������| cos ∅ |n >=0 < ������|������(������)|������ >=< ������| sin ∅ |n >=0
(22)
式(22) 表明在Fock 态|n> 里, 两种量子相位算符有相同的期待值, 而且, 当n≠0 时, 有
< ������|C2 (φ)|n >=< ������|( cos ∅)2 |n >=1 2 < ������|S 2 (φ)|n >=< ������|( sin ∅ ) |n >=1 2
C ������ = 2 [ei ������ + ei ������ S ������ = 2������ [ei ������ − ei ������ C ������ ,S ������
1 1
] ] (5)
+
我们可以得到如下的关系式
= 2������ 0 >< 0
1
(6)
������ 2 ������ + ������ 2 ������ = 1 − 2������ 0 >< 0
(25)
从(25) 式中我们可以发现, 对Fock 态|n > ,Susskind 的量子相位算符和Pegg 的量子相 位算符有完全相同的不确定关系。同时, 我们亦可发现, 在Fock态|n > 下, 两种算符的期 望值都是不确定的, 这是光子数算符和两种相位算符都不对易的必然结果。 3.2、相干态|a > 为了更明显地说明第二节的观点, 我们考虑在相干态|a>下, 两种相位算符的不确定关 系有何特征。相干态|a > 可表为
< ������ cos ∅ f> = < ������ C φ f>(在n ≤ nf 条件下)。而且 < ������ cos ∅ f > 可以不为0, 但< ������ C(φ) f > 则为0。
(19) (20) (21)
最后, 我们可以得到
(△ cos ∅)2 = △ C(φ ) 2 + | < ������ cos ∅ f > |2 ≥ △ C(φ ) 2 △N ∙△ cos ∅ ≥△ N ∙△ C(φ ) ≥ 1 2|< ������������(������)������ >|= 1 2| < ������ | cos ∅ |f > |
由(6) 式我们很容易发现, C ������ 和S ������ 不同于经典意义的正弦和余弦函数, 因为二者的平 方和不等于1。这些三角相位算符与光子数算符有以下对易关系
������,C ������ ������,S ������
= −������S ������ , = −������C ������
(17)
nf n=0
nf n=0
< ������ C φ n >< ������ C φ f >+ | < ������| cos ∅ |f > |2 ≥ (18)
在以上两式中, 我们假设C (φ) 在态|������ >中的矩阵元仅在n ≤ nf 时有值。另外我们在推导 (16) 式中用到了等式 即使对很大的s,
[cos ∅, sin ∅]=0 sin 2 ∅+cos 2 ∅=0 ������ , cos ∅ =−i sin ∅+ ������ , sin ∅ =−i cos
������ +1 2 ������ +1 ∅+ 2 ������
1
(9)
e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 −e −i ������ +1 ∅0 0><������ e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 +e −i ������ +1 ∅0 0><������
[1− 7 ]
有不少科学家对量子相位算符进行了广泛的研究
。量子相位算符已经被很多科学
家所研究 , 其中最具代表性的要数 Susskind 和 Glogower 在 1964 年以及 Pegg 和 Barnett 在 1988 年定义的量子相位算符了。但长期以来人们还没有找到为广大读者所普遍接受的量子 化相位算符。量子化相位算符至少应具备两点条件: 1. 它应是厄密的, 即是可观测的物理量; 2. 从量子力学理论过渡到经典理论时, 它应具有经典相位的含义。 本文分别从相位算符Susskind和Pegg两者不同的表述方法, 不确定性的推导以及特殊情 况下不确定性的演化方程的优缺点加以分析, 最后本文还将讨论量子相位算符随时间变化时 的情况。 以上作为正文前四部分, 最后第五点讨论Susskind和Pegg两者各自方法的优点和不 足之处,得到本文前者将优于后者的结论。 2、相位算符 最早提出量子相位算符的是Dirac[1] 。他从经典的泊松括号出发, 假设相位算符和光子 数算符满足对易关系 φD ,N = −������。但是, 如果选择如下表象, 设在该表象里光子数算符N 是对角的, 则当我们应用此对易关系在该表象计算φD 的矩阵元的时候就将导致错误 。在 Dirac之后,W. H. Louisell[2]、D.Judge 和J. T. Lewis [3]、L. Susskind 和J. Glogower[4] 、 D. T. Pegg 和S. M. Barnett [5] 等先后为寻找合适的量子相位算符作了大量的理论研究工作。 光子数算符被定义为
[8]
(11) (12)
△A ∙△ B ≥ 1 2|< C > ������|
而,
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 3 页,共 7 页
△O= < O2 >f −< O >f 2
这里,< O >f 是在任意给定的物理态|f >下的平均值。
(O = A, B, C)
(13)
|f >可以在Fock态中展开 |f >= ∞ n=0 Fn |n >
nf n=0
< ������ |C2 (φ)|f >= < ������ | cos2 ∅| f >= < ������ cos ∅ f >= < ������ |C(φ)2 |f >
< ������|������ (������)|������ >< ������|������ (������)|������ > < ������ cos ∅ n >< ������ cos ∅ f >+< ������ cos ∅ s >
同理
△ N ∙△ sin ∅ ≥△ N ∙△ C(������) ≥ | < ������| cos ∅ |f > | △ cos ∅ ∙△ sin ∅ ≥△ S(������) ∙ △ C(������) ≥ 1 4 | < ������|0 >< 0|������ > | ≥ 0
综上,由(20)、(21) 我们可以得出这样的结论: 在不确定关系上, Susskind 相位算符 ������ (φ)和������ (φ) 要优于Pegg相位算符, 即Pegg 相位变化总是大于或等于Susskind 相位变化, 也即是对一给定的物理态|f > ,Susskind 相位起伏要比Pegg 相位起伏小。换言之, 如果态 |f > 是(cos ∅ , ������ ) 或(sin ∅ , ������ ) 的最小不确定态,那么它也一定是(������ (φ ) , N )或 (������ (φ) , N )的最小不确定态, 而反过来确不一定正确。 尽管(10)式中[cos ∅ , sin ∅ ] = 0, 但(21) 告诉我们, 对任意的态|������ > ,△ cos ∅ · △ sin ∅却大于或等于△ ������ (φ ) · △ ������ (φ)。 Pegg 相位变化偏离最小不确定关系的原因主要是态|f >和真空态|0 >的重叠积分不为0, 从而在(19) 式中< ������| cos ∅ |f >或< ������ | sin ∅ |������ > 变得明显了。可以看出Susskind相位算 符的优越性更加特出。
第 1 页,共 7 页
量子相位算符的不确定关系及其演化方程
陈红(安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011) 指导老师:江燕燕 摘要 量子相位算符已经被很多科学家所研究,其定义也有多种多样, 其中最具代表性
的是Susskind、Glogower定义的相位算符以及Pegg、Barnett定义的相位算符。本文从不确 定关系角度出发, 证明在不确定关系上, 前者将优于后者。 进一步地研究发现: 二者的随时 间演化的方程具有相同的形式。 本文主要从讨论这两种量子相位算符的不确定关系, 并对它 们作详细地比较, 最后给出两种相位算符随时间的演化方程。 本文给出相位算符的演化方程, 它具有与其它力学量算符的演化方程相同形式。 关键词 量子相位算符,不确定关系,对易关系 1、引 言
1 ������������������ ∅ = [������ ������������ + ������ −������������ ] 2 ������������������ ∅ = 2������ [������ ������������ − ������ −������������ ]
正弦算符sinÁ、余弦算符co sÁ和光子数算符N 满足下面一系列关系
(10)
方程组(10) 表明由Pegg和Barnet t 定义的量子相位算符满足经典三角函数的关系, 正弦 算符sin ∅和余弦算符cos ∅也彼此对易, 但此时它们和光子数算符的对易关系变得复杂了。 2、不确定关系 对任意的算符A, B,
C
如果它们满足下面的对易关系
A, B =������ C
将有
在Hilbert 空间里, 我们假设|f > 是归一化的, 即
(14) (15)
< f |f >=
∞ 2 n=0 |Fn |
=1
对足够大的 S , 我们可以认为|Fn |2 仅仅在nf < s (但|f > > Nf , 其中Nf 为态 |f > 中的平均光子数) 的情况下有较明显的值, 那么我们从下式可以发现, Susskind和 Pegg两种量子相位算符在态|������ > 里有相同的平均值。
而它们的起伏
2
(23) (24)
△S(φ)=△ C(φ)= △cos ∅ =△sin ∅= 1 2
于是, 我们求得
△ N ∙△ cos ∅ =△ N ∙△ C φ = 0 △ N ∙△ sin ∅ =△ N ∙△ S φ = 0 △ cos ∅ ∙△ sin ∅ =△ C φ ∙△ S φ = 1 2
[5]
(7)
2.2、 Pegg和Barnett在s + 1 维空间定义的量子相位算符
ei φ =
������−1 i=0
������ >< ������ + 1 + ei
������ +1 ∅0
������ >< 0
(Hale Waihona Puke Baidu)
这里∅0 是一任意常数。在此定义下, eiU是厄密的相位算符。同样可以给出正弦算符 sin ∅和余弦算符cos ∅
∞ i=0
i >< i + 1
(3)
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 2 页,共 7 页
它和湮灭算符a由下式相联系
������ = e������������ ������ + 1
1
1
2
(4)
+
显然ei φ 不是厄密的相位算符,但是可由此定义正弦算符S ������ 和余弦算符C ������
< ������ |������ (φ)|f >= < ������ |������(φ)|f >=
nf ∗ n=0 Fn F n+1 =< ������ | cos ∅ |f > nf ∗ n=0 Fn+1 F n =< ������ sin ∅ f >
(16)
然而, 两种量子相位算符在态|f > 中的方均值确不总是一样的, 当且仅当在一定条件下时 二者才取相同的值。
[2]
������ = ������ + ������+
这里湮灭算符 a 可被表为
(1) (2)
������ =
∞ i=0
������ >< ������ + 1 ������ + 1
产生算符������+ 可由(2)的厄密共轭给出。 2.1、Susskind 和Glogower定义的量子相位算符
e������������ =
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 4 页,共 7 页
3、特殊态下的不确定关系(进一步通过演算分析二者自定义相位算符的特点和优缺) 3.1、Fock 态|n > 首先, 我们用 Fock 态|n> 代替态|f >, 那么当������ < s 时, 可以得到
< ������|������ (������)|������ >=< ������| cos ∅ |n >=0 < ������|������(������)|������ >=< ������| sin ∅ |n >=0
(22)
式(22) 表明在Fock 态|n> 里, 两种量子相位算符有相同的期待值, 而且, 当n≠0 时, 有
< ������|C2 (φ)|n >=< ������|( cos ∅)2 |n >=1 2 < ������|S 2 (φ)|n >=< ������|( sin ∅ ) |n >=1 2
C ������ = 2 [ei ������ + ei ������ S ������ = 2������ [ei ������ − ei ������ C ������ ,S ������
1 1
] ] (5)
+
我们可以得到如下的关系式
= 2������ 0 >< 0
1
(6)
������ 2 ������ + ������ 2 ������ = 1 − 2������ 0 >< 0
(25)
从(25) 式中我们可以发现, 对Fock 态|n > ,Susskind 的量子相位算符和Pegg 的量子相 位算符有完全相同的不确定关系。同时, 我们亦可发现, 在Fock态|n > 下, 两种算符的期 望值都是不确定的, 这是光子数算符和两种相位算符都不对易的必然结果。 3.2、相干态|a > 为了更明显地说明第二节的观点, 我们考虑在相干态|a>下, 两种相位算符的不确定关 系有何特征。相干态|a > 可表为
< ������ cos ∅ f> = < ������ C φ f>(在n ≤ nf 条件下)。而且 < ������ cos ∅ f > 可以不为0, 但< ������ C(φ) f > 则为0。
(19) (20) (21)
最后, 我们可以得到
(△ cos ∅)2 = △ C(φ ) 2 + | < ������ cos ∅ f > |2 ≥ △ C(φ ) 2 △N ∙△ cos ∅ ≥△ N ∙△ C(φ ) ≥ 1 2|< ������������(������)������ >|= 1 2| < ������ | cos ∅ |f > |
由(6) 式我们很容易发现, C ������ 和S ������ 不同于经典意义的正弦和余弦函数, 因为二者的平 方和不等于1。这些三角相位算符与光子数算符有以下对易关系
������,C ������ ������,S ������
= −������S ������ , = −������C ������
(17)
nf n=0
nf n=0
< ������ C φ n >< ������ C φ f >+ | < ������| cos ∅ |f > |2 ≥ (18)
在以上两式中, 我们假设C (φ) 在态|������ >中的矩阵元仅在n ≤ nf 时有值。另外我们在推导 (16) 式中用到了等式 即使对很大的s,
[cos ∅, sin ∅]=0 sin 2 ∅+cos 2 ∅=0 ������ , cos ∅ =−i sin ∅+ ������ , sin ∅ =−i cos
������ +1 2 ������ +1 ∅+ 2 ������
1
(9)
e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 −e −i ������ +1 ∅0 0><������ e i ������ +1 ∅0 ������ ><0 +e −i ������ +1 ∅0 0><������
[1− 7 ]
有不少科学家对量子相位算符进行了广泛的研究
。量子相位算符已经被很多科学
家所研究 , 其中最具代表性的要数 Susskind 和 Glogower 在 1964 年以及 Pegg 和 Barnett 在 1988 年定义的量子相位算符了。但长期以来人们还没有找到为广大读者所普遍接受的量子 化相位算符。量子化相位算符至少应具备两点条件: 1. 它应是厄密的, 即是可观测的物理量; 2. 从量子力学理论过渡到经典理论时, 它应具有经典相位的含义。 本文分别从相位算符Susskind和Pegg两者不同的表述方法, 不确定性的推导以及特殊情 况下不确定性的演化方程的优缺点加以分析, 最后本文还将讨论量子相位算符随时间变化时 的情况。 以上作为正文前四部分, 最后第五点讨论Susskind和Pegg两者各自方法的优点和不 足之处,得到本文前者将优于后者的结论。 2、相位算符 最早提出量子相位算符的是Dirac[1] 。他从经典的泊松括号出发, 假设相位算符和光子 数算符满足对易关系 φD ,N = −������。但是, 如果选择如下表象, 设在该表象里光子数算符N 是对角的, 则当我们应用此对易关系在该表象计算φD 的矩阵元的时候就将导致错误 。在 Dirac之后,W. H. Louisell[2]、D.Judge 和J. T. Lewis [3]、L. Susskind 和J. Glogower[4] 、 D. T. Pegg 和S. M. Barnett [5] 等先后为寻找合适的量子相位算符作了大量的理论研究工作。 光子数算符被定义为
[8]
(11) (12)
△A ∙△ B ≥ 1 2|< C > ������|
而,
量子相位算符的不确定关系及其演化方程;
第 3 页,共 7 页
△O= < O2 >f −< O >f 2
这里,< O >f 是在任意给定的物理态|f >下的平均值。
(O = A, B, C)
(13)
|f >可以在Fock态中展开 |f >= ∞ n=0 Fn |n >
nf n=0
< ������ |C2 (φ)|f >= < ������ | cos2 ∅| f >= < ������ cos ∅ f >= < ������ |C(φ)2 |f >
< ������|������ (������)|������ >< ������|������ (������)|������ > < ������ cos ∅ n >< ������ cos ∅ f >+< ������ cos ∅ s >
同理
△ N ∙△ sin ∅ ≥△ N ∙△ C(������) ≥ | < ������| cos ∅ |f > | △ cos ∅ ∙△ sin ∅ ≥△ S(������) ∙ △ C(������) ≥ 1 4 | < ������|0 >< 0|������ > | ≥ 0
综上,由(20)、(21) 我们可以得出这样的结论: 在不确定关系上, Susskind 相位算符 ������ (φ)和������ (φ) 要优于Pegg相位算符, 即Pegg 相位变化总是大于或等于Susskind 相位变化, 也即是对一给定的物理态|f > ,Susskind 相位起伏要比Pegg 相位起伏小。换言之, 如果态 |f > 是(cos ∅ , ������ ) 或(sin ∅ , ������ ) 的最小不确定态,那么它也一定是(������ (φ ) , N )或 (������ (φ) , N )的最小不确定态, 而反过来确不一定正确。 尽管(10)式中[cos ∅ , sin ∅ ] = 0, 但(21) 告诉我们, 对任意的态|������ > ,△ cos ∅ · △ sin ∅却大于或等于△ ������ (φ ) · △ ������ (φ)。 Pegg 相位变化偏离最小不确定关系的原因主要是态|f >和真空态|0 >的重叠积分不为0, 从而在(19) 式中< ������| cos ∅ |f >或< ������ | sin ∅ |������ > 变得明显了。可以看出Susskind相位算 符的优越性更加特出。