高考数学专题：指数函数、对数函数、幂函数

高考数学专题复习:指数函数、对数函数、幂函数（理科）

1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x

f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞，

B ．(19]，

C ．(01)，

D ．[9)+∞，

B ；[解析] 函数()3(02)x

f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。

[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。

2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，

()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

A ．()3x

f x = B ．()sin f x x =

C ．2()log f x x =

D ．()tan f x x =

B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，

C 满足()()()f xy f x f y =+，而

D 满足()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-，B 不满足其中任何一个等式。

[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。

3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）

A ．（ln2）2

B ．ln （ln2）

C ．ln 2

D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2

2

1

ln2

4．（2007安徽理，5分）若A=}82

2|{2<≤∈-x

Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 C ；[解析] 由于A=}822|{2<≤∈-x

Z x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而

B=}1|log ||{2>∈x R x =}22

1

0|{><

<∈x x R x 或，那么)(C R B A I =｛0，1｝

，则)(C R B A I 的元素个数为2个。 [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。

5．（2007江苏，5分）设2

()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U

A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧<-+>-+111011x

x x

x

，01<<-∴x 。 [考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数

函数的真数必须大于零的前提条件。

6．（2007北京理，5分）对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2

()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：

命题甲：(2)f x +是偶函数；

命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）

A ．①③

B ．①②

C ．③

D ．②

D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在

(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1

lg(||1)lg(|2|1)lg

|2|1

x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，

(||1)12

lg

lg lg(1)(|2|1)213

x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()cos(2)f x x =+函数

(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合要求。

[考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。

7

．函数)

2

log 2(0)y x =+>的反函数是（ ）

A.142(2)x x y x +=->

B.142(1)x x y x +=->

C.242(2)x x y x +=->

D.242(1)x x y x +=->

C ；[解析] 原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、

D 。

[考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数，但通过原函数与反函数之间的特殊关系，利用排除法加以分析显得更加简单快捷。

8．（2007天津理，5分）设,,a b c 均为正数，且11222

112log ,log ,log ,22b c

a

a b c ⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ）

A.a b c <<

B.c b a <<

C.c a b <<

D.b a c <<

A ；[解析] 由122log a

a =可知0a >21a

⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由12

1log 2b

b ⎛⎫

= ⎪⎝⎭可知

0b >⇒12

0log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2c

c ⎛⎫

= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<。

[考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数