【高考数学】6.3考点2 等比数列的判断与证明

高考真题

（2019•全国II 卷（理））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

【解析】（1）由题意可知，，，，

所以，即，

所以数列是首项为、公比为的等比数列，， 因为，

所以，数列是首项、公差为的等差数列，。

（2）由（1）可知，，，

所以，。

【答案】（1）见解析；（2），。

（2019•全国I 卷（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲

药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，

1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b 111a b -=1

144323442n

n n n n n n n a b a b b a a b 1

112n n n n a b a b {}n n a b +11

2

1

12

n n n a b 11443434

448n n n n n n n n a b a b b a a b 1

1

2n

n n n a b a b {}n n a b -1221n n

a b n 1

12

n n n a b 21n n

a b n 1

112

2

2n n

n n n n

a a

b a b n 11122

2n

n

n n

n n

b a b a b n

112

2n

n a n

112

2n

n

b n

1-1-X (0,1,

,8)i p i =i 00p =81p =11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,

,7)i =(1)a P X ==-

，．假设，．

（i ）证明：为等比数列；

（ii ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

【解析】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，

；；

则的分布列如下：

（2）

，

，，

（i ）

即

整理可得：

是以为首项，为公比的等比数列

（ii ）由（i ）知：

，，……，

作和可得：

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药

更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）. (0)b P X ==(1)c P X ==0.5α=0.8β=1{}i i p p +-(0,1,2,

,7)i =4p 4p X 1-01()()11P X αβ∴=-=-()()()011P X αβαβ==+--()()11P X αβ==-X 0.5α=0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=0.50.20.1c =⨯=()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅()11541,2,,7i

i i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅10p p -4()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅67614p p p -=⋅01014p p p -=⋅(

)

88017

8011114414441143

p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18

3

41

p ∴=

-(

)

440123

44011841441311

44441434141257

p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==

--+4p 41

0.0039257

p =

≈41257

p =