4.1正态分布的概率密度与分布函数解析
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1.正态分布的概率密度与分布函数
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
正态分布的概率密度与分布函数
机变量，期望的计算公式为 $E(X) = int x f(x) dx$，其中 $f(x)$ 是概率密度函数。
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念，它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$，其 中 $mu$ 是期望；对于连续随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称， 即如果一个数据值在均值μ的左侧， 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时，无论数据的 来源和分布情况如何，只要符合 中心极限定理的条件，数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布，如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述， 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述， 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数，其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中，通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$，其中 $N$ 是样本大小，$x_i$ 是每个样
本值，$bar{x}$ 是样本均值。
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念，它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$，其 中 $mu$ 是期望；对于连续随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称， 即如果一个数据值在均值μ的左侧， 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时，无论数据的 来源和分布情况如何，只要符合 中心极限定理的条件，数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布，如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述， 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述， 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数，其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中，通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$，其中 $N$ 是样本大小，$x_i$ 是每个样
本值，$bar{x}$ 是样本均值。
1.正态分布的概率密度与分布函数
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
4.1正态分布的概率密度与分布函数解析
x
dx d x
x
1 e 2π
x2 2
1 e 2π
x2 2
d x，
1 Φ( x ) .
[例1] 设 X 服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X 1.96);
(2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4). 解：P(1.6 X 2.4) ( 2.4 1) ( 1.6 1) 2 2 (0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 (1 0.9032 ) 0.6612.
( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值
区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
小 结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 π
, x .
2.标准正态分布 N (0 ,1) 的概率密度与分布函数：
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
由此可知 X 落在 ( 3 , 3 ) 之外的概率小于 通常把区间 根据小概率事件的实际不可能性原理， 3 ‰，
f ( x )的图形如图所示 .
性质:
1 曲线关于 x 对称 . 这表明对于任意h 0 , 有 P { h X } P{ X h} . 1 . 2 当x 时取到最大值 f ( ) 2 π 3 在x 处曲线有拐点 ; 4曲线以 x 轴为渐近线 ;
正态分布的概率密度与分布函数(修)
正态分布的概率密度函数表达式为：$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
正态分布在实数轴上对称分布，其 概率密度函数关于均值$mu$对称。
参数解释
1 2
均值（$mu$） 正态分布的对称轴，决定了分布的位置。
正态分布在统计学中的应用
在回归分析中的应用
线性回归分析
正态分布是线性回归分析中误差分布的常用假设，它有助于估计未知参数和预测 未来观测值。
逻辑回归分析
在逻辑回归分析中，正态分布用于解释分类变量与连续变量之间的关系，通过概 率转换实现分类目的。
在质量管理中的应用
控制图
正态分布用于制作均值和标准差控制 图，监控生产过程中的产品质量波动。
与t分布的关系
01
t分布是正态分布在样本量较小或数据变异较大时的
近似分布。
02
t分布的形状由自由度决定，当自由度逐渐增大时，t
分布趋近于正态分布。
03
在统计推断中，t检验和t分布经常用于分析小样本数
据或异常值较多的数据集。
与F分布的关系
1
F分布是两个正态分布的比值的分布，常用于方 差卡尔·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss）在1809 年首次对正态分布进行了系统研究， 并将其应用于误差分析。
后续发展
随着统计学和概率论的不断发展， 正态分布在各个领域得到广泛应用， 成为概率论和统计学中的基础分布 之一。
定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率 密度函数（pdf）呈钟形曲线。
正态分布的分布函数形式为：$F(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{(tmu)^2}{2sigma^2}} dt$，其中$mu$和$sigma$分别为均值 和标准差。
4-1正态分布的概率密度与分布函数
由标准正态分布与一般正态分布的关系，若
X ~ N(, 2 )时，
Y X ~N(0,1)
P(| X | ) ( Y 1) 0.6826
P(| X | 2 ) ( Y 2) 0.9544
P(| Y | 3 ) ( Y 3) 0.9974
可以认为，X 的取值几乎全部集中在区间
复习：连续型随机变量的刻画方式有哪些？
1. 概率分布函数或分布函数 F(x):= P(X≤x)
2. 概率分布密度或概率密度：
P x X x x
f (x) lim
,
x0
x
性质：1 o f (x) 0
这两条性质是判定一个函数
f(x)是否为某随机变量X的
2 o
f (x)dx 1
概率密度函数的充要条件.
第一节 正态分布的概率密度 与分布函数
数学与信息技术系
本章我们讨论概率论与数理统计中
最常用、最重要的一种连续型随机变量 的分布——正态分布
现实世界中有许多事件服从或者近似服 从这一分布，如：
实例1 零件的尺寸(P49例) 在自动机床加工 制造零件的过程中，我们周期地抽取一些 样品，测量它们的尺寸，并记录在专用的 表格上。设共抽取250个零件，测得零件尺 寸与规定尺寸的偏差如下表
f (x)
面积为1
o
x
分布函数与概率密度的内在联系：
F x x F x
f (x) lim
x0
x
或者
F
x
P
X
x
x
f
(t)dt,
(I)、正态分布的定义
设 f (x) 定义如下
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
正态分布的概率密度函数__概述说明以及解释
正态分布的概率密度函数概述说明以及解释1. 引言1.1 概述正态分布是统计学中最重要的概率分布之一。
它以其在自然和社会科学中广泛应用而闻名，被许多研究领域所采用。
正态分布的概率密度函数描述了随机变量服从该分布的概率情况。
在本篇文章中，我们将详细介绍正态分布的概率密度函数及其特点，并阐述其在不同领域中的应用以及与假设检验的关系。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开讨论：首先，我们将对正态分布的概念和特点进行定义和解释；接着，将介绍正态分布的表示形式和相关公式；然后，我们会探讨正态分布在统计学、自然科学和社会科学等领域中的应用实例；随后，我们会深入探讨正态性检验方法及常见假设检验示例；最后，我们将总结正态分布概率密度函数的重要性和应用价值，并提出进一步研究方向和问题。
1.3 目的本文旨在全面介绍正态分布的概率密度函数及其特征，并提供实际应用领域的案例。
我们希望读者可以通过本文了解正态分布的基本概念和特点，以及其在各个领域中的重要性和应用价值。
此外，我们也希望为读者进一步研究正态分布提供方向和问题。
2. 正态分布的概率密度函数:2.1 定义与特点:正态分布是统计学中最为常见和重要的概率分布之一。
它的概率密度函数具有如下定义和特点：- 正态分布的概率密度函数表示为f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。
- 正态分布是关于均值对称的，其均值即为其对称轴。
当x接近均值时，正态曲线较高且密集；当x远离均值时，曲线逐渐变得矮而平缓。
- 标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布。
标准正态分布在统计推断中经常被使用。
2.2 表示形式与公式:正态分布的概率密度函数可以通过公式来表示，并绘制成曲线图展示。
该公式表明了不同取值下的数据点所对应的概率密度。
具体地，在给定均值和标准差条件下，我们可以计算出某个特定数值处的概率密度。
例如：假设某个样本服从具有均值μ和标准差σ的正态分布，我们可以使用概率密度函数计算出该样本在某个取值x处的概率密度。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
一般正态分布的概率计算
[定理]
设 X ~ N( , 2) , 则Biblioteka P(x1Xx2
)
(
x2
)
( x1
).
证：
t
x
P(x1 X x2 )
1
x2 t2
e 2 dt
2 π x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
正态分布(或高斯分布).
记作：
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布.
记为：
X ~ N (0 ,1).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的概率密度
f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2
即 P( X 168 x 168) 0.99, ( x 168) 0.99,
由于
7
7
(2.33) 0.9901 0.99, 可取
7 x 168 2.33
x 184.31
7
故车门高度应设计为
184.31 厘米。
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量
X 服从标准正态分布
2 π
( x2 ) ( x1 ).
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量
X 服从正态分布
P(1.6 X 2.4).
N (1 ,22 ) , 求概率
解： P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
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证 Z X 的分布函数为
P{Z
x}
P
X
x
P{ X
x}
1
x
e
(
t )2 2 2
dt，
2π
令 t
u,得
P{Z
x}
1 ex u2 2du Φ( x) 2π
由此知 Z X ~ N (0,1) .
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布 .
其概率密度和分布函数 分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
(x)
Φ(x)
1 ex2 2 , 2π
1 ex t2 2dt .
2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; () 1; ( x) 1 ( x).
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定 . 称
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦, σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为 F(x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
1 (l 170) 0.01 ,
6
即 (l 170) 0.99 . 查表得 l 170 2.33 ,
6
6
故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
证明 Φ( x) 1 Φ( x) .
证明 Φ( x)
x
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 d x
x
1
e
x2 2
d
x，
2π
2π
1 Φ(x) .
[例1] 设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
例3 设某城市成年男子的身 高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2) 问应如何设计公共汽车 车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于 0.01 ?
[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1, x2 ] ,
有
P{ x1
X
x2 }
P
x1
X
x2
Φ
x2
Φ
x1
.
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
有 P{ h X } P{ X h} .
2 当x 时取到最大值 f ()
1.
2π
3 在x 处曲线有拐点 ;
4曲线以 x 轴为渐近线 ;
5如果固定 , 改变 的值 , 则图形沿着 Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
解（1）
P{ X
165}
P
X
170 6
165
6
170
1 (0.83) (0.83) 0.7967.
(2) 由题设知 X ~ N (170,62 ) ,
P{X l} 1 P{X l}
1
P
X
170 6
l
170 6
正态分布概率的计算
P{ X x} F ( x) 1
e d t x
(
t μ)2 2σ2
原函数不是 初等函数
2πσ
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N (, 2 ) , 则 Z X ~ N (0,1) .
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量 X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为 μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N ( μ,σ2 ) .
显然f ( x) 0 ,下面来证明 f ( x)dx 1 .
I 2 2π rer2 2drd 2π， 00
故有 I 2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1 .
2π
2π
f ( x)的图形如图所示 .
性质:
1 曲线关于 x 对称 . 这表明对于任意 h 0 ,
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
令 ( x ) t , 得到
1
e
(
x )2 2 2
dx
2
1 et2 2dt，2 记 I e t2 2dt , 则有I 2 e (t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
而I 0, 于是