第十一章能量法讲解
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八年级下册物理第十一章第一节功讲解
在八年级下册物理课程中，第十一章第一节的内容是关于功的讲解。
功是物体受力作用下发生的能量转化过程，是物体对外界做功的表现。
在这篇文章中，我将深入探讨功的概念和相关知识，帮助你全面理解这一物理学的重要内容。
1. 什么是功在物理学中，功通常用来描述物体受力作用下的能量转化过程。
当一个力对物体做功时，物体的能量发生了变化。
在力的作用下，物体的位置、速度或形状发生变化，这种变化所表现出来的能量转化过程就是功。
2. 功的计算公式在物理中，功的计算公式是：\[W = F \cdot s \cdot \cos\theta\]其中，W代表功，F代表力的大小，s代表物体受力移动的距离，\(\theta\)代表力和位移方向的夹角。
这个公式告诉我们，力的大小、作用距离和方向都对功产生影响。
3. 功的单位和量纲功的单位是焦耳（J），国际单位制中的量纲是\[ [W] = ML^2T^{-2} \]这里的M代表质量，L代表长度，T代表时间。
这说明功的量纲是质量乘以长度的平方除以时间的平方。
4. 功的正负和能量转化当力和位移方向相所做的功是正功，表示能量是外界传递给物体的；当力和位移方向相反时，所做的功是负功，表示能量是外界由物体传递给外界的。
这表明了功和能量转化之间的密切关系。
5. 功率功率是描述物体做功效率的物理量，常用单位是瓦特（W）。
功率的计算公式是\[P=\frac{W}{t}\]其中，P代表功率，W代表功，t代表时间。
这意味着功率越大，单位时间内做的功就越多，效率就越高。
6. 个人理解从我的学习和教学经验来看，功是物理学中非常重要的概念之一。
通过对功的深入理解，可以更好地理解物体在受力作用下的能量转化过程，也可以更好地理解机械能守恒定律、功率和机械效率等内容。
对功的理解是物理学学习的重要一步。
总结回顾，通过本文的阐述，我们对功的概念、计算公式、单位和量纲、正负和能量转化、以及功率等内容有了比较全面的了解。
通过深入理解这些内容，我们也能更好地应用这些知识来解决实际问题，为我们今后的学习和生活提供帮助。
材料力学能量法第1节 杆件的变形能
解：梁的弯矩方程为
M (x) Me
则梁的变形能为
U
l
0
Me2 2EI
dx
M e2l 2EI
外力矩 M e 所做功
W
1 2
M eB
根据功能原理 U W
M e2l 2EI
1 2
M eB
B
Mel EI
例11-4 简支梁 AB 如图，C点受集中力 F 作用， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量，求梁的变形能以及梁 C 点
• 对于组合变形下的杆件，在其截面上同时存在轴
力 FN (x) 、 弯矩 M (x) 和扭矩 T (x) 几种内力。
在线弹性和小变形条件下，各种内力只在与各自 引起的变形上做功，组合变形杆件的总变形能等 于与各种内力相应的变形能之和。即
U
l
FN2 (x) 2EA
dx
l
M 2(x) 2GI
dx
• 全梁的变形能
U
W
l
M 2 (x) 2EI
dx
结论
U
W
1 2
F
• 式中，F 为广义力， 是与 F 对应的广义位移
表 11-1 广义力与对应的广义位移
变形情形 拉 伸
扭转
弯曲
广义力 F 拉力 F 扭转力偶矩 T 弯曲力矩 M
广义位移 线位移 l 扭转角
转角
5、组合变形杆件的变形能
• 梁纯弯曲时 A、B 端面 的相对转角
l
M el EI
• 在线弹性范围内，弯 曲力偶矩所做的功
W
1 2
M e
• 梁纯弯曲时的变形能
M (x) Me
则梁的变形能为
U
l
0
Me2 2EI
dx
M e2l 2EI
外力矩 M e 所做功
W
1 2
M eB
根据功能原理 U W
M e2l 2EI
1 2
M eB
B
Mel EI
例11-4 简支梁 AB 如图，C点受集中力 F 作用， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量，求梁的变形能以及梁 C 点
• 对于组合变形下的杆件，在其截面上同时存在轴
力 FN (x) 、 弯矩 M (x) 和扭矩 T (x) 几种内力。
在线弹性和小变形条件下，各种内力只在与各自 引起的变形上做功，组合变形杆件的总变形能等 于与各种内力相应的变形能之和。即
U
l
FN2 (x) 2EA
dx
l
M 2(x) 2GI
dx
• 全梁的变形能
U
W
l
M 2 (x) 2EI
dx
结论
U
W
1 2
F
• 式中，F 为广义力， 是与 F 对应的广义位移
表 11-1 广义力与对应的广义位移
变形情形 拉 伸
扭转
弯曲
广义力 F 拉力 F 扭转力偶矩 T 弯曲力矩 M
广义位移 线位移 l 扭转角
转角
5、组合变形杆件的变形能
• 梁纯弯曲时 A、B 端面 的相对转角
l
M el EI
• 在线弹性范围内，弯 曲力偶矩所做的功
W
1 2
M e
• 梁纯弯曲时的变形能
能量法
11 X 1 1 p 0 11 ( X1 ) 11 X1 11 X 1 1P 0
1P , 11
MP
l
X1 1
M1
4、系数与自由项
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
求C点挠度。
M ( x)M ( x) 莫尔定理 dx EI （莫尔积分） l M ( x)M ( x) dx EI l
对于组合变形： FN ( x)FN ( x) T ( x)T ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx EA GI p EI l l l
M 1 m
6
6
M 1M P 702 dx EI EI
2 P
15
M 2M P 520 dx EI EI
X2 1
M 2 m
4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
能量法
能量法
一 外力功 二 变形能
三 利用功能原理计算位移
四 求位移的卡氏定理
五 单位载荷法 莫尔积分
六 力法
能量法/一 外力功 一 外力功 定义:
任何弹性体在外力作用下都要发生变
形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线
方向所作的功,称为外力功。
能量法/一 外力功
计算
1、常力作功
若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
时，才可应用。 4 变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆
材料力学课程讲义 (5)
T ( x2 ) = - Fa
Ay =
∫
a
0
M( x1 )M( x1 ) dx1 + EI
∫
M( x2 )M( x2 ) dx2 + EI 0
l
∫
l 0
l
0
T( x2 )T( x2 ) dx2 EIt
Ay =
∫
a
0
x1 Fx1 dx1 + EI
∫
x2 Fx2 dx2 + EI 0
l
∫
a Fa dx2 EIt
§4 变形体虚功原理
变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明
变形体虚功原理 几个概念
可能内力与外力（静力许可场） 可能内力与外力（静力许可场） 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的 与外力保持平衡并满足静力边界条件的 内力，称为静力可能内力 静力可能内力或 内力，称为静力可能内力或可能内力 2）杆的可能内力用 N,T,FS与M表示 杆的可能内力用F 杆的可能内力用 表示 3）可能内力与外力 可能内力与外力 结构的静力许可场
l
∫ [F
l
N( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy
+ Mz ( x)dθz ]
= ∫ [FN( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy + Mz ( x)dθz ]
l
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷 －广义位移，施加相应单位广义载荷 广义位移，施加相应单位广义载荷
We = ∫ q( x )w ( x )d x + M e e + Fp l
l
变形体虚功原理
Ay =
∫
a
0
M( x1 )M( x1 ) dx1 + EI
∫
M( x2 )M( x2 ) dx2 + EI 0
l
∫
l 0
l
0
T( x2 )T( x2 ) dx2 EIt
Ay =
∫
a
0
x1 Fx1 dx1 + EI
∫
x2 Fx2 dx2 + EI 0
l
∫
a Fa dx2 EIt
§4 变形体虚功原理
变形体虚功原理 变形体虚功原理的证明
变形体虚功原理 几个概念
可能内力与外力（静力许可场） 可能内力与外力（静力许可场） 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的 与外力保持平衡并满足静力边界条件的 内力，称为静力可能内力 静力可能内力或 内力，称为静力可能内力或可能内力 2）杆的可能内力用 N,T,FS与M表示 杆的可能内力用F 杆的可能内力用 表示 3）可能内力与外力 可能内力与外力 结构的静力许可场
l
∫ [F
l
N( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy
+ Mz ( x)dθz ]
= ∫ [FN( x)dδ + T( x)dφ + M y ( x)dθy + Mz ( x)dθz ]
l
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷 －广义位移，施加相应单位广义载荷 广义位移，施加相应单位广义载荷
We = ∫ q( x )w ( x )d x + M e e + Fp l
l
变形体虚功原理
十能量方法专题培训
PL2
2 EI
A 2 P E L I 2 “负号”阐明 A与所加广义力MA反向。( )
22
[例6 ] 构造如图，用卡氏定理求梁旳挠曲线。
x A
Px P 解：求挠曲线——任意点旳挠度 f（x）
BC
没有与f（x）相相应旳力，加之。
L x1
O
x
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1)
其变形能是否为：
U
P12 L1
P2 2
L2
?
2EA 2EA
二、试述怎样用卡氏定理求图示梁自由端旳挠度。
三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔 定理求A、B两点间旳相对位移（忽视CD段旳拉伸变 形）。
30
2 dx dx 解： AB
a M x1 M 0 x1
a / 2 M x2 M 0 x2
M
0
(
x)
x1 2a
qx12 2
BC:
M
(
x)qax2
qx22 2
M0(x)
x2 2a
c a M ( x)M 0 ( x) dx
0( AB )
EI
a M ( x)M 0 ( x) dx
0( BC )
EI
1 EI
a
(qax1
0
qx12 ) x1 2 2a
dx1
1 EI
a 0
(qax2
qx22 ) 2
1.轴向拉压杆旳变形能计算：
U
L
N 2 ( x) dx 2EA
n
或U
N
2 i
Li
i1 2Ei Ai
比能 : u 1U
M
教科版2020年物理九年级下册第11章《第1节 能量守恒定律》教案
教案：教科版2020年物理九年级下册第11章《第1节能量守恒定律》一、教学内容本节课的教学内容来自教科版2020年物理九年级下册第11章的第1节，主要讲述能量守恒定律。
具体内容包括：1. 能量守恒定律的定义和表述；2. 能量守恒定律的证明和应用；3. 能量守恒定律在生活中的实例分析。
二、教学目标1. 让学生理解能量守恒定律的定义和表述，知道能量守恒定律是自然界中最基本的定律之一；2. 通过实例分析，让学生掌握能量守恒定律的应用，提高学生的实际问题解决能力；3. 培养学生对物理学的兴趣，激发学生探索自然界的基本规律的热情。
三、教学难点与重点1. 教学难点：能量守恒定律的证明和应用；2. 教学重点：能量守恒定律的定义和表述，能量守恒定律在生活中的实例分析。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：教科书、笔记本、彩色笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些日常生活中的现象，如烧水、照明等，引导学生思考这些现象背后的物理规律。
2. 知识讲解：介绍能量守恒定律的定义和表述，解释能量守恒定律的意义和作用。
3. 例题讲解：选取一些与能量守恒定律相关的例题，进行详细讲解，让学生理解并掌握能量守恒定律的应用。
4. 随堂练习：布置一些随堂练习题，让学生运用能量守恒定律解决问题，巩固所学知识。
5. 实例分析：分析一些生活中的实例，如燃料燃烧、机器工作等，让学生了解能量守恒定律在实际中的应用。
6. 课堂小结：7. 布置作业：布置一些有关能量守恒定律的作业题，让学生进一步巩固所学知识。
六、板书设计1. 能量守恒定律的定义和表述；2. 能量守恒定律的证明和应用；3. 能量守恒定律在生活中的实例分析。
七、作业设计1. 题目：计算一盏灯泡的功率。
已知灯泡的电压为220V，电流为0.8A，求灯泡的功率。
2. 答案：灯泡的功率 = 电压× 电流= 220V × 0.8A = 176W八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实例分析、随堂练习等形式，让学生掌握了能量守恒定律的应用。
初中物理 第十一章 功和机械能 A3打印 思维导图
第十一章 功和机械能
功
动能和势能
机械能及其转化
功率 定
义：作用在物体上的力与物体在力的方向上移
动的距离的乘积 定
义：做功与完成这些功所用的时间比值
意义：表示做功的多少
意义：表示做工的快慢
单位：J （焦耳）
单位：W （瓦特）
公式：W=FS
公式、
常见的不做功现象
踢球，球飞出去
里不是持续施加在足球上
推箱子，没有移动
有力但不产生移动
提着水桶先前走
力的方向上没有距离
功的计算
拉力做功：W=Fs
重力做功：W=Gh
克服阻力做功：W=fs
动能
势能
物体由于运动而具有的能
重力势能
弹性势能
受到重力且有一定高度产生的能
发生弹性形变具有的能
影响因素
质量越大，动能越大
速度越大，动能越大
影响因素
质量越大，重力势能越大
高度越高，重力势能越大
影响因素
形变越大，弹性势能越大
定义：动能、重力势能和弹性势能的统称
转化：动能和势能可以相互转化
利用
风能
潮汐能
能力守恒 机
械守恒：如果只有动能和势能相互转化，机械
能的总和不变 能
力不会凭空产生，也不会凭空消失，知识由一
种能量转化为另一种能量
相互之间可以转化。
人教版部编版八年级 物理下册第11章功和机械能【全章】PPT教学课件
没有办法，考得再差，也得回家啊！请问，下列情景中， 小卫对书包是否做功？
用手将抽屉推好，手对抽屉做功了吗？
波比从楼上摔了下来，摔得鼻青脸肿的，什么力对波比 做了功？
下面哪些情景有功存在
图丙杠铃被举在高 处静止不动，尽管 运动员对杠铃用了 力，但杠铃没有在 力的方向上移动一 段距离，所以运动 员对杠铃没有做功。 （劳而无功）
1.重100 N的物体由于惯性在光滑的水平面上匀速 前进4m，外力做的功为 0 J，重力做的功为
0 J。 2.放学后，某同学背着重40 N的书包沿水平路面走了 200 m，又登上大约10 m高的四楼才回到家。则他在回 家的过程中对书包做的功约为（ B ） A.0J B.400J C.2000J D.2400J
解:马拉车所用的力与摩擦力大小相等方向相反, F=F摩=800 N 马移动的距离s=3 000 m
Ｗ＝Ｆs=800 N×3 000 m=2.4×106 J
答：马运货时做的功是2.4×106 J。
在平地上，一小朋友用50 N的水平推力推动重100 N的箱 子，前进了10 m，推箱子的小朋友做了多少功？如果把 这个箱子匀速举高1.5 m，他做了多少功？
二、物体在运动方向上不受力的作用，由于惯性而运动 F=0，不劳无功
三、物体受到某力的作用，但运动方向始终与该力方向 垂直
F⊥s，劳而无功
小车陷入草地中，农夫用力没能推出，农夫对小车做功 了吗？
这棵树好大啊，抱回家吧！他抱得动吗？他对树做功了吗？
期中考试没考好，小卫无精打采地背着书包走在校园林 间小道上，小卫对书包做功了吗？
43
在甲、乙搬砖时丙同学也来参加，他搬砖105块用去35 分钟时间
s Ｆ
锤子对钉
子的锤力F
【最新】教科版九年级物理下册第11章同步教学课件11.1能量守恒定律(共22张PPT)
活，终于有一天， 这个可怜的年轻人厌倦了这种生活，他就想 ：有没有一种机器 可以代替我干活呢? 它只干活不休息，也不需要什么能量 ，要是有的话就太好了. 据说这个就是最早的关于永动机的想法 。这个思想的火 花在1200年前从印 度出发， 传到了伊斯兰教世界， 并传到了西方。
永动机的梦想
大约在1570年，意大利有一位 教授叫泰斯尼尔斯，提出用磁石 的吸力可以实现永动机。他的设
【学习目标】
知识与技能
1.了解各种不同形式的能，知道能量是一个重要的物理量. 2.理解能量守恒定律，知道能源和能量耗散。 3.能用能量守恒的观点分析、解释实际问题. 过程与方法 通过对生活中能量转化的实例分析，理解能量守恒定律的确切含义 情感、态度与价值观 感知我们周围能源的耗散，树立节能意识。
【学习重点】 【学习难点】
计如图所示，A是一个磁石，铁
球C受磁石吸引可沿斜面滚上去 ，滚到上端的E处，从小洞B落下
，经曲面BFC返回，复又被磁石
吸引，铁球就可以沿螺旋途径连 续运动下去。
永动机梦想的破灭
此外，人们还提出过利用轮子的惯性、细管子的
毛细作用、 电磁力、流水等获得有效动力的种种永
动机设计方案，但都无一例外地失败了! 层出不穷的永动机设计方案，都在科学的严格
能量守恒定律的内容与应用 对功能关系的理解及应用
【课
时】
1课时
1．能量守恒定律：
(1)定律内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它 转化 为另一种形式， 或者从一个物体 只 能 从 一种 形 式 ________ 转移 ________ 到另一个物体，在转化或转移的过程中，能的总量 保持不变 .
(4)跳伞运动员打开降落伞后，匀速下降阶段是 机械 内 _________ 能转化为_________ 能。
材料力学 第11章 能量法讲解
x Me
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)
FA x M e
x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx
M e2l 6EI
15/65
11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
10/65
11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W
1 2
F1 Δ11
1 2
F2 Δ22
F1 Δ12
上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W
1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
12/65
11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε
FN2 (x)dx 2EA
T 2 (x)dx 2GIp
M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
人教版八年级物理下册第11章第三节《动能和势能》公开课教学课件共46张PPT
究因——拓展
小车具有能量的原因是什么？ 在生活中还有哪些物体也具有与小车相同性质的能量？
子弹穿过石柱
归纳—定义
这些物体有何共同特点？你能给这种能量 命名和定义吗？
运动
动能
通过什么现象反映出小车动能大小？
具有能量
能够做功
能量大小
做功多少
动动能更大？
地震和海啸后
日本
中国汶川
比比谁的经济实力强
VS
小组探究、展示
比赛：看谁的飞机机械能大
3、在研究物体的重力势能与哪些因素有关的试验中,三个相同 的木桩被从空中静止释放的铁块撞击,陷入沙坑中的情况如图所 示,在此实验中,我们是通过观察什么来比较各铁块重力势能的大 小? 答:_____________________________________ _____.
若A,B两铁块质量相等,则两铁块下落高度的关系是 hA_____hB;若A,C两铁块下落的高度相等,则两铁块质量的 关系是mA_____mC;实验得出的结论是:物体重力势能的大 小与_____________ 、____________有关.
课堂小结 本节课知识上你有哪些收获？
(能量) 动能
机械能 重力势能
势能
速度 质量
高度 质量
弹性势能
弹性形变大 小
本节课方法上你有哪些的收获？
当堂测评
1、下列物体中只具有动能的有
,只具
有重力势能的有
，既具有动能又具
有重力势能的有
。(填序号)
A、水平公路上行驶的汽车。B、空中停着 的直升机。C、被起重机举起的空中静止的 集装箱。D、被运动员掷出在空中飞行的铅 球。E、光滑水平面上匀速运动的小车。F、 从枪膛里被射出的子弹。
第十一章.静不定系统
代入结果（1）（2）得：
X1
P 2
由于 N iP N i N i0 X 1 故可将 X 1 及表中的有关数据代入即 可求得各杆轴力。 附： 多次静不定系统的正则方程： 举例说明： 例11—3：图a为一二次静不定梁，试求其正则方程：
P
B
(a )
解： （一）建立基本静定系如图b所示：
1P 2 P 11 12 22 21 的物理意义分别如图c、d、e所示，
（3）建立变形协调条件并确定 R B 由于B点实际为一活动铰，故
1 L3 L4 即： RB EI 3 8
fB 0
3 q 0 RB RL 8
（所求数值为正，说明RB的实际作用方向与 假设方向一致） 总结：同叠加法比较，利用卡氏定理求解fB 要比用叠加 法求 fB 要简单，尤其在作用较多载荷时，故一般情况下， 建议 采用该种方法来求解弯曲静不定问题。
——(2)
（四）建立正则方程： 1.因CD杆为一连续杆，故
1 0 ，从而正则方程应为：
1P 11 X 1 0
代入结果（1）（2）得：
X1
Pe2 L l e2 1 1 8I 2 I A A1
1 A
讨论：上式分母中的第2项
下，因 大的影响。
例11—4：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。
P
P
MB
B
NB P
B
R
P
120
0
P
P
P
P
P
C
MA
A
P
解：
由对称性知：A、B截面上剪力为零
NA
o
P
MA MB P NA NB 3
材料力学第11章能量方法
M 2 ( x) M 2 ( x) M ( x) M ( x) dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
M ( x) M ( x) U P0 U P x) dx l EI
莫尔积分
其中：M(x)：只在实际载荷作用下的弯矩方程 : )x ( M 只在在单位力作用下的弯矩方程
单独产生的变形
1 1 1 dU N ( x)d (l ) M ( x)d T ( x)d 2 2 2
N 2 ( x)dx M 2 ( x)dx T 2 ( x)dx U l l l 2GI 2EA 2EI P
计算变形能的方法：（1）求内力
例题
（2）利用公式
21
§11.4 互等定理
例：轴向拉压杆 外力作的功：
dw=P· ｄ（Δl）
W P d (l )
0
l
4
W P d (l )
1 P l 2
在线弹性范围内
0
l
1 U W P l 2
当:
Pl l EA
2
N l U 2 EA
5 变形比能:
dU u dV 1 dU u d 0 dV
63 例:用能量法的方法求图示刚架B点水平位移。EI=常 数，略去轴力、剪力对变形的影响。 解： ⑴在真实载荷作用下 求支反力
R A RB
列内力方程：
m a
BC:
AC:
m M ( x1 ) x1 a
M ( x2 ) 0
64 ⑵B点加一水平单位力 求支反力 R A RB 3 2 列内力方程：
n
2 i i
变形比能
1 u 2 ２．剪切：
变形比能
M ( x) M ( x) U P0 U P x) dx l EI
莫尔积分
其中：M(x)：只在实际载荷作用下的弯矩方程 : )x ( M 只在在单位力作用下的弯矩方程
单独产生的变形
1 1 1 dU N ( x)d (l ) M ( x)d T ( x)d 2 2 2
N 2 ( x)dx M 2 ( x)dx T 2 ( x)dx U l l l 2GI 2EA 2EI P
计算变形能的方法：（1）求内力
例题
（2）利用公式
21
§11.4 互等定理
例：轴向拉压杆 外力作的功：
dw=P· ｄ（Δl）
W P d (l )
0
l
4
W P d (l )
1 P l 2
在线弹性范围内
0
l
1 U W P l 2
当:
Pl l EA
2
N l U 2 EA
5 变形比能:
dU u dV 1 dU u d 0 dV
63 例:用能量法的方法求图示刚架B点水平位移。EI=常 数，略去轴力、剪力对变形的影响。 解： ⑴在真实载荷作用下 求支反力
R A RB
列内力方程：
m a
BC:
AC:
m M ( x1 ) x1 a
M ( x2 ) 0
64 ⑵B点加一水平单位力 求支反力 R A RB 3 2 列内力方程：
n
2 i i
变形比能
1 u 2 ２．剪切：
变形比能
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F1
F2
Fi
Δ1
Δ2
Δi
此时 Vc= Vc( F1, F2, …, Fi , … ) 如果只有 Fi 有一个增量dFi ,
余功增量为 dWc= Δi dFi
余能增量为
dVc
Vc Fi
d Fi
dVc = dWc
Crotti-Engesser定Δi理（VF卡ci 氏第一定理）
弹性体的余能对某个载荷的一阶导数，等于
（想一想:如果与加载顺序有关将会出 现什么结果？）
§11.2 杆件的应变能
一、外力功的计算 F —— 广义力（力，力偶）
Δ —— 广义位移（线位移，角位移）
1. 常力做功
W = FΔ
2. 静载荷做功
（1）一般弹性体
Δ
W F d
0
F-Δ 图下方面积
（2）线弹性体
W 1 FΔ 2
F F
F
O
d Δ
一、余功、余能
F
定义
F
余功Wc
Wc dF
余能Vc
W
F
Vc Wc dF
δ
Δ
Δ
0
显然 Wc= Wc( F ) Vc= Vc( F )
二、Crotti-Engesser定理
设弹性体（不一定是线性的）上
作用力
F1, F2, …, Fi , …,
对应点位移 Δ1, Δ2, …, Δi , …
无刚性位移。
梁的弯矩方程为 M =－Fx （0≤x＜l）
wA
V F
Hale Waihona Puke l M M dx0 EI F
1 EI
l
Fx xd x
0
Fl 3
3EI
例题
2.求梁中点(非加力点)B 的挠度
F
F1
A
B
xx
在B处施加与所求挠度方向
Δ
F F
O
Δ
Δ
克拉贝隆原理 Clapeyron
线弹性体上，作用力 F1 , F2 ,…, Fi ,…, Fn
对应位移 Δ1 ,Δ2 , …,Δi , …, Δn
外力功为
W
1 2 F1 Δ1
1 2 F2 Δ2
1 2 Fi Δi
1 2
Fn Δn
n 1
V W i1 2 Fi Δi
线弹性体的外力功或 应变能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
x
l
B 求： 用功能原理计算A点挠度 解：1. 建立坐标系 2. 求弯矩方程
M =－F x
（0≤x＜ l ）
3. 求外力功W 和应变能 Vε
1 W 2 FwA
4.求wA
l M 2 d x l Fx2
F 2l3
V
0
2EI
0
2EI
dx 6EI
Vε = W
wA
2V F
Fl 3
3EI
§11.3 卡氏定理
25
材力11-1
内容
要求 练习 作业
Chap.11 能量法 11.1 概念 11.2 应变能 11.3 卡氏定理 11.4 虚功原理 掌握杆件应变能计算，功能原理，
会卡氏定理，懂虚功原理。
功能原理1，卡氏定理1 11-3，7，9，11（b）
第十一章 能量法
§11.1 概述 一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。 可用来求解变形、静不定、动荷、 稳定等问题。
4. 只适用于线弹性体。
图示力系的外力功为
1
1
1
1
W 2 F1Δ1 2 F2 Δ2 2 F3 Δ3 2 F4 Δ4
式中广义力包括集中力、集中力偶等，而 则为与广义
力相应的广义位移。
F3
Δ4
Δ3
F4
a
F2
F1
Δ2 Δ1
思考
V
W
n1 i1 2 Fi Δi
Clabeyron原理是否可以理解成 叠加原理？
d
M
M
dx
w d M
d x EI
d M d x
EI
dV
dW
1 M d
2
M 2xd x
2EI
M 2x
V W
l
2EI
dx
忽略剪力影响，如矩形截面，当l /h=10时，
剪力的影响只占弯矩的 3﹪.
（二）组合变形
据Clabeyron原理， 微段dx上
dV
dW
1 2
FN
dl
1 M d
2
1T d
不成立。
Vε
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
Vε是载荷的二次函数，叠加原理不成立。 组合变形应变能计算是否用了叠加原理？
当各载荷互相独立时，可以用叠加原理 当各载荷互相不独立时，不能用叠加原理 讨论 P.191 11-1，11-2题
F
已知：EI=常数
例题
A
wA
2
FN2 d x M 2 d x T 2 d x 2EA 2EI 2GIp
M T FN
dx
全杆
V
W
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
（三）弹性应变能的性质
V
l
FN2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
1. Vε ＞ 0 （正定）； 2. Vε是载荷的二次函数，叠加原理
二、外力功与应变能
1. 外力功W
F
Δ
载荷在其作用点位移上所作的功。
2. 应变能Vε
弹性体因载荷引起的变形而储存的能量（J）。
三、功能原理
条件： （1）弹性体 （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失
原理：外力功全部转化成弹性体的应变能.
V W
四、外力功与应变能的特点
数值与加载顺序无关，只与载荷与位 移的最终数值有关。
Δi
V Fi
FN FN d x M M d x T T d x
l EA Fi
l EI Fi
l GIp Fi
例题
F
A
B
x
l/2
C l/2
线弹性材料悬臂梁受力如
图，若F，EI(常数），l 等均
为已知，试用卡氏定理求：
1.加力点 A 处的挠度； 2.梁中点 B 处的挠度。
解：1.求 A 点挠度
该载荷作用点的相应位移。
三、卡氏定理 Castigliano Second Theorem
线弹性体
Vε = Vc
Δi
V Fi
卡氏定理
F
F
Vc
Vε
Δ
Δ
线弹性体的应变能对于某个力的一阶偏导数， 等于这个力作用点的相应位移。
对线弹性杆系结构
V
l
FN 2 d x 2EA
l
M2dx 2EI
l
T2dx 2GIp
二、线弹性体的应变能
F
（一）简单变形
1. 轴向拉压
F
F
l
△l
O
△l
⊿
l FNl EA
V
W
1 Fl 2
FN 2 l 2EA
FN为变量时
V
l
FN2 x d x
2EA
2. 扭转
Tl
GIp T 是变量时
Me
Me T
φ
φ
φ
V
W
1 2
M e
T 2l 2GIP
V
l
T 2x
dx 2GI P
3. 平面弯曲
n 1
V W i1 2 Fi Δi
注:
1. Δi 尽管是Fi 作用点的位移，但它不是Fi 一
个力引起的， 而是所有的力共同作用的结果，即
它是 i 点实际位移;
2. Δi 是Fi 作用线方向的位移. Fi Δi 为正，表 明Fi 作正功， Δi 与Fi 方向相同；为负则相反；
3. Fi为集中力， Δi 则为线位移； Fi为集中力 偶， Δi 则为角位移；