专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型(原卷版)

专题07 二次函数中基于对称轴进行分类讨论及求解函数最值题型 ·. 二次函数2

22424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的最值问题为： （1）当a >0时，当x =2b a

-时有最小值，最小值为：244ac b a -； （2）当a <0时，当x =2b a

-时有最大值，最大值为：244ac b a -. ·. 当二次函数的自变量取值范围不是全体实数时，需要考虑取值范围与对称轴的关系，再进行求解. 题型一、二次函数函数值的取值范围与一元二次方程的解的关系

1.（2019·山东潍坊中考）抛物线y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2

+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11

B ．t ≥2

C ．6＜t ＜11

D ．2≤t ＜6 二、二次函数对称轴位置不同产生的不同最值问题

2. （2019·浙江台州中考）

已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（﹣2，4）．

（1）求b ，c 满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（m ，n ），当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值．

题型三、二次函数增减性与对称轴的关系

3. （2019·山东临沂中考）在平面直角坐标系中，直线y =x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a ＜经过点A 、B .

（1）求a 、b 满足的关系式及c 的值.

（2）当x <0时，若2(0)y

ax bx c a ＜的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围. （3）如图，当1a 时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为1，若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标，若不存在，请说明理由.

题型四、二次函数图象与直线公共点个数的判别

4. （2019·北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21

y ax bx

a

与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P 11

,

2a

，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范

围．

5. （2019·湖北仙桃中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y =ax 2+2x －1(a ≠0)和直线l ：y =kx +b ，点A (－3，－3)，B (1，－1)均在直线l 上．

(1)若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；

(2)当a =－1，二次函数y =ax 2+2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；

(3)若抛物线C 与线段．．AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．

题型五、一些综合题型（含参数的二次函数等）

6. （2019·广东广州中考）已知抛物线G ：32y 2--=mx mx 有最低点.

（1）求二次函数32y 2--=mx mx 的最小值（用含m 的式子表示）；

（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1。经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图像交于点P ，结合图像，求点P 的纵坐标的取值范围.

7.（2019·江苏扬州中考）若反比例函数2y x

=-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y =-x +m 的图象上，则m 的取值范围是（ ）

A . 22>m

B .22-

C . 22>m 或22-

D .2222<<-m

8. （2019·河南郑州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y2-与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值；

（3）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．