量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理

态函数。而所描写的状态为量子态。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
量子态：微观粒子的运动状态（物理状态） 。各种力学量 的值是不确定的，但是他们的可能值及其分布几率是确定 的。对这种态的描述是统计性的
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
（2）由于粒子在空间出现的几率为 1，所以各点出现 的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定 于强度的绝对大小，即使将波函数乘上常数后所描述的状 态不变。
Ψ = C Φ ， 和 描述的是同一量子状态。t 时刻，r1 , r2
附近单位体积内找到粒子的几率之比为， w(r1 , t ) | C Φ (r1 , t ) |2 | Ψ (r1 , t ) |2 | Φ (r1 , t ) |2 = = ， = w(r2 , t ) | C Φ (r2 , t ) |2 | Ψ (r2 , t ) |2 | Φ (r2 , t ) |2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
。 改为复数形式为，
Ψ = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
，或者 Ψ = Ae
i ( p⋅r − Et )
，
这种波称为德布罗意波。其中，
= E h= ν ω ， h = p = n k 。 λ
2.2.2、 态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵循叠加原理，两个可能的 波动过程 φ1 , φ2 的线形迭加的结果 aφ1 + bφ2 也是一个可能 的波动过程。 量子力学中，如果 Ψ1 , Ψ 2 是体系的可能状态，那么它们 的线性迭加， Ψ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ，( c1 , c2 为复数)，也是这个 体系的可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
此时，粒子出现的几率为，
如为双缝衍射，则， 第一项：粒子穿过狭缝 1 出现在 P 点的几率； 第二项：粒子穿过狭缝 2 出现在 P 点的几率； 第三、四项： 的干涉相。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.1、 态函数及量子态
2.2.1、 态函数及量子态 当给定波函数 ：粒子的位置是不确定的， 粒子的几率分布是确定的。 可以证明： 此时粒子的其他可观测量 （如： 能量、 动量等） 的观测值及其几率分布也是完全确定的。 因此， 可以用来完全描述微观粒子的状态，称之为
2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
2.2.3、 动量的几率分布 具有确定动量 的粒子的运动状态用波函数表示为
由态叠加原理，粒子的状态 Ψ 可以表示为 值的平面波的线性叠加：
取多种可能
由于
可以连续变化，求和改为积分：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
波函数的归一化 粒子在整个空间中出现的概率为 1，即要求波函数满足如 下条件，
C ∫ | Φ (r , t ) |2 dτ = 1，
∞
这称为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件要求波 函数绝对值平方在全空间可积。 则，比例系数 C 可得， C =
∫
∞
1 。 2 | Φ (r , t ) | dτ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统பைடு நூலகம்诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 自由粒子： 自由粒子的波， 其频率和波矢都不变，即为平面波，
x = Ψ A cos 2π − vt 。 λ
如果波沿单位矢量 n 的方向传播，则:
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
（1）可积性： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ =有限值。
τ0
（2）归一化(如平方可积)： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ = 1。 ∞ 2 Ψ ( r , t) 。 | Ψ ( r , t ) | （3）单值性： 具有单值性。注意:不是 （4）连续性： Ψ (r , t ) 及其各阶导数连续。
为归一化波函数， 而
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
相位不定性 如： ， 实数， ，
即波函数在归一化后仍然有一个相位因子 eiδ 的不确定性。 讨论： （1）波函数 Φ 一般为复数，不表示真实的物理量，只 有其模平方 | Φ |2 才有物理意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波 类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通 过小孔， 但只要时间足够长， 底片上逐渐呈现出衍射花纹， 这说明单个电子就具有波动性。 夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释 (1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空 间中连续分布的某种波包。 波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物 质波包必然会扩散， 粒子将越来越胖， 与实验矛盾； 另外， 散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包 的一部分。 夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。
2.1.3、 概率波 1926 年， 玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释， 即： 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该 点找到粒子的概率成正比。这样，描述粒子的波乃是概率 波。 量子力学的基本假定之一。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点 的相对强度。 这样如果令， 改变，归一化条件为, 。 波函数 Ψ 称为归一化波函数，常数 C 称为归一化因子。 这样 和 描写的是粒子的同一个状态，只是 是没有归一化的波函数。 ，波函数描写的状态并不
= Ψ
∑c Ψ
n n
n
， c1 , c2 ……为复数。 中，相应
当系统处于态 Ψ 时，体系部分地处在 的概率分别为 叠加系数的意义： 。
：表示了量子态在所有可能的态中所占的比例。 因此， 具有几率的意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 对叠加原理的认识
对叠加原理的认识 (1) 态叠加是对波函数的叠加，不是对概率的叠加； (2) 态叠加是同一量子体系自身状态的叠加； (3) 叠加系数的模平方 | cn | 具有几率意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也 不是经典的波。 • 电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确 切的轨道概念。 • 电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
场中的粒子： 如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能 和动量不是常量。用一个函数表示来描写这个波， Ψ = Ψ (r ; t ) 。 那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关 系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
第二章 波函数和薛定谔方程
第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
引言 这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒 二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波 函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
式中，
， 为归一化因子。
将
乘以(6)式两边，并对
全空间积分，得：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
得，
比较： 上两式互为傅立叶变换式， 种不同的描述方式。 ， 是波函数的两
是以坐标为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
（3）归一化条件并不是唯一的，对于在全空间中对波函
对于有些波函数是没有意义的。 数模平方积分为 1 的条件， 比如自由粒子波函数， ， 就不满足这个条件。
至于这种波函数如何归一化的问题，后面再讨论。 （4）归一化的波函数可以含有任意相因子。
则是以动量为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
: t 时刻，粒子处于处的概率; : t 时刻，粒子具有动量的概率。 刻画粒子在坐标空间中的分布概率； 刻画粒子在动量空间中的分布概率；
因此，可以看到，叠加是指对态（ 概率（ ）的叠加。
）的叠加，而不是对
态叠加原理还有如下含义：当粒子处于态 Ψ1 和 Ψ 2 的叠加 态 Ψ 时，粒子既处于态 Ψ1（几率为 率为 ） 。 ）又处于态 Ψ 2（几
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
态迭加原理的一般表达式，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.2、态叠加原理 量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学 中用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同，这 种差别来源于微观粒子的波粒二象性。波函数的统计诠释 是波粒二象性的一个表现。 微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的 一个基本原理——态叠加原理表现出来。
描述微观粒子状态的波函数为 Φ (r , t ) ，其强度为，
Φ = Φ *Φ 。
2
根据波函数的统计诠释，在 t 时刻、 r 点附近单位体积
中找到粒子的概率为， ， 其中 是概率密度， C 是比例常数。
这样， t 时刻、 附近 dτ 体积元中找到粒子的概率为，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波