量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
波函数的统计诠释态叠加原理薛定谔方程粒子
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2
p2 2
15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En
(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中
p (r)
1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )
1
(2)3/ 2
(r,
t
)e
i
pr
dxdydz
13
(r, t )
1
(2)3/ 2
16-1-2 波函数及其统计诠释
5. 波函数满足态叠加原理。 ——量子力学理论的一个基本假设
如果波函数 1 (r , t ) , 2 (r , t ), …都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
(r ,t ) c1 1 (r ,t ) c2 2 (r ,t ) ci i (r ,t )
二、在量子力学中波函数的统计意义 1、经典物理学中的波函数 力学： 电磁学：
y( x, t ) A cos(t kx)
E (r , t ) E0 cos(k r t ) B(r , t ) B0 cos(k r t )
在经典物理学中，从波动现象中得到波函数， 波函数表达出某一个具体的物理量随时间的变化 规律，以及该物理量随空间位置的变化规律。 波函数是具有物理意义的。
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV
中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。 出现在 dV 内概率：
dW Ψ (r , t ) dV
2
dV=dx dy dz
( x, y, z, t ) dxdydz 或 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz
2
则在t 时刻、在空间（x,y,z）附近的单位体积内粒子 出现的概率，即概率密度，为
( x , y , z , t ) ( x, y , z , t )
2
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
1882～1970
他的相关作品: 《晶体点阵动力学》（1915年） 《爱因斯坦相对论》（1920年） 《固态原子理论》（1923年） 《原子动力学问题》（1926年） 《原子物理学》（1935年） 《晶格动力学》（1954年） 《物理学实验与理论》（1943年） 《我们一代的物理学》（1956年） 《物理学与政治学》（1962年）
量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理引言这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性2.1、波函数的统计诠释2.1.1、如何描述粒子的波动性自由粒子：自由粒子的波，其频率和波矢都不变，即为平面波，x。
Ψ=Aπ−vtcos2λ如果波沿单位矢量n的方向传播，则:第二章波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性。
改为复数形式为，Ψ=，或者Ae⋅−ωi k r tΨ=()i(p⋅r−Et)，Ae这种波称为德布罗意波。
其中，E=hν=ω，hp n k==。
λ场中的粒子：如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。
用一个函数表示来描写这个波，Ψ=Ψ。
(r;t)那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？2.1.2、实物粒子波动性的两种解释(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。
波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。
夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波类似与空气振动出现的纵波。
然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。
夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。
•电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。
•电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
2.1.3、概率波1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==v v h3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()i p r Et Aeψ⋅-=v vh5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψv 的统计解释2(,)r t d t r ψτv v 表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰.已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理： 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂h vh 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J ti J mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψv v h 注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理教学时数:2学时教学内容:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理备注教学目的:掌握波函数的统计诠释和态叠加原理教学重点:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理教学难点:对微观客体的描述教学手段、方法:讲授、讨论教学基本内容?1 波函数的统计解释1、波函数如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为:,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。
,(r,t)问题: (1) , 是怎样描述粒子的状态呢,(2) , 如何体现波粒二象性的,(3) , 描写的是什么样的波呢,2、波函数的解释PPPPOOOOO电子源电子源电子源感感感感 QQQQ光光光光屏屏屏屏(1)两种错误的看法a. 波由粒子组成:如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。
这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子(只含一个电子～)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注 b. 粒子由波组成:电子是波包。
把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。
因此呈现出干涉和衍射等波动现象。
波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包,波包是各种波数(长)平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。
如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。
物理-量子态的描述 波函数 量子态叠加原理
四、波函数必须满足的标准化条件：
（1）单值
(r , t ) 2 ——几率密度
(r
,
t)
2
必须单值，通常要求
(r , t)单值。
（2）平方可积：
r,t 2 dV 1 ( 全空间)
除个别孤立奇点外， (r , t) 必须有界。
（3）连续可微 波函数必须满足空间坐标的二阶微分方程，要求波函 数及一阶导数连续。
P1
P2
C1*C2 1* 2
C1C
2*
1
* 2
干涉项：
C1*C2 1* 2
C1C2*
1
* 2
电子双缝干涉实验表明描述电子运动的波函数满足叠加原理。或 者说叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图 样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
§2.3 量子态的叠加原理
量子态叠加与经典波叠加联系 量子态叠加在数学形式上与经典波叠加完全相同，但含意截然不同， 差异来源于量子态与经典波物理内涵不同。但它们有相同的表现，相干 叠加会出现干涉或者衍射现象。
§2.3 量子态的叠加原理
用电子双缝干涉说明量子力学中态的叠加导致了在叠加 态下观测结果的不确定性。
电子枪 1
P1
P1 P2
2
P2
Ψ C1Ψ1 C2Ψ2
单开缝1：电子处于1态；
电子的概率分布P P1P1 ΨP122
单开缝2：电子处于2态；
电子的概率分布 P2 Ψ2 2
同开双缝: P ? 2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形 式描述粒子的量子运动状态。
注意
玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不 同的：
曾谨言量子力学第1章
即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber
曾谨言量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案
1.Schrödinger方程的引进
在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger
波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．
2.Schrödinger方程的讨论
（１）定域的概率守恒
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即
以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．
其中ψE（r）满足下列方程：
（2）
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．
（1）
（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．
（2）初值问题，传播子
Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系， 取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为
式中
称为传播子（propagator）．可以证明
就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．
3.能量本征方程
stationary state）．
5.多粒子体系的Schrödinger方程
设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1，…，rN，t）．设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1，…，rN，t），则Schrödinger方程表示为
量子力学课件(曾谨言)第一章
(
r
)
2
d
3r
1
(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)
d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
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几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
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状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，
波函数的统计解释
波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。
波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。
1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。
例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。
这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。
2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。
这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。
这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。
3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。
根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。
这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。
4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。
例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。
通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。
5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。
通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。
测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。
这一解释与量子力学的测量原理密切相关。
需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。
例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。
波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。
总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。
它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。
量子力学中的波函数与态叠加
量子力学中的波函数与态叠加量子力学是现代物理学的重要分支，也是量子化工作理论的基石。
其中，波函数和态叠加是两个核心概念，在对量子力学的理解和研究中占有重要地位。
一、波函数解读波函数，由物理学家薛定谔方程求解而来，是对量子态的一种描述。
在量子力学中，波函数通常被表示为ψ，并在一个包括时间和空间的函数中出现。
对于每一个物理系统，都存在一个独特的波函数，可以展现系统的物理属性。
在经典力学中，粒子的状态可以通过位置和动量的具体数值来判定，然而在量子力学中，我们不能同时精确测量一个粒子的位置和动量，即测不准原理。
在这种情况下，粒子的状态被描绘为一个概率云，这个概率云就是由波函数所描述的。
二、概率密度为了更好的了解波函数，必须先理解概率密度。
在量子力学中，要获取一个粒子在某一处的概率，那么就要将该处的波函数的模平方得到，也就是概率密度。
概率密度反映了粒子出现在不同区域的概率，也是波函数的重要性质之一。
三、态叠加原理在量子力学中，一个粒子的状态并非绝对的固定值，而是可能处在多种态的叠加中。
这就是态叠加原理。
态叠加原理指的是，如果有两个独立的状态分别描述了一个微观粒子的两种可能状态，那么，这两种状态的叠加也是粒子可能存在的状态。
这一原理丰富了量子力学的描述范围，使物理学家能够理解和解释诸如干涉和衍射等现象。
四、波函数与态叠加的关系态叠加原理为波函数的解释提供了理论基础。
在量子力学中，物理系统的态可以通过波函数来描述，而由于态叠加原理，这个波函数可能是多个不同波函数的叠加。
例如，一个处于叠加态的粒子，其波函数可以看做是两个独立波函数的叠加。
这两个波函数分别描述了粒子的两种可能状态，然后通过叠加，形成更复杂的波函数，描述了粒子更为复杂的状态。
量子力学的世界充满了奇妙。
在量子力学中，波函数和态叠加原理是揭示量子世界奥秘的重要工具。
而这种深入的学术讨论，也会进一步推动我们对量子力学，乃至对整个自然界的更深入理解和认识。
量子力学中的波函数叠加
量子力学中的波函数叠加量子力学是物理学中非常重要的一个分支，用来研究微观粒子的行为。
在量子力学中，有一项关键概念称为波函数叠加，它在解释粒子的位置和状态方面起着重要的作用。
本文将探讨量子力学中的波函数叠加，以及它对我们对世界的认识带来的深远影响。
首先，让我们来了解一下波函数的概念。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学函数。
它可以为含有粒子位置和动量信息的波包，也可以是一个波动描述。
波函数的演化遵循著名的薛定谔方程，它描述了粒子的动力学行为。
波函数叠加是波函数的一个重要特性，它描述了当一个系统同时处于多个可能的状态时的行为。
波函数叠加意味着，在某种意义上，粒子可以同时处于多个位置或多个状态。
这在经典物理中是无法想象的，因为在经典物理中，粒子只能具有确定的位置和状态。
那么，波函数叠加是如何实现的呢？这涉及到量子力学中的叠加原理。
根据叠加原理，当一个系统处于多个可能状态时，它的波函数就是这些可能状态波函数的线性组合。
例如，当一个粒子可以在两个不同位置上出现时，它的波函数就是这两个位置的波函数的叠加。
这种叠加可以通过复数系数来描述，这些复数系数称为叠加系数。
波函数叠加带来了量子力学中独特的现象，如干涉和交叉项。
干涉是指当两个波函数叠加时出现的相互增强或相互抵消的效应。
这种干涉现象在双缝干涉实验中得到了充分的证明。
当光通过一个有两个小孔的遮板时，光在屏幕上形成干涉条纹，这是因为波函数叠加引起的相位差。
这一经典实验清楚地展示了波函数叠加带来的干涉现象。
交叉项是波函数叠加的另一个重要概念。
当两个波函数在某一区域内叠加时，它们可能会出现交叉项，即两个波函数在该区域内的概率幅度会相互抵消。
这种交叉项在描述粒子的位置时非常重要，因为它展示了粒子可能同时出现在多个位置的概率幅度。
波函数叠加的概念在量子力学中扮演了至关重要的角色。
它提供了一种全新的方式来理解微观粒子的行为。
事实上，波函数叠加提出了一个重要问题：当我们观察粒子时，它到底是处于一个确定位置还是多个位置的叠加状态？这被称为观察者效应。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态
0
c
os
1
(
Et
x
px
)
(x,
t)
i
0e
( Et
px x)
（取实部）
推广 ：三维自由粒子波函数
(r ,
t
)
0e
i
(
Et
pr )
2. 波函数的强度——模的平方
| |2 * 波函数与其共轭复数的积
例：一维自由粒子：
|
(
x,
t)
振幅函数 (x, y, z)
2 x 22 y22 z 2
2m
(E
U)
0
拉普拉斯算符
2
2 x 2
2 y2
2 z 2
2 ( x,
y,
z)
2m 2
(E
U
)(x,
y,
z)
0
即 三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
(x, y, z,t)
振幅函数
(
x,
t)
(
x)
e
i
E
t
|
(x,t) |2
*
(
x)e
i
E
t
*
(
x)e
i
E
t
(x) *(x)
|
(x) |2
要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。
建立关于振幅函数Ψ(x）的方程 ——振幅方程
343量子力学中的态叠加原理
2 2 1 2 1 2 1 2
什么是态叠加原理
尽管表述各异，但都包含以下基本内容：
若 1 和 2 是体系的两个可能的态，则它们 的线性叠加 c11 c2 2也是体系可能的态。 相 叠加的态可以扩展为n个甚至无穷个，而且叠加是 线性的，叠加系数是复常数。
态叠加原理的重要性
量子力学态叠加原理叠加原理是量子力学中的基本原理之一.
量子力学中的态叠加原理
0510343 骆颖
什么是态叠加原理
首先,我们需要弄清楚态和态函数的概念.
体系的态,是指一个体系的每一种可能的运动方式, 即在收到 独立的互不矛盾和完全的条件限制下而确定的每一种运动方式. 与宏观体系的运动状态的确定是决定性的相对立, 微观体系的运 动状态是非决定性的统计性的.称微观体系的态为量子态. 量子 态由希尔伯特空间中的矢量表征,称为态矢量. 希尔伯特空间又 称为态矢量空间或者态空间. 态矢量可以有多种表示形式. 在坐标表象中,态矢量可以用 2 一个函数来表示,如, (r )称为波函数,或者态函数. 它的平方 ( r ) 表示在空间中某位置找到该粒子的几率密度,故波函数又称为几 率幅.
和
在x处记录电子,不管时在D1还是D2处记录光子的概率(互斥),都有:
第二项就是干涉相. 这是在光强较弱而无法检测 的,电子可能过缝1也可能过缝2的情况下得到的.即在 光子不能检测电子走向的情况下出现干涉.当完全不可 区分时
参考文献
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则是以动量为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
: t 时刻，粒子处于处的概率; : t 时刻，粒子具有动量的概率。 刻画粒子在坐标空间中的分布概率； 刻画粒子在动量空间中的分布概率；
态函数。而所描写的状态为量子态。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
量子态：微观粒子的运动状态（物理状态） 。各种力学量 的值是不确定的，但是他们的可能值及其分布几率是确定 的。对这种态的描述是统计性的
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
式中，
， 为归一化因子。
将
乘以(6)式两边，并对
全空间积分，得：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.，
比较： 上两式互为傅立叶变换式， 种不同的描述方式。 ， 是波函数的两
是以坐标为自变量的波函数。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也 不是经典的波。 • 电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确 切的轨道概念。 • 电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
描述微观粒子状态的波函数为 Φ (r , t ) ，其强度为，
Φ = Φ *Φ 。
2
根据波函数的统计诠释，在 t 时刻、 r 点附近单位体积
中找到粒子的概率为， ， 其中 是概率密度， C 是比例常数。
这样， t 时刻、 附近 dτ 体积元中找到粒子的概率为，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
为归一化波函数， 而
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
相位不定性 如： ， 实数， ，
即波函数在归一化后仍然有一个相位因子 eiδ 的不确定性。 讨论： （1）波函数 Φ 一般为复数，不表示真实的物理量，只 有其模平方 | Φ |2 才有物理意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
。 改为复数形式为，
Ψ = Ae
i ( k ⋅r −ωt )
，或者 Ψ = Ae
i ( p⋅r − Et )
，
这种波称为德布罗意波。其中，
= E h= ν ω ， h = p = n k 。 λ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
（1）可积性： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ =有限值。
τ0
（2）归一化(如平方可积)： ∫ | Ψ (r , t ) |2 dτ = 1。 ∞ 2 Ψ ( r , t) 。 | Ψ ( r , t ) | （3）单值性： 具有单值性。注意:不是 （4）连续性： Ψ (r , t ) 及其各阶导数连续。
2.2.2、 态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵循叠加原理，两个可能的 波动过程 φ1 , φ2 的线形迭加的结果 aφ1 + bφ2 也是一个可能 的波动过程。 量子力学中，如果 Ψ1 , Ψ 2 是体系的可能状态，那么它们 的线性迭加， Ψ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ，( c1 , c2 为复数)，也是这个 体系的可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
场中的粒子： 如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能 和动量不是常量。用一个函数表示来描写这个波， Ψ = Ψ (r ; t ) 。 那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关 系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求
2.2、态叠加原理 量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学 中用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同，这 种差别来源于微观粒子的波粒二象性。波函数的统计诠释 是波粒二象性的一个表现。 微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的 一个基本原理——态叠加原理表现出来。
2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
2.2.3、 动量的几率分布 具有确定动量 的粒子的运动状态用波函数表示为
由态叠加原理，粒子的状态 Ψ 可以表示为 值的平面波的线性叠加：
取多种可能
由于
可以连续变化，求和改为积分：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
（3）归一化条件并不是唯一的，对于在全空间中对波函
对于有些波函数是没有意义的。 数模平方积分为 1 的条件， 比如自由粒子波函数， ， 就不满足这个条件。
至于这种波函数如何归一化的问题，后面再讨论。 （4）归一化的波函数可以含有任意相因子。
2.1.3、 概率波 1926 年， 玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释， 即： 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该 点找到粒子的概率成正比。这样，描述粒子的波乃是概率 波。 量子力学的基本假定之一。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
因此，可以看到，叠加是指对态（ 概率（ ）的叠加。
）的叠加，而不是对
态叠加原理还有如下含义：当粒子处于态 Ψ1 和 Ψ 2 的叠加 态 Ψ 时，粒子既处于态 Ψ1（几率为 率为 ） 。 ）又处于态 Ψ 2（几
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
态迭加原理的一般表达式，
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
此时，粒子出现的几率为，
如为双缝衍射，则， 第一项：粒子穿过狭缝 1 出现在 P 点的几率； 第二项：粒子穿过狭缝 2 出现在 P 点的几率； 第三、四项： 的干涉相。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
第二章 波函数和薛定谔方程
第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
引言 这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒 二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波 函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
（2）由于粒子在空间出现的几率为 1，所以各点出现 的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定 于强度的绝对大小，即使将波函数乘上常数后所描述的状 态不变。
Ψ = C Φ ， 和 描述的是同一量子状态。t 时刻，r1 , r2
附近单位体积内找到粒子的几率之比为， w(r1 , t ) | C Φ (r1 , t ) |2 | Ψ (r1 , t ) |2 | Φ (r1 , t ) |2 = = ， = w(r2 , t ) | C Φ (r2 , t ) |2 | Ψ (r2 , t ) |2 | Φ (r2 , t ) |2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 自由粒子： 自由粒子的波， 其频率和波矢都不变，即为平面波，
x = Ψ A cos 2π − vt 。 λ
如果波沿单位矢量 n 的方向传播，则:
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波
粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点 的相对强度。 这样如果令， 改变，归一化条件为, 。 波函数 Ψ 称为归一化波函数，常数 C 称为归一化因子。 这样 和 描写的是粒子的同一个状态，只是 是没有归一化的波函数。 ，波函数描写的状态并不
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波 类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通 过小孔， 但只要时间足够长， 底片上逐渐呈现出衍射花纹， 这说明单个电子就具有波动性。 夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
= Ψ
∑c Ψ
n n
n
， c1 , c2 ……为复数。 中，相应
当系统处于态 Ψ 时，体系部分地处在 的概率分别为 叠加系数的意义： 。
：表示了量子态在所有可能的态中所占的比例。 因此， 具有几率的意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 对叠加原理的认识
对叠加原理的认识 (1) 态叠加是对波函数的叠加，不是对概率的叠加； (2) 态叠加是同一量子体系自身状态的叠加； (3) 叠加系数的模平方 | cn | 具有几率意义。
波函数的归一化 粒子在整个空间中出现的概率为 1，即要求波函数满足如 下条件，
C ∫ | Φ (r , t ) |2 dτ = 1，
∞
这称为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件要求波 函数绝对值平方在全空间可积。 则，比例系数 C 可得， C =
∫
∞
1 。 2 | Φ (r , t ) | dτ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.2、态叠加原理 2.2.1、 态函数及量子态