材料力学-- 梁的位移计算

边界条件
x0 w0; xl w0
A y
a l
C
F
b
B
x
光滑连续条件
x a w1 w2 x a 1 2
例题1：如图所示简支梁，在C截面承受集中力偶M作用，已知
梁的刚度为 EI，试求梁的挠曲线方程，并确定位移 A 和 max 。

、 B
M
A
C
B
a
b
解：建立坐标系如图所示 1、求约束反力 ᵞ↑
• 优点：可将作用在梁上的各种载荷用一个载荷集 度函数表示，且全梁的剪力、弯矩、转角和挠度 可分别用一个方程表示。与其它方法相比,尤其在 解决复杂载荷作用的梁的问题时,该方法较简单, 规律性较强,计算量较少,有利于计算机程序的编 写。 • 缺点使用奇异函数法求解时必须把坐标原点置于 梁的一端；应用于求梁的变形极限时，需要进一 步探讨，过程比较复杂。
x 2a w2 w3 0 x 2a 2 3
9 1 qa 4 2aC 2 D2 qa 4 2aC3 D3 0 24 6 2 3 1 qa C2 qa 3 C3 3 2
qa 2 9 3 EI w1 x qa 8 48
qa 3 9 3 EIw1 x qa x 24 48
奇异函数适用于全梁的弯矩和剪力的通用方程。
M
F
q
a b
M
F
q
a b c
l
l
c d
q q 2 2 M x M x a F x b x c x d 2 2
0
1
弯矩的通用方程
M x M i x ai 0 Fj x b j
2 2
M (2b2 2ab a 2 ) A 0 6EI (a b)
将 0 代入（2）式，得：
M (2a 2 2ab b2 ) B |x a b 6EI (a b)
由
' =0 ，得：
(a b) b2 10ab 2a 2 x 2 3
A
C a
M B → ᵡ b
M M FA () FB () ab ab
FA
2、建立弯矩方程和挠曲线方程 AC段：
CB段：
M1 M x ab
FB
(0 x a )
( a x a b)
M2
Mx M ab
M A a C b B
FA
AC段 CB段
FB
弯矩 方程 转角 方程 挠度 方程
EIw2 qa 2 x 8
CD段
qa M x x 4 qa 2 EIw1 x C1 8
qa 3 EIw1 x C1 x D1 24
M x qa(3a x)
q ( x a )3 C2 6
EI w3
1 qa ( x 3a ) 2 C3 2
EIw3
q ( x a )3 C2 6
qa 2 1 3 x qa( x a ) 2 8 2 2
9 qa( x 2a ) 2 C3 8
EIw3 qa 3 1 3 x qa( x a ) 3 24 6 2
qa 3 EIw2 x 24 q ( x a ) 4 C2 x D2 24
奇异函数法求梁的位移
奇异函数 当n≥0（n为正整数）时，
0 f x x a n x a
n
x a x a
n x a n 1
奇异函数的微分 奇异函数的积分
d x a n dx
n
n1 x a x a dx n 1
所以
(7a 2 6ab 9b2 ) M (37a 2 2ab 11b2 ) M a 2 2ab 2b2 max 16 72(a b) 3
例题 2. 简支梁受力及截面尺寸如图。已知梁的 刚 度为EI，试确定梁的挠曲线方程， 并确定位 移wB和wD。
qa q A B a a C a
EIw2
qa 2 x 8 q 9 ( x a)3 q a3 6 48
qa 2 1 3 x qa( x a ) 2 8 2 2 9 47 qa( x 2a ) 2 qa3 8 48 EIw3
qa 3 1 3 x qa( x a ) 3 24 6 2 9 47 35 qa( x 2a )3 qa3 x qa4 24 48 24 EIw3
EI EI 0 M 0 x
Fs 0 2!
x
2
Fc 2!
x 2a
2
q 3!
xa
3
q 3!
x 2a
3
M 0 2 Fs 0 3 Fc q q 3 4 4 EI EI 0 EI 0 x x x x 2a x a x 2a 2! 3! 3! 4! 4!
EIw2
qa 3 x 24
q ( x a ) 4 C2 x D2 24
1 EIw3 qa( x 3a)3 6 C3 x D3
qa 2 EI w1 x C1 8
qa 3 EIw1 x C1 x D1 24
EIw2
qa 2 x 8
4
积分法和奇异函数法的比较
• 积分法：
积分常数由变形相容的几何条件（边界条件、光 滑连续条件）确定 • 优点：可以求出挠曲线方程和转角方程，因此可 以求任意截面的转角和挠度，使用范围广，直接 求出较精确。 • 缺点：当轴上载荷较复杂时，计算比较麻烦。
• 奇异函数法：
使用奇异函数法求解时必须把坐标原点置 于梁的一端；
C1 M (b 2a) Ma M (2b 2ab a ) A EI 3EI 2EI (a b) 6EI (a b)
2 2 2
M (a b) M (a b) D1 M (2a 2ab a ) B EI (a b) 2 EI EI 6EI (a b)
EIw M x
对上式进行积分，并通过边界条件确定积 分常数，即可求得梁的挠曲线方程。
EIw M x dx C
l
EIw
l
M x dx dx Cx D
l
注意：梁上的荷载不连续时，梁的弯矩方程须分段写出。在
确定积分常数时，除利用支座处的约束条件外，还需利用相邻 两段梁在交界处位移的连续条件。 挠曲线的微分法方程适用于小变形情况下、线弹性材料、 对称弯曲的细长梁。
2 2 2
• 根据附录Ⅳ有： • 在 1 0 时，x1 2
•当
a 2ab 2b 3
2
2
a 2 2ab 2b 2 ab2 3 x2 2
时
挠度有最大值
(7a 2 6ab 9b2 ) (37a 2 2ab 11b2 )M (a 2 2ab 2b2 ) max 16 72(a b) 3
M1
M x ab
M2
Mx M ab
M x2 EI1 ' C1 ab 2
EI1 M x C1 x C2 ab 6
3
M x2 EI2 ' Mx D1 ab 2
M x3 M 2 EI2 x D1 x D2 ab 6 2
3、利用边界条件和光滑连续条件确定积分常 数
9 qa( x 2a ) 3 C3 x D3 24
利用边界条件和光滑连续 条件确定积分常数
x0
C1 C2
w1 0
9 3 qa 48
D1 0 C1 C2 D1 D2
47 C3 qa 3 48 D3 35 qa 4 24
x a 1 2 x a w1 w2
1 w 1 w 2


32
M x w EI 1 w 2


32
EI为弯曲刚度
M x w EI 1 w 2

32
挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
挠曲线近似微分方程
• w'<<1，可以忽略
故 即
M x w EI
x 0 w1 0
M Ma 2 C1 (b 2a) 3 2(a b)
x a 1 2 x a w1 w2
x a b w2 0

C2 0
M (a b) Ma D1 3 2(a b) 2 Ma D2 2
2
4、最大转角和最大挠度
选定坐标系后，梁变形后的轴线可表达为： w=f(x) —称为挠曲线方程 其中， w—该点挠度；x—横坐标 由于挠曲线是一平坦曲线，转角θ可表达为： θ ≈ tanθ = w' = f '(x)
M和w''正负号的判断
M>0,W''<0
y
x
x
M<0,W''>0
y
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
1 M x EI
D
Fa
q
qa
A
Ⅰ
B
Ⅱ
C
Ⅲ
D
x
y
Fc
方法一：积分法
解：（1）挠曲线方程 有平衡方程可得梁的两个支反力（如图）为
qa FA 4 9qa Fc 4
Fa
q Ⅰ B Ⅱ
qa
A
C Fc
Ⅲ
D
x
AB段
弯 矩 方 程 转 角 方 程 挠 度 方 程
BC段
qa 1 2 M x x q x a 4 2
EIw2
qa 3 x 24 q 9 ( x a) 4 qa3 x 24 48
（2）求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B、 D
7 qa 4 48 EI
wB w1 | x a
39 wD w3 | x 3 a qa 4 48 EI
FA
q
qa
A
Ⅰ
B
Ⅱ
C
Ⅲ
D
x
Fc
方法二：奇异函数法
解：（1） 初参数方程 将作用在梁BC段上的均布载荷q延续至右端B，同时，在CB 段施加等值反向的均布载荷，如图所示，写出梁（转角和挠 度）的初参数方程
i
j
qk qk 2 x ck x d k 2 k 2 k 2
奇异法
A a C
M
b
FB
B
1.求约束反力：
FA
M Fa ( ) ab
M Fb () ab
2.用奇异函数表示的弯矩方程
M M ( x) x M x a 0 ab
9qa3 qa 3 3qa q q 3 4 EI x x x 2a x a x 2 a 4 48 24 8 24 24
由挠度方程，即可得需求挠度
7 qa B |x a 48 EI
13qa 4 D |x 3 a 16 EI
根据挠曲线的初参数方程得：
1 M 2 EI EI 0 x M x a 1 2! a b
1 M 3 M EI EI 0 x x x a 2 3! a b 2!
（1） （2）
=0 在x=a+b处 代入（1）式，得：
M (2b 2ab a ) 0 6EI (a b)
第五章 梁弯曲时的位移
6#135： 黄梦凡、张星、侯中杰、 刘兰兰、王楠、罗杨
梁的位移：
——挠度和转角
位移的度量：
挠度w 转角θ
x
y
挠曲线
挠度—轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移w。 转角—横截面对其原来位置的角位移θ。 （即曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角） 挠曲线—梁变形后的曲线。
注意：梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也发生线位移Δx， 但在小变形情况下，梁的跨长远大于挠度，故可略去。
确定初参数值，对于固定铰支座有 qa 9 Fs 0 FA , M 0 0, FC qa, 0 0 4 4 0 值由 wC 0 的边界条件确定
EI |x 2 a 0
得
3qa 3 ０ 16 EI
（2）挠度 wB wD 将初参数值代入初参数方程，即得梁的挠度 方程为