剖析康托集及“有理数集”测度

十 剖析康托集及“有理数集”测度山东枣庄二中 赵 录(emall ：zhaolu48@)康托把有理数集E 排列为下面的文字框：“个数”为n 2(n →∞)个。

每个“点”x 用开区间(x-312n,x+312n)覆盖，即其外测度为：33112331111lim [()()]1lim lim 0*()22n nn j i n nn n j i ii j j m E n nn nn→∞==→∞→∞==+--===≤∑∑∑∑下面我们就来分析一下外测度为零的实质。

区间(x-312n,x+312n)的长度为31n，而区间的个数为n 2，那么当然有2311lim()lim 0n n nnn→∞→∞∙==。

取文字框一中的主对角线及上方的元素(文字框二)：当n →∞时，按康托的概念就应当是区间[0,1)上的“有理数集”E 。

那么取区间长为31n的开区间族“覆盖”E ，可得外测度：3331111(1)1*()lim ()()]lim[]0222jn n n j i i i n n m E j j n n n→∞→∞==+=+--=∙=∑∑ （1）我们再来用黎曼积分定义的方法求函数y=1在区间(0,1)上的定积分：10111lim (1)lim()1nn n i dx n n n →∞→∞==∙=∙=∑⎰，即把(0,1)n 等分，每等分的长度为1n ，与这个小区间上的函数值1的积仍是1n ，这n 个1n的和，当n →∞时，就是(0,1)上的定积分1。

由定积分的定义可得：把区间分成多少份，就应当这些分都“参与”到积分中来【注一】，而不能是分成n 2份，而只取其中n 份的和。

那么使前面文字框内的有理数集的外测度等于零的密诀就是先把长度为n 的线段n 等分，则每等分为单位长，再把每等分再n 3等分，即把长度为n 的线段n 4等分，而均匀地取其中的n 2份之和，当n 趋于无穷大时，便有其外测度为零。

这种使其为零的“方法”确实高明巧妙得很。

不巧的是它违反了积分的定义。

如果是把长度为n 的线段n 2等分，再把其n 2份求和，则其“外测度”为22lim()x nnn→∞∙=∞。

即可得12n n n n12n n n n“有理数集”外测度为无穷大。

再看康托集。

把闭区间[0,1]三等分得到三个闭区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]，把中间的去掉，剩下的两个闭区间为：[0,1/3],[2/3,1]。

两个区间长度和为2/3。

两个区间分别与二进制小数0.0,0.1对应。

第二次，再把这两个区间分别三等分去掉其中间的区间得到4个闭区间： [0,1/9],[2/9,3/9],[6/9,7/9],[8/9,9/9]。

4个区间长度和为(2/3)2。

4个区间分别与二进制小数0.0,0.1,0.01,0.11对应。

第三次，再把这4个区间分别三等分去掉其中间的区间得到23=8个闭区间：[0,1/27],[2/27,3/27],[6/27,7/27],[8/27,9/27],[18/27,19/27],[20/27,21/27],[24/27,25/27],[26/27,1]。

8个区间长的和为(2/3)3。

8个区间可依次与位数不大于3的8个二进制小数 0.0,0.1,0.01,0.11,0.001,0.011,0.101,0.111一一对应。

推论可得，第n 次可把第n-1次得到的2n-1个闭区间都三等分，去掉中间的小区间，可以得到2n 个小区间，这些区间长的和为(2/3)n 。

位数不大于n 的二进制小数也是2n 个(包括0)，因此2n 个小闭区间可以与2n 个位数不大于n 的二进制小数一一对应。

当n →∞时，(2/3)n →0，由区间套定理知n →∞时，只有一个点属于一个小区间，这个点集就叫作“康托集”。

而这些点恰好可以与[0,1]上的二进制小数全体存在一一映射，因此康托集可以与实数集存在一一映射，从而其“势”等于连续集的“势”，而其外测度为零。

可是康托却没有发现，位数不大于n 位的二进制自然数也是2n 个，那么当n →∞时，康托集岂不是与自然数集存在一一映射了吗？即与自然数集对等。

把区间[0,1]三等分，而不去掉中间的区间，得到相邻区间有公共端点的三个闭区间： [0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。

只有一位的三进制小数有三个：0.0,0.1,0.2把三个区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]都三等分，可得相邻区间有公共端点的9个闭区间： [0,1/9],[1/9,2/9],[2/9,3/9],[3/9,4/9],[4/9,5/9],[5/9,5/9],[6/9,7/9],[7/9.8/9],[8/9,1]。

位数不超过2位的[0,1]上的三进制小数也是9个，可以与9个小区间构成一一映射。

把这次等分称为对区间[0,1]的第二次三等分。

那么对区间[0,1]进行n 次三等分后可以得到相邻区间有公共端点的3n 个闭区间，而位数不超过n 的三进制小数也是3n 个(包括零)。

因此3n 个闭区间与位数不超过n 的三进制小数对等。

3n 个闭区间长的和是1。

当n →∞时，只有一个点属于一上小区间，即闭区间紧缩为点。

按康托理论这些点便是[0,1]上的全部点，其外测度为1，与[0,1]上的三进制小数全体对等。

与[0,1]区间上的二进制小数对等的康托集外测度是零，与[0,1]区间上的三进制小数全体对等的集合其外测度为1，这就是康托理论的奇特之处。

用长度等于1/3n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：1311[()()]323323nnnnni ii=+--∑∙∙则[0,1]上的三进制小数的外测度为 13111lim [()()]lim()133233233nnnnnnnn n i ii →∞→∞=+--=∙=∑∙∙用长度等于1/4n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：1311[()()]324324nn nnni ii=+--∑∙∙则[0,1]上的三进制小数的外测度又为13111lim [()()]lim()033243244nnnnnnnn n i ii→∞→∞=+--=∙=∑∙∙如果用长度为22n的开区间覆盖[0,1]上的分母不小于分子且分母的不大于n 的 “有理数”(文字框二)当n →∞时构成的(0,1]上的有理数集E 的外测度：222111(1)2*()lim ()()]lim[]12n nn n j i i i i n n m E j j n n n→∞→∞==+≤+--=∙=∑∑ （2）由此产生疑问，对于文字框二，当n →∞只是[0,1]上的有理数全体吗？从积分的定义的意义上说，对于文字框二上的数集，当n →∞时，应该是[0,1]上的实数全体。

第二个疑问是：应该用什么样的开区间族去覆盖一个需要计算外测度的点集呢？难道用定积分定义的方法去选定开区间族也是不合理的吗？用外测度的理论，对一个点集选择不同的开区间族，得到的外测度可以是不同的值。

因此不但康托的理论不可靠；就是外测度的理论也不是十分可靠的。

《实变函数论与泛函分析》(上册，夏道行等著，人民教育出版社1978.11.北京)106页(以下简称《泛函上》)有这样一个定理及证明：R 1中的任何有限集或可列集是可测集，而且是Borel 集，它的外测度为零。

证 对任何实数α，单元素集{α}=11(,]n n αα∞=-，因为1(,]nαα-∈R 0⊂B 并且因为B 是σ-环，所以m({α})≤m(1(,]n αα-)=1n，可知m({α})＝0。

再由B 是σ-环及m 的可列可加性，即知中任何有限集及可列集E 都必定是Borel 集，而且m(E)=0。

证毕。

《泛函上》从65页开始到这个定理前论述的都是勒贝格测度的问题。

前40页可以说论述的都很严谨，不象康托理论那样几乎处处都有矛盾，也只有直接应用康托的结论的地方有质疑之处。

可对这个定理的“可列集E ……，而且m(E)=0”并没有必然性。

由“m*({α})≤m*(1(,]n αα-)=1n，可知m*({α})＝0”，可知m({α})＝0是一个求极限得到的结果，可列集的“加”也是求极限的过程。

数学分析告诉我们，两个有关的极限是不能独立运算的，从极限的类型看，求m(E)是一个“0∙∞”的极限类型。

文字框二内的分数，当n →∞时构成的数集，按康托观点是(0,1）上的有理数集，同时也是可列集，那么取它的第n 列：1231,,,,n n n nn-当n →∞时构成的数集E ，也是可列集。

由阿基米德公理知，对任意分数q p ，存在m n ，使1n n q n p n m m -<≤，因此1(,]n n q p n n nm m ∈-，从而令(0,1)上的有理数集为Q 时，则有m*(Q)=m*(E)。

由可外测度的加性知：12311*()*()lim[*{}*{}{}*{}]lim[(1)]1n n n m Q m E m m m m n n n nn n→∞→∞-=≤++++=-∙=从黎曼积分定义的观点，应该是m(E)=1。

怎么会有“可列集E ……，而且m*(E)=0”呢？由此可知，而n→∞时，集合1231{,,,,}nn n n n-已经是区间(0,1)上的实数全体且可列。

实数的“可数”所以很难被接受的一个主要原因，就是因为“可数集”的外测度是零，区间[0,1]上的实数外测度是1。

如果区间[0,1]上的实数是“可数集”，岂不是[0,1]上的实数外测度为零了吗，从而实数“不实”了。

现在已经把“可数集”的外测度为零的也被推翻了，难道对实数集“可数”还有什么可怀疑吗？所以把“可数”加引号，是因为实数集也“可数”，那么几乎不存在“不可数”集合了，因此“可数”与“不可数”的概念存在的必要性已经不大了。

因为有理数集的外测度为零，已经成为广泛的共识，因此把有理数的定义给予改进(严格地说是明确)，事实上也需要改进。

因为现在的有理数的定义与另一个定义――有限小数与无限循环小数是有理数――不一致：显然无限循环小数的循环节的位数是有限的，如果循环节的位数可以无限，那么无限不循环小数可以看作是循环节位数为无限大的循环小数了。

无限循环小数的循环节的位数有限，那么它对应的既约分数的分母的位数也应该是有限的了，有限小数对应的既约分数的分母的位数当然是有限的了，从而作为有理数的分数的分母的位数应是有限的，因此[0,1]上的有理数的个数也是有限的，从而任意有限区间[a,b]上的有理数的外测度是零。

无限区间上的有理数的外测度可以是大于零的有限实数，也可以是无穷大【注】。

勒贝格测度的论述也有故弄玄虚之嫌。

实变函数论重点讨论的是测度。