剖析康托集及“有理数集”测度

十 剖析康托集及“有理数集”测度

山东枣庄二中 赵 录(emall ：zhaolu48@)

康托把有理数集E 排列为下面的文字框：

“个数”为n 2(n →∞)个。每个“点”x 用开区间(x-

3

1

2n

,x+3

1

2n

)

覆盖，即其外测度为：

33

11

2

3

311

1

1

lim [()()]1

lim lim 0

*()22n n

n j i n n

n n j i i

i j j m E n n

n n

n

→∞

==→∞

→∞

==+

--===≤∑∑∑∑

下面我们就来分析一下外测度为零的实质。 区间(x-

3

1

2n

,x+3

1

2n

)的长度为3

1

n

，而区间的个数为n 2，那么

当然有2

31

1

lim(

)lim 0n n n

n

n

→∞

→∞∙==。 取文字框一中的主对角线及上方的元素(文字框二)：当n →∞时，按康托的概念就应当是区间[0,1)上的“有理数集”E 。那么取区间长为

3

1

n

的开区间族“覆盖”E ，可得外测度：

3331111(1)1*()lim ()()]lim[]0222j

n n n j i i i n n m E j j n n n

→∞→∞==+=+--=∙=∑∑ （1）

我们再来用黎曼积分定义的方法求函数y=1在区间(0,1)上的定

积分：

1

01

11

lim (1)lim()1n

n n i dx n n n →∞→∞==∙=∙=∑⎰，即把(0,1)n 等分，每等分的长度为

1n ，与这个小区间上的函数值1的积仍是1n ，这n 个1

n

的和，当n →∞时，就是(0,1)上的定积分1。由定积分的定义可得：把区间分成多少份，就应当这些分都

“参与”到积分中来【注一】，而不能是分成n 2份，而只取其中n 份的和。

那么使前面文字框内的有理数集的外测度等于零的密诀就是先把长度为n 的线段n 等分，则每等分为单位长，再把每等分再n 3等分，即把长度为n 的线段n 4等分，而均匀地取其中的n 2份之和，当n 趋于无穷大时，便有其外测度为零。这种使其为零的“方法”确实高明巧妙得很。不巧的是它违反了积分的定义。

如果是把长度为n 的线段n 2等分，再把其n 2份求和，则其“外测度”为2

2

lim(

)x n

n

n

→∞

∙

=∞。即可得

12n n n n

12n n n n

“有理数集”外测度为无穷大。

再看康托集。把闭区间[0,1]三等分得到三个闭区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]，把中间的去掉，剩下的两个闭区间为：[0,1/3],[2/3,1]。两个区间长度和为2/3。两个区间分别与二进制小数0.0,0.1对应。

第二次，再把这两个区间分别三等分去掉其中间的区间得到4个闭区间： [0,1/9],[2/9,3/9],[6/9,7/9],[8/9,9/9]。

4个区间长度和为(2/3)2。4个区间分别与二进制小数0.0,0.1,0.01,0.11对应。 第三次，再把这4个区间分别三等分去掉其中间的区间得到23=8个闭区间：

[0,1/27],[2/27,3/27],[6/27,7/27],[8/27,9/27],[18/27,19/27],[20/27,21/27],[24/27,25/27],[26/27,1]。 8个区间长的和为(2/3)3。8个区间可依次与位数不大于3的8个二进制小数 0.0,0.1,0.01,0.11,0.001,0.011,0.101,0.111一一对应。

推论可得，第n 次可把第n-1次得到的2n-1个闭区间都三等分，去掉中间的小区间，可以得到2n 个小区间，这些区间长的和为(2/3)n 。位数不大于n 的二进制小数也是2n 个(包括0)，因此2n 个小闭区间可以与2n 个位数不大于n 的二进制小数一一对应。

当n →∞时，(2/3)n →0，由区间套定理知n →∞时，只有一个点属于一个小区间，这个点集就叫作“康托集”。

而这些点恰好可以与[0,1]上的二进制小数全体存在一一映射，因此康托集可以与实数集存在一一映射，从而其“势”等于连续集的“势”，而其外测度为零。

可是康托却没有发现，位数不大于n 位的二进制自然数也是2n 个，那么当n →∞时，康托集岂不是与自然数集存在一一映射了吗？即与自然数集对等。

把区间[0,1]三等分，而不去掉中间的区间，得到相邻区间有公共端点的三个闭区间： [0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。只有一位的三进制小数有三个：0.0,0.1,0.2

把三个区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]都三等分，可得相邻区间有公共端点的9个闭区间： [0,1/9],[1/9,2/9],[2/9,3/9],[3/9,4/9],[4/9,5/9],[5/9,5/9],[6/9,7/9],[7/9.8/9],[8/9,1]。

位数不超过2位的[0,1]上的三进制小数也是9个，可以与9个小区间构成一一映射。 把这次等分称为对区间[0,1]的第二次三等分。

那么对区间[0,1]进行n 次三等分后可以得到相邻区间有公共端点的3n 个闭区间，而位数不超过n 的三进制小数也是3n 个(包括零)。因此3n 个闭区间与位数不超过n 的三进制小数对等。3n 个闭区间长的和是1。

当n →∞时，只有一个点属于一上小区间，即闭区间紧缩为点。按康托理论这些点便是[0,1]上的全部点，其外测度为1，与[0,1]上的三进制小数全体对等。

与[0,1]区间上的二进制小数对等的康托集外测度是零，与[0,1]区间上的三进制小数全体对等的集合其外测度为1，这就是康托理论的奇特之处。

用长度等于1/3n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：

1

3

1

1

[(

)()]323

323

n

n

n

n

n

i i

i

=+--∑∙∙

则[0,1]上的三进制小数的外测度为 1

3

1

1

1

lim [(

)()]lim()1

3323

323

3

n

n

n

n

n

n

n

n n i i

i →∞

→∞

=+--=∙=∑∙∙

用长度等于1/4n 的开区间覆盖位数不超过n 的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：

1

3

1

1

[(

)()]324

324

n

n n

n

n

i i

i

=+--∑∙∙