第二函数导数及其应用
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
二次函数的求导与导数应用
二次函数的求导与导数应用二次函数是指函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b 和c为常数且a ≠ 0。
在数学中，二次函数是一种重要的函数类型，它在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的求导方法以及导数在实际问题中的应用。
一、二次函数的求导方法二次函数的导数求解较为简单，我们可以根据导数的定义以及基本求导法则来进行求解。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数。
首先，根据求导法则可知，常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。
因此，常数项c对函数f(x)的导数没有影响。
其次，根据乘法法则可知，对任意常数k，导数满足d(kf(x))/dx = k * d(f(x))/dx。
因此，在求解二次函数的导数时，我们可以将常数项提取出来。
即f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中2a为二次项的系数。
综上所述，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中a为二次项的系数。
二、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍导数在二次函数相关问题中的具体应用。
1. 极值点的判定对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，可以通过求导并令导数为0的方法来判定函数的极值点。
具体地，当f'(x) = 2ax + b = 0时，可以求解得到x = -b / (2a)。
将该值代入函数f(x)中可以得到相应的y值，即为函数的极值点。
2. 函数的单调性二次函数的单调性可以通过导数的正负来判断。
当导数f'(x) > 0时，表示函数递增；当导数f'(x) < 0时，表示函数递减。
利用导数的正负可以确定二次函数在不同区间上的单调性。
3. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过导数的变号来判断。
二次函数的导数和积分
二次函数的导数和积分二次函数是数学中的基本函数之一，在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论二次函数的导数和积分，以及它们的应用。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的性质包括：顶点、轴对称、开口方向及平移等。
2. 二次函数的导数导数是函数变化率的度量，它可以告诉我们函数在各点的斜率和曲线的凹凸性。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数f'(x)等于2ax + b。
2.1 导数的意义导数可以告诉我们函数在某一点的变化速率。
在二次函数中，导数的值决定了图像的斜率。
当导数为正时，函数在该点上升；当导数为负时，函数在该点下降。
2.2 导数的计算为了计算二次函数的导数，我们可以将f'(x) = 2ax + b的公式应用于二次函数的表达式中。
例如，对于f(x) = 2x^2 + 3x - 1，它的导数f'(x) = 4x + 3。
3. 二次函数的积分积分是导数的逆运算，它可以求得函数下面积的大小。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的不定积分F(x)等于(1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 +cx + C，其中C为常数。
3.1 积分的意义积分可以用来计算曲线下面的面积，也可以用于求解速度、位移、体积等问题。
在二次函数中，积分的结果告诉我们曲线下面的面积以及函数的原始表达式。
3.2 积分的计算为了计算二次函数的积分，我们可以将(1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 + cx +C中的常数C按需求确定。
例如，对于f(x) = 2x^2 + 3x - 1的不定积分F(x) = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C。
4. 二次函数导数和积分的应用二次函数的导数和积分在各个领域中有广泛的应用。
第二章 函数、导数及其应用
[例1] 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求 函数y的最小值． [思路点拨] 化简后采用换元转化为二次函数的最值问 题，利用配方法解决． [解] y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋ 2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时， ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.
[答案] 9
[点评]
利用基本不等式法求解最值的关键在于确定
定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等
式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用
符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数
解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出
常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函
[例3]
1 4 函数f(x)＝x＋ (0<x<1)的最小值为________． 1－x
[思路点拨] 通分 ―→ 换元 ―→ 化简 ―→ 找定值 ―→ 求定值
1－x＋4x 3x＋1 1 4 [解析] f(x)＝x＋ ＝ ＝ ， 1－x x1－x －x2＋x t－1 令t＝3x＋1，则x＝ 3 ，t∈(1,4)， t t 9t f(x)变为g(t)＝ ＝ 1 5 4 ＝ －t2＋5t－4 ＝ t－12 t－1 －9t2＋9t－9 ＋ － 3 3 9 ， 4 －t＋ t ＋5 4 4 9 因为t∈(1,4)，所以5>t＋ t ≥4,0<－ t＋ t ＋5≤1， 4 －t＋ t ＋5 ≥9，所以f(x)的最小值为9.
二次函数与三次函数的导数与应用
二次函数与三次函数的导数与应用函数是数学中一个重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在函数的研究中，导数是极其重要的概念之一。
对于二次函数和三次函数，它们的导数具有一些特点和应用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨二次函数和三次函数的导数。
一、二次函数的导数1.1 二次函数的定义与性质二次函数是指函数表达式中的最高次项为2的函数，一般可以用y=ax²+bx+c来表示。
其中，a、b和c为实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，它的开口方向由二次系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
1.2 二次函数的导数计算对于二次函数y=ax²+bx+c，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知二次函数的导数为dy/dx=2ax+b。
其中，dy/dx表示函数y对变量x的导数。
1.3 二次函数导数的应用二次函数导数的应用非常广泛，以下列举两个具体的例子。
首先，二次函数导数可以用来求解函数的极值。
当导数为0时，函数达到极值点。
通过求解dy/dx=2ax+b=0，可以求得函数的极值点。
其次，二次函数的导数还可以用来分析函数的变化趋势。
由于二次函数的导数是一条直线，通过观察导数的正负可以得出函数的增减性。
当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减。
二、三次函数的导数2.1 三次函数的定义与性质三次函数是指函数表达式中的最高次项为3的函数，一般可以用y=ax³+bx²+cx+d来表示。
其中，a、b、c和d为实数，且a≠0。
三次函数的图像通常是一个形状复杂的曲线，它的变化趋势由各个系数的正负决定。
2.2 三次函数的导数计算对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d，它的导数可以通过求解函数的导数公式得到。
根据导数的定义，可知三次函数的导数为dy/dx=3ax²+2bx+c。
几个常用函数的导数应用
当一阶导数等于0的点，称 为函数的驻点，驻点可能是 极值点。
求最值
结合单调性和极值点，可以 求出函数的最大值和最小值。
02 二次函数
二次函数导数的定义
总结词
二次函数导数的定义是函数值关于自 变量的变化率。
详细描述
导数表示函数值随自变量变化的速率， 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其 导数f'(x)=2ax+b。
通过求导数，可以判断函数的单调性。 例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$在实数范围内恒大于 等于0，因此该函数在整个定义域内单 调递增。
利用导数可以求出函数的极值点。例如， 对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^{2}$，令其为0解得$x=0$，在 这一点左侧导数小于0，右侧导数大于 0，因此该点为极小值点。
05 幂函数
幂函数导数的定义
幂函数导数定义
如果函数$f(x) = x^n$，那么它的导数$f'(x) = nx^{n-1}$。
导数定义解释
导数表示函数在某一点的变化率，对于幂函数，其导数 与原函数的关系是，当$x$变化时，$f'(x)$表示$f(x)$的 增减速度。
幂函数导数的计算
计算方法
根据幂函数导数的定义，对于任意实数$n$，有$f'(x) = nx^{n-1}$。
举例
在物理学中，振动和波动的研究中经常需要用到三角函数的导 数；在工程学中，信号处理和控制系统等领域也需要用到三角
函数的导数。
结论
掌握三角函数导数的计算和应用对于解决实际问题具有重 要的意义。
04 对数函数
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件
)
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，若 f(m)＝3，则实数 m
的值为( )
A. 3
图象
定义域
_R _
_R _
R__ _{x_|x_≥_0_}___
_{x_|_x≠_0_}___
值域
_R _
_{y_|y_≥_0_}___
R__ _{y_|y_≥_0_}___
_{y_|_y≠_0_}___
奇偶性 奇__
偶__
奇__ _非_奇__非_偶___
奇__
单调性
增__
(_－_∞__，_0_)减__，__ (_0_，_＋__∞_)增____
5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－2,0)，B(4,0)且函数的 最大值为 9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：51062031】
y＝－x2＋2x＋8 [设 y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为 x＝1， 当 x＝1 时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数 解析式的形式，选法如下
[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段 长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2.2 分 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.8 分 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.15 分
二次函数的导函数的意义
二次函数的导函数的意义摘要：1.二次函数导数的定义和意义2.二次函数导数在实际问题中的应用3.求解带二次函数导数的问题的方法4.总结：二次函数导数的实用性和重要性正文：在数学领域，二次函数是一类重要的函数形式，其在各个领域都有广泛的应用。
而二次函数的导数则是研究这类函数性质和解决实际问题的关键工具。
本文将探讨二次函数导数的意义，以及在实际问题中的应用和求解方法。
一、二次函数导数的定义和意义二次函数是指形如y=ax+bx+c（a≠0）的函数。
其导数是指该函数在某一特定点x处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化速率。
二次函数的导数公式为y" = 2ax + b。
导数的概念引入了微积分中的极限观念，有助于我们研究函数的性质和变化趋势。
二、二次函数导数在实际问题中的应用1.速度与加速度问题：在物理学中，二次函数对应的是抛物线运动。
导数可以表示物体在某一时刻的速度，从而帮助我们分析物体的运动状态。
如在竖直上抛运动中，位移函数的导数表示速度，再求导可得加速度。
2.变化率问题：在经济学、生物学等领域，二次函数可以表示某种指标与时间的关系。
导数则表示该指标在某一时间的变化率，有助于我们了解发展趋势和预测未来变化。
3.优化问题：在工程、管理等领域，二次函数的导数可以用于求解最优化问题。
如求解抛物线型的最值问题，可以通过求导数等于0的点来实现。
三、求解带二次函数导数的问题的方法1.求导数：首先对二次函数进行求导，得到导函数。
2.确定边界条件：根据实际问题，确定边界条件，如初值或边界值。
3.建立方程：将边界条件代入导函数，得到一个或多个方程。
4.求解方程：利用数学方法（如分离变量、特征值法等）求解方程，得到函数的解。
5.分析解的性质：根据解的性质，分析函数的单调性、极值、最值等。
四、总结二次函数导数作为数学和实际问题中的重要工具，具有广泛的应用和实用价值。
掌握二次函数导数的求解方法和实际应用，有助于我们更好地解决各类问题。
二阶导数的物理意义及其在优化问题中的应用
二阶导数的物理意义及其在优化问题中的应用一、二阶导数的物理意义二阶导数是指函数的二阶导数，即对函数进行两次求导得到的结果。
在物理学中，二阶导数具有重要的物理意义，可以衡量物理量的变化率和加速度。
以下将介绍二阶导数的物理意义及其在力学和波动学中的应用。
1. 物体的加速度在力学中，物体的加速度是指物体单位时间内速度的变化率。
当我们对物体的位移-时间关系进行二次求导，得到的二阶导数即为物体的加速度。
加速度是描述物体在运动过程中加速或减速的物理量，它决定了物体的动力学特征。
2. 力的变化率根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
因此，力的变化率可以用二阶导数来表示。
如果我们对质量不变的物体施加一个恒定的力，它会产生一个恒定加速度。
然而，在实际情况下，往往存在力的变化，这时候二阶导数可以帮助我们衡量力的变化率。
3. 粒子的振动在波动学中，粒子的振动是研究对象之一。
对于一个简谐振动的粒子来说，它的位移关于时间的二阶导数就是质点的加速度。
二阶导数的正负号告诉我们振动的方向，而绝对值则反映振动的强度。
二、二阶导数在优化问题中的应用二阶导数在优化问题中扮演着重要的角色，特别是在求解极值和优化问题时。
以下将介绍二阶导数在优化问题中的应用。
1. 极值点的判断对于一个函数，极值点是函数的取值在某一区间内达到最大或最小值的点。
二阶导数可以帮助我们判断一个函数的极值点。
如果二阶导数为正，说明函数在该点处为凸函数，为极小值点；如果二阶导数为负，说明函数在该点处为凹函数，为极大值点。
2. 优化算法优化算法是一类广泛应用于工程和科学领域中的问题求解方法。
其中，二阶导数的应用尤为重要。
一种常见的优化算法是牛顿法（Newton's method），它利用了函数的二阶导数信息来迭代地逼近函数的最小值（或最大值）。
牛顿法在很多优化问题中都表现出良好的性能。
3. 正定矩阵在优化问题中，正定矩阵是二阶导数的一个重要应用。
正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵。
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6
题型二 用导数研究不含参数的函数单调性 例2 判断下列函数的单调性 (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝xe−x2； (3)f(x)＝x3＋3x.
解析：因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝cos x－1<0. 所以函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减．
题型三 用导数研究含参函数的单调性
例3 已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数f(x)的单 调性．
变式探究 本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
答案：B
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以 f′(3)<0.故选B.
3 ． 导 函 数 y ＝ f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 可 能 是 ()
【易错警示】
出错原因
纠错心得
忽略了函数f(x)的定义 在讨论函数的单调性时，要特别注意函数
域．
的定义域．
[课堂十分钟] 1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可 能是( )
答案：C 解析 ： 由 导函数的 图象可知 ， 当 x<0时 ，f′(x)>0，即 函 数f(x)为增函数 ；当 0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数， 观察选项易知C正确，故选C.
第二章函数导数及其应用第八节幂函数与二次函数PPT课件
y＝x
y＝x－1
图象
定义域 值域
_R__
_R__
_R__ _{_y_|y_≥__0_}_
_R__ _{x_|_x_≥__0_}_ _{x_|_x_≠__0_}_ _R__ _{_y_|y_≥__0_}_ _{_y_|y_≠__0_}_
二、复习巩固，任务驱动
函数
特征
y＝x
y＝x2
y＝x3 y＝x
y＝x－1
1
1
D．①y＝x 3 ，②y＝x 2 ，③y＝x2，④y＝x－1
1
[自主解答] y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x2 定义域 x≥0，对应
③；y＝x－1 为奇函数，且图像与坐标轴不相交，对应④；y＝x3 与 y
1
1
＝x 3 均为奇函数，但 y＝x3 比 y＝x 3 增长率大，故①对应 y＝x3.
[答案] B
2．二次函数的表示形式 (1)一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线顶
点坐标； (3)零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中 x1、x2 是抛物线
与 x 轴交点的横坐标． 3．二次函数的图象及其性质
a＞0
a＜0
奇偶 性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
单调 x∈__－__∞__，__－__2b_a__是减函数 x∈_－__∞__，__－__2_ba___是增函数
性 x∈_－__2_ba_，__＋__∞___是增函数 x∈__－__2b_a_，__＋__∞__ 是减函数
最 值
当
x＝－2ba时，ymin＝
C．[1,2]
D．(－∞，2]
02第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示1.函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2.分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．◆教材通关◆函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析式法．(5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[小题诊断]1.(2018·深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2,1) B ．[－2,1] C.(0,1)D ．(0,1]2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B.f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C.y ＝x 与y ＝(x )2D.f (x )＝x 2与g (x )＝3x 34.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x ＞0，则f [f (3)]＝( )A.43 B.23 C.－43D ．－35.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x ＜2，2x －2－1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( )A.－2 B ．－1 C.1D ．2◆ 易错通关 ◆1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.2.(2018·江南十校联考)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.授课提示：对应学生用书第10页考点一 函数的定义域 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1.函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A.(－1,3)B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3)D.(－1,0)∪(0,3]2.下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )A.y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC.y ＝x e xD ．y ＝sin xx3.(2018·铁岭模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是________．函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式 (组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.考点二 函数解析式的求法 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．[即时应用]1．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝3x －5D ．y ＝3x2．(2018·定州模拟)下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝|x ＋1| C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝e x3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.考点三 分段函数 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．角度一 分段函数的函数求值问题1．(2018·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x ＞2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x ＜－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.角度二 分段函数的自变量求值问题2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.分段函数的自变量求值问题要注意判断自变量与定义域的关系、常用分类讨论思想.角度三 分段函数与不等式问题3．(2018·泉州质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x ＜0.若a [f (a )－f (－a )]＞0，则实数a的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.[即时应用]1．(2018·安徽百校论坛联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f [f (33)]＝________.2．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，x ，x ＞0，若f [f (x 0)]＝1，则x 0＝________.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．考点四 函数的新定义问题 创新探究 交汇创新考点——突破疑难常见形式(1)讨论新函数的性质；(2)利用新函数进行运算；(3)判断新函数的图象；(4)利用新概念判断命题真假等．[典例] (2018·滨州月考)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0＜x ＜1)，0 (x ＝1)，－1x (x ＞1)中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．只有①求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题.[即时应用]1．已知定义域为D的函数y＝f(x)和常数c，若对∀ε＞0，∃x∈D使得0＜|f(x)－c|＜ε，则称函数y＝f(x)为“c敛函数”．给出下列函数：①f(x)＝x(x∈Z)；②f(x)＝2－x＋1(x∈Z)；③f(x)＝log2x；④f(x)＝1－x－1.则其中是“1敛函数”的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．②③④2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”．设f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在[a，b]上是“密切函数”，则它们的“密切区间”可以是() A．[1,4]B．[2,4]C．[2,3]D．[3,4]第二节 函数的单调性与最值1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．◆ 教材通关 ◆1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．[必记结论]对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解； (2)可导函数则可以利用导数解之． (3)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[必记结论]求函数单调区间的2个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． 2．函数的最值1．(2018·阜阳模拟)给定函数：①，②y ＝ (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)4．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 5．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.6．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．◆易错通关◆1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数．3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1f(x)等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．考点一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)2．设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 014型增函数”，则实数a的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．函数单调性的判断方法考点二 函数单调性的应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中．常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．角度一 求函数的值域或最值1．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0角度二 比较函数值或自变量大小2．已知a ＞b ＞0，则下列命题成立的是( ) A ．sin a ＞sin bB ．log 2a ＜log 2bD.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b角度三 求解函数不等式3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，函数g (x )＝|f (x )|－1.若g (2－a 2)＞g (a )，则实数a的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)角度四 利用单调性求参数的取值范围4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫12，1函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(4)求函数最值(四种常用方法)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.[即时应用]1．(2018·福州模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c2．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．第三节函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．◆教材通关◆1．函数的奇偶性[必记结论]1．函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[必记结论]定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)，则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．[小题诊断]1．(2018·肇庆质检)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln(x 2＋1－x ) C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．(2018·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |3．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．34．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．25．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 6．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.◆ 易错通关 ◆1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－122．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)考点一 函数奇偶性的判断 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x2．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，x 2－x ，x ＞0的奇偶性．判断函数奇偶性的方法考点二函数的周期性自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 015)＝________. 3．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．求函数周期的方法考点三 函数性质的综合应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一 奇偶性的应用1．(2018·三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x2．(2018·汕头模拟)若函数f (x )＝63e x a －b32ex (x ∈R )为奇函数，则ab ＝________.角度二 单调性与奇偶性结合3．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]角度三 周期性与奇偶性结合5．设函数f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，f (x －32)＝f (x ＋12)，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|角度四 单调性、奇偶性与周期性结合6．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8] ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)， 则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a函数性质综合应用的注意点函数的周期性体现的是一种平移关系，奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．同时，函数的周期性和对称性有密切的关系．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[即时应用]已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2 016)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2第四节 二次函数与幂函数1．掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念．3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x，的图象，了解它们的变化情况．◆ 教材通关 ◆1．五种常见幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．二次函数的图象和性质 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)a ＞0a ＜0图象定义域 R值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上递减， 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上递增， 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上递减奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x ＝－b2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a1．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f (19)＝( )A.12 B.14 C ．2D ．42．(2018·宜昌模拟)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C ．[－20，92]D ．(－20，92)3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．24．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－5] B ．(－∞，5] C ．[－5，＋∞)D ．[5，＋∞)5．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 6．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.◆ 易错通关 ◆由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．[小题纠偏]若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是________．考点一 幂函数的图象与性质 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．33．(2018·西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)＞x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)；③x 22f (x 1)＞x 21f (x 2)；④x 22f (x 1)＜x 21f (x 2)． 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.考点二 二次函数图象与性质 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0. (2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算.[即时应用]1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－2)B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点三二次函数的最值问题变式探究母题变式考点——多练题型[典例]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．[变式探究1]若将条件变为“y＝x2－ax，x∈[－2,2]”，问题不变．[变式探究2]1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.[即时应用](2017·高考浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关第五节 指数与指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的定义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．◆ 教材通关 ◆1．根式的概念2.两个重要公式(1)na n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)，n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． [必记结论]在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．3．指数函数的图象与性质定义域：R[必记结论]1．画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[小题诊断]1．化简的结果是( )A ．－9B ．7C ．－10D ．92．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．c >a >b C ．a >b >c D ．b >a >c4．(2018·邯郸质检)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________.6．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．◆ 易错通关 ◆1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．考点一 指数幂的运算 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×－(0.01)0.5.2．化简：3．化简：指数幂运算的4个原则(1)有括号的先算括号里面的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二 指数函数的图象及应用 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．与指数函数有关的图象问题的求解方法1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 3．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.[即时应用]1．(2018·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a ＞0)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(]1，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2D.⎣⎡⎦⎤14，22．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．考点三 指数函数的性质及应用 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．角度一 比较指数式的大小1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.6－1＞0.62 C ．0.8－0.1＞1.250.2D ．1.70.3＜0.93.1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．角度二 与指数函数有关的函数值域问题2．已知0≤x ≤2，则的最大值为________．形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三 探究指数函数性质的问题3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]4．已知函数f (x)＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[即时应用]1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a2．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为13．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称；。
二次函数的导数与应用
二次函数的导数与应用在数学中，二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的导数及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的导数为了求解二次函数的导数，我们可以使用导数的定义或应用导数的规则。
而对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x)即为二次函数的斜率。
使用导数的规则，我们可以快速求得二次函数的导数。
根据规则，对于任意的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们有：f'(x) = 2ax + b其中，2a表示二次项的系数，b表示线性项的系数。
二、二次函数导数的性质在研究二次函数导数的性质时，我们可以从函数的凸性和极值入手。
1. 凸性：当a > 0时，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c开口向上，在其导数f'(x) = 2ax + b大于0的区间上是递增的；当a < 0时，二次函数f(x)开口向下，在其导数f'(x)小于0的区间上递减。
2. 极值：当二次函数f(x)存在极值时，其极值点必然是函数的顶点。
通过求导我们可以找到函数的极值点。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，极值点的横坐标可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)其中，-b / (2a)即为二次函数的对称轴。
三、二次函数导数的应用二次函数的导数在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用情景。
1. 最优化问题：在某些最优化问题中，我们需要找到函数的最大值或最小值。
通过求得二次函数的导数，我们可以判断函数的凹凸性，从而找到函数的极值点。
这在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
2. 运动学问题：在物理学的运动学中，二次函数常常用于描述物体的运动轨迹。
通过求导，我们可以得到运动物体的速度和加速度函数，从而可以分析物体的运动特性。
二次函数的导数与导数的应用
二次函数的导数与导数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的导数及其应用，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 什么是二次函数的导数二次函数可用一般式表示为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
导数是函数在某一点上的变化率，也表示函数曲线在该点的切线斜率。
对于二次函数而言，其导数可以通过求导公式直接计算得出。
2. 求二次函数的导数公式要求二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数，可以使用一般的求导规则。
根据求导公式，可以得到二次函数的导数为 f'(x) = 2ax + b。
3. 导数的意义及性质二次函数的导数具有以下重要的意义和性质：- 导数表示函数的变化率，即函数在某一点的瞬时变化速度。
- 导数的符号表示了函数的增减性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
- 导数的绝对值代表了函数曲线的斜率大小。
4. 二次函数导数的图像分析通过分析二次函数的导数的图像，可以更直观地理解导数的性质。
以二次函数 f(x) = ax² + bx + c 为例，其导数图像可以绘制出以下几种情况：- 当导数 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 递增，对应导数图像的斜率大于零的部分。
- 当导数 f'(x) < 0 时，函数 f(x) 递减，对应导数图像的斜率小于零的部分。
- 当导数 f'(x) = 0 时，函数 f(x) 达到极值点，对应导数图像的斜率为零的部分。
5. 导数在二次函数图像分析中的应用导数在分析二次函数的图像中有重要的应用，可以帮助我们判断函数的性质和特点。
以下是一些常见的应用场景：- 判断顶点坐标：由于二次函数的导数 f'(x) 的根即为函数曲线的拐点和极值点，因此可以通过求导并解方程，找到函数的顶点坐标。
高考数学复习第2章函数导数及其应用第1讲函数与映射的概念
解析：x＝1∈A,x→|x－1|＝0 B,即对集合 A 中元素 1, 在集合 B 中没有元素与之对应.故选 C.
答案：C
(2)(多选)下列四个图象中,是函数图象的是(
解析：由已知得 7＋6x－x2≥0,即x2－6x－7≤0, 解得－1≤x≤7,故函数的定义域为[－1,7]. 答案：[－1,7]
(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f(f(x))的定义域为 ______________________.
素 了 2.知解,会道映求指射一数的些函概简数念单y.＝函a数x 与的对定数义函域数和y值＝域；决反在连函求2续0数函三11年的数年、概的都2念定考01及义 查2年求域 求、法简,但2单,新也01函课涉3年数标及
logax互为反函数(a＞0, a≠1)
的反函数
设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
课标要求
考情风向标
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描 述变量之间的依赖关系的重要数学模
对函数概念的理解是学好函 数的关键,函数的概念比较抽
型,在此基础上学习用集合与对应的语 言来刻画函数,体会对应关系在刻画函 数概念中的作用；了解构成函数的要
象,不易理解,应做适量练习, 通过练习弥补理解的缺陷,纠 正理解上的错误.本讲重点解
答案：D
(4)已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x) 1
3
1
x
1
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实际问题的最值问题 有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函 数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有 一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极 值点就是最大(小)值点．
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[精析考题]
[例1] (2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)ex (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
(x>6)，年销售为u万件，若已知5885－u与x－2412成正比， 且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
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解：(1)设5885－u＝kx－2412， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5885－28＝k10－2412，解得k＝2， ∴u＝－2x－2412＋5885＝－2x2＋21x＋18， ∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6) ＝－2x3＋33x2－108x－108.(x>6)．
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[精析考题] [例3] (2011·辽宁高考)设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲 线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2.
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[自主解答] (1)f′(x)＝1＋2ax＋bx. 由已知条件得ff′ 1＝1＝ 0，2. 即11＋ ＋a2＝ a＋0， b＝2. 解得a＝－1，b＝3.
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[自主解答] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下：
x (－∞，k－1) (k－1) (k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增
区间是(k－1，＋∞)．
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(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递 增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1时，即k≥2，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
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4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______． 答案： 0
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5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是______．
解析：设矩形的一边边长为 x，则另一边边长为Sx， 其周长为 l＝2x＋2xS，x＞0，l′＝2－2xS2 . 令 l′＝0，解得 x＝ S. 易知，当 x＝ S时，其周长最小． 答案： S
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本题条件不变，求f(x)在区间[0,1]上的最大值．
解：当 k－1≤0，即 k≤1 时，函数 f(x)在[0,1]上单调递增． ∴f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)＝(1－k)e. 当 0<k－1<1，即 1<k<2 时， 由(1)知 f(x)在(0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 f(0)和 f(1)较大者．若 f(0)＝f(1)， ∴－k＝(1－k)e，即 k＝e－e 1.
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当 1<k<e－e 1时函数 f(x)的最大值为 f(1)＝(1－k)e，当e－e 1≤k<2 时，函数 f(x)的最大值为 f(0)＝－k， 当 k－1≥1 时，即 k≥2 时，函数 f(x)在[0,1]上单调递减． ∴f(x)在[0,1]上的最大值为 f(0)＝－k. 综上所述，当 k<e－e 1时，f(x)的最大值为 f(1)＝(1－k)e. 当 k≥e－e 1时，f(x)的最大值为 f(0)＝－k.
的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最
大年利润的年产量为
()
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
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解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)． 当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0，则当x＝9时， y取得最大值． 答案： C
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(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x. 设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，则 g′(x)＝－1－2x＋3x＝－x－1x2x＋3. 当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在 (0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．而g(1)＝0，故当x＞0 时， g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·西安联考)函数 f(x)＝12x2－ln x 的最小值为________．
解析：f′x＝x－1x>0， x>0，
得 x>1，xf′>0，x<0，
得 0<x<1.
∴f(x)在 x＝1 时取最小值 f(1)＝12－ln 1＝12.
答案：12
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2.(2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点p(1,0) 处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求a，b； (2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．
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解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax 由已知条件ff′1＝10＝－3 即a2＋ a＋b＋ 3＝1＝ －03， ， 解得ba＝ ＝2－. 3，
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(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取 何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
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[自主解答] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值．
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2．生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
答案： C
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2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的
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(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) f′(x)与f(x)随x变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0,2)
f′(x)
＋
பைடு நூலகம்
0－
f(x)
2
2 (2，＋∞)
0
＋
－2
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由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3 因此根据f(x)的图象 当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2 最小值为f(t)＝t3－3t2＋2； 当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为 f(2)＝－2.
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答题模板（三）利用导数证明不等式的 答题模板
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[考题范例] (12 分) (2011·新课标全国卷)已知函数 f(x)＝axl＋n 1x＋bx，曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0. (1)求 a，b 的值； (2)证明：当 x>0，且 x≠1 时，f(x)>xln－x1.
[例2] (2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱 柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
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(2)y′＝－6x2＋66x－108 ＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9)． 令y′＝0，得x＝2(∵x>6，舍去)或x＝9，
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显然，当x∈(6,9)时，y′>0； 当x∈(9，＋∞)时，y′<0， ∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的； 在(9，＋∞)上是减少的， ∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135， ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
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(2)证明：设h(x)＝xln x－2x＋e(x≥1)， 令h′(x)＝ln x－1＝0得x＝e， 列表分析函数h(x)的单调性如下：
x
1
(1，e) e (e，＋∞)
h′(x) －1
－
0
＋
h(x) e－2
0
∴h(x)≥0.即f(x)≥2x－e.
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[冲关锦囊] 证明f(x)<g(x)，等价于证明f(x)－g(x)<0，即可证明F(x) ＝f(x)－g(x)的最大值小于0，从而转化成用导数求最值问 题．可见等价转化是本题思维的核心．
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
4．(2012·辽宁协作体联考)已知f(x)＝xln x. (1)求g(x)＝fxx＋k(k∈R)的单调区间； (2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．
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解：(1)g(x)＝ln x＋kx， ∴令g′(x)＝x－x2 k＝0得x＝k. ∵x>0，∴当k≤0时，g′(x)>0. ∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k>0时g′(x)>0得x>k；g′(x)<0得0<x<k， ∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．