数学建模第四章差分方程方法
第四章差分方程建模
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(2)的通解
情况1 若特征方程（3）有n个互不相同的实根
1
，
,…,
n ,则齐次方程（2）的通解为
t C11 C n tn (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（3）的k重根，通解中对应 k 1 t (C1 C k t ) 于λ的项为
出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时
或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形 式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。
这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了 一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系 的变量是既方便又有意义的。
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 易见
yt sin 与 yt cos 均是它的特解，而 2 2 yt c1 sin t c2 sin t 2 2则为它的通解，其 中c1，c2为两个任
m A0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,... r
k
这就是差分方程（4）的解。把已知数据 A0 , r 代 入 A12n 0 中，可以求出月还款额。例如： m 444 .356 A 10000 , r 0.0052125 ,n 2 时，可以求出： 元。 • 模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改 变、目标的改变、某些特殊结果等。如果 令 Ak A ，则 A m ，并且
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
数学建模之差分方程
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
数学建模之差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
第4章差分模型(数学建模)
A n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.19375 0.196875 0.1984375 0.1992187 5 0.1996093 8 0.1998046 9 0.1999023 4
B
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
你每个月买车最多能支付475美元，利用系统动力 美元， 你每个月买车最多能支付 美元 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？ 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？
4.2 用差分方程近似描述变化
例4.3.酵母培养物的增长 表中数据是从酵母培养物的增 长的实验中收集来的 从图中看到可令:△pn =kpn 从图中看到可令 △ K=0.5,则pn+1=1.5pn
以小时计 的时间n 的时间 0 1 2 3 4 5 6 7
300 250 200 150 系列1
观察到的酵母 生物量pn 生物量 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3
第4讲 差分方程方法(new)PPT课件
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
14
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
数学建模中的差分法
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解
t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
( x0 , y0 ) (1,2)
第一组点： x1 x0 f (t0 , x0 , y0 )t x0 (3x0 x0 y0 )t 1 (3 2) 0.1 1.1
xk 1 axk b, k 0,1,2,, (1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
b . 即平衡点为 x 1 a
当k 时，xk x , 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
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xk 1 axk b,
k 0,1,2,,
例1 从 t 0 出发并取 t 0.1 ，求下列初值问题 的近似解。
1 x, x x(0) 1
解
t0 0, x0 1 t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
x1 x0 f (t0 , x0 )t x0. (1 x0 )t 1 (1 1) 0.1 1.2
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二阶差分
(xt ) xt 1 xt xt 2 xt 1 xt 1 xt
2 xt xt 2 2xt 1 xt
同理，可定义三阶差分等。 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。 差分的性质：
(cxt ) cxt ( xt yt ) xt yt
(1)
b b xk 1 axk b , 1 a 1 a
b ab xk 1 axk , 1 a 1 a
差分方程方法
第四章 差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。
4．1常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211=+⋯+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。
对应的代数方程02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1. 特征根为单根设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为nk k n n n c c c x λλλ+++= 2211，其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件()0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3)时，可以唯一确定一个特解。
2. 特征根为重根设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为l m m m ,,,21 且k m li i =∑=1则差分方程（4.1）的通解为n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x lλλλ112112111121-=-=-=∑∑∑+++=同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。
数学建模中的差分方程算法
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
浙江大学数学建模第四章基于线性代数与差分方程方法的模型
2.移位密码体制
移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本 身不变，只是位置改变了。 另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造 早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械 密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的， 来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个 故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向 直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带 右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得： 时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC 看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 “WKDQN BRX” 因此 “THANK YOU” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可 采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排 在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密 文表。
§4.2 密码的设计，解码与破译
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴 比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类： 其一为隐藏信息载体，采用隐写术 等； 其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。
数学建模中的差分法
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三 常微分方程向差分方程转化（数值解）
1 Euler 方法 求初值问题的近似解。
先把自变量所在的区间 n 等分；
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
t1 t0 t t2 t1 t x f (t, x)t
tn tn1 t
1 1, 2 1
时，方程（4）的平衡点是稳定的。
非齐次线性方程（5）的稳定性可转化为齐次方 程（4）来研究。
xk2 a1xk1 a2 xk b,
(5)
对于n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征根
i 1,(i 1,2,n,)
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3 一阶非线性差分方程
xk1 f (xk )
由于
xk 1
b 1 a
a( xk
b) 1 a
0,
(1) k 0,1,2,
方程（1）平衡点的稳定性问题可转化为下面 方程零点的稳定性。
xk1 axk 0, k 0,1,2, (2)
方程（2）的解可表示为
xk (a)k x0 , k 1,2,
可得到下面的稳定性结论。
(6)
平衡点 x 通过求解方程 x f (x)
而得到。
研究稳定性的方法之一是研究其对应的线性部 分的稳定性。
将方程（6）的右端在 x 点作泰勒展开只取 一次项， （6）近似为
xk1 f (x )( xk x ) f (x )
(7)
x 也是（7）平衡点。
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xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
第4讲 差分方程方法
其特点是
yt n , yt n 1,, yt
都是一阶的.
一 .常系数线性差分方程
1.常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk 0 (1) 其中 k 为差分方程的阶数， ai (i 1,2,, k ) 为差分方 程的系数，且 ak 0(k n) 。
引例1： Fibonacci 数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
0 1
2
1 1
x(k 1) Ax(k ) 0, k 0,1,2, 其中 x(k ) 为 n 维向量， A 为 n n 阶常数矩阵。
一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为
0 是稳定的充要条件是 A 的所有特 征根都有 i 1(i 1,2, , n) 。
它的平衡点 x
*
差分方程数学建模分析
规 律 和运 算关 系等式 ，建 立起 差分 方 程 。 １２ 对事 物 系统进 行 划分 ，划分 成若干 子 系统 ，在 每个 子 系统 ． 中 引入恰 当的 变量 或 向量 ，然 后分析 建 立起 子过 程 间的这 种 量 的关 系等式 ，从而 建立 起 差分 方程 ， 着重 强调 的是在 此过 程 中 ，时段 或子 系统 的 划分方 式是 非 常非 常 重要 的 ，应 当结 合 已有 的信 息和 分 析条 件 ，从 多种可 选方 式 中挑 选 易于 分 析 、针对 性 强的 划分 ，同时 ，对 划 分后 的时 段或 子过 程 ，引入 哪些 变量 或 向量 都是 至关 重要 的 ，要 仔 细分 析 、选择 ，尽 量 扩大 对 过程 或 系统 的数 量感 知范 围 ，包 括对 已有的 、 已知的 若干 量 进行 结 合运 算 、取 最运 算等 处理 方式 ， 目的 是 建立 起 简洁 、深 刻 、易于 求解 分析 的 差分方 程 。 ２ 模 型 举 例
Ｙ ＝ｆ ｈｙ ） ［（ 】
这就 是 两个 差分 方程 ， 属一 阶非 线性 差分 方程 。
于是 ２．１ ｘ＋＋
即 ２． ＋ ｘ＋ ２
一＋ａ ， ＝（＋ａ ）ｏ ｌ ｐｘ １ ￣ Ｘ
＋＋ ｌ ：（＋ ）。 １
３几 何模 型 分析
为了表现出两个变量 Ｘ 和 的变化过程， 我们可以借助已有的函 数 ｆ 和 ｇ ， 过对应 关系 的几何表现 把点列 （ ， ，和 ｎ 在 通 Ｙ） ＋Ｙ） ｌ 坐标 系 中描 绘 出来 ，进而 分析 它们的变化规 律 、 势、找稳 定点． 中 趋 其 （ｎＹ ） Ｘ， （ ） Ｙ） Ｘ ｇ ＋ ） Ｘ ， ＝（ｎｆ ｘ） （ ， ：（ｎ （ ） 将 点 列 Ｐ（ Ｉ 。 Ｐ （２Ｙ）Ｐ （３Ｙ ）Ｐ （４Ｙ ） … 一 接起来 ， １Ｘ， ） ２Ｘ １ ３Ｘ ３ ｘ ，，… Ｙ， ， ， 连 就会形成 象蛛 一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。
数学建模中的差分法
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
优点：容易编程计算。
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例2 从 t0 出发并取 t 1
的近似解。 dN rN , dt
，求下列初值问题 N (0) N0
解 t0 0, N (0) N0
t1 t0 t 1 t2 t1 t 2 t3 3
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
西北大学数学系
(t, x, t) (1 ) f (t, x) f (x t , y t f (t, x)) 2 2
(t, x, t) f (t, x)
yn1
yn
g(tn ,
xn ,
yn )t
步数n可任意大，但n太大，会有误差积累。
西北大学数学系
对捕食模型
dx dt
3x
xy
dy
dt
xy
2
y
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解 t1 t0 t 0.1 t2 t1 t 0.2 t3 0.3
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
即平衡点为 x b . 1 a
当k 时，xk x, 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk1 axk b, k 0,1,2,,
(4)
平衡点为 x 0. 为了得到（4）零点的稳定性
我们求解方程（4）。
差分方程方法
生产者的供应关系 供应函数 xk1 h( yk ) 增函数
y
f
g
y0
P0
0
x0
yk g (xk 1)
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
x
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划. 第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少 ，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.
3）给出达到目标后维持体重的方案.
27
2020年4月12日
四、案例:减肥计划——节食与运动
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2020年4月12日
四、案例:减肥计划——节食与运动
2）第二阶段增加运动的减肥计划
w(k 1) w(k) c(k 1) ( t)w(k)
取t 0.003,即t 24 ( 0.025) t( 0.028)
31
2020年4月12日
四、案例:减肥计划——节食与运动
2）第二阶段增加运动的减肥计划
根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 (千卡):
跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分)
7.0 3.0 4.4
2.5
7.9
基本 w(k 1) w(k) c(k 1) t~每周运动
模型
( t)w(k) 时间(小时)
以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
数学建模方法之差分方程模型
数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。
所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。
在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。
差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。
差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。
差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。
这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。
差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。
例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。
在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。
差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。
2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。
3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。
这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。
4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。
这部分是求解差分方程的前提条件。
5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。
数学建模第四章差分方程方法
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
xm xm 1 ( 1)e rt x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采 用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具 有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更 接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征， 但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只 能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普 查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题 十分自然地提了出来。
n
Fn
{
Fn 定义为fibonacci数列。
Fn Fn1 Fn2 F 1 F2 1
1.差分方程的解法
常系数线性齐次差分方程的解法
形如： an b1an1 b2an2
的差分方程，称为
bk ank 0
(1)
an
的k阶常系数线性齐次差分方程，其中
bi
为常数，
建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问 题的Logistic模型
dP P aP a P aP 1 dt N
N (a ) a
可导出一阶差分方程
时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将 越来越明显地发挥阻尼作用， 若Pt＜N，它将使种群增长速 度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 Pt ＞N，它将使种群呈负 增长。 a Pt 1 (a 1) Pt （1）式可改写为 （2） 1 (a 1) N Pt
数学建模差分方程问题
数学建模差分方程问题数学建模是运用数学方法解决现实问题的一种方法。
而差分方程是数学建模中常用的一种数学工具，用于描述离散时间的动态系统。
本文将介绍差分方程的基本概念和应用，并以一个实际问题为例进行论述。
一、差分方程概述差分方程是一种用差分代替导数的方程，适用于离散时间的动态系统建模。
差分方程常用于描述离散时间下的变量变化规律，包括时序数据和动态优化等问题。
差分方程可以通过迭代求解来获得系统的演化过程。
二、差分方程的类型差分方程可分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程的形式为：y(n+1) = a*y(n) + b*y(n-1)其中，y(n)表示第n个时间点的变量值，a和b为常数。
非线性差分方程的形式更加复杂，可以包含更多的项和参数，例如：y(n+1) = a*y(n)^2 + b*y(n-1) + c*n其中，y(n)^2表示y(n)的平方，c*n表示变量与时间的乘积。
三、差分方程的应用差分方程广泛应用于各个领域的实际问题，在科学研究、工程设计和金融市场等方面都有重要的应用价值。
下面以生态系统模型为例，来介绍差分方程的具体应用。
生态系统模型是生态学领域中的重要问题之一。
考虑一个简化的生态系统，由捕食者和被捕食者两个物种组成。
假设捕食者的数量为x，被捕食者的数量为y。
捕食者的增长速率与被捕食者的数量成正比，而被捕食者的减少速率与捕食者的数量成正比。
则可以建立如下差分方程模型：x(n+1) = x(n) + a*x(n)*y(n)y(n+1) = y(n) - b*x(n)*y(n)其中，a和b为模型的参数，表示捕食者与被捕食者之间的相互作用强度。
通过迭代求解这个差分方程模型，可以得到生态系统中捕食者和被捕食者数量的变化趋势。
四、差分方程的求解方法差分方程的求解可以通过数值方法进行。
常见的有欧拉法和龙格-库塔法等。
这些方法可以将差分方程转化为计算机程序进行求解，得到系统的近似解。
五、差分方程与其他数学工具的关系差分方程与微分方程是数学建模中常用的两种数学工具。
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பைடு நூலகம்
Fn
{
Fn 定义为fibonacci数列。
Fn Fn1 Fn2 F 1 F2 1
1.差分方程的解法
常系数线性齐次差分方程的解法
形如： an b1an1 b2an2
的差分方程，称为
bk ank 0
(1)
an
的k阶常系数线性齐次差分方程，其中
bi
为常数，
例： 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成 成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对 小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 Fn 对 兔子，试建立关于 Fn 的差分方程。
解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留 下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的 F 小兔数等于前月末的兔数，所以
k
bk 0, n k ，方程:
k 1
x b1 x
bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
例:求Fibonacci数的通项:
{
Fn Fn1 Fn2 F1 F2 1
解 : 差分方程的特征方程为：
x x 1 0
2
特征根:
1 5 1 5 x1 与x2 2 2
2 2
联立解得:
1 1 c1 , c2 5 5
故
n n 1 1 5 1 5 Fn 5 2 2
常系数线性非齐次差分方程的解法 定义：形如 an b1an1 b2an2
(
bk ank f n
在实际中许多变量是离散变化的，如人 口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可 操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的 一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来 解决离散型问题。
对一数列，把数列中的 an 和前面的 ai(0≤i ≤n) 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做 递推关系。
b1 ,
, bk 为常数，b k
0, f n 0, n k
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程
an b1an1 b2an2
对应的齐次差分方程为
bk ank f n
an b1an 1 b2 an 2
xm xm 1 ( 1)e rt x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采 用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具 有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更 接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征， 但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只 能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普 查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题 十分自然地提了出来。
2.差分方程的平衡点与稳定性 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k
(1)
则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含k个任意常数的解 称为(1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1)的初始条件, 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特 解. 若x0, x1, … , xk -1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都 有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1 时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
如何预报人口的增长
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 今年人口 x0, 年增长率 r x(t) ~时刻t的人口, 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
n n
是互异的，所以，得通解:
1 5 1 5 Fn c1 c 2 2 2
由初始条件
F1 1, F2 1 得
1 5 1 5 c1 2 c2 2 1 1 5 1 5 c1 2 c2 2 1
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
bk an k 0
定理： 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方 程的通解加上非齐次方程的特解，即
其中
a an是非齐次差分方程的特解。
an
an a an
* n
* n 是对应齐次差分方程的通解，
如何求非次差分方程的特解
一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不 需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点 及其稳定性即可。