高等代数2期末复习参考
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数2-2(数学类)--期末考试答案--2019级
100 010
011
四、设A是n阶非零实对称矩阵，记Rn的两个子空间为U = {X ∈ Rn|AX = 0}, V = {AX|X ∈ Rn}证明:U 是V 在Rn的正交补空间.
证：取Rn中的一组标准正交基，取∀α ∈ U, ∀Aβ ∈ V (令α和Aβ都表示该向量在标准正交基下的坐标)， 则有α Aβ = (Aα) β = 0,由此可知α ⊥ Aβ,所以U 是V 在Rn的正交补空间,证毕。
i=1
七、设A, B是n × n实对称矩阵，A正定.证明:AB相似于对角矩阵.又若B也正定，则AB的 特征值为正实数.
证：（1）因为A为正定的实对称矩阵，所以必定存在一个正交矩阵T1使得T1−1AT1 = E，记B1 = T1−1BT1。 由B是实对称矩阵，则B一定相似于对角阵，所以B1也相似于对角阵,并记该对角阵为B2。于是存在一 个T2有T2−1B1T2 = B2,而T2−1T2−1B1T2 = B2T2 = E,因此(T1T2)−1AB(T1T2) = (T1T2)−1A(T1T2)(T1T2)−1B(T1T2) = B2,可知AB与对角矩阵相似。 （2）而B正定，则B2的对角元都为正实数，所以B2的特征值都为实数。而AB相似于B2，所以特征值相 同，所以AB的特征值也都为正实数，得证。
J1
0
J
=
J2 ...
0
Jn
而Vi的维数与属于λi的特征向量的秩相同，所以要证明题目结论，即证A的若当标准型中Ji中若当块的 个数等于属于λi的特征向量的秩。 设Ji若当块个数为m,属于λi的特征向量的秩为n,而对∀(λE − Ji),设其秩为Ri.显然Ri=ri-m.考虑齐次方 程组JiX = 0,则解得X的基础解系为属于λi的特征向量的极大无关组，基础解系的秩为ri − Ri = m,而 特征向量秩为n，所以m=n,得证。
湖北工程学院高等代数(二)期末试题(A)及答案
得分 阅卷人 三、填空题: 27-29 小题, 每小题 2 分, 共 20 分.
17. 设 dim V1 = 4, dim V2 = 3,dim(V1 ∩ V2) = 2, 则 dim(V1 + V2) =
.
18. 设向量 ξ 在基 ε1, ε2, ε3 下的坐标为 (x1, x2, x3), 则 ξ 在基 ε1 + ε2, ε2, ε3 下的坐
解1二次型的矩阵为a??????a?1?1?1?1?1a?1a??????2分则二次型fx1x2x2是正定?a的所有顺序主子式全大于零即得a0a2?10a?2a120解之得a2
..........................密 ..........................封 ..........................线 ..........................
为 α2 = (−1, 1, 0) , α3 = (−1, 0, 1) . 经过施密特正交化过程后, 求出正交矩阵 T 为
T
=
√1 3
√1 3
√1 3
−
√1 2
√1 2
0
−
√1 6
−
√1 6
√2 6
则二次型 f (x1, x2, x2) 在线性替换 X = T Y 下化为标准型 3y22 + 3y32.· · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 8 分 )
9. ×;
10. ×.
二、单项选择题: 11-16 小题, 每小题 3 分, 共 18 分. 11. (B); 12. (B); 13. (B); 14. (B); 15. (B); 16. (B).
高等代数(二)期末考试
6.设 f x x 4 x3 4 x 2 4 x 1, g x x 2 x 1, 用辗转相除法求 f x , g x .
第4页
第5页
合计
学号
班
.
2.设 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ε5 是欧氏空间 V 的一个正交基,则 α V | α, ε1 α, ε2 0 . 3.设向量组 α1 , α2 , α3 线性无关, β1 可由 α1 , α2 , α3 线性表示, β2 不能由 α1 , α2 , α3 线性表 示,则常数 k 4. σ α 变换,若 σ 满足 时,向量组 α1 , α2 , α3 , β1 kβ2 线性 是线性空间 V 上的变换,若 σ 满足 ,则 σ 不是线性变换. ,实数域上的不 , 有理数域上的不可约多项 . . ,则 σ 是线性
0 a 22 2.证明： 数域 F 上所有形如 上的二阶方阵构成空间 F 的一个子空间,并 a 0
求该子空间的一个基.
3. σ 是线性变换, 如果 σ 3 α 0, 但 σ 4 α 0 ,证明： α, σ α , σ 2 α , σ 3 α 线性无 关.
专业 系
5.复数域上的不可约多项式只能是 可约多项式只能是 式可以是
a11 a12 6.设线性变换 σ 在 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵是 A a21 a22 a31 a32
阵是 .
a13 a23 ,则 σ 在基 ε1 , kε2 , ε3 下的矩 a33
第1页
二、简答题
1.请举出两个线性空间的例子,并对它们进行比较讨论.
2.请谈谈现在所学的多项式与中学所学的多项式的关系.
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数复习题II
2 2 25. 要使二次型q (x1 , x2 , x3 ) = x2 1 + 4x2 + 4x3 + 2tx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 正定, t的取值
范围是
2 2 ; 要使二次型f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 1 + x2 + x3 +2x1 x2 + tx2 x3 正
4. 以下定义的变换为线性变换的是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A). 在F2 中, σ (a, b) = (a2 , a − b);
)
B). 在F3 中,σ (a, b, c) = (a + 1, a + b, c);
19. 已知三阶A的特征值是−1, 1, 2, f (x) = x2 +2x+2.则A2 特征值是 征值是 , trAk = ; 而f (A)的特征值是 ,|f (A)|=
20. 设A, B 是n阶 非 零 矩 阵, 且AB = B . 则A必 有 特 征 值 2E )B = O, E 为n阶单位矩阵, 则A必有特征值 21. 在欧氏空间C [−1, 1]中, | − 1| = 关的单位向量是 . .
)
B). σ (f (x)) = xf 2 (x), ∀f (x) ∈ F[x];
C). σ (f (x)) = f (x0 ), ∀f (x) ∈ F[x], x0 是F中固定的数; D). σ (f (x)) =
x 0
f (t) sin tdt, ∀f (x) ∈ F[x].
高等代数复习题II 第 3 页 共 10 页
(完整word版)高等代数2学期06-07A[1].答案doc
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等数学II期末考试复习要点
高等数学II期末考试复习要点
一、考试题型，题量：
选择题，填空以及计算，约15-20道题
二、复习要点：
（一）微分方程：
1．可分离变量方程
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
（二）多元函数微分学
1．多元复合函数的偏导数
2．由一个方程所确定的隐函数的偏导数
3．方向导数的计算
4．曲面的切平面
5．条件极值
（三）多元函数积分学
1．交换二重积分顺序
2．二重积分的基本计算
3．三重积分的基本计算
4．第一类，第二类曲线积分的基本计算
5．第一类，第二类曲面积分的基本计算
6．化三重积分为球面坐标、柱面坐标下的三次积分7．格林公式、曲线积分与路径无关的条件
8．高斯公式
9．函数的奇偶性与积分区域的对称性对积分的影响（四）无穷级数
1．幂级数的收敛域
2．简单函数的幂级数展开
3．简单函数的傅里叶级数以及其和函数。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)
高等代数〔II 〕期末考试试卷及答案〔A 卷〕一、 填空题〔每题3分，共15分〕1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，那么ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，那么A 及B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+ 那么其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题〔每题3分，共15分〕1、 〔 〕复数域C 作为实数域R 上的线性空间可及以下哪一个线性空间同构：〔A 〕数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； 〔B 〕数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； 〔C 〕数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； 〔D 〕复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、〔 〕设是非零线性空间 V 的线性变换，那么以下命题正确的选项是：〔A 〕的核是零子空间的充要条件是是满射；〔B 〕的核是V 的充要条件是是满射； 〔C 〕的值域是零子空间的充要条件是是满射；〔D 〕的值域是V 的充要条件是是满射。
3、〔 〕λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、〔 〕设实二次型f X AX '=〔A 为对称阵〕经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 那么其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等代数2期末复习参考
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
. 解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
∴ξ在基 1,2,3,4下的坐标为 (
1
5
,
1
4 ,
44
． 1, 4
1) 4
．
§6.1 集合 映射
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
.
§6.1 集合 映射
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
(a1,a2 ,L ,an )
设 在基 1,2 ,L ,n下的坐标为 ( x1, x2 ,L , xn )，则
x1 x2 M xn
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
0 0 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L 1
a1 a2 M an
a1 a2 a1
1 x
1 y ，则
x y ，g是单射．
并且x R ,有 1 R ,使g( 1 ) x ，即g是满射．
x
x
又∵ f o g(x) f (g(x)) f ( 1) 1 ，
高等代数期末考试题库及答案解析 (2)
高等代数期末考试题库及答案解析1. 矩阵运算1.1 矩阵加法考察矩阵的相加，要求加法可交换。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)。
求 A + B 的结果。
答案解析：根据矩阵加法的定义，对应位置的元素相加，即有：\[ A + B = \begin{bmatrix} 3+5 & 1+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \]1.2 矩阵乘法考察矩阵的相乘，要求乘法满足结合律。
题目：已知矩阵 A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵 B = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)。
求 A * B 的结果。
答案解析：根据矩阵乘法的定义，对应位置元素相乘并求和，即有：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 1 \cdot 5 + 4 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 8 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \]2. 矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义考察特征值和特征向量的定义和性质。
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，求 A 的特征值和特征向量。
高等代数下期末复习
第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解： 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n n x x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A k A k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。
高代2期末复习补充
≤ min {| |} ≤ max {()} ≤ max !
如果有 ! < 0, ! > 0证明存在 ! = 0
!.!
(Gram-Schmidt 正交化)
Cholesky 分解 正定 = ∗ ;R 上三角
(内积空间的同构)
LU 分解 = (下三角乘以上三角)
极分解(Cartan 分解) = (酉变换*半正定)
( = ∗ , = | |)
奇异值分解 = ! !
酉矩阵的 QS 分解 = , = ( ! )(正交*酉矩阵)
高等代数（2）补充习题
T为正规变换当且仅当| | = || ∗ ||(∀ ∈ )
T为 Hermite 的,证明: − +
!!
为酉的
, 正定,证明:(), + 正定且 + ≥ + ||
计算题：
施密特正交化
QR 分解
计算二次型的正负惯性系数
几个矩阵分解
A 对角元为正数的对角，N 对角元为 1 上三角
! , ! , ⋯ , ! = ! , ! , ⋯ , !
QR 分解（Iwasawa 分解） = ! ! ! (酉矩阵*diag{正数}*对角元为 1 上三角)
!!
!.!
≤ (∀ ∈ )
> 0, > 0,证明, 可以同时合同对角化
已知 + ∗ ≥ 0,证明:det
!!!∗
!
Hale Waihona Puke ≤ |det ()|1)为实对称矩阵，证明：min {()} ≤ !! ≤ max {()}
2) = !"
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1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1)
并求向量 (a1,a2 ,L ,an )在基1,2 ,L ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2 L n
.
2
LLL
n
2
L
L
L L
L
n
n
§6.1 集合 映射
1 0 L 0
∴(1,2 ,L
,n )
(log2a ) 2log2a a ∴ 是满射．
故 是1—1对应．.
§6.1 集合 映射
2、令 f : x a x, g : x a 1 , x R，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
. 故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§6.1 集合 映射
例1 在Pn中，求由基1, 2 ,L , n 到基1,2 ,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2 ,L ,n 到基 1, 2 ,L , n 的
过渡矩阵．其中
1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0),L , n (0,L ,0,1)
a b ab, k oa ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 解: 数1是R＋的零元素. (Q x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k oa ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
.
§6.1 集合 映射
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
M an an1
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
. (a1,a2 a1,L ,an an1 )
§6.1 集合 映射
例2 在P4中，求由基1,2 ,3 ,4到基1,2 ,3 ,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2,1,0) 2 (1,1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
第六章 线性空间
§6.1 集合 映射
3、集合间的运算
交：A I B {x x A且x B} ； 并：A U B {x x A或x B}
显然有，A I B A; A A U B
练习：
1、证明等式: A I ( A U B) A ．
证：显然，A I ( A U B) A ．又 x A, 则x A U B，
在基
E11, E12 , E21, E22 下的
坐标就是 (a11, a12, a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
矩阵单位
0
0
O
Eij
01 O 0
第i行 i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n
0
O 0 就是 Pmn 的一组基．
（既不单射， 也不是满射）
τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
. σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
§6.1 集合 映射
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵
τ：τ(a)＝aE， a P （是单射，但不是满射） 5）M、M´为任意非空集合，a0 M 为固定元素
σ：σ(a)＝a0， a M （既不单射，也不是满射） 6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f ( x) P[ x]（是满射，但不是单射）
7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a， a M
又因为 g 是单射，有 g( f (a1)) g( f (a2 ))
即, g o f (a1) g o f (a2 ) ∴ h(a1) h(a2 ), h 是单射.
因而 h 是双射． 又 Q h o( f 1 o g1 ) ( g o f ) o( f 1 o g1) IC
. 同理 ( f 1 o g1 ) oh I A. h1 f 1 o g1
∴ x A I ( A U B) ， 从而,
故等式成立．.
§6.1 集合 映射
A AI (AU B)．
2、已知 A B，证明： (1)A I B A; (2)A U B B
证：1）x A, A B x B x A I B, 此即， A A I B, 又因 A I B A，∴ A I B A．
(1, 2,L
,
n
)
1 L 1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 L 0 1
而，(1, 2 ,L
,n)
(1,2 ,L
,n
)
1 L 1
1 L 1
L L L
0
L 1
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
(1,2 ,L ,n ) 0 1 1 L 0
.
L 0
L 0
LL 0L
L 1
§6.1 集合 映射
§6.1 集合 映射
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的 一组基； 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为
它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
数1就是它的一组基..
a c
b d
0
有 a b c d 0.
又对
A
a11 a21
a12 a22
P 22
，有
A a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
. ∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
§6.1 集合 映射
注：
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
(n 1)! 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
. ( f (a), f (a),L , f (n1) (a)) (n 1)!
8）M=Z，M´＝2Z，
σ：σ(n)＝2n, n Z
（双射）
. （双射）
§6.1 集合 映射
练习：
1. 找一个R到R＋的1—1对应．
解：x R ，规定 : x a 2x
则 是R到R＋的一个映射. ∵若 2x 2y，则 2x y 1, x y ， ∴ 是单射．
又对a R，存在 x log2a R ，使
注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
. (a0, a1,L , an1)
§6.1 集合 映射
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
. 解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
∴ξ在基 1,2,3,4下的坐标为 (
1
5
,
1
4 ,
44
． 1, 4
1) 4
．
§6.1 集合 映射
练习 1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
1 x
1 y ，则
x y ，g是单射．
并且x R ,有 1 R ,使g( 1 ) x ，即g是满射．
x
x
又∵ f o g(x) f (g(x)) f ( 1) 1 ，
xx
∴ f og IR ， g不是 f 的逆映射． 事实上，f 1 f ．
. 2）g是可逆映射． g1 g
§6.1 集合 映射
但 f (a1) f (a2 ), 于是有 h(a1) g o f (a1) g( f (a1)) g( f (a2 ))
. g o f (a2 ) h(a2)
这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
2）∵ h 是满射，c C,a A,使h(a) c ，即 c h(a) g o f (a) g( f (a))
又∵ f (a) B ，∴ g 是满射． 3） c C ，因为 g 是满射，存在 b B ,使
g(b) c. 又因为 f 是满射，存在 a A ，使 f (a) b ∴ h(a) g o f (a) g( f (a)) g(b) c,
h是满射.．
§6.1 集合 映射
∵若 a1, a2 A, 且a1 a2 ，由于 f 是单射，有 f (a1) f (a2 ).