三角形中的常见结论

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三角形中的数列经典结论

三角形中的数列经典结论【定理1】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等差数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等差数列; 还是a 、b 、c 成等差数列或1a 、1b 、1c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或A 2sin 1、B 2sin 1、C2sin 1成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;还是a 2 、b 2、c 2成等差数列或21a 、21b 、21c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【定理2】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等比数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等比数列; 还是a 、b 、c 成等比数列或1a 、1b 、1c 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin n A 、sin n B 、sin n C 成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、Cn sin 1成等比数列;还是a n 、b n 、c n 成等比数列或n a 1、n b 1、nc 1()*∈N n 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【定理1证明】1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC ⇔2b =a +c再由余弦定理得： cosB=222222224()()3()2288a c b a c a c a c acac ac ac+-+-++-==∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB=223()28a c ac ac+-≥628ac ac ac -=12当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈(0,3π]. 2) 由等差中项公式和正弦定理得2112112sin sin sin acb B A C b ac a c=+⇔=+⇔=+ 再由余弦定理得 cosB=2222222()22ac a c a c b a c ac ac +-+-+=∵a 2+c 2≥2ac ⇔(a +c ) 2≥4ac ⇔22()ac a c +≤ac ∴a 2+c 2－22()ac a c+≥2ac －ac =ac ∴ cos B≥2ac ac =12,当且仅当a =c 时等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】由a 2 、b 2、c 2成等差数列得2b 2=a 2+c 2,再由余弦定理得cosB=2222a c b ac +-=ac c a ac c a c a 422222222+=+-+≥ac ac 42=12, 当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.同理可证若21a 、21b 、21c成等差数列或sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;或A 2sin 1、B 2sin 1、C 2sin 1成等差数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【定理2证明】由等比中项公式和正弦定理得： sin 2B=sinAsinC ⇔ac b C A B CA B =⇔=⇔=222sin sin sin sin sin 1sin 1 再由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c acac +- ∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】在△ABC 中，若sin n A 、sin n B 、sin n C ()*∈N n 成等比数列, 则b 2n =a n c n , 即b 2=ac.由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c ac ac+-≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦同理可证若n a 1、n b 1、n c1成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、C n sin 1()*∈N n 成等比数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【典例1】在△ABC 中，C 2sin 1、B 2sin 1、A2sin 1成等差数列, 且p =(sinB, 1)，q =(1, cosB)，证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为512⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp •+12的值域为(1)⎤-⎦.【典例2】在△ABC 中，C n sin 1、B n sin 1、Ansin 1()*∈N n 成等比数列,且p cosB)， q =(sinB ，－1)，证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(]1,1-；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp q p •+1(2)1),⎡+∞⎣.。

解三角形知识点

《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美（一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1：利用正弦定理公式原型解三角形题型2：利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3：三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题：例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

由平行线分线段成比例定理引出三角形中的八个结论

ＢＣ ’ＡＢ
’
所以＋丽＝面１１
Байду номын сангаас
．
则丽＝，Ａ＝Ｅ寺ＮＤ
即Ｎ：Ｃ＝１：２Ｎ．
作者简介杨再发，贵州省沿河县人，６男，１８年ｌ９０月出
生，中学一级教师．发表２余篇文章．０多次被评为优秀教师．
３５
５如图５Ｍ是ＡＡＣ中Ｂ．，ＢＣ边的中点，Ｐ是点
ＢＦ’
Ｂｃ边上的任意一点，过点Ｐ作艘 ∥ＡＭ交ＢＡ的延
长线于Ｑ，ｃ交Ａ于Ｒ
则＋Ｐ＝丽ＲＢＣ
证明：过点Ｄ作ＤＧ∥ ＣＦ交ＡＢ于点Ｇ，
因为ＡＤ是ＡＡＣ的中线，Ｂ所以点Ｇ是Ｆ的中点，Ｇ＝则Ｆ１
ＥＤ＝ＥＤ。Ｄ＝Ｂ．ＢＢ即ＥＥ
６如图６在ＡＡＣ中，Ｄ是Ｂ，Ｂ点Ｃ边上的中点，点是ＡＤ的中点，Ｍ的延长线交ＡＢＣ于点Ｎ，Ａ则 Ⅳ
：ＣＮ＝１：２．
因为ＤＥ∥ Ｂ，以Ａ＝丽ｃ所，ＥＤＥ
所以Ｃ＝ＢＭＭ．
ＣＢ则（）２侍Ｒ＋ｅＱ＝Ｐ＋Ｐ１＋（）Ｐ
Ａ
＝
Ｃ
Ｒ＝丽所以＋Ｐ＝蔚ＢＣＢＣ
，
图７
图８
８如图７Ｂ．，Ｄ为ＡＢＡＣ的角平分线，Ｅ∥ ＢＤＣ
交ＡＢ于点Ｅ，则
Ⅳ
一
１
＋一
１
＝一

高中数学常见结论

高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。

即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方）（1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是（3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是（4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心（3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )，反之也成立若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。

三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册

4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂小结

三角形内角和证明方法8种

三角形内角和证明方法8种三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个内角组成。

三角形内角和的性质是我们在研究三角形时经常会遇到的一个重要问题。

在这篇文章中，我们将探讨三角形内角和的证明方法，总结出8种常见的证明方法。

1. 直角三角形内角和为180度的证明，对于直角三角形，我们可以利用直角的性质，即两个直角相加为180度，从而得出直角三角形的内角和为180度的结论。

2. 三角形内角和为180度的证明，通过利用三角形的补角性质，即一个角的补角加上它本身为180度，可以证明三角形的内角和为180度。

3. 外角和等于两个不相邻内角和的证明，利用外角和等于其对应内角的性质，可以得出外角和等于两个不相邻内角和的结论。

4. 三角形内角和与外角和的关系证明，通过利用三角形内角和与外角和的关系，可以得出三角形内角和与外角和的关系式。

5. 三角形内角和与外接圆的关系证明，通过利用三角形内角和与外接圆的关系，可以得出三角形内角和与外接圆的关系式。

6. 三角形内角和与内切圆的关系证明，通过利用三角形内角和与内切圆的关系，可以得出三角形内角和与内切圆的关系式。

7. 三角形内角和与外接矩形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接矩形的关系，可以得出三角形内角和与外接矩形的关系式。

8. 三角形内角和与外接正方形的关系证明，通过利用三角形内角和与外接正方形的关系，可以得出三角形内角和与外接正方形的关系式。

通过以上8种证明方法，我们可以全面地了解三角形内角和的性质，并且在解决相关问题时能够灵活运用这些证明方法。

这些证明方法不仅有助于我们理解三角形内角和的性质，也有助于提高我们的数学推理能力。

希望这些证明方法能够对你有所帮助。

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二直角边的乘积斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

一线三等角的结论

一线三等角的结论
一线三等角是指三角形中，某一角的平分线与对边相交成一条直线，而这条直线将对边分成相等的两部分。

这个结论在几何学中被广泛应用，可以用于解决各种三角形问题。

首先，根据一线三等角的定义，我们可以得出一个结论：三角形中，如果某一角的平分线与对边相交点到顶点的距离相等，那么这个角就是一个一线三等角。

另外，一线三等角还有一个重要的性质：它的平分线与对边的中垂线重合。

这个性质可以用于证明三角形的各种性质，比如证明等腰三角形中，顶角的平分线与底边的中垂线重合。

除此之外，一线三等角还可以用于解决一些三角形的面积问题。

例如，对于一个等边三角形，我们可以将其中一个角平分线与对边的交点作为三角形的高，然后利用一线三等角的性质计算出对应的底边长度，进而求出面积。

总之，一线三等角是几何学中一个非常重要的结论，它的应用范围非常广泛。

学生们应该认真学习这个结论的定义和性质，并且熟练掌握其应用方法。

- 1 -。

三角形中的一些重要结论在空间中的推广

三角形中的一些重要结论在空间中的推广作者：刘文沐来源：《理科爱好者·教育教学版》2010年第02期摘要:本文介绍了三角形中的一些重要结论在空间中的推广。

关键词:三角形空间推广【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0170-011、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=c,AC=b,BC=a,有勾股定理:c2=a2+b2在平面上作一推广就有:若Rt△ABC斜边AB上的高为d,则:=+。

把此结论推广到空间,则有:在直三棱锥OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC,作OD⊥BC于D,OD=d,连结AD,则有:=+。

证明:∵S△AOB=ab,S△AOC=ac,S△AOD=ad,又=+∴=+;即:=+;即:=+。

2、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,斜边AB上的高CD=h,有射影定理:AC2=AD•AB把此定理推广到空间就有:如图1,在四面体ABCD中,过顶点A的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是顶点A在底面上的射影,则S2△ABC=S△BOC•S△BDC。

图1证:如图1,连结DO并延长交BC于E,连结AE;∵三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,∴O是△BCD的垂心,则DE⊥BC,AE⊥BC。

又AD⊥AB,AD⊥AC,∴AD⊥面ABC,则AD⊥AE。

在Rt△DAE中,根据射影定理有:AE2=EO•ED,S2△ABD=S△BOD•S△BDC于是(BC•AE)2=(BC•EO)•(BC•ED)即:S2△ABC=S△BOC•S△BDC 。

同理:S2△ACD=S△COD•S△CBD 。

3、在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,则有:⑴正弦定理:= ==2R⑵余弦定理: c2=a2+b2-2abcosC在平面中作一推广就有:设在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,BC、CA、AB边上的高分别为ha,hb,hc,则有:(1)==(2)hc-2=ha-2+hb-2-2ha-1hb-1cosC证明:利用三角形面积公式得:a=2S△ha-1,b=2S△hb-1,c=2S△hc-1(S△为△ABC的面积),分别代入正弦定理,余弦定理即可。

三角形中的常见结论

c C BA ba 三角形中的常见结论以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

1、内角和定理：A B C π++=。

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。

3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即：a b c +>，a c b +>，b c a +>a b c -<，a c b +<，b c a -<4、三角形的四心：外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。

内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。

垂心：三边高线的交点。

重心：三边中线的交点。

重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；（2）0GA GB GC ++=；试题（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭。

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

等边三角形四心合一。

5、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。

正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=；（2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a B A b=；（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=；（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；（6）2sin sin sin sin a b c a R A B C A ++==++。

八年级上册数学三角形的角知识点结论

八年级上册数学三角形的角知识点结论在学习八年级上册数学课程中，我们经常会接触到三角形的相关知识。

三角形是初中数学中一个重要的基础概念，而其中的角知识点更是我们需要深入掌握的内容之一。

接下来，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨八年级上册数学三角形的角知识点结论。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段所围成的一个平面图形，它是几何中的基本图形之一。

三角形中有三个角，我们需要了解它们各自的特点和性质。

2. 角的概念在三角形中，角是由两条线段所围成的图形部分。

角的大小通常用度来表示，一个完整的圆周角为360度。

在三角形中，我们通常会接触到三种角：内角、外角和对顶角。

3. 内角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形内角和等于180度：α+β+γ=180度；（2）三角形内角和小于等于180度：α+β+γ≤180度；（3）三角形内角和大于180度：α+β+γ≥180度。

4. 外角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形外角和等于360度：180度；（2）三角形外角和小于等于360度：α+β+γ≤360度；（3）三角形外角和大于360度：α+β+γ≥360度。

5. 对顶角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）角A、角B的对顶角相等：α=β；（2）角B、角C的对顶角相等：β=γ；（3）角C、角A的对顶角相等：γ=α。

总结回顾：通过对三角形的角知识点进行全面的评估和分析，我们可以清晰地了解三角形内角、外角和对顶角的性质和关系。

对于三角形的内角和定理、外角和定理以及对顶角定理，我们需要掌握其基本概念和相关的推导过程。

通过反复练习和操练，我们可以更加深入、全面地理解和掌握这些知识点。

个人观点和理解：在学习三角形的角知识点时，我们不仅要注重理论的学习，更需要注重实际问题的应用和解决能力的培养。

三角形中的常见结论

c CBAba三角形中的常见结论（高二理科数学）以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

1、内角和定理：A B C π++=。

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。

3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<4、三角形的四心：外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。

内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。

垂心：三边高线的交点。

重心：三边中线的交点。

重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；（2）0GA GB GC ++=；（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭。

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

等边三角形四心合一。

5、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。

正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a cA C=；（2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a BA b=；（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；（6）2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++。

三角形中角平分线形成的角的三个小结论

三角形中角平分线形成的角的三个小结论湖北省黄石市下陆中学802班成昌力（14岁）指导教师：陈勇学习三角形角平分线的知识时,我发现了三个有趣的结论，让大家一起来看看吧！例1 如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点O，求证：∠BOC= 90°+∠A。

解：∵BD平分∠ABC∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°,∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A∴∠BOC=180°-(90°-∠A)即∠BOC= 90°+∠A。

结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。

例2 如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。

解：∵BO平分∠EBC∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO又∵∠ABC+∠EBC=180°∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180°∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。

三角形角平分线的三个结论

三角形角平分线的三个结论嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个看似简单却特别有意思的几何话题——三角形的角平分线！哎呀，这可不是枯燥的数学课，而是我们生活中也能碰到的东西呢！如果你也曾经想过，三角形的角平分线到底有什么神奇的地方，那就跟我一块儿来看看吧！1. 角平分线的定义首先，咱们得搞清楚什么是角平分线。

简单来说，角平分线就是从三角形一个角的顶点出发，分开这个角，让两边的夹角大小完全相同的那条线。

就像你把一个大蛋糕切成两半一样，切得又整齐又美观！如果你在三角形里画上一条这样的线，哇，那可是绝对的“完美切割”呀！它让我们了解到，几何的世界里也有分寸和和谐美。

2. 角平分线的三个神奇结论2.1. 角平分线的比例性质那么，咱们的角平分线有什么特别的性质呢？首先，第一条就是这个著名的比例性质。

想象一下，你有一个三角形ABC，角平分线AD把角A分开了。

根据数学的定律，BD和DC的长度比例正好等于AB和AC的长度比例。

这就像是分蛋糕的时候，能让大家都吃得开心，吃得满意，完全不怕有人吃亏！是不是觉得三角形有点人情味呢？2.2. 角平分线交点的奇妙之处接下来，咱们再来聊聊角平分线的交点——它叫做“内心点”。

想象一下，这个点就像是三角形的“心脏”，它能把三角形的三条角平分线交汇在一起，形成一个叫做“内心”的地方。

这个地方可不是随便的，它其实是三角形内部的一个特殊点，距离三角形的三条边都很近，简直就像三角形的“老朋友”一样，随时待命！如果你需要一个稳定的点，这可就是你要找的地方了。

3. 角平分线的实际应用3.1. 生活中的角平分线别以为角平分线只存在于数学书里哦！它在我们生活中也大有用处呢。

比如，设计房间的时候，咱们常常需要把空间分隔得合理又美观。

角平分线就可以帮助我们确定最佳的位置，把空间划分得既舒服又实用！就像找个好位置吃火锅，锅子放得正好，大家都能吃得尽兴！3.2. 在建筑和工程中的应用再者，在建筑和工程设计中，角平分线也是个大帮手！工程师们用它来确保建筑的对称性和稳定性。

初中几何模型及常见结论的总结归纳

初中几何模型及常见结论的总结归纳一、引言在初中数学学习中，几何是一个重要的部分，它不仅涉及到图形的性质和特点，还涉及到一些基本的几何模型和常见结论。

掌握这些模型和结论，有助于更好地理解和应用几何知识，提高解题能力和数学素养。

二、初中几何模型总结1. 全等三角形模型：两个三角形全等，则它们的边相等或角相等。

2. 相似三角形模型：两个三角形相似，则它们的对应边成比例。

3. 直角三角形模型：直角三角形的两个锐角互余。

4. 平行线模型：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

5. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。

6. 多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2) × 180度。

7. 三角形重心性质模型：三角形的重心是三边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

三、常见结论归纳1. 等腰三角形的特点：等腰三角形两底角相等，顶角平分线垂直平分底边。

2. 直角三角形的特点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理的逆定理适用；两个锐角互余。

3. 平行线的判定和性质：平行线的判定主要是依据平行线的定义和两直线夹角相等；平行线的性质主要有两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理的推论等。

4. 辅助线常见位置和方法：在添加辅助线时，常常用到截长补短、垂直平分线、对顶角相等、平行线的性质等。

四、应用举例1. 利用全等三角形模型解决实际问题：例如测量旗杆高度或河流宽度等问题，需要用到全等三角形的性质。

2. 利用相似三角形模型解决实际问题：例如测量河对岸的建筑物高度或篮球架高度等问题，需要用到相似三角形的性质。

3. 利用平行线模型解决实际问题：例如求两直线的距离问题，需要用到平行线的判定和性质。

4. 利用勾股定理解决实际问题：例如求斜坡的长度等问题，需要用到勾股定理的性质。

五、总结通过总结归纳初中几何模型和常见结论，可以更好地理解和应用几何知识，提高解题能力和数学素养。

在应用时，需要根据具体情况选择合适的几何模型和结论，并结合辅助线等方法解决问题。

两等边三角形手拉手模型常见结论和依据

两等边三角形手拉手模型常见结论和依据
双等边三角形手拉手模型是指一个元素存在于多个社会类别中，它们之间存在相互依赖的关系。

其核心结论是，共同体的社会发展是一次性旅行，每个社会类别都必须拉紧自己的手，以向共同的目标前进。

拉手模型由拉荷吉·哈斯特斯(Rajheth Hastes)提出，以解释多个社会类别(如农民、政府机构、商业部门等)之间的紧密关联。

对模型的研究表明，双等边三角形的关系不仅影响着社会的社会结构，而且也建立了各社会类别之间的互动交往，这样便可以解决社会问题。

从更大的印象来看，拉手模型的核心理论依据在于，各社会类别必须融入共同的合作与进展，从而促进社会的发展。

有效的社会发展取决于多种社会价值和价值观之间的共存，其中人人平等、全民共担、多样化文化和可持续发展至关重要。

这就是双等边三角形拉手模型背后的核心原则。

此外，双等边三角形拉手模型为合作学研究者提供了一个高标准的分析框架，用于识别一组复杂的关系，从而更好地把握社会中各个利益相关方之间的关系。

它还深刻地挑战了传统的学术观点，提出了一种更加平衡的、多角度的发展模式，以实现可持续发展的目标。

因此，双等边三角形手拉手模型已经成为社会学研究中不可或缺的一部分，它提供了一种既合法又有效的方式用于识别社会各领域之间的复杂关系，促进社会可持续发展的目标。

用全等三角形证明常见结论的五种证明技巧

证明：如图，延长 AM 至 N，使 MN＝AM，连接 BN. 又∵BM＝CM，∠BMN＝∠CMA， ∴△ACM≌△NBM(SAS)． ∴BN＝AC＝AD，∠MAC＝∠N. ∵∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD＋∠BAC＝∠EAD＋∠BAN＋∠N＝180°.
∵∠BAN＋∠N＋∠ABN＝180°，∴∠EAD＝∠ABN. 又∵AB＝EA，NB＝DA，∴△AED≌△BAN(SAS)． ∴DE＝AN＝2AM.
证明：∵△AEF≌△BEC，△AGD≌△CBD， ∴∠GAD＝∠BCA，∠FAE＝∠CBA. 又∵∠BAC＋∠CBA＋∠BCA＝180°， ∴∠GAD＋∠BAC＋∠FAE＝180°，即点 F，A，G 在同一条直线上．
2．在△ABC 中，AB＝AC，DE 是过点 A 的直线，BD⊥DE 于点 D，CE⊥DE 于点 E.
期末提分练案
第1讲三角形的证明——等腰三角形第2课时技巧训练用全等三角形证明
常见结论的五种证明技巧
Байду номын сангаас
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1．如图，BD，CE 为△ABC 的两条中线，延长 BD 到 G，使 DG＝BD，延长 CE 到 F，使 EF＝CE，连接 AF，AG. 求证：(1)AF＝AG；
∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°. ∴∠FCE＝∠DCE. ∵C 为 BD 的中点，∴BC＝DC.∴DC＝FC. 又∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE(SAS)． ∴DE＝FE.∴AE＝AF＋FE＝AB＋DE.
5．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点 M 为 BC 的中点．求证：DE＝2AM.

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1
c C
B
A
b
a D C
B A
三角形中的常见结论（高二理科数学）
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

1、内角和定理：A B C π++=。

2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。

3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<
4、三角形的四心：
外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。

内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。

垂心：三边高线的交点。

重心：三边中线的交点。

重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；（2）0GA GB GC ++=
；
（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫
⎪⎝⎭。

等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。

等边三角形四心合一。

5、正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。

正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c
A C
=；（2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a B
A b
=；
（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；
（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R
=；
（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；
（6）
2sin sin sin sin a b c a
R A B C A
++==++。

正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取舍角，利用内角
和定理、边角关系进行取舍！）
（3）判断三角形的形状。

（边化角或角化边） 6、余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-，2
2
2
2cos b a c ac B =+-，2
2
2
2cos c a b ab C =+-
或222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac
+-=，222
cos 2a b c C ab +-=。

余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角；（3）判断三角形的形状。

余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

cos 0C >⇔C ∠为锐角⇔222c a b <+ cos 0C =⇔C ∠为直角⇔222c a b =+
cos 0C <⇔C ∠为钝角⇔222c a b >+
7、三角形内的诱导公式：
sin()sin A B C += c o s ()c o s A B C +=- tan()tan A B C +=- sin
cos 22A B C += c o s s i n 22A B C += tan cot 22
A B C
+= 8、对任意三角形ABC ，都有sin 0A >。

9、sin sin A B A B a b >⇔>⇔>，
sin sin A B A B a b =⇔=⇔=， sin sin A B A B a b <⇔<⇔<。

10、若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=。

11、sin()0A B A B -=⇔=
12、在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是cos cos 0A B +>。

（也可以用9中的结论来判断）
13、在ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅。

14、在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列⇔60B =。

15、ABC ∆为正三角形⇔A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。

16、ABC ∆的面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高）（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
17、正余弦定理综合：2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos B A C A C B =+- 2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 18、射影定理：cos cos a b C c B =+
cos cos b a C c A =+ cos cos c a B b A =+
19、角平分线定理：AD 为ABC ∆的角平分线，则
2
AB BD
AC CD
= 20、ABC ∆的面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高）（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
（3）2
2sin sin sin S R A B C =（R 为ABC ∆外接圆的半径）（4）4abc
S R
= （5
）S =
2
a b c
p ++=
）（6）1
()2
S rp r a b c ==
++（r 为ABC ∆内切圆的半径） 21、直角三角形中的结论：（1）两锐角互余，即90A B +=。

（2）30
角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）勾股定理：2
2
2
a b c +=。

（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点。

（5）如图可得： Rt ABC Rt ACD Rt CBD ∆∆∆∽∽ （6）由（22AC AD AB =⋅ 2BC BD BA =⋅ 2CD DA DB =⋅。