三角形中的常见结论
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1
c C
B
A
b
a D C
B A
三角形中的常见结论（高二理科数学）
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
1、内角和定理：A B C π++=。
2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立， 即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。
3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<
4、三角形的四心：
外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。 内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。 垂心：三边高线的交点。 重心：三边中线的交点。 重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点； （2）0GA GB GC ++=
；
（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
。 等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。 等边三角形四心合一。
5、正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。 正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c
A C
=； （2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a B
A b
=；
（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；
（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R
=；
（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；
（6）
2sin sin sin sin a b c a
R A B C A
++==++。 正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取舍角，利用内角
和定理、边角关系进行取舍！）
（3）判断三角形的形状。（边化角或角化边） 6、余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-，2
2
2
2cos b a c ac B =+-，2
2
2
2cos c a b ab C =+-
或222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac
+-=，222
cos 2a b c C ab +-=。
余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角； （3）判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
cos 0C >⇔C ∠为锐角⇔222c a b <+ cos 0C =⇔C ∠为直角⇔222c a b =+
cos 0C <⇔C ∠为钝角⇔222c a b >+
7、三角形内的诱导公式：
sin()sin A B C += c o s ()c o s A B C +=- tan()tan A B C +=- sin
cos 22A B C += c o s s i n 22A B C += tan cot 22
A B C
+= 8、对任意三角形ABC ，都有sin 0A >。 9、sin sin A B A B a b >⇔>⇔>，
sin sin A B A B a b =⇔=⇔=， sin sin A B A B a b <⇔<⇔<。
10、若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=。
11、sin()0A B A B -=⇔=
12、在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是cos cos 0A B +>。
（也可以用9中的结论来判断）
13、在ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅。 14、在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列⇔60B =
。
15、ABC ∆为正三角形⇔A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。 16、ABC ∆的面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高） （2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
17、正余弦定理综合：2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos B A C A C B =+- 2
2
2
sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 18、射影定理：cos cos a b C c B =+
cos cos b a C c A =+ cos cos c a B b A =+
19、角平分线定理：AD 为ABC ∆的角平分线，则