高等数学 定积分及其应用复习题
定积分期末考试题及答案
定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx =∫<sub>a</sub><sup>b</sup>g(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫<sub>0</sub><sup>π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫<sub>0</sub><sup>1</sup>(2x+1)dx的值为______。
答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。
答案：8/33. 计算定积分∫<sub>0</sub><sup>π</sup>sin(x)dx的值是______。
答案：24. 定积分∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>|x|dx的值为______。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学# 定积分试题及答案试题1：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：首先，我们需要找到函数 \(f(x) = x^2\) 的原函数。
对于这个函数，原函数是 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\)。
然后，我们计算在区间 \([0, 1]\) 上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1)^3 -\frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]试题2：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
答案：函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的原函数是自然对数函数\(F(x) = \ln|x|\)。
计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]试题3：计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。
答案：函数 \(f(x) = \sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。
计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]试题4：求定积分 \(\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx\)。
答案：函数 \(f(x) = x^2 - 1\) 的原函数是 \(F(x) =\frac{1}{3}x^3 - x\)。
计算定积分：\[\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = F(1) - F(-1) =\left(\frac{1}{3}(1)^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)\right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \]试题5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
专升本高等数学(二)-定积分计算方法及其应用
专升本高等数学(二)-定积分计算方法及其应用(总分：97.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：6，分数：13.00)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[解析] [*]为奇函数．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[解析] [*]．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[解析] 令[*]，先证明[*]．再用定积分区间可加性合并得 [*]．（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：[解析] [*]．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]6. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]二、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：6，分数：84.00)对比计算．（分数：36.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设[*]=t，则x=t2，dx=2tdt．[*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(6). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方法一凑微分法． [*] 方法二换元法，用方程思想构造等式．设[*]，则dx=-dt． [*] 所以 [*])解析：(7).．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令lnx=t，则x=e t，dx=e t dt．当x=1时，t=0；当x=e时，t=1．[*])解析：(8).求曲线x=acos3t，y=asin3t所围成的平面图形的面积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(星形线(见下图)是关于x和y对称的．[*] 参数t从0变到[*]正好是它在第一象限部分，所以 [*])解析：(9).[-2，2]上的定积分．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(在有限个点上改变被积函数的函数值，不会影响积分值．也就是说，在闭区间上有有限个第一类间断点时，还能用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分． [*])解析：(10).设f(x)=3x2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设[*]，则f(x)=3x2-A，两边积分得[*]故[*]．)解析：(11).已知f(π)=-2，求f(0)．（分数：2.00）正确答案：(因[*] 移项得[*][f(x)+f"(x)]sinxdx=f(0)-2=6，故f(0)=8．)解析：(12).设f(0)=1，f(2)=3，f'(2)=5．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设2x=f，则[*]当x=0时，t=0；当x=1时，t=2．[*] 因为f(0)=1，f(2)=3，f'(2)=5，所以[*]xf"(2x)dx=2．)解析：(13).试分析k，a，b 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 所以当[*]，a=0，b=8时，有[*]．)解析：(14).设f(x)=e-t2dt f(x)dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(分部积分得 [*])解析：(15).求k 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为 [*] 所以 [*] 令[*]，解得[*]．)解析：(16).当a为何值时，抛物线y=x2与三条直线x=a，x=a+1，y=0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所围面积为S(a)．[*]S'(a)=(a+1)2-a2=2a+1令[*]S"(a)=2＞0，所以[*]为最小的面积[*])解析：(17).设f(x) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令[*]，dx=-dt． [*])解析：(18).直线x=1把圆x2+y2=4分成左、右两部分，求右面部分绕y轴旋转一周所得的旋转体体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线x=1与圆x2+y2=4的交点是[*]，右部分绕y轴旋转一周所得几何体的体积为[*])解析：计算下列定积分．（分数：10.00）2.00）正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5).设，求 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：计算下列定积分．（分数：10.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于公式sin2x=[*](1-cos2x)，所以[*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明设[*]，则dx=-dt，当x=0时，[*]；当[*]时，t=0． [*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数f(x)在区间[a，b]上连续，，求 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设t=a+b-x，则dt=-dx，当x=a时，t=b；当x=b时，t=a．于是， [*] 而[*]，所以 [*]) 解析：(4). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设1-x=t，则x=1-t，dx=-dt．当x=0时，t=1；当x=1时，t=0．于是 [*])解析：(5).f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 故 [*])解析：(6).设f(x)为连续函数，，且φ'(x)并讨论φ'(x)在x=0处的连续性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(0)=φ(0)=0，令y=xt，[*]两边对x求导得φ'(x)=[*] 由导数定义，有 [*] 故φ'(x)在x=0处连续．)解析：(7).证明：若f(x)在[-a，a] 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为f(x)在[-a，a]上连续，则[*] 对于[*]，令设x=-t，则dx=-dt．当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0．于是， [*] 从而 [*])解析：(8).当k?又为何值时发散?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当k≠1时 [*] 当k=1时，[*]．所以广义积分[*]当k＞1时收敛，当k≤1时发散．)解析：(9).求曲线y=2lnx，过曲线上点(e，2)处的切线及y=0所围成的图形的面积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，过点(e，2)切线斜率为[*]，切线方程为[*]．即[*] 切线经过原点(0，0)，曲线y=2lnx(即[*])经过点(1，0)和(e，2)所围成图形面积为 [*])解析：设平面图形是由曲线y=x2和x=y2围成，试求该图形：（分数：6.00）(1).绕x轴旋转一周而形成的立体图形的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(绕x轴旋转一周而形成的立体图形的体积[*])解析：(2).绕y轴旋转一周而形成的立体图形的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(绕y轴旋转一周而形成的立体图形的体积[*])解析：(3).设函数f(x)=x2，求f(x)在区间[0，2]上的最大值与最小值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于定积分[*]是一确定的实数，设[*]．对f(x)的等式两边积分有 [*] 于是 [*] 由上式解得[*]．令f'(x)=2x=0得驻点x=0．当x∈(0，2)时，恒有f'(x)＞0，表明f(x)在区间(0，2)内严格增加，所以f(0)=[*]是函数f(x)在[0，2]的最小值，[*]是函数f(x)在[0，2]的最大值．)解析：设某产品的边际成本函数为C'(q)=4+0.25q(万元/吨)，边际收入为R'(q)=80-q(万元/吨)，其中q为产量．（分数：4.00）(1).求产量由10吨增加到50吨时，总成本和总收入各增加多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设固定成本为10万元，求总成本函数和总收入函数．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]由于固定成本为10万元，所以总成本函数为C(q)=4q+[*]q2+10又由于[*]，故当q=0时无收入，即R(0)=0=C．所以总收入函数为R(q)=80q-[*]q2)解析：。
最新定积分及其应用练习-带详细答案
求由抛物线 y2 8x( y 0) 与直线 x y 6 及 y 0 所围成图形的面积.
答案： 40 . 3
详解：
作出 y2 8x( y 0) 及 x y 6 的图形如右：
解方程组
y2
8x
x y 6 0
得
x y
2 4
解方程组
x
y
y 0
6
0
得
x y
6 0
所求图形的面积 s
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数 f′(x)＝3cos3x＋6π，求得 Aπ9，0， B51π8，－3，C49π，0，故△ABC 的面积为 S△ABC＝12×39π×3＝π2，曲线段与 x 轴所 围成的区域的面积 S＝－ fx 49π9π＝－sin43π＋π6＋sin39π＋π6＝2，所以该点在△
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A．1/2 答案：D. 详解：
B．1
由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为
1
0
(x 1)dx 0
cos xdx
2
C．2
(
1 2
x2
x)
|10
sin
x
|0 2
1 1 2
3. 2
故选 D．
D．3/2
题四 题面：
（导数与积分结合，二星）设函数 f (x) xm ax 的导函数为 f (x) 2x 1 ，则
(1)若 φ＝π6，点 P 的坐标为0，3 2 3，则 ω＝________；
(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
________．
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[解析] (1)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把 φ＝π6和点0，32 3代 入得 ωcos0＋π6＝3 2 3解得 ω＝3．
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
五、定积分及其应用
2
sin
xd sin
x
.
0
0
2
3.【解】
令
1
f
xdx
A ，则由
f
x
1 x2
1 2x4
f xdx ，得
1
A
1
1 x2
dx
A 2
1
1 x4
dx
1
A ，解得 A 6 ，所以
6
7
f x
1 x2
3 7x4
.
4.【解】
1 0
f
xdx
x
1
2 0
f
xd
x 2
x
f
x
1
0
1
2 0
x f xdx
0
20
0
2
x t
x cos x dx
t cost dt
t cost dt
cost dt 2 3 ，
0
0
0
3
x 2 t
x cos xdx
t 2 cost dt
t cost dt 2
cost dt 5 ，
2
0
0
0
则 n x cos x dx 3 2n 1 n2 . 0
arcsin2x
1
1 1
，
1 2 x 1 2
22
2 2
3
2
1
dx
3
2
x2 x 1
d x 1
2 ln x 1
x 1 2 1 2
2
3
x2 x 2 ln 2 1
3，
2 2
原式 ln 2 3 . 2
8.【证明】
高等数学(定积分的应用)习题及解答
练习6-2练习6-2练习6-3总习题六高等数学（文专）练习题A一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
下列函数是奇函数的是（）．（A）1y x=+；（B）e e2x xy-+=；（C）e e2x xy--=；（D）2y x x=+．2．ln(2)y x=-的定义域为（）．（A）(,2)-∞；（B）(2,)+∞；（C ）(,2)(2,)-∞+∞； （D ）(,)-∞+∞．3．设2()sin f x x x =+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．（A ）24π； （B ）214π+； （C ）214π-； （D ）424πππ⎛⎫+⎪⎝⎭． 4．3d (e )d xx x+=（ ）． （A ）3e 1x +； （B ）33e 1x +； （C ）31e 13x +； （D ）3211e 32x x +．5．ln d xx x=⎰（ ）． （A ）ln |ln |x ； （B ）ln ln ||x c + （C ）21(ln )2x（D ）21(ln )2x c +．6．10(1)d x x +=⎰（ ）． （A ）2；（B ）1；（C ）32； （D ）12． 7．设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim（ ）.A ． )(3a f 'B ． )(2a f 'C ． )(a f 'D ．)(31a f '8. 函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A ．1=yB ．1=xC ．0=yD ．0=x9.cos()x dx +=⎰5( )A. 155cos()x c ++ B.55sin()x c ++ C.55cos()x c ++ D. sin()x c ++5 二、填空题 10．xxx 23sin lim0→ ___________.11．x x e y x sin ln 2-+=则='y ． 12．dx x ⎰--3329 =．13．曲线y =在1x =处的切线方程为 _______________.14．已知某商品的成本函数为221020)(q q q C +-= (万元),则20=q 时的边际成本为___________．15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,2,242x a x x x y 在2=x 处连续，则=a ______.16．x x f sin )(=在[]π,0上满足罗尔中值定理的条件, 当ξ= 时,0)(='ξf ． 三、计算题 17．求)32(13lim23--+-→x x x x x .18．求由方程423=+y x 所确定的隐函数y=y(x)的dxdy . 19．求极限1lim(13)xx x →-．20．求极限201cos lim2x xx →-．21．设)0()1(>+++=a ax x a y aax，求.dy 22．计算⎰+edx xx1ln 2 23．求dx xex ⎰-22四、综合题24．求函数212x xy +=的极值与拐点.25．证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。
高考定积分应用常见题型大全(含答案)
高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。
积分与定积分的应用练习题及解析
积分与定积分的应用练习题及解析题目1：已知函数f(x)在区间[0, 2]上连续，且其导函数f'(x)满足f'(x) = 2 -x^2。
求定积分∫[0, 2] f(x)dx。
解析1：根据题意，我们需要先求出函数f(x)，再进行定积分。
首先，根据f'(x) = 2 - x^2，我们可以得到f(x)的原函数F(x)。
对f'(x)进行积分，可以得到∫(2 - x^2)dx = 2x - (1/3)x^3 + C，其中C为常数。
由此可得F(x) = 2x - (1/3)x^3 + C。
根据积分的性质，∫[0, 2] f(x)dx = F(2) - F(0)。
代入F(x)的表达式，得到∫[0, 2] f(x)dx = (2*2 - (1/3)*2^3 + C) - (2*0 - (1/3)*0^3 + C) = 8/3。
所以，定积分∫[0, 2] f(x)dx = 8/3。
题目2：已知函数f(x)在区间[-1, 1]上连续，且其导函数f'(x) = √(1 - x^2)。
求定积分∫[-1, 1] f(x)dx。
解析2：根据题意，我们需要先求出函数f(x)，再进行定积分。
由f'(x) = √(1 - x^2)，我们可以知道f(x)的原函数F(x)。
对√(1 - x^2)进行积分，可以得到∫√(1 - x^2)dx = (1/2)(x√(1 - x^2) + arcsin(x)) + C，其中C为常数。
所以F(x) = (1/2)(x√(1 - x^2) + arcsin(x)) + C。
根据积分的性质，∫[-1, 1] f(x)dx = F(1) - F(-1)。
代入F(x)的表达式，得到∫[-1, 1] f(x)dx = [(1/2)(1√(1 - 1^2) + arcsin(1)) + C] - [(1/2)(-1√(1 - (-1)^2) + arcsin(-1)) + C] = π/2。
大学定积分期末复习经典题库
求积分
解:
令 x y t, 即 y xtx来自tt2
3
, 1
y
t
2
t
, 1
而
dx
t 2 (t (t 2
2 3) 1) 2
d
t
原式
t
t
2
3
1
1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
dt
1 2
ln
(x
y)2
1
C
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u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx
u v(n) uv(n1) uv(n2) (1)n1 u(n1)v dx
快速计算表格:
u(k)
u
u u
u(n) u(n1)
v(n1k ) v(n1) v(n) v(n1)
机动目录上页下页返回结束二多元函数微分法显示结构隐式结构分析复合结构画变量关系图自变量个数变量总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定正确使用求导法则分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导注意正确使用求导符号利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束其中f与f分别具解法1方程两边对x求导99考研机动目录上页下页返回结束解法2化简消去即可得机动目录上页下页返回结束cossin机动目录上页下页返回结束练习题1设函数f二阶连续可微求下列函数的二阶偏导数机动目录上页下页返回结束解答提示
6
ln ( 2 3) 3 2
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(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
第六章 定积分及应用习题
第六章 定积分及应用一、填空题 1．250cos sin x xdx π=⎰_______2．当0b ≠时，1ln 0bx dx =⎰，则b =_______3．325425sin 21x xdx x x -=++⎰_______ 4．设()f x 为连续函数则[]2()()a ax f x f x dx ---=⎰.5.() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰6. 已知=+=⎰)(,)(2)(1x f dx x f x x f 则_______7．若===⎰⎰⎰2121)(,2)(,3)(dx x f dx x f dx x f 则8．利用定积分性质比较下列积分的大小： dx e I x ⎰=11 dx x I ⎰+=12)1(，则 _______33234ln ,(ln )eeI xdx I x dx ==⎰⎰，则_______9. 估计定积分3013sin dx xπ+⎰的取值范围_______10. 设()f x 可导，且lim ()1x f x →+∞=，则23lim sin()x xx t f t dt t+→+∞=⎰11. 设23()1x dxg x x =+⎰，则(1)g ''= _______ 12． 20cos limxx t dt x→=⎰113． arctan ba d x dx dx=⎰ . 14．求曲线2sin xty dt t π=⎰在2x π=处的切线方程，_______ 15．设2221()x t t xF x e dt e dt -+⎰⎰＝，则()F x '=_______16. 2()x t xf x e dt -⎰＝，则()f x '=_______17．⎰=-xdt x t dx d 0)cos(_______ 18．已知当0→x时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''= _______19.211dx x +∞-∞=+⎰_______二、选择题1.)(x f 在],[b a 上连续是⎰badx x f )(存在的（ ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 2. ⎰⎰==2122211)(ln ,ln dx x I dx x I 设，则（ ）（A ） 21I I < （B ） 21I I > （C ） 21I I = （D ） 无法比较3.设 dx x x x P dx x x N xdx x x M )cos sin (,)cos (sin ,cos 1sin 4223242254222⎰⎰⎰----=+=+=ππππππ （ ） （A ） M P N << （B ） N P M << （C ） P M N << （D ）N M P << 4. 22222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ ( ) （A ）0； （B ）12； （C ）4π； （D ）2π5.⎰+-=+ππdx x x e x )sin (2cos （ ）3π.A 33π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe-e .D 3-1+ 6.203sin lim xx t dt x →⎰=( )（A ）0； （B ）1； （C ）13； （D ）∞ . 7. 下列结果正确的是（ ）（A ）22s i n )s i n (a dx x da d b a =⎰ （B ） 22s i n )s i n (b dx x db d ba =⎰ （C ）22s i n )s i n (x dx x dx d b a=⎰ （D ）22sin 2)sin (x x dx x dx d b a =⎰ 8. 设)(x f 为已知函数,⎰>>=t st s dx tx f tI 0,0,0)(，其中则I 的值依赖于（ ）（A ）依赖于s 和t ； （B ）依赖于s ，x t ,； （C ）依赖于x 和t ，不依赖于s ； （D ）依赖于s ，不依赖于t 。
定积分及应用题库A
定积分及应用题库A定积分及其应用题库A一.填空题1. 由定积分的几何意义计算-=+21)32(dx x _______ ?=-224dx x _________=πcos xdx ______ ?-=21dx x _________2.若??=+b aab dtt f dx x f b a x f )()(则,上连续],[在)( .3．由曲线])1,0[(2∈=x x y 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_______________。
4．由曲线)20(cos π≤≤=x x y 与x 轴及直线x=0所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为_______________。
5.?-=1134sin xdx x .6.广义积分， ?∞+-=134dx x _____。
7.设?≥=0,10,)(x ＜x x x f ，则=?-dx x f )(21 .★8.._______sin 02=?dt t dxd x ★9.设==-≠?k x x k k 则且,0)2(,002 .★10.=+?+∞0211dx x .二、选择题1．下列等于1的积分是（）A ．dx ?101 B ．dx x ?+10)1( C ．dx x ?10D ．dx ?10212.?-+ππdx xxx 221sin 等于（） A 、2 B 、－1 C 、0 D 、1 3．dx e e x x ?-+1 0)(=（）A ．e e 1+B ．2eC ．e2 D ．ee 1-4.已知?=x tdt x f 02sin )(，则)4 (πf '= （）A 、0B 、1C 、－1D 、2π5. 设f （x ）=≤>)0()0(2x x x x 则?-11)(dx x f =[ ]A ．2?-01xdx B ．2?12dx xC ．?12dx x +?-01xdx D ．+1xdx ?-012dx x6．由曲线3x y =及直线y=2x 围成的图形的面积是（）A ．31B ．3C ．1D ．7. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（）A ． 31B ． 32C ． 21D ．23★8．由曲线xy=1，x=2，y=x 围成的平面图形的面积是（）A ．2ln 23- B ．3ln 23- C ．3-ln2 D ．3-ln2★9. =-+?-1121)1(dx x x ( )（A ）π （B ）2π（C ）π2 （D ）4π ★10.下列广义积分收敛的是（） A 、?+∞1ln xdxB 、∞+11dx x C 、?∞+121dx x D 、?+∞三计算题：1)x x d 212）?--312)4(dx x x3） ?-215)1(dx x 4) x x d e 11 +?5） x x d 516）dx x x ?+20)sin (π7） x x x d )sin (cos 2 0-?π8）?+1)32(dx x9） ?+94;)1(dx xx 10) ?221x dx 11) ?--12dx e e xx 12）dx x x ?sin 20π13)?dx e x x1014)?x x x115)?21ln xdx x ★16）?+x xd 12210 ★17)?+40;1x dx★18) dx x ?++703111四应用题：1.由曲线x y sin =和2π=x 以及直线π=x ，x 轴所围成的图形的面积多少，以及它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积多少？2．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝π，y ＝0所围图形的面积3.求由直线x ＝0，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的图形的面积.4.求曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围图形的面积.5．求由抛物线23x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积.★6．由曲线3,21===x y xy 与直线围成一个平面图形,求该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.★7.设平面图形由曲线2x y =，22x y =与直线1=x 所围成.求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.★8.求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积★9.设一物体沿直线运动,其速度为s m t v /1+=,试求物体在运动开始后s 15路程.。
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题【2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题】对于考研高等数学一定积分的应用历年真题的解析与讨论首先，我们先来回顾一下高等数学一定积分的基本概念和相关定理。
一定积分是定积分的另一种称呼，是定义在一个区间上的连续函数的积分。
而定积分的求解可以通过反求导的方式进行，即通过原函数的求解来得到。
接下来，我们重点关注2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题。
以下是一些典型的历年真题，我们将结合这些题目进行详细的讨论和解析。
[题目一]计算定积分\[I=\int_{0}^{1} \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3}{dx}\]解答：首先，我们观察到被积函数中存在(x+1)和(x+2)两种形式，因此可以尝试使用分部积分法来解答这个题目。
令\[u = (x+1)^2, dv = \frac{1}{{(x+2)^3}}dx\]则\[du = 2(x+1)dx, v = -\frac{1}{2(x+2)^2}\]根据分部积分公式，\[I = \left[(x+1)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right)\right]_0^1 -\int_{0}^{1} (2(x+1) \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right))dx\]化简得\[I = -\frac{1}{8} - \left[-\frac{1}{2(x+2)}\right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+2)^2}dx\]继续求解，得\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \left[-\frac{1}{x+2}\right]_0^1\]最后得到\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{24}\][题目二]已知函数f(x)在区间[0,1]上可导，且满足f(0)=0，f(1)=1。
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第五、六章 定积分及其应用
（１）
一．判断题
（ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积．
（ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则⎰
=x a
dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数.
（ ）4．
⎰
⎰=b
a
b a
dx x f k dx x kf )()(,⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(都对.
（ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使
)()()(a b f dx x f b a
-=⎰
ξ． ( ).
二．填空题 1．设⎰=
x
x tdt x f 2
ln )(，则=')2
1(f . 2．⎰=x tdt dx d 1sin , dx d ⎰b a
x 2
s i n dx = . 3．若),1(2)
(0
2x x dt t x f +=⎰
则=)2(f .
4．1
1xdx -⎰
＝ .
5．
⎰
+21
42
)1
(dx x x ＝ , ⎰-10241dx x ＝ .
三．计算题 1．
⎰
-e e
dx x 1
ln 2．dx x x ⎰-π
53sin sin
3．设⎪⎩⎪⎨
⎧>-≤=1
,
11,
)(2
x x x x x f ，求
⎰
20
)(dx x f ．
4．dt t
dx d x x ⎰+32411 5．20
0arctan lim x tdt x
x ⎰→ 四．对任意x ，试求使
⎰
-+=x a
x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ．
五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明
函数⎰-=
x a
dt t f a x x F )(1
)(在),(b a 内单调递减．
第五、六章 定积分及其应用
（２）
一．判断题
（ ）1．⎰⎰⎰---+-=⋅+=+112
11
221
12)1
()(111)(111x
d x
dx x x x dx
2
1arctan
1
1
π
-
=-=-x ．
（ ）2．
2)2(10
=+⎰
dx k x ，则1=k .
（ ）3．设函数⎰-=
x
dt t y 0
)1(，则y 有极小值2
1
. （ ）4．设
2
1
)(21)(0
-=
⎰
x f dt t f x ，且1)0(=f ，则x e x f 2)(=. （ ）5．只要)(x f 可积，则
0)(11
2=⎰
-dx x xf ．
二．计算题
1．dx x x ⎰+1
021arctan 2．⎰+20ln 1e x x dx 3．dx x ⎰-π03
)sin 1(
4．
dx e x ⎰
-2
ln 1
1 5．⎰
-51
1
dx x
x 6．⎰-2ln 01dx e x
7．
⎰
-20
224dx x x 8．
⎰
10
arctan xdx x 9．
⎰
2
cos π
xdx e x
10．
dx x
x ⎰
+3
1
2
11
三．证明题 (1) ⎰⎰
-=-1
10
)1()1(dx x x dx x x m n n
m )0,0(>>n m ；
(2)
⎰⎰
-+=b
a
b a
dx x b a f dx x f )()(；并由此计算dx x x x
⎰-3
6
2)
2(cos π
π
π
第五、六章 定积分及其应用
（３）
一．填空题 1．dx x ⎰
∞+1
4
1
＝ . 2．
dx xe
x
⎰
∞
+-0
2＝ ，
dx xe
x ⎰
∞+-0
22
＝ ，
dx e
x x ⎰
∞+-0
222
＝ .
3．写出下列各图中阴影部分面积的公式．
图)(a 图)(b 图)(c
图)(a 的为 ， 图)(b 的为 ， 图)(c 的为 . 二．计算题 1．
dx x x ⎰
∞+1
2arctan 2．dx x x ⎰∞++12)
1(1
3．
btdt e
at
cos 0
⎰
∞+- )0(>a 4．
dx x ⎰1
)sin(ln
三．当k 为何值时，广义积分dx x x k
⎰
∞+2
)
(ln 1
收敛?当k 为何值时，广义积分发散? 四．求由曲线3
x y =及直线0,2==y x 所围成的平面图形分别绕x 轴及y 轴旋转所得旋转
体的体积．
五．已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率(边际收益)为
100
200)(x
x R R -
='=' （0≥x ） （1）求生产了50个单位时的总收益；
（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益．。