亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz
亥姆霍兹方程中的格林函数Green_Function_for_Helmholtz
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数 e o mn
性质
• 1对称性和互易性 G(r,r’)=G(r’,r),是由于 Delta函数的对称性而引起的
三维自由空间中的GF
• 由Foureir变换可以求得：
又可以化为：
其中h是球汉克尔 函数
二维自由空间中的GF
• 二维GF满足如下的方程
同样应用留数来计算围道积分，可以得到
一维自由空间中的GF
可以作为无限均匀传输线中的单位电 压源或电流源产生的场
Dyadic Green Function
Dyadic Green Function in free space
其中 I 是单位并矢。 上式还可以表示为
The radiation condition of Dyadic Green Function in free space
Dyadic Green Function
Green Function For Helmholtz Equations
亥姆霍兹方程中的格林函数
满足Helmholtz方程的GF
2G(r, r') k 2G(r, r') (r r')
其中δ(r-r;)是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson 方程。 在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。 在Lorentz规范下，势Φ 满足下列方程
称为亥姆霍兹方程课件
01
02
03
量子波动
在量子力学中，亥姆霍兹 方程可以用于描述微观粒 子的波动性质，如波函数 、概率幅等。
量子谐振子
在量子力学中，亥姆霍兹 方程用于描述量子谐振子 的运动规律，如能级、辐 射等。
量子散射
在量子散射理论中，亥姆 霍兹方程用于研究粒子与 障碍物相互作用时的散射 规律。
PART 06
总结与展望
稳定性解
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解是稳定的，这意味着当系统受到微小扰动时，解能够 恢复到原始状态或接近原始状态。稳定性解通常与系统的长期行为和平衡状态有关。
稳定性解的意义
稳定性解对于理解系统的长期行为和稳定性至关重要。在物理学和工程学中，稳定性解 可以用于描述系统的平衡状态和稳定性条件，对于控制和设计系统具有重要的实际意义
对未来研究的展望
探索更复杂的应用场景
深入研究方程解的性质
随着科技的发展，我们需要将亥姆霍兹方 程应用到更复杂的场景中，如非线性波动 、多介质波动等。
目前对于亥姆霍兹方程解的性质研究还不 够深入，未来可以进一步研究解的稳定性 、分岔行为等。
发展数值模拟和计算方法
加强与其他学科的交叉研究
随着计算机技术的发展，我们可以发展更 加高效、精确的数值模拟和计算方法，以 更好地解决实际问题。
当时，科学家们开始研究波动 现象的本质和传播规律，特别 是在流体介质中。
亥姆霍兹方程的提出为解决这 些问题提供了一个数学框架， 并成为了流体力学和声学领域 的基础。
亥姆霍兹方程的应用领域
亥姆霍兹方程在许多科学和工程领域 都有应用，包括物理、化学、生物医
学、地球科学和工程学科等。
在物理中，它可以用于描述电磁波、 引力波等波动现象。
吉布斯-亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程
• 亥姆霍兹（1821—1894）德国物理学家
• 简介：中学毕业后在军队服役8年，取得公费进入 柏林医学科学院。1842年获医学博士学位后，被 任命波茨坦驻军军医。1847年他在德国物理学会 发表了关于力的守恒讲演，在科学界赢得很大的 声望，次年担任了柯尼斯堡大学生理学副教授。 1868年亥姆霍兹研究转向物理学，并于1871年任 柏林大学物理学教授。他从克劳修斯的方程，导 出了后来称作吉布斯---亥姆霍兹方程
毕业于耶鲁大学，并成为耶鲁工程学院的研究生，1863年 取得美国首批博士学位，留校教授拉丁文和自然哲学。 1866-1869去欧洲进修，就学于Ｈ．Ｖｏｎ亥姆霍兹等， 他是美国学院、美国艺术和科学研究院以及欧洲１４个科 学机构的院士或通信院士，并接受一些荣誉学衔和奖章。 他于１８７６年和１８７８年先后在康涅狄格科学院学报 上发表了奠定化学热力学基础的经典之作《论非均相物体 的平衡》的第一、二部分。这一长达三百余页的论文被认 为是化学史上最重要的论文之一，其中提出了吉布斯自由 能，化学势等概念，阐明了化学平衡、相平衡、表面吸附 等现象的本质。
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吉布斯—亥姆霍兹方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 知道一个温度下的△rGm • 求其他温度下的△rGm？ • 求助于Ｇｉｂｂｓ－Ｈｅｌｍｈ
ｏｌｚ公式
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吉布斯—亥姆霍兹方程
• 耶鲁大学（Yale University）,旧译“耶劳大书院”，是一 所坐落于美国康涅狄格州纽黑文市的私立大学，创于1701 年，初名“大学学院”（Collegiate School）。耶鲁大学 是美国历史上建立的第三所大学， 世界大学排名，仅次 于剑桥大学和哈佛大学。
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该式是由吉布斯（Gibbs）和亥姆霍兹（Helmholtz） 各自独立证明的，故此式叫吉布斯—亥姆霍兹 （Gibbs--- Helmholtz）公式。
第15章：Green 函数理论
1 x(l − ξ ) G ( x, ξ ) = l ξ (l − x) p (ξ ) w(u1 , u2 ) = l
0≤ x ≤ξ ξ ≤ x≤l
例二、求 L=-d2/dx2+λ 在边界条件u|x=0=u|x=l=0 下的 Green 函数。
7
解：先求齐次方程的解
d 2u L[u ] ≡ − 2 + λu = 0 dx
2
∂G =0 ∂n ∂V
可证明解不存在。物理上，Laplace 方程表示稳定 的温度场分布，区域中有点源的存在，而又要求边界 是绝热的，这样的温度场是不可能稳定的。
18
Green 函数的对称性质 G (r , r ′) = G (r ′, r ) 证明：Green 公式
∂u ∂v u − v dS ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
G ( x, ξ ) |x =ξ −0 = G ( x, ξ ) |x =ξ +0 dG dG − = p −1 (ξ ) dx x =ξ −0 dx x =ξ +0
注：第二个条件可由：对 方程在区间[ξ-0， ξ+0] 积 分而得到。
• a
ξ
•
• b
5
x
最后可得到 Green 函数
∂V
15
利用 Green 公式
∂u ∂v − v dS u ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
2 2
取 u 满足 Poisson 方程，v=G, 于是有
∂v ∂u u − v dS ∫∫∫V [uδ (r , r ′) − fv ] dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
第七章Green函数法
Green函数求法 从上一节的讨论可以看出，求解边值问题 实际上归结为求相应的Green函数，只要求 出Green函数，将其代入相应的积分公式， 就可得到问题的解。 一般来说，实际求Green函数，并非一件容 易的事，但在某些情况下，却可以比较容易 地求出。 一、无界区域的Green函数 无界区域的Green函数G，又称为相应方程 的基本解。G满足含有 函数的非齐次方程
例如，静电场的电势
2
u
满足Poisson方程
(7.1.1)
其中 是电荷密度，根据库仑定律，位于 M 0 点的一个正的点电荷在无界空间中的 M点处产生的电势是
G(M , M 0 ) 1 rMM 0
(7.1.2)
u 4
由此可求得任意电荷分布密度为 M点所产生的电势为
u(M )
具有奇异性，一般可以用有限形式表示出 来， 下面通过具体例子，说明求基本解的方法。 例1 求三维泊松方程的基本解． 解 Green函数满足的方程为
G ( x x0 , y y 0 , z z 0 )
2
.
(7.3.1)
采用球坐标，并将坐标原点放在源点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 上，有 r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
.
(7.2.18)
由于 (M M 0 )d 1 但
2
G dS 0 Gd (G )d G d S n S S
因此，定解（7.2.18）的解不存在。为了解决 这个矛盾，取待定常数 A 作下列定解问题
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
亥姆霍兹函数和吉布斯函数解析
G4 0
1mol H2O(g)
268.15K
G3
1mol H2O(g) 268.15K
0.422 kPa G1 0
气体恒温可逆膨胀
G2 0 G4 0
0.414 kPa
G5 0
G
G3
nRT
ln
p2 p1
nRT
ln
0.414 0.422
42.67J
G
G3
nRT
ln
p2 p1
nRT
现在所有的量均是体系的性质，故略去角标“系”，得
dS dU 0 整理
T
TdS dU 0
恒温
dU TdS 0 dU dTS 0
＜ 自发过程 = 平衡态 ＜ 自发过程
d(U TS) 0 = 平衡态
dAT ,V 0 ＜ 自发过程
且 W 0 = 平衡态
亥姆霍兹函数判据
dAT ,V 0 ＜自发过程
一 亥姆霍兹函数
1．定义式 A U TS
∵ U、T、S都是状态函数，∴ 它们的组合也一定是状态函 数。新的状态函数称为亥姆霍兹函数 A。
2．亥姆霍兹函数是状态函数，广度性质，具有能量单位。
2020/10/2
体系状态一定，亥姆霍兹函数便有确定的数值；物系从一个 状态变化到另一个状态，亥姆霍兹函数的改变量只决定于物系的 始终态，而与途径无关。
1mol H2O(l) 268.15K
100 kPa
H1
S1
恒温恒压
不可逆相变
H, S, G
1mol H 2O(s)
268.15K
100 kPa
H 3 S3
1mol H2O(l) 273.15K
100 kPa
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
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第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
什么是格林函数(Green's function)
一般地，点源作用产生的场就是格林函数。
在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。
集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。
在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。
（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。
注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。
1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。
不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。
如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。
郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。
知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。
”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。
利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。
解感生电场的格林函数法
感生电场是指一种电场，它是在一个电荷附近产生的，可以对其他电荷产生电力作用。
格林函数法是一种常用的解决感生电场问题的方法。
首先，我们需要了解几个概念：
1.格林函数（Green's function）是指一种可以用来求解感生电场的特殊函数。
2.定义域（domain of definition）是指格林函数有意义的区域。
3.边界条件（boundary condition）是指对于感生电场的求解，我们所给出的限制条
件。
接下来，我们可以使用格林函数法来解决感生电场问题，步骤如下：
1.确定感生电场问题的定义域。
2.确定感生电场问题的边界条件。
3.对于感生电场问题的定义域内的任意点，求出格林函数。
4.使用格林函数和边界条件，求出感生电场。
格林函数法是一种有效的方法，可以帮助我们快速解决感生电场问题。
但是，这种方法并不适用于所有情况，需要根据具体问题进行选择。
Green's Functions
Since the problem (6.1), (32.2) has only the trivial solution, from Theorem 32.1 it follows that the system (33.7) uniquely determines λ1 (t) and λ2 (t). From the above construction it is clear that no other function exists which has properties (i)–(iv), i.e., Green’s function G(x, t) of the boundary value problem (6.1), (32.2) is unique. As claimed earlier, we shall now show that the unique solution y (x) of the problem (6.6), (32.2) can be represented in terms of G(x, t) as follows:
R.P. Agarwal and D. O’Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equations, doi: 10.1007/978-0-387-71276-5_33, © Springer Science + Business Media, LLC 2008
=
= 0 and
2 [y ]
=
α
2 [G(x, t)]r (t)dt
= 0
and hence y (x) as given in (33.8) satisfies the boundary conditions (32.2) as well. We summarize these results in the following theorem.
【word】广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法
广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法第23卷第l0期2004年10月大学物理CoLLEGEPHYS1CSV o1.23No.10Oct.2004广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法崔元顺(淮阴师范学院物理系,江苏淮安223001)摘要:运用并矢法求解广义Helmholtz方程,结合Fourier变换,留数定理等数学处理,给出方程的并矢Green函数解析表达式;并进～步就旋波介质给出其中色散关系的另外一种求解方法. 关键词:广义Helmholtz方程;并矢Green函数;旋波介质中图分类号:0441.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2004)10—0025—031引言文献[1]用并矢法直接求解了真空中时谐场E(r,t)=E(r)e”所满足的非齐次微分方程’V×V×E—kE=ioJ(1)式中’,表示电流,k=.￡.,给出相应问题外向波的并矢Green函数解为G(,,r(I+嘉)熹(2)式中J为单位并矢,R=Jr—rJ为源点到场点的距离;并且以电偶极辐射,磁偶极辐射为例进行了运算,给出了具体应用实例.本文在文献[1]～[3]的基础上,推广式(1)使之成为V×V×E一口V×E一E=(3)式(3)称为广义Helmholtz方程,其中a,和均为常系数,视具体物理问题而定.显见,式(3)比式(1)多出一项场量的旋度项.本文运用并矢法求解式(3) 的并矢Green函数,并进一步结合旋波介质,给出不同于文献[4],[5]的关于旋波介质色散关系的另一种求解方法.2广义Helmholtz方程的并矢Green函数由于式(3)为线性微分方程,其解满足线性叠加性,故可将其中的E(r)表达为E(r)=IG(r,r)?’,(r)dV(4)并且可写出l,(r)=II?J(r)6(r—r)dV(5)将式(4),(5)代入式(3),可得并矢Green函数G(r, r)所满足的微分方程为V×V×G(r,r)一口×G(r,r)一G(r,r)=I6(r—r)(6)为求解式(6),运用Fourier变换:fG(r,,1g(p)eXp[ip.(,√)]p)=南唧[ip.(,√p(7)其中g(p)为p空间的并矢Green函数,dp代表p 空间的体积元.将式(7)代入式(6),注意运用—ip,得p×(p×g)+i口p×g+g=一I(8)即p(p?g)+iap×g十(一P)g=一I(9)用p矢量左点乘式(9)两端,得p.g一素p(1o)再用p矢量左叉乘式(9)两端,得’p×g=生竺2_曼二{(11)将式(10),(11)代入式(9),经整理给出g(p)=f(P)pp+,1(P)p×I+f3(P)I(12作与上述得到式(8)时相反的代换:P一一i,有G(r,r)=由{一VVf~~f,(eXp[ip?(r—r,)]d3P—iV×lJI(户)exp[ip?(r—r)]d3PI+JI(户)exp[ip?(r—r,)]dP}(17)为得到并矢Green函数G(r,r)的具体形式,需对式(17)中三项积分进行运算n1.在P空间取球坐标系(P,0,),设该球坐标系的极轴沿R=r—r方向,则P=PsinOdpdOd9P?(r—r)=pRcos0由于式(13)～(15)中各系数函数均为P的偶函数, 故式(17)中各项积分具有如下形式:(R)=I(P)exp[ip?(r—rd3P=l户(P)d户lexp(ipRcos)?.fhdiRJ~..PZ,(‘sin0d0d9P0)?I=一’)?Jexp(ipR)dp(18)其中j=1,2,3,可见式(18)已将P空间的三重体积分转化成一维积分,可由留数定理f(z)dz=27ci∑Resf(b,)计算其结果”.由于R>0,据Jor—dan引理,在P空间的复平面上取上半平面的围线积分,有(R)=篓面PL(P)exp(ipR)dp=箐Res[PL(P)exp(ipR)](19)由式(13)～(15)可见,式(19)中被积函数具有数个一阶极点.令(P)的分母为零,即有:P一ap一=0(2o)P+ap一=0(21)由此司解出对应的一阶极点分别为P=±kl,±k2,m=l,2,3,4(22)其中:忌,=丢(a+厕),忌=丢(一+厮)(23)显见,P=k,,一k:对应于式(20)的解,而P=一k,,k:则对应于式(21)的解,且满足关系:kl—k,=口,klk2=pz一忌:一忌,,一忌2:忌(24)在计算式(19)中留数时,注意运用式(24),并注意实轴上极点的处理.由于极点对称地分布于P空间复平面的实轴上,故将式(13)～(15)2~(22)代入式(19)求得的积分结果将含有对称的复共轭指数项.当只取外向波时,即在式(19)中只选用P=k,,k:的极点进行计算,有:Fl(R)一[eXp(R)+exp(ik2R)](25)F2(R)=[eXp(R)一eXp(叫(26)R)=燕[eXp(i)+k2eXp(i)](27)将式(25)～(27)代入式(17),便给出式(6)对应于外向波的并矢Green函数为G(r,r)=一1{VVFl(R)+i×[IF2(R)卜,(R)}=l_{[eXp(i忌,R)+exp(ikR)]+J×[exp(ik.R)一exp(ikR)]+J[exp(ik.R)+eXp(i忌R)]}(28)其中已用到并矢关系:×[F(R)I]=I×VF(R),I×A=A×I.由式(28)可见,外向波并矢Green函数表式中包含忌.,k2两个相位常数,表现为二色性,反映了由式(3)所描述的电磁体系中场点与场源之间的特殊关联性质;由式(23)可知,这些相位常数的大小均决定于微分方程式(3)中的常系数a与J9.第10期崔元顺:广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法27由式(28)结合式(4),可给出均匀介质中电场矢量的积分表达式.对于常见的置于坐标原点,沿轴放置的时谐电偶振子,IJ(r)dV==多P:6(r),可简明地由式(4),式(28)给出其电场的空间部分为E(r)=G(r,0)?e:,其中P为体系的电偶极矩.3旋波介质色散关系的另一种求解方法对于时谐场,取时谐因子为e”,则旋波介质物态方程为,D=￡E+i,H:iyE+(29)式中),=￡c为旋波参量,p描述介质的螺旋结构,=(1一∞.p.),其中￡和分别为介电常量和磁导率.式(29)中￡,),,均为实参量.结合时谐Maxwell方程组:r×Eij(30)l?D:p【.B:可导出场矢量E所满足的广义非齐次Helmholtz方程为?××E一2(U),×E—k!E=i61.,(31)式中k=092￡.可以证明,D,B和H满足与式(31)相同形式的方程.将式(31)与式(3)作比较,可见只要在式(3)中令:a=2),,p=k,=i(32)便可将以上的求解过程和结果用于求解式(31),并且由式(23)给出旋波介质的色散关系为:kl=),+~/(),)+k.(33)k2=一(U),+~/(),)!+k(34)出色散关系;而在本文中,由得到式(23)的过程可见,是通过计算留数,由极点给出该结果.比较可见, 式(33),(34)与文献[4]的结果一致,表明以上计算的可靠性与正确性.4结束语本文运用Fourier变换,留数定理等数学工具,给出广义Helmholtz方程的并矢Green函数的解析表达式,其求解过程和求解方法对于求解电磁理论中线性偏微分方程和电磁理论相关内容的教学等有一定的参考价值;由式(28)可见,所得结果对于进一步研究和了解较为复杂的线性电磁介质中电波的传播与辐射性质有一定意义,怕.与文献[4],[5]相比,本文更为关心和重要的是,基于广义Helmholtz方程的求解过程,给出了旋波介质中电磁色散关系的另外一种求解方法.参考文献:[1]崔元顺.用并矢法直接求解时谐辐射场[J].大学物理, 1996,15(12):13～15.[2]崔元顺.一类广义矢量偏微分方程的并矢格林函数解及其应用[J].数学物理,1999,19(1):17～22.[3]BassiriS,EnghetaN,PapasCH.DyadicGreen’Sfunc—tionanddipoleradiationinchiralmedia[J].A[taFreq, 1986.L V(2):83～88.[4崔元顺,周淮玲.旋波介质的色散关系[J].大学物理, 2002,21(9):20～21.[5]崔元顺.耗散旋波介质中的色散关系[J].大学物理, 2003,22(12):12～14.[6崔元顺.运动电磁媒质中的推迟势[J].大学物理. 1996,15(11):17～20.[7吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社, 1999.145～160.[8]王一平,陈达章.刘鹏程.工程电动力学[M].西安:西北电讯工程学院出版社,1985.373～375.式(33),(34)的形式及结果已在文献[4](或[5])中[9]崔元顺.旋波媒质中光波传播的物理光学理论[J].光给出,但这里给出了不同的求解方法.在文献E4],子,1999,28(9):820～823.[5]中,所采用的方法是首先给出平面波解形式,然[1O;崔元顺.用磁矢势并矢格林函数研究旋波媒质中的电后将其代入场波动方程,由场矢量的非零解条件给波辐射….微波,2000,16(3):253～259.TheGreen’SfunctionofthegeneralizedHelmholtz’Sequationand anothermethodforsolvingdispersionrelationinchiralmediumCUIY uan—shun(DepartmentofPhysics,HuaiyinNormalCollege,Huaian,Jiangsu223001,Chi na)(下转31页)第10期李旭等:电介质椭球内极化场强方向的研究31同值时夹角的大小,见表1.从表l中我们可以看到,极化场强的方向与外电场方向之间的夹角的大小是随着C值的改变而改变的,当f=2.0时,0=164.53.,当C=a=b=4时,0=180.00..当C与a,b的值越接近时,也越接近180.,说明如果电介质椭球体的形状和球体越相似,则极化场强的方向与外电场方向之间的夹角也越接近180..表1C为不同值时夹角0的大小4结束语通过上面的讨论得知电介质椭球内极化场强是均匀的,但其方向与外电场方向并不总是严格相反的,其夹角的大小与外电场E.的方向以及椭球体3半轴a,b,C的大小都是有关系的,只有当E.与电介质椭球的某一主轴平行,或者当a=b=C(球体)时,E的方向才与E.的方向严格相反.参考文献:[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1991.188.[2]MoonP,SpencerDE.FieldTheoryHandbook,Includ—ingCoordinateSystems,DifferentialEquations,and TheirSolutions2nd[M].NewY ork:Springer-Verlag, 1988.40～44.[3]白洪波.两带电半椭球壳之间的相互作用[J].大学物理,1999,18(11):22～24.[4]王竹溪,郭敦仁.特殊函数论[M].北京:北京大学出版社,2001.565～568.[5]郭硕鸿.电动力学[M].第2版.北京:高等教育出版社.1999.57～60.Studyonthedirectionofthepolarizationfield strengthinadielectricellipsoidLIXu,HUXian—quan,HUWen—jiang3(1.TheKeyLaboratoryofHighV oltageEngineeringandElectricalNewTechno lyundertheStoteMinistryofEduction,ChongqingUniversity,Chongqing400030,China;2.DepartmentofPhysicsandInformationTechnology,ChongqingNormalUni versity,Chongqing400047,China;3.DepartmentofElectronicEngineering,ChongqingUniversityofPostandTel ecommunications,Chongqing430065,China)Abstract:Theanglebetweenthepolarizationvectorinthedielectricellipsoidan dtheexternalfieldvectoriscalculated,itturnsoutthatthedirectionsofthemarenotalwaysstrictlyantiparall e1.Keywords:dielectricellipsoid;ellipsoidalcoordinates;polarizationfieldstren gth(上接27页)Abstract:ThegeneralizedHelmholtz’Sequationissolvedbythedyadicmethod ,theanalyticexpressionfordyadicGreen’SfunctionoftheequationisgivencombiningwithFourier’Strans formation,theoremofresidues,etc.,andanotherwayforsolvingdispersionrelationinchiralmediumisgiven. Keywords:thegeneralizedHelmholtz’Sequation;dyadicGreen’Sfunction;ch iralmedium。
Green's function
解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的 Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值 Green 函数： G (r , r ') 源函数 初始值 Green 函数： G (r , t , r ', t ') 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性： G(r , r ') G(r ', r ) 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性： G(r , t , r ', t ') G(r ', t ', r , t ) . 3）存在的必要条件：设方程 (2 )G(r , r ') (r r ') ，若λ是对应齐次方程 的本征值，即 2 和附加齐次边界条件，则 G (r , r ') 不存在（既有点 源又无流，物理上自相矛盾！ ） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 G G ) | 0. 1）齐次边值条件： ( n 2） G |r 0 有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求 G (r , r ') 2）利用迭加原理给出待求解 u (r ) 的积分形式
L G (r , r ') (r r '), L G ( r r '), 0 L G1 0, 例如： G | f (). G1 | f (). G0 | 0;
第6节：亥姆霍兹函数和吉布斯函数-2015年4月修改
• 任何过程都会使状态函数 A 和 G 发生变化: A= U－(TS); G = H－ (TS) 注意: (TS) = (TS)2－(TS)1
但只有在判据条件下的A 和 G 的大小才能用作判据. • 自发过程: 诸如AT, V < 0 或 GT, p < 0 的无须外界做功的 过程. 故在不做非体积功时的可能性判据也是自发性判据. • A 和 G的物理意义: AT = WR ; AT, V = WR ; GT, p = WR .
11
理想气体自由膨胀 例 1. 在25℃ 时1 mol O2 从1000 kPa自由膨胀到100 kPa, 求此
过程的U, H, S, A, G (设O2为理想气体).
理想气体自由膨胀, 温度不变, 故 U = 0, H = 0
S nR ln p1 1013 1 8.314ln 〃 K 1 19.14J 〃 K 1 J p2 101.3
自发 d (U TS) 0 ＝可逆
自发 ＝可逆
亥姆霍兹（von Helmholz, H.L.P.,1821－1894,德国人） 定义了一个状态函数
A
def
U TS
5
A称为亥姆霍兹函数（Helmholz free energy），是状态函 数，具有容量性质。
则： W W体
自发 dU W dSsys 0 Tamb ＝可逆
4
亥姆霍兹函数
在恒温恒容条件下， W 0, Tamb Tsys
dU dS 0 T 自发 ＝可逆
移项，得到：dU TdS 0
压加热到 600 K的终态. 试求整个过程的S, A及G各为若干?
数学物理方法_第7章 Green函数法
2 2
公式，经过繁复的推导，并考虑Green函 数的对易性 G(M , M0 ) G(M0 , M ) 得到
其中， G(M , M 0 ) 为二维Poisson方程的Dirichlet -Green函数，即定解问题
G( M , M 0 ) ( M M 0 ) ( M D), G( M , M ) 0 (7.2.22) 0 c
2
的解。 应当指出，Green法，即解的积分表示具 有上述理论意义，在实际求解中，只有几种 特殊边界可以求出Green函数，下面我们 来讨论求Green函数的一种特殊方法—电 像法。
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
§7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成
1
0
可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中 解出G(M , M0 ) 则式（7.2.16）也已全部由已知 量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件 （7.2.15）所构成的定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M ), n G( M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 S 的解 G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）和边界条件
亥姆霍兹方程
热力学 定律
一切过程都必须遵循，保持能量守 恒；不能解决过程是否必然发生、 进行的程度
热力学第二定律——判断在指定的条件下 一个过程能否发生；如能发生的话，能进行到 什么程度；如何改变外界条件（温度、压力等） 才能使变化朝人们所需要的方向进行
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3.1.2 热力学第二定律
热力学第二定律：在不违背热力学第一定律的前 提下，判断在一定条件下过程的方向和限度的定律
“自发过程都是热力学不可逆过程”这个结论是 人类经验的总结，也是热力学第二定律的基础
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3.3.1.3 p、V、T都改变的过程
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熵变计算的基本公式
当始、终态一定时，不论过程是否可逆，其熵 变都可用下式求出：
不论过程是否可 逆，都必须通过 可逆过程的热温商来计 算熵变；如果过程是不 可逆的，应设计一个与 该不可逆过程的始、终 态相同的可逆过程
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自然界的自发过程多种多样，但人们发现自发过 程都是相互关联的，从某一个自发过程的不可逆性 可以推断另一个自发过程的不可逆性。因此热力学 第二定律的表述也有多种，但它们都是等价的
格林函数习题解答
y1 = x y2 = 1
As Green function is continuous, so A(t)y2 (t) = B (t)Y1 (t) ⇒ One the other hand,
′ ′ A(t)y2 (t) − B (t)y1 (t) = −
A(t) = B (t)t
1 1 = − = −1 p(t) 1
Assign 7, mathematical Method First name: LIANG Last name : ZHANG Oct-25-2012
10.5.1
Find the Green function for this operator and boundary condition: { d2 y y (0) = 0, Ly (x) ≡ 2 , and y ′ (1) = 0 dx Where we assume that the ends of the interval are at x = 0 and x = 1.
Ay2 (t)y1 (x), G(x, t) = Ay1 (t)y2 (x),
t<x
⇒ G(x, t) =
sint −( tan1 − cost)sinx,Байду номын сангаас
−sint( sinx − cosx), tant1 sinx −( tant1 − cosx)sint, ⇒ G(x, t) = −sinx( sint − cost), tan1 ∫ 1 y (x) = − G(x, t)f (t)dt
10.05.1D Green#2
Find the Green function G = G(x, t) for the equation en that y (0) = 0 and y (1) = 0. d2 y − y = f (x) givdx2
12章格林函数解的积分公式已讲述部分
ˆ n || ( ' ) ˆ n d( ' ) d | ' |
2 0 ln(| ' |) C dq ( ' , ' ) , 令C 0 2 0 ln(| ' |) du ( , ) d q ( ' , ' ) 2 0
注意：在计算 2v(r , r ) 的奇点于内的积分时，
0
奇点附近的体积分应以包围该奇点的面积分(前页* 式）代替
v(r , r0 ) u(r ) u(r0 ) v(r , r0 ) f (r )dV v(r , r0 ) u( r ) dS n n T
' ˆ n | '| ˆ |n |1
4
du ( , )
dE ( , ) d
dq ( ' , ' ) ˆ n d( ' ) 2 0 | ' |
0 ( x ) ( y ) G ( x ) ( y ) 0
2
2G ( x ) ( y ) G 代表位于( , )的单位长度带电量为 ( 0 ) 的无限长线 电荷在( x, y )产生的电势。
u f (r )
2
(v u u v ) dV
2 2
v f dV u ( r r0 ) dV
T T
T
将左边化为面积分：
第二Green公式
§ Helmholtz 方程的Green函数
三维 Helmholtz
方程： d 2u dx2
+
d 2u dy 2
+
d 2u dz 2
+ k 2u
= − f (x, y, z)
对无限空间来说，只要得到上述三个 Helmholtz 方程相对应的 Green 函数方程的解，然
后再利用
u(rv) = ∫∫∫Ω f (rv0 )G(rv,rv0 )dV0
eiω (x− x0 )
dω = i e , −ik x−x0 Im(k ) < 0
2π −∞ ω − k ω + k
2k
二、二维 Helmholtz 方程对应 Green 函数方程的解 1、直角坐标系下
∂2G(x,
∂x2
y)
+
∂2G(x,
∂y 2
y)
+
k
2G(x,
y)
=
−δ
(x
−
x0
)δ
(y
−
y0
（22）
当 ρ < ρ0 时，
∑ ( ) ( ) ( ) G ρv, ρv0
=
i 4
n
∞
J
= −∞
n
kρ
H
(1)
n
kρ0
ein(θ −θ0 )
当 ρ > ρ0 时
∑ ( ) ( ) ( ) G ρv, ρv0
=
i 4
n
∞
J
= −∞
n
kρ0
H
(1)
n
kρ
ein(θ −θ0 )
在极坐标系下
1 ρ
∂ ∂ρ
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2π ε k 2Gρdρdϕ = 2i 2π ε k 2 ln(kρ )ρdρdϕ = 4ik 2 lim ε ln(kρ )ρdρ
广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的另一求解方法
广义Helmholtz方程的Green函数及旋波介质色散关系的
另一求解方法
崔元顺
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2004(023)010
【摘要】运用并矢法求解广义Helmholtz方程,结合Fourier变换、留数定理等数学处理,给出方程的并矢Green函数解析表达式;并进一步就旋波介质给出其中色散关系的另外一种求解方法.
【总页数】4页(P25-27,31)
【作者】崔元顺
【作者单位】淮阴师范学院,物理系,江苏,淮安,223001
【正文语种】中文
【中图分类】O441.1
【相关文献】
1.耗散旋波介质中的色散关系 [J], 崔元顺
2.旋波介质中的色散关系 [J], 崔元顺;周淮玲
3.旋波媒质中无散电磁场并矢Green函数的一种结构形式 [J], 秦治安;周桂英
4.用边界元法求解分片介质中的Helmholtz方程 [J], 汪朝晖;汪炜
5.旋波媒质中谱域电并矢Green函数的分解 [J], 秦治安;秦睿;陈岩;盛德元
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一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
G ( r r ' ), G
他们满足以下的方程：
e
m
(r r ' )
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场， G0(r,ri’)表示下半空间电流 元的镜像所产生的场
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数
ψe
引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function
Dyadic Green Function
Dyadic Green Function in free space
其中 I
是单位并矢。 上式还可以表示为
The radiation condition of Dyadic Green Function in free space
Dyadic Green Function
所以
电场的格林函数表达式2
电场的面积分消失，则电场由V中的电流确定
由格林函数的对称性，交换r,r’得到
磁场的并矢表达式
第一类边界条件 第二类边界条件
其中en是边界上的外向法向矢量
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor 2
性质
1对称性和互易性 G(r,r’)=G(r’,r),是由于 Delta函数的对称性而引起的
三维自由空间中的GF
由Foureir变换可以求得：
又可以化为：
其中h是球汉克尔பைடு நூலகம்函数
二维自由空间中的GF
二维GF满足如下的方程
同样应用留数来计算围道积分，可以得到
一维自由空间中的GF
可以作为无限均匀传输线中的单位电 压源或电流源产生的场
Green Function For Helmholtz Equations
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满足Helmholtz方程的GF
2 G (r , r ' ) + k 2 G (r , r ' ) = δ (r r ' )
其中δ(r-r;)是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson 方程。 在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。 在Lorentz规范下，势Φ 满足下列方程
Applications of the Dyadic Green Function
并矢格林函数的主要应用是求解矢量Helmholtz方程的解。 这种解可以用并矢格林函数，以很简洁的形式给出。 由电流元给出的电场和磁场满足如下方程
电场的格林函数表达式
由并矢格林函数和电场E所满足的方程可 以得到
可化为：
ρ (r ) φ (r ) + k φ (r ) = ε
2 2
2φ (r ) + k 2φ (r ) = δ (r r ' )
GF满足的边界条件
这里αβ不同时为零
Green Function 分类
1。在边界上为零的Green 函 数为第一类Green 函数。 2。在边界上法向导数为零的 Green 函数为第二类Green 函 数
上式是非齐次Helmholtz方程的通解.它表明，V中任一点的场取决于V中的源 和边界S上的场量分布。 如f(r)=0,v为无源空间，场由面积分确定
非齐次Helmholtz方程的通解2
若边界上Green函数为零，则场由V内的源给定
此时格林函数为第一类格林函数，用下标1表示。 1
场Ψ也满足相同的辐 射条件
o mn
其中
对于不同的m,n或奇偶模 是正交的
ψe
o mn
并矢格林函数的展开
ψe
o mn
其中AemnBemn，Cemn为展开系数，由正交函数的特性有：
并矢格林函数的展开2
其他两系数为
最后可得并矢格林函数的展开式为
并矢格林函数的展开3
如果定义并矢 S (r , r ' ) 矢格林函数还可以 定义为