高中数学专题讲义：如何破解集合间的关系类问题

高中数学专题讲义:如何破解集合间的关系类问题

考纲要求:

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

基础知识回顾:集合与集合之间的关系

1．集合间的基本关系

表示

关系

文字语言符号语言

集合间

的

基本关

系

相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B

子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至

少有一个元素不是A中的元素

A B

空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

2.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集图形

语言

符号

语言

A∪B＝{x|x∈A，或x

∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x

∈B}

∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}

3.

并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．

交集的性质:A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．

补集的性质:A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．

应用举例:

招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．

【例1】【青海省西宁市高三下学期复习检测二】已知全集，集合

，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【例2】【安徽省安庆市第一中学高三热身考试】已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析:求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．

详解:由题意得，

．

∴．

图中阴影部分所表示的集合为，

∴．

故选B．

点睛:本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．

【例3】【宁夏石嘴山市第三中学高三下学期第三次模拟考试】设全集U＝R，集合

2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A .{}|13x x x ≤-≥或

B .{}|13x x x <≥或

C .{|1}x x ≤

D .{|1}x x ≤-

【答案】D

招数二、数轴图示法:若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

【例4】《高频考点解密》—解密01 集合】设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且，则

A. k ＜0

B. k ＜2

C. 0＜k ＜2

D. −1＜k ＜2 【答案】C

【解析】∵U ＝R ，A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，∴＝{x |1＜x ＜3}．

∵B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，∴当时，有k ＋1≤1或k ≥3(不合题意，舍去)，如图所示，

∴k ≤0，∴当

时，0＜k ＜2，故选C ．

【例5】【北京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试】已知集合

，

，且

，则实数的取值范围__________．

【答案】

.

【解析】分析:根据两个集合的并集的定义，结合条件即可.

详解:

用数轴表示集合，若

，则

，即实数的取值范围是

．

故答案为:

.

点睛:本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义和求法. 招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而使问题得以解决．222x x x e e e ⋅=

【例6】已知集合}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ，},若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.

方法、规律归纳:

1．判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．

3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．

4．子集与真子集的区别与联系:集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为2n －1.

实战演练:

1．【吉林省榆树市第一高级中学2018届高三第三次模拟考试】设全集，，则图中阴影部分表示的集合是

A. {1，3，5}

B. {1，5，6}

C. {6，9}

D. {1，5}

【答案】D

【解析】∵，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，故选D．

2．【湖北省摸底调研联合考试】已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )

A. B. C. D.

【答案】B

3．【福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查】已知全集，集合

，则图中阴影部分所表示的集合是（）