数学试题答案及评分标准
第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题(三套全)及参考答案
第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准 （非数学类，2021年4月17日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、极限12(1)(1sin lim (1sin )n n x x π−+−=−______________.【解】122)(1sinlim n n x x ππ−+→−= 211(sin 1)11111sin 23!n x x x n n π+−+−==⋅=− 2、设函数()y f x =由方程32arctan(2)x y y x −=−所确定，则曲线()y f x =在点1,32P ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭处的切线方程为______________.【解】对方程32arctan(2)x y y x −=−两边求导，得22321(2)y y y x '−−'=+−.将点P 的坐标代入，得曲线()y f x =在P 点的切线斜率为5.2y '=因此，切线方程为5(3)122y x ππ⎛⎫−+=−− ⎪⎝⎭，即51224y x π=+−.3、设平面曲线L 的方程为220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，且通过五个点1(1,0)P −，2(0,1)P −，3(0,1)P ，4(2,1)P −和5(2,1)P，则L 上任意两点之间的直线距离最大值为______________.【解】将所给点的坐标代入方程得0042204220A D FB E F B E F A BCDEF A B C D E F −+=⎧⎪−+=⎪⎪++=⎨⎪+−+−+=⎪+++++=⎪⎩解得曲线L 的方程为223230x y x +−−=，其标准型为22(1)144/3x y −+=，因此曲线L 上两点间的最长直线距离为4.4、设()22()23arctan 3nx f x x x =+−，其中n 为正整数，则()(3)n f −=_________. 【解】记2()(1)arctan 3n x g x x =−，则()(3)()n f x x g x =+.利用莱布尼兹法则，可得1()()()0()!()(3)()n k n k nn k n k fx n g x C x g x −−=⎡⎤=++⎣⎦∑所以()22(3)!(3)(1)4!n n n f n g n π−−=−=−.5、设函数()f x 的导数()f x '在$[0，1]$上连续，(0)(1)0f f ==，且满足[]1124()?d 8()d 03f x x f x x '−+=⎰⎰ 则()f x =______________.【解】因为1110()d ()d ,()d 0f x x x f x x f x x =−''=⎰⎰⎰，且()1201441d 3x x x −+=⎰，所以()[]1112220124()d 8()d ()8()4()16164d 3()42d 0f x x f x x f x xf x f x x x x f x x x ''⎡⎤−+=+'−'+−+⎣⎦='+−=⎰⎰⎰⎰因此()24f x x '=−，2()22f x x x C =−+..由(0)0f =得0C =..因此2()22f x x x =−.二、（12分）求极限：11nn k =−.【解】记1nn k a ==−，则1111nnn n k k k a n===⎛==≤ ⎝. ....................... 3分因为1112((1)3n nk n kk k x x n ++==≤==+−∑⎰⎰，所以221133n a n ⎛<=+ ⎝ .................................................. 3分又01123nnkk k k x x −==≥==∑⎰⎰123nn k a =≥≥ 于是可得................221133n a n ⎛≤<+ ⎝3分三、（12分）设()()212313230,,cos ,sin d F x x x f x x x x πϕϕϕ=++⎰，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数.已知()213230cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰， ()2221323220cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰，1i =，2，3 试求22232221233F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−− ⎪∂∂∂∂⎝⎭并要求化简.【解】令1323cos ,sin u x x v x x ϕϕ=+=+，利用复合函数求偏导法则易知123,,cos sin f f f f f f f x u x v x u vϕϕ∂∂∂∂∂∂∂===+∂∂∂∂∂∂∂， 22222222222222222123,,cos sin 2sin f f f f f f f f x u x v x u u v vϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂===++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ .................................... 4分所以2223222123F F F x x x x ⎛⎫∂∂∂+− ⎪∂∂∂⎝⎭222222222232222000 d d cos sin 2sin d f f f f f x u v u u v πππϕϕϕϕϕϕν⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂=+−++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰ 222222322sin sin 2cos d f f f x u u u v πϕϕϕϕ⎛⎫∂∂∂=−+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰又由于203cos sin d F f f x u v πϕϕϕ∂∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰，利用分部积分，可得 22222222003222222223322002222322sin d cos d 11sin sin 2d sin 2cos d 22sin sin 2Ff u f v f u f v x u u v u v v f f f f x x u u v u v v f f f x u u v ππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=−−− ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=−+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰22cos d πϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰........................................ 4分所以222322212330F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−−= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ......................................................2分四、（10分）设函数()f x 在[0，1]上具有连续导数，且110053()d ,()d 22f x x x f x x ==⎰⎰.证明：存在(0,1)ξ∈，使得()3f ξ'=.【解】考虑积分[]10(1)3()d x x f x x −−'⎰ .................................................. 4分利用分部积分及题设条件，得[]111001111132000(1)3()d (1)[3()](12)[3()]d 3(21)d (12)()d 32()d 2()d 2x x f x x x x x f x x x f x xx x x x f x xx x f x x x f x x−−'=−−−−−=−+−⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰3523022=−+−= ...................................... 4分根据积分中值定理，存在(0,1)ξ∈，使得[](1)3()0f ξξξ−−'=，即() 3.f ξ'=........................................ 2分五、（12分）设122021,,,B B B 为空间3R 中半径不为零的2021个球，()ij A a =为2021阶方阵，其(,)i j 元ij a 为球i B 与j B 相交部分的体积.证明：行列式||1E A +>，其中E 为单位矩阵。
厦门数学中考试题参考答案及评分标准
考生须知: 厦门市2007年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学试题（试卷满分: 150 分; 考试时间：120分钟） 1. 解答的内容一律写在答题卡上， 考生不得擅自带走• 2. 作图或画辅助线要用 0.5毫米的黑色签字笔画好. 一、选择题（本大题共 7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有 一个选项是正确的） 下列计算正确的是 A . — 3X 2 = — 6 B. — 1— 1 = 0 已知点 A （— 2, 3）,则点A 在 A .第一象限 B .第二象限 下列语句正确的是 A.画直线AB = 10厘米 C.画射线OB = 3厘米 下列事件，是必然事件的是 A. 掷一枚均匀的普通正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是B. 掷一枚均匀的普通正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数C. 打开电视，正在播广告 D •抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面 1.2. 3. 4.6. 7. 否则以0分计算.交卷时只交答题卡，本卷由考场处理, C. ( — 3)2= 6 C.第三象限D. 2 -1 = 2 D.第四象限B.画直线 D.延长线段AB 到点C,使得BC = AB I 的垂直平分线 方程组丿x + y = 5, 的解是,2x — y = 4.X= 3, x = 3, x =— 3, x =— 3, A .彳 B . C .丿D. \ly = 2. w=— 2.j= 2. 丁=— 2.5. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形下列两个命题：①有一个内角是60° ,那么这个等腰三角形一定是等边三角形 .则以下结论正确的是A.只有命题①正确B.只有命题②正确C.命题①、②都正确D.命题①、②都不正确小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地 .后来 小宝借来一副质量为 6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地 .小宝的体重可能是 A. 23.2 千克B. 23千克C. 21.1 千克D. 19.9 千克二、填空题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分） 9.已知/ A = 50°，则/ A 的补角是 计算15 车序号1 2 3 4 5 6 车速（千米/时） 85 100 90 82 70 82 不等式2x — 4> 0的解集是 ________ . _______ 一名警察在高速公路上随机观察了 6辆车的车速，如下表所示: 则这6辆车车速的众数是 _______________ 千米/时. 已知图1所示的图形是由6个大小一样的正方形拼接而成的，此图形能否折成正方体 _________ （在横线上填“能”或“否”）. 已知摄氏温度（C ）与华氏温度「F ）之间的转换关系是： 5摄氏温度=9 % （华氏温度—32）.若华氏温度是68 F, 则摄氏温度是 C . 已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°，直角边 AC 是直角边 BC 的2倍，贝U sin / A 的值 是 如图2,在平行四边形 ABCD 中，AF 交DC 于E ,交BC 的延长线于F ，若/ DAE = 20° , / AED = 90°，则/ B = __________ 度；若E C = 1，AD = 4厘米，则CF = _____________ 厘米. AB 3 在平面直角坐标系中， O 是坐标原点•点P （m , n ）在反 图2 、 k 厂 比例函数y = X 的图象上.若m = k , n = k — 2,则k = ____________ ;若m + n = ,2k, OP = 2, k 且此反比例函数 y = -满足：当x > 0时，y 随x 的增大而减小，则 k =—— X 解答题（本大题共 9小题，共89分） 2 “ 2 ——1 V + X （本题满分8分）计算X 一 十J 厂+ 1. x x （本题满分8分）一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌，如果你只能有一次机会在 字中选中一个翻牌，（1）求得到一架显微镜的概率；9个数（2）请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是2 9.10. 11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 三、 18. 19.1 2 3 4 5 6 789翻奖牌正面一架 两张 谢谢显微镜球票 参与 一张 一副 一张 唱片 球拍 唱片 两张 一张 一副 球票唱片球拍翻奖牌反面(本题满分8分)已知：如图3, AB 是O O 的弦，点(1) 若/ OAB = 35°,求/ AOB 的度数； (2) 过点C 作CD // AB ,若CD 是O O 的切线，求证：点C 是AB 的中点.21. (本题满分9分)某种爆竹点燃后，其上升的高度h (米)和时间t (秒)符合关系式1h = v o t — 2g t 2 ( O v t W 2),其中重力加速度 g 以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以 V o = 20 米/秒的初速度上升， (1) 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明 理由. 22. (本题满分10分)已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.现给出四个条件：①AC 丄BD :②AC 平分对角线 BD :③ AD // BC :④ / OAD = Z ODA.请你以其中的三个 条件作为命题的题设，以“四边形 ABCD 是菱形”作为命题的结论，(1 )写出一个真命题，并证明；(2 )写出一个假命题，并举出一个反例说明.23. (本题满分10分)已知：如图4，在厶ABC 中，D 是AB 边上的一点，BD > AD ，/ A =Z ACD ，(1)若/ A =Z B = 30 °，BD =3,求 CB 的长；(2 )过D 作/ CDB 的平分线 DF 交CB 于F ，C若线段AC 沿着AB 方向平移，当点 A 移到点D 时，F判断线段AC 的中点E 能否移到线段 DF 上，并说明理由. ______________________________ADB20. 图3图424. (本题满分12分)已知抛物线的函数关系式：y= x2 3+ 2( a —1) x+ a2-2a (其中x是自变量)，(1)若点P(2，3)在此抛物线上，①求a的值；②若a> 0，且一次函数y= kx+ b的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个，不必写出过程) ；(2)设此抛物线与x轴交于点A (x1, 0)、B (x2, 0).若xi^^3< x2，且抛物线的顶点3在直线x= 4的右侧，求a的取值范围.25. (本题满分12分)已知：如图5, PA、PB是O O的切线，A、B是切点，连结OA、OB、OP,(1)若/ AOP = 60°,求/ OPB 的度数；A(2 )过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,判断直线CD与O O的位置关系，并说明理由①若/ COP = Z DOP，求证：AC = BD;②连结CD，设△ PCD的周长为I，若I = 2AP,图526. (本题满分12分)已知点P (m, n) ( m>0)在直线y= x+ b (0< b< 3)上，点A、B4 2 2在x轴上(点A在点B的左边)，线段AB的长度为3匕，设厶FAB的面积为S,且S=?b 2+ 3b，3(1 )若b = 2，求S的值；(2 )若S= 4，求n的值；(3)若直线y= x + b ( 0< b< 3)与y轴交于点C,A PAB是等腰三角形，当CA // PB时，求b的值.厦门市2007年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 选项A BDD AC C、选择题（本大题共 7小题，每小题3分，共21分）二、填空题（本大题共 8. 3. 9. 130 度. 10小题，每小题4分，共40 分）10.5.11. x >2.12.82千米/时.13. 台匕 冃匕.14. 20 C .15.5 16. 70 度2厘米.17.3; 2.三、解答题（本大题共 （本题满分8分） 2 , 2 解:匸1X + X x 9小题，共89分） 18. 2 2x — 1 x • ~~2~7~■x x + x 19. （本题满分 (1)解:8分) ]9.20. (x — 1)( x + 1) x — 1 + 1=x.x(x + 1) + 1解：••• 0A = OB ,” 1 分 •• / OAB = Z OBA . ” 2 分 • • / OAB = 35° , ” 3 分 •• / AOB = 110°. ”4 分（2）证明：连结0C ,交AB 于E .(1) 如得到“一副球拍”或得到“两张球票”或 “一架显微镜或谢谢参与” . （2）解：得到 （本题满分8分）CD 是O 0的切线, ••• 0C 丄 CD .CD // AB , • / OEB = Z OCD . • 0E 丄AB . •/ 0A = OB ,• △ AOB 是等腰三角形,OE 是等腰三角形 AOB 顶角的平分线.•••点C 是AB 的中点.21.(本题满分9分)(1)解：由已知得，15 = 20t — |x 10X t 2,整理得，t 2 — 4t + 3= 0.解得，h= 3, t 2= 1当t =3时，不合题意，舍去• •当爆竹点燃后1秒离地15米.2(2)解：由题意得， h =- 5t + 20t.20•顶点的横坐标t =-莎)=2.2或：h =— 5( t — 2) + 20•顶点的横坐标t = 2.又••• 一 5V 0,二抛物线开口向下.•在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升•22.(本题满分10 分)(1)真命题：如图，已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.若平分对角线BD , AD // BC ,则四边形ABCD 是菱形.证明：•/ AD // BC ,• / CBO =Z ADO .•/ AC 垂直平分 BD , • Rt △ AOD 也 Rt △ COB . • AD = BC .•四边形ABCD 是平行四边形.(2)假命题1:已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O.若AC 丄BD , AC 平分对 角线BD ，/ OAD = Z ODA ，则四边形 ABCD 是菱形. 反作等腰直角三角形 ABD ，/ A = 90°,以BD 为一边，作等边三角形 BCD ，连结AC 、BD 交于点O. 贝U AC 丄BD , AC 平分对角线 BD ，/ OAD = Z ODA”9分•/ AC 丄 BD , 四边形ABCD 是菱形.AC 丄 BD , ACD3分但四边形ABCD不是菱形. ，，10分假命题2 :已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AC丄BD, AD // BC, / OAD = Z ODA，则四边形ABCD是菱形. ”6分反例：作等腰直角三角形AOD，/ AOD = 90° .延长DO至B, AO至C,取OB = OC (OB M OD ).连结AB、BC、CD ,贝U AC 丄BD , AD // BC,/ OAD = Z ODA. ,, 9 分则四边形ABCD是等腰梯形，不是菱形•，，10分假命题3:已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AC平分对角线BD , AD // BC，/ OAD = / ODA，则四边形ABCD是菱形. ”6分反例：作等腰三角形AOD ( OA = OD，/ AOD丰90°).延长DO至B，AO至C，取OB= OC= OA = OD.连结AB、BC、CD，贝U AD 丰 AB，AC 平分对角线BD，AD // BC，/ OAD = / ODA. ,,9分则四边形ABCD是矩形，不是菱形.5510分23.(本题满分10分)(1)解：•/ /A =/ ACD = 30°，CF ••• / CDB = 60° . ,, 1 分E又T/ B = 30°，A D B• / DCB = 90° . ,, 2 分亠亠BC在Rt△ BDC 中，cosB = BD，553分厂血3BC —BD •cosB — 3 •—.v2 2554分(2)解: •/ / CDB — / A +/ ACD，且DF 是/ CDB 的平分线，• 2 / FDB —2/ A，• / FDB —/ A. •AC // DF.5分方法 1 T / FDB =/ A，/ B =/ B，△ BDF s\ BAC.DF = BDAC = BA.BD > AD, DF 1> —AC 2BD、1 -- 〉_BA 2•/ E是AC的中点，•AE >1.即DF > AE.点E可以移到线段DF上.10分方法2:记点M为线段AB的中点，T BD >AD,点M在线段BD上.过M作MN // AC交BC于N./ BMN = / A,Z B =Z B,△ BMN BAC.BN = BM = 1BC = BA = 2N是BC的中点.MN // AC, AC// DF MN // DF.点N在线段BF上.点M在线段BD上,••• MN v DF.••• M为AB的中点，N是BC的中点，AE v DF.•••点E可以移到线段DF上.方法3:记点M为线段AB的中点，T BD > AD,”8分MN = AE.”9分”10分点M在线段BD上.过M作MN // AC交BC于N. / BMN = / A,Z B =Z B,△BMN BAC.MN = BM = 1AC = BA = 2.1E 为 AC 的中点，••• MN = 2AC = AE.MN // AC , AC // DF , 点M 在线段BD 上， MN BM 彳DF BD MN v DF. AE v DF.点E 可以移到线段DF 上.方法4:如图，延长 DF 至G ,使得DG = AC.•四边形ADGC 是平行四边形. • CG // AB.•••/ CGF =Z FDB ，/ GCF = Z FBD .△ CFG BFD. GF = CG FD = DB . CG = AD , AD v DB.即 計• GF + FD v 2F D. • DG > 2.1 FD > 2AC.又••• E 是AC 的中点,24.(本题满分12分)(1 ［① 解：由题意得，3=4 + 2( a — 1) X 2 + a — 2a,”1 分 整理得，a 2+ 2a — 3= 0. ”2 分 解得，a 1=— 3, a 2= 1.”4 分9 / 12MN // DF.9分 10分CG DB v 1.• FD > AE.点E 可以移到线段DF 上. 9分 10分②解：y = x — 2.、.22(2)由题意得，x + 2( a — 1) x + a — 2a = 0解得，X 1 = — a , X 2 = — a + 2.解得一-,/3 v a v 2 — /3.3 1• 3 — a >4,解得 a v 4.3 I I1 8• S^- • AB • n , • -x- • n = 4.X 1< 3 v X 2,—a v” ：3 v — a + 2.可以解得顶点坐标为(1 — a , — 1).11分10分△ OCP ^A ODP.CP = DP.•/ FA 、PB 是O O 的切线， • FA = PB. .AC = BD.② 证明 1:连结 CD.•/ l = 2AP , PA = PB ,CD = AC + BD.•/ OA = OB ,且/ OAC = Z OBD = 90° .•/ OC 1 = OC , DC 1= DC , OD = OD , ••• △ OCDOCD.10 / 1225. 12分(本题满分12分)(2)① 证明：•••/ COP =Z DOP ，/ CPO = Z DPO , PO = PO ,(1).将厶OAC 绕点O 逆时针旋转，使点 A 与B 重合. 记点C 的对称点为 C 1,. AC = BC 1,OC = OC 1.vZ OAC =Z OBD = 90°,•••点 C 1在PB 的延长线上.过O 作OE 丄CD , E 是垂足.即0E 是点0到直线CD 的距离, 112 X CD® 2 X CD &0B = OE.直线CD 与O O 相切.证明 2:过 O 作 OE 丄CD.设 OE = d , CE = x, DE = y.2 A —2 , A —22_122 , . -.22d = AC + AO — x , d = BD + AO — y ,••• AC 1 4— BD 2+ y 2— x 2= 0”8 分••• ( AC + x)( AC — x) = (BD + y)( BD — y)l = 2AP , FA = PB , • x + y = AC + BD.”9 分AC — x = y — BD.• ( AC + x)( y — BD) = (BD + y)( BD — y). (y — BD) (AC + x + BD + y )= 0.• ( AC + x + BD + y )M 0, - -y — BD = 0.BD = y.• d = AO. •直线CD 与O O 相切.26.(本题满分12分)32 9 23 (1)解：• b = -，• S = x + x-23 4 3 2=5 =2.” 2 2 2 (2)解：• S = 4,• 4 = 3b + 3b.• b 2 + b — 6 = 0. 解得 b =— 3 (舍去)，b = 2.• AB 的长度为3.4 1 1 ，2 3n = 3.2 2 1⑶解：• S = 3b 2 + 3b , S = 2 •丨 AB| • n ,11分 12分10分11分 12分1分2分 3分4分5分 6分31 42 2 2 2 • §b • n = 3b + 3b. ■/ b z 0,n = b + 1. /• m + b = b + 1./• m = 1.P (1, b +1)过P 作PD 垂直x 轴于点D ，则点D (1 , 0). 4 1PD — AB = b + 1 — 3b = 1 — 3b. ” 8 分 1■/ 0 v b v 3,二 1 — §b > 0.”9 分••• PD > AB. •/ PA > PD , PD >AB ,「. PA > PD > AB ，即 PA >AB. •••PA 工 AB.同理 PB z AB”10 分2 2••• △ PAB 是等腰三角形，• PA = PB. • A (1— 3b , 0), B (1+ -b , 0)方法 1：v CA // PB ,••• / OAC =Z DPB ,• Rt △ AOC s Rt △ BDP.23• 4b — b — 3 = 0. •- b = 1 或 b = — 4 (不合题意，舍去)b = 1.方法2:延长PA 交y 轴于点C 1,v PA = PB ,/ CAO = Z PBA =Z PAB =Z OAC 1• OC 1= OC ,• C 1 (0, — b ).设直线 PA 的解析式为：y = kx +1. "k + t = b + 1, "k = 2b + 1, 则有* 解得，’L. t =— b. L_t =— b.•直线PA 的解析式为：y = (2 b + 1)x — b.” 11分/ 2 2--0 = (2 b +1) (1 — 3b )— b.•- 4 b — b — 3 = 0.3CO = OA PD = DB1 — 3b11分3b12分Rt △ AOC 也 Rt △ AOC .•- b= 1或b=—4 (不合题意，舍去).•b= 1. ”12分。
小学数学六年级毕业试卷(附：试卷命题意图、参考答案及评分标准)
小学数学六年级毕业试卷(附：试卷命题意图、参考答案及评分标准)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1学校 班级 姓名…………………………………密…………………………………封…………………………线……………………………………二.选择题。
（请将正确答案的序号填在括号里。
）（每小题2分，共12分）1.把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）. A.1：100 B. 1：99 C. 1：101 小学数学六年级毕业试卷（时间：90分钟 满分：100分）题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分1.据全国第六次人口普查统计截止2010年11月，我国人口已达1339730000人，这个数读作（ ），省略“亿”位后面的尾数约是（ ）人。
2. 3分24秒=（ ）分3.5米=（ ）米（ ）分米 1吨50千克＝（ ）吨3. 12和24的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
4.从5月1日“劳动节”到10月1日“国庆节”共有（ ）天。
5.工地上有a 吨水泥，每天用去b 吨，用去6天后还剩下（ ）吨。
6.三角形的内角度数的比是1：2：6，这个三角形是（ ）三角形。
7.（ ）÷15= 45 =1.2：（ ）=（ ）%=（ ）（填小数）=（ ）成。
8.圆的周长和直径（ ）比例。
一个数与它的倒数成（ ）比例。
9.六⑴班男生人数占全班的95，女生人数与男生人数的比是（ ）。
10.鸡兔共有20个头，70只腿。
鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
11.妈妈为女儿存入银行2000元做学费，定期二年，如果年利率按2.25%计算，到期时应得利息（ ）元。
12.一个盛满水的圆锥形容器，水深18厘米，将水全部倒入和它等底等高的圆柱形容器里，水深是（ ）厘米。
2.4x+8错写成4（x+8)结果比原来（ ）. A.多4 B.少4 C.多24 Ｄ.小63.下面各数中，只读出一个零的数是（ ）. A.600606 B.606600 C.6060604.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（ ）.A.1：2πB.1：πC.2：π5.某工厂男职工人数是女职工人数的60%，男职工人数比女职工人数少（ ）% .A.60%B.37.5%C.40%6. 从正面看到的形状为（ ）.三.判断题。
人教版数学六年级下册毕业试卷(附：试卷命题意图、参考答案及评分标准)
人教版数学六年级下册毕业试卷一、填空并不难，全对不简单，可要仔细哦！（共23分）1、一个多位数，百万位和百位上都是6，十万位和十位上都是8，其它各位上都是0，这个数是（ ），改写成以“万”为单位的数是（ ）。
2、（ ）的32是26。
3、如果a ⨯4=b ⨯5，那么a:b=( ):( )4、把1g 盐放入100g 水中，盐和盐水的比是（ ）。
5、把229%、3.30、2.3、10023按从大到小的顺序排列在第三位的是（ ）。
6、2.5时=( )时( )分 42公顷=( )平方米7、某房间长4米，宽3.2米，高3米，地面铺的是边长为0.4米的方砖。
算一算，装修时至少用了（ ）块方砖。
8、把一个棱长为6cm 的正方体切成棱长为2cm 的小正方体可以得到（ ）个小正方体，表面积增加了（ ）。
9、45和81的最大公因数是（ ），把20分解质因数（ ）。
10、一个圆锥形的煤堆，底面半径是1.5m ，高是1.1m 。
这个煤堆的体积是（ ）。
11、将比例尺1:30000000用线段比例尺表示出来。
（ ）12、一个长5cm ，宽3cm 的长方体按4：1放大，得到的图形面积是（ ）cm 2。
13、如果y=5χ，y 和χ成（ ） 比例。
14、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。
至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
15、一种商品打七折销售，“七折”表示（ ）。
如果这种商品原价是100元，现在便宜了（ ）元。
16、王大妈存入银行100元钱，年利率是2.25%，一年后可得税后利息（ ）元。
17、找规律：3、9、11、17、20、___、____、36、41……二、下面的说法对吗？正确的在括号打“√”，错误的打“×”。
（共5分） 1、圆锥的高是圆柱的高的3倍，它们的体积一定相等。
（ ） 2、一个数的倒数不一定比这个数小。
（ ） 3、五年级一班今天出勤50人，缺勤1人，缺勤率为2%。
文理科数学试题参考答案及评分标准
2011年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验文理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选B．【解析】∵{}0M x x=>，{}01N x x=<<，∴M N N=．2．选A．【解析】1112ω-===-⎝⎭⎝⎭．3．选A．【解析】两圆的圆心分别为12(0,0),(2,2)C C，则1220120C Ck-==-，线段12C C的垂直平分线l的斜率为1-，中点为()1,1，于是l的方程为1(1)y x-=--，即20x y+-=．4．选D．【解析】设1AF m=，则22A F m=，12F F=，∴12123F FeAF AF==+．5．选B．【解析】22160(20505040)4.233 3.841(2050)(4050)(2040)(5050)K⨯⨯-⨯=≈>++++．6．（文科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos263y xππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭1cos24xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以4Tπ=．（理科）选C．【解析】平移后的函数解析式为1cos24y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据对称轴的意义由()124x n nππ-=∈Z22x nππ⇒=+，所以2xπ=是平移后的函数图象的一条对称轴．7．选C．【解析】若a b⊥，由bβ⊥，得aβ⊂或a∥β，又aα⊥，从而αβ⊥；若αβ⊥，由aα⊥，可得aβ⊂或//aβ，而bβ⊥，于是a b⊥．8．选C．【解析】由已知01n m<<<，则22m n>，所以③错；在同一坐标系中作出2,3x xy y==的图象可知①可能成立；在同一坐标系中作出23log,logy x y x==的图象可知②可能成立．9．（文科）选A ．【解析】∵x ∈R ，且()()()xx f x e e f x ----=-=-．（理科）选A ．【解析】易知()f x 的定义域为R ，而()()ln10f x f x -+== ∴()()f x f x -=-．10．选B ．【解析】设此长方体的长，宽，高分别为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意有222384ab ac bc ++= …①，444112a b c ++=…②，由①②得222400a b c ++=，因为此长方体各顶点在同一个球面上，故其体对角线的长就是这个球的直径，于是()22224002a b c r ++==，故10r =．11．选C ．【解析】由()()f a f b =，得2222a b -=- …①当a b <≤时，22a b >≥2，∴2222a b ->-≥0，∴2222a b ->-，与①不符；当a≤0b <<时，由①得2222a b -=-，224a b +=>2ab ，∴02ab <<；当0a b <<时，222b a <<，22022a b <-<-，∴2222a b -<-，与①不符．综上，02ab <<．12．选C ．【解析】过抛物线2y x =的焦点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点11(,)M x y ，延长线段MF 交直线14x =-于点N ，则114x >，直线MF 的方程可设为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时点N 的坐标为11,42k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴NF =111144MF x =-=+111144x x ⎫-=+⎪⎭，∴)2121144x k==∴212MF k +=∴2112MF NF +==．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．填(1)2n n +．【解析】由已知得414181273a q a -===，3q =，∴13n na q a +==∴113133log log log 1n n n n n na b b a a a +++-=-==，131log 1b a ==，∴n b n =，n S =(1)2n n +． 14．（文科）填45．【解析】表示直线220x y +-=上的点(),x y 到原点的距离，其最小值为原点到该直线的距离5d ==，∴22x y +的最小值为245d =．（理科）填576．【解析】()3322324576A A A =．15．（文科）填122x ≤<．【解析】依题意知0213x ≤-<． （理科）填01a <<．【解析】1()a x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，当(,0]a ∈-∞时，函数()y f x = 在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意；当(0,)a ∈+∞，()y f x =在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是减函数，max 1()ln 0f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，∴01a <<．16．填()0,2．【解析】根据题意及平行四边形法则，易知01,01x y <<<<，若点P 在BC边上，由三点共线的充要条件，知1x y +=．又点P 在ABC ∆内，故01x y <+<．这样，问题转化为在约束条件01,01,01x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩下，求目标函数2z x y =+的取值范围问题．所以2x y +的取值范围是()0,2． 三、解答题（共6小题，共70分） 17．（Ⅰ）∵cos (3)cos b C a c B =-由正弦定理得，sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-∴sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，即s i n ()3s i n B C A B+=，sin 3sin cos A A B =，∵sin 0A >，sin 0B >，∴1cos 3B =，∴sin 3B ==． …6分（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，而2b =，a c =，1cos 3B =∴2222422cos 3b a a B a =-=，∴2443a =，23a =，∴211sin sin 22ABC S ac B a B ∆=== …12分 18．（文科）记这4条没被污染的罗非鱼分别为,,,a b c d ，2条被污染的罗非鱼分别为,e f ．则选取罗非鱼的所有可能结果为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15．（Ⅰ）记 “从这6条鱼中，随机地抽出2条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df 基本事件数为8．∴()815P A =；…6分 （Ⅱ）记“至多有1条鱼汞超标”为事件B ，“2条鱼都汞超标”为事件C ，其可能结果为ef ，故()115P C =，∴()()114111515P B P C =-=-=. …12分（理科）（Ⅰ）记“15条鱼中，随机地抽出3条，恰有1条鱼汞超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ⋅==. …4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率为51153P ==，则 ()21231222339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …8分（Ⅲ）依据条件，η服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，η的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C η-===.∴2445012319191991E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或由公式Mn E Nη=，得1E η=）…12分19．（Ⅰ）取BC 的中点O ，连接,OA OD ，∵AB AC =，∴BC OA ⊥∵BCD ∆是正三角形，∴BC OD ⊥，又OA O D O =∴BC ⊥面AOD ，∴AD BC ⊥ …6分（Ⅱ）（文科）由（Ⅰ）的证明过程知平面AOD 将四面体ABCD 分成两个相同的三棱锥，在AOD ∆中，12OA OB BC ===AD =，sin 60OD BD =︒=∴222cos 2OA OD AD AOD OA OD +-∠==⋅，sin AOD ∠=∴1sin 24AOD S OA OD AOD ∆=⋅⋅∠=∴112236ABCD B AOD AOD V V S OB -∆==⋅⋅⋅= …12分 （理科）在AOD ∆中，2OA =，AD =sin 602OD BD =︒=∴222cos 23OA OD AD AOD OA OD +-∠==-⋅，sin 3AOD ∠=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，则()sin 1h OD AOD π=⋅-∠=， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(,,)x y z =n 是平面ACD 的一个法向量，而()0,,AD CD ⎫==⎪⎪⎝⎭则0z x y -=-=⎪⎩，令z =1y =，1x =-，∴(1,1=-n，又22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设AB 与平面ACD 所成角为θ，则sin cos ,AB AB ABθ⋅=<>==n n n 45θ=︒． …12分 20．（Ⅰ）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为(,)M x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，且122x x x +=，122y y y +=，于是 2222x y a b +=2122()4x x a +2122()4y y b ++=2222112212122222222214x y x y x x y y a b a b a b ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭12122222124x x y y a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…① 由22OA OBb k k a ⋅=-，即212212y y b x x a⋅=-⇒1212220x x y y a b += …②由①②得22221x y +=，则点M 的轨迹方程为22221x y +=…6分（Ⅱ）（文科）由已知 2211221x y a b +=，…③，2222221x y a b += …④，212212y y b x x a⋅=- …⑤．（1）当AB x ⊥轴，即12x x =时，由③④得12y y =-，再由⑤得2211220x y a b-=∴12x x ==，12y y =-=，此时12022x x x +==±，12002y y y +==，即,0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 直线AB的方程为2x a =±. （2）当AB 不垂直于x 轴，即12x x ≠时，由③④得，22221212220x x y y a b --+=即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++= …⑥由⑥得直线AB 的斜率2121221212y y x x b k x x y y a -+==-⋅-+ ∴直线AB 的方程为：1y y -=212212x x b y y a +-⋅+1()x x - …⑦由⑦变形得12112122()()()()0x x x x y y y y a b+-+-+=，并结合①⑤得 121222()()1x x x y y ya b+++= …⑧，而1202x x x +=，1202y y y += …⑨ 由⑧⑨得0022221x x y y a b +=，又情形（1）也符合 0022221x x y ya b+=． 故所求直线AB 的方程为0022221x x y ya b+=． …12分 （理科）设以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 为圆心的圆P 的半径为r ，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则该圆P 的方程为22200()()x x y y r -+-= 直线,OA OB 的方程分别为1y k x =，2y k x =． ∵直线OA 与圆P相切，∴r =，即2221100(1)()k r k x y +=-，则2222201001()20r x k x y k r y -++-= …③同理 22222020020()20r x k x y k r y -++-= …④由③④知12,k k 是关于t 的一元二次方程222220000()20r x t x y t r y -++-=的两个实数根，∴220r x -≠，∴22012220r y k k r x -=-，又2122b k k a =-，∴2222r y r x --22b a =- ∴222200220r x r y a b --+=，即 2222002222x y r r a b a b+=+， 又点00(,)P x y 在椭圆上，即2200221x y a b +=，∴22221r r a b+=，即22222a b r a b =+，故该圆的半径为22a b+． …12分 21．（文科）（Ⅰ）已知()x f x e =，则()x f x e '=，∴曲线()x f x e =在点(),a a e 处的切线斜率a k e =∴所求切线l 的方程为()a a y e e x a -=-，即a a a y e x e ae =+- …① …4分 （Ⅱ）切线l 与曲线()ln g x x =相切，设切点为()11,ln x x ，又()1g x x'=同理曲线()ln g x x =在点()11,ln x x 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=- 即111ln 1y x x x =+-…② 由①②得()()1113ln 14a a a e x e ae x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，由⑶⑷得1a ae ae a -=-- …⑤ 令() 1.aaF a ae e a a =---∈R ，所以()1 1.aaaaF a e ae e ae '=+--=-当0a ≤时，()0F a '<，又0a >时，()F a '单调递增，()10F '>，由零根定理知在区间()0,1之间有一个根α，使()0F α'=. ∴其中0∵()()()()2211202130,230120F F e F e F e --⎧=-<⎧-=->⎪⎪⎨⎨=->-=-<⎪⎪⎩⎩ 由a 为()0F a =的一个解∴a 的值是()2,1--与()1,2范围的一个. …12分 （理科） （Ⅰ）[]()()()1xF x ef x f x -''=--，由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '--≤0，于是()0F x '≤，即()F x 在[)0,+∞上单调递减.因此()F x ≤(0)(0)11F f =+=， ∴max ()1F x =； …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()F x ≤1，即[]()1x e f x -+≤1()f x ⇔≤1xe -令[]()1()x G x e f x -=-，则[]()()1(x G x e f x f x -''=--+由于()()f x f x '-≤1，所以()()1f x f x '-+-≤0，于是()G x '≤0， 即()G x 在[0,)+∞上单调递减，因此()G x ≤(0)1(0)1G f =-= 即[]1()xef x --≤1()f x ⇔≥(1)x e --于是x ∀≥0，有()f x ≤1xe -． …12分22．（Ⅰ）连接BF ，∵AF 是圆O 的直径，DE 与圆O 切于点F ，∴AF DE ⊥，又点B 在圆O 上，∴90ABF ∠=︒，AFB D ∠=∠，又AFB ACB ∠=∠， ∴ACB D ∠=∠，而ACB ∠是四边形BDEC 的一个外角∴,,,B C D E 四点共圆； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ACB D ∠=∠，ABC E ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆，∴AB AEAC AD=，即AB AD AC AE ⋅=⋅． …10分23．（Ⅰ）由4y t =得2216y t =，而24x t =，∴24y x =，它表示抛物线； …3分 （Ⅱ）设直线AB 和CD 的倾斜角分别为α、β，则直线AB 和CD 的参数方程分别为2cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ …① 和 2cos ,2sin .x t y t ββ'=+⎧⎨'=+⎩ …② 把①代入24y x =中，得 22sin (4sin 4cos )40t t ααα+--= …③依题意知sin 0α≠且方程③的判别式2216(sin cos )16sin 0ααα∆=-+>∴方程③有两个不相等的实数解1t ，2t ，则 1224sin t t α-= …④ 由t 的几何意义知1PA t =，2PB t =∴1224sin PA PB t t α⋅==…⑤ ，同理24sin PC PD β⋅= …⑥ 由PA PB PC PD ⋅=⋅ 知24sin α24sin β=，即22sin sin αβ= ∵0≤,αβπ<，∴απβ=-，∵AB CD ⊥，∴90βα=+︒或90αβ=+︒ ∴直线AB 的倾斜角4πα=或34π，∴1AB k =或1AB k =- 故直线AB 的方程为y x =或40x y +-=． …10分 24．∵110a a ++->，对于a ∀∈R ，不等式()11()a a f x ++-≥4a 恒成立⇔()f x ≥411a a a ++-恒成立，只需()f x 不小于411a a a ++-的最大值．∵11a a ++-≥(1)(1)a a ++-2a =0> ，当且仅当()()11a a +-≥0，即a ≥1时取等号，故4(1)(1)a a a ++-≤422a a=，即411a a a ++-的最大值为2，∴根据题意有1x x ++≥2 …①当1x <-时，①可化为1x x ---≥2，解得x ≤32-； 当1-≤0x <时，①可化为1x x -++≥2，解得x ∈∅；当x ≥0时，①可化为1x x ++≥2，解得x ≥12．综上，x ≤32-或x ≥12． …10分以上各题的其它解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
人教版小学六年级数学毕业升学试卷(附：试卷命题意图、参考答案及评分标准)
人教版小学六年级数学毕业升学试卷（满分100分，时间100分钟）亲爱的同学们，转眼间已小学毕业了。
人生离不开考验，每一次考验都是一种经验，一种收获，更是一种开始。
这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光。
请认真审题，看清要求，仔细答题，祝你取得好成绩！一、认真思考，正确填空。
（20分，每空1分）1、2012年伦敦已成功举办了第30界奥运会，全球有4120500000人收看了电视转播，改用“万人”作单位是（ ）万人，省略亿后面的尾数约是（ ）亿人。
2、（ ）÷15= 45 =1.2：（ ）=（ ）%=（ ）（小数）=（ ）成。
3、6.4千克=（ ）克 3分24秒=（ ）分 1.02升=（ ）毫升4、六年级同学看抗震救灾记录片的出席率为98%,出席人数与缺席人数的比是（ ）。
5、画圆时圆规两脚叉开的距离是2厘米，画出半圆的周长是（ ）厘米。
6、 A 和B 是两个不为0的自然数，A 除以B 的商是3，则A 和B 的最大公因数是（ ）。
7、三角形的内角度数的比是1：2：6，这个三角形是（ ）三角形。
8、如果y=8x，那么，x 和y 成（ ）比例。
9、陈老师买5000元国债（国债利息不纳税），定期3年，年利率为2.89%，到时候他可以获得本金和利息共（ ）元。
10、盒中有红色、白色的球各4个，任意摸出一个，摸到红球的可能性是（ ）。
11、一个盛满水的圆锥形容器，水深18厘米，将水全部倒入和它等底等高的圆柱形容器里，水深是（ ）厘米。
12、有2元和5元的人民币共30张，合计人民币75元，则2元的有（ ）张，5元的有（ ）张。
二、反复比较，择优录取。
（10分，每题2分） 1、下面各数中，只读出一个零的数是（ ）A 、600606B 、606600C 、606060D 、660000 2、把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）A 、1：100B 、 1：99C 、 1：101D 、无法判断3、某省统计近期禽流感疫情，既要知道每天患病动物数量的多少，又能反映疫情变化的情况和趋势，最好选用（ ）。
福建中考数学试题及答案评分细则
福建中考数学试题及答案评分细则一、选择题部分（共40分）选择题部分共有20小题，每小题2分。
考生需要在答题卡上选择正确答案，并将对应题号的答案涂满。
二、解答题部分（共60分）解答题共有四个小题，每小题15分。
1. 第一小题（题目要求描述）评分细则：- 0分，完全没有解答或解答错误。
- 1-7分，部分正确解答，但出现严重错误或缺少重要步骤。
- 8-11分，基本正确解答，但出现较小错误或未展示完整解题过程。
- 12-15分，完整的正确解答，包含必要的步骤和合理的推理。
2. 第二小题（题目要求描述）评分细则：- 0分，完全没有解答或解答错误。
- 1-7分，部分正确解答，但出现严重错误或缺少重要步骤。
- 8-11分，基本正确解答，但出现较小错误或未展示完整解题过程。
- 12-15分，完整的正确解答，包含必要的步骤和合理的推理。
3. 第三小题（题目要求描述）评分细则：- 0分，完全没有解答或解答错误。
- 1-7分，部分正确解答，但出现严重错误或缺少重要步骤。
- 8-11分，基本正确解答，但出现较小错误或未展示完整解题过程。
- 12-15分，完整的正确解答，包含必要的步骤和合理的推理。
4. 第四小题（题目要求描述）评分细则：- 0分，完全没有解答或解答错误。
- 1-7分，部分正确解答，但出现严重错误或缺少重要步骤。
- 8-11分，基本正确解答，但出现较小错误或未展示完整解题过程。
- 12-15分，完整的正确解答，包含必要的步骤和合理的推理。
三、评分规则1. 选择题部分总分40分。
每题2分，答对得2分，不答或答错不得分。
2. 解答题部分总分60分。
每题15分，根据评分细则给出相应分数。
四、注意事项1. 答题时请认真审题，按要求进行解答。
2. 在解答题部分，要清楚地写出解题步骤和推理过程。
3. 注意书写工整，保持解答纸的整洁。
4. 审题过程中，如出现难解的问题，请耐心思考或咨询监考老师。
5. 评分时，会针对每个解答题给出相应的分数，并将合计作为最后得分。
吉林省2024届高考考前最后一卷(新高考新教材)数学答案全解全析及评分标准
2024届高考考前最后一卷（新课标II 卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】因为2{|5240}{0,1,2,3,4,8}A x x x N ,,{2,0,2,4},B 所以{0,2,4}A B ．故选B ． 2．C 【解析】令i(,)z a b a b R ，则i 2(i)3i 1a b a b ，所以23b b ，解得1b .故选C ．3．D 【解析】因为12AC CB ，所以1(),2OC OA OB OC 所以3115(1,2)(3,0)(,2)2222OC OA OB ,所以54(,33OC ，所以点C 的坐标为54(,33．故选D ． 4．A 【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有44A 种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排列有2223A A 种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率222344A A 1A 2P ．故选A ． 5．D【解析】由题意，知34a .由3a ，10，62a 成等差数列，得63202aa ，所以632a ，所以等比数列{}n a 的公比2q ，所以3121a a q ，438a a q ，47364a a q ，所以14773a a a .故选D ．6．C 【解析】设椭圆C 的半焦距为(0)c c ，因为点Q 在x 轴上，且1223PQ PF PF ，所以13，所以114 ．由13 ，得121233PQ PF PF ，所以1212()()33PQ PF PF PQ ，即121233F Q QF,所以122F Q QF ，即12||2||F Q QF .因为PQ 平分12F PF ，所以1122||||2||||1PF F Q PF QF . 又12||||2PF PF a ，所以14||3a PF，22||3a PF ． 在12PF F △中，由余弦定理的推论，得222222221212122124220()((2)4||||||1339cos 42162||||42339a a a c c PF PF F F F PF a a a PF PF，化简，得2223c a ，即椭圆C 的离心率e ．故选C ．7．B 【解析】二次函数2y x x 图象的对称轴是直线2x，当2x时，2y x x 单调递减，2e xxy 也单调递减，当2x时，2y x x 单调递增，2e xxy 也单调递增.因为2e nnn a 中的自变量n 为正整数，所以由*10,n n a a N ，得1921222，所以2119 ，所以“21 ”是“*10,n n a a N ”的必要不充分条件．故选B ． 8．A 【解析】1e 1ln(0)x x m m m等价于ln e 1ln(1)ln x m x m ， 令ln e x m t ，则1ln(1)(ln )t x t x ，即ln ln(1)1t t x x ． 而ln y x x 在(0,) 上单调递增，所以1t x ，即e 1x m x ，即1e xx m ． 令1()((1,))e x x f x x，则2()exxf x ，当(1,2)x 时，()0,()f x f x 单调递增， 当(2,)x 时，()0,()f x f x 单调递减，所以()f x 在2x 处取得极大值，即最大值为21(2)e f ，所以21e m．故选A ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
小学四年级数学试卷参考答案和评分标准(仅供参考)
小学四年级数学试卷参考答案和评分标准(仅供参考)一、小小知识窗，显我本领强。
（每格1分，共20分）1）870070000 ，87007 ，9。
2）80 ，40 ，3200。
3）30 ，两。
4）两，一，0。
5）144º，36º、。
6）平行，垂直。
7）4或3、2、1、0， 5或6、7、8、9。
8）3 ，7，4。
二、仔细斟酌，做个小判官！（对的打“√”，错的打“×”）（共5分）1、√2、×3、×4、×5、×三、精挑细选，我最棒！（把正确答案的序号填在括号里）（共5分）1、B2、 C3、 A4、 D5、 C四、算一算，相信你一定能行。
（共32分）1、直接写出得数。
（8分，每题0.5分）略2、笔算。
（16分，每题4分）略3、列式计算。
（8分，每题4分）（1）列式正确给3分，计算正确给1分（2）列式正确给3分，计算正确给1分（1）70º（2）略（3）略六、走进我们的生活，解决问题。
（第1题6分，第5题8分，其余各5分，共29分）1、（1）825÷33=25（车）（2）40×825=33000（元）或825×40=33000（元）2、440÷5×15 给3分或440÷5=88（千米）给3分=88×15 给1分 88×15=1320（千米）给2分=1320（千米）给1分答：略3、（1300-20）÷16 给3分 1300-20=1280（千克）给3分=1280÷16 给1分 1280÷16=80（千克）给2分=80（千克）给1分答：略。
4、108×25=2700（元） 2700元＞2500元给4分答：钱不够。
给1分5、（8分，每小题2分）（1）统计图画得规范、美观给2分（2）316（3）165÷50=3 (15)答：中国获得的金牌数是日本金牌数的3倍还多15枚。
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准（A 卷和B 卷）第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（）A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（） A．3-B．6-C ．1D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为.9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝.AB CD EF10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（） A． B ．15CD． 4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（） A ．12B．2C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为. 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20，AD＝AC 的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd ＋de＋ea最小，则这个最小值为.第二试（A）1．（20分）关于xx有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN＝MD.3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .（1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+，AB CD EFG∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==）时，22x y +取得最小值，最小值为2(21)36---=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数， ∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长， ∴所求概率为112.9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°. 又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°.又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ， ∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ， ∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ， ∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤，故22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠====. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE . 设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE =在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2）， 此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++； 交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小. 当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x >，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，dddd e图1图2图3图4图5此时方程①有唯一解x =综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD . 又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD . 3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--=①， 方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a =.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当ab =时，11112M a b =+++取得最小值2.2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ，则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α.∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α，∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α，∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α.又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ，∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ，∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数，则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数.注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+，∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1.∴满足条件的正整数k ＝1.。
数学分析试题(一)答案及评分标准 - 陕西师范大学
数学分析试题（一）答案及评分标准一、填空（每题3分）1． ]10,0(2．2)()(x f x f −+，2)()(x f x f −− 3．52 4．，1=a 1−=b 5．0二、求极限（每题5分）1．=++++++∞→n n 313131212121222L L lim )(lim )(lim n n n n 31313121212122++++++∞→∞→L L ……………………………(1分) =3113113121121121−−−−∞→∞→))((lim ))((lim n n n n ……………………………………………………………(2分) 2=……………………………………………………………………………(2分) 2．))()((lim 22221111n n nn ++++∞→L 22221211110n n n n n +≤++++≤)()(L ……………………………………………(2分) 利用夹逼原则，…………………………………………………………………(1分) 可求得021111222=++++∞→))()((lim n n n n L ．……………………………………(2分) 3．=−−++∞→902070155863)()()(lim x x x x 9090207090155863()()(lim xx x x x x −−++∞→………………………(2分)=902070155863)()()(lim xx x x −−++∞→…………………………………………………..(1分) 902070583⋅=…………………………………………………………………..(2分) 4．x x x sin )(tan lim 0→= ………………………………………………..(1分) )ln(tan sin lim x x x e 0→x x x x e tan ln sin lim lim 00→→=x x x x e sin tan ln lim lim 100→→=………………………………………………(1分)x x x e sin sec lim 20→−=…………………………………………………………………(2分) 10==e ………………………………………………………………………(1分)5．))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→ n n n x x x x x x x x x x 22222222212sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin L L +==== …………………………………………………………………………………..（2分）=∞→)cos cos cos (cos lim n n x x x x 2222L 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim …………………………….(1分) 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim =x x x xn n n 2222sin sin lim ⋅∞→x x 22sin =………………………………...(1分) ))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→=1220=→x x x sin lim …………………………(1分) 6．)sin (lim x x x 22011−→=)sin sin (lim xx x x x 22220−→………………………………………..(1分) =)sin sin (lim xx x x x 22220−→=x x x x x x x 2222220sin sin sin lim +−→……………………………….(1分) xx x x x x x 22222220cos sin sin cos lim++−=→……………………………………………(1分) xx x x x x x 2226232220sin cos sin sin lim −+−=→…………………………………………(1分) 31−=．…………………………………………………………………………(1分) 三、计算（每题5分）1．22xx x x x x y tan sec )tan (−=′=′ 2．)ln )11(ln()1111(ln 2′−−−=′−++−−+=′x x x x xx y ………通过分母有理化先将化简………………………………………………………………………………..(2分) y xx x x x x 1111111222−−⋅−−=′−−−)ln )(ln(………………………………(2分) 2111111x x x x xx y −=′−++−−+=′)(ln ……………………………………………(1分)3．……………………………………………………...(2分))()(ln sin sin ′=′=′x x x e x y )ln (sin )(sin ln sin ′⋅=′x x e e xinx x x …………………………………………………..(1分) )sin ln (cos )ln (sin sin sin xx x x x x x e y x xinx +=′⋅=′………………………………..(2分) 4．，则……………………………………………...(1分) 31x x f =−)(31)()(+=x x f 213()(+=′x x f )…………………………………………………………………(2分) 2)2(3)1(+=+′x x f ………………………………………………………………(1分) 231x x f =−′)(…………………………………………………………………..(1分)5．，则⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos t t t a t t a dx dy tan sin cos cos sin −=−=2233……………………………(2分) ⎪⎩⎪⎨⎧−==x dxdy t a x tan cos 3，则t t a t t a x dx y d sin cos sin cos sec 42222313=−−=…………………...(3分) 6．设，由于x x x y −=ln x x x x y ln )ln (=′−=′………………………………(3分)xdx dy ln =……………………………………………………………………(2分)四、由于∞=−+−→13221x x x x ))((lim，1=x 是垂直渐近线……………………(1分) 21322=−+−∞→xx x x x )())((lim ……………………………………………………….(2分)=−−+−∞→)))(((lim x x x x x 2132241124=−−∞→x x x lim ……………………………….(2分) 因此也具有斜渐近线42+=x y ．……………………………………..(1分) 五、x x x f 2ln )(=，由0222=−=′xx x x f ln ln )(，可解出1=x ，……..(2分) 2e 当时，；当时，10<<x 0<′)(x f 21e x <<0>′)(x f ；当时， x e <20<′)(x f ……………………………………………………………………………………(2分) 所以是的极小值，1=x f 01=)(f ；是的极大值，. 2e x =f 224−=e e f )(…………………………………………………………………………………….(2分) 六、证：令⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0120x x x x x f ,],(,sin )(π…………………………………………(1分) f 在],[20π上连续．当),(20π∈x 时，022<−=−=′xx x x x x x x x f )tan (cos sin cos )(， 所以在f ],[20π上严格递减，………………………………………………..(3分) 因此),(20π∈x 时， 1022=<<=)()()(f x f f ππ 即x x x<<sin π2．…………………………….(2分)七、不妨假设在上不恒正也不恒负，…………………………..(1分) f ],[b a 即存在，满足],[,b a x x ∈′′′0>′)(x f ，0<′′)(x f ，…………………………(2分) 由连续函数的介值定理，……………………………………………………(2分) 则存在),(x x x ′′′∈0，使得00=)(x f ………………………………………….(1分) 这与已知矛盾．……………………………………………………………….(1分)。
数学评分标准(此答案只供参考)
数学评分标准(此答案只供参考)一年级：一、口算：每小题0.2分二、填空；三、判断题按要求每空给分。
四、计算题第3小题每空0.5分，第4小题列式和计算结果各占0.5分。
其余按要求每空给分。
五、看图列式：列式和计算结果各占2分。
三年级：一、填空：第8小题：涂一涂占0.5分，比一比占0.5分。
其余按要求给分。
二、判断题，三、选择题，按要求给分。
四、计算：第2题用竖式计算：①②③小题计算占2.5分，横式写结果0.5分，④⑤计算占2分，验算1.5分，横式写结果0.5分。
五、实践操作：1、填空各1.5分，写原因2分。
2、能画出正确的长方形4分，涂对颜色占4分。
六、解决问题：1、（18+17）×3……..2.5分=35×3……………..3.5分=105（人）………..4.5分(结果和单位各占0.5分)答:………………5分2、520×5……………2.5分=2600(千克)……….4分(结果1分,单位0.5分)3吨=3000千克………5分2600千克＜3000千克……5.5分答:………………………….6分3、9×40－72…………..3分=360－72……………..4分=288(千克)……………5.5分(结果1分,单位0.5分)答：……………………..6分4、(1) 10－3×3…………..1分=10－9………………1.5分=1(元)……………….2.5分(结果0.5分,单位0.5分)答：…………………….3分(2)328＋203……………2.5分=531(元)………………. 3.5分550－531…………….4.5分=19(元)…………………5.5分答：…………………..6分(注：2个单位共占0.5分)一、填空题：注意第7小题答案不唯一，其余按各题要求给分。
二、第二题选择、第三题判断按要求给分。
四、计算：3、笔算：没带★号的，每小题3分，其中竖式计算2.5分，横式写结果0.5分。
高一数学月考题题答案及评分细则
太原五中2023—2024学年度第二学期阶段性检测数学试题参考答案及评分标准第9题选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，全部选对得6分，有错选得0分；第10题和11题选对一个选项得3分，全部选对得6分，有错选得0分.三、填空题12.-2 13．132 14.()2312++，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)解：(1)当x =32时，a ⃗ =(2,32)，因为b ⃗ =(1,2)，所以a ⃗ ⋅b⃗ =5， ………………………………2分 |b⃗ |=√ 5， ………………………………2分 所以a 在b ⃗ 上的投影向量的模为|a ⃗ ⋅b ⃗ ||b ⃗|=√ 12+22=√ 5． ………………………………2分 (2)因为向量a ⃗ =(2,x)，b ⃗ =(1,2)且a ⃗ //b ⃗ ，所以2×2=1×x ，解得x =4， ………………………………2分 即a =(2,4)，c ⃗ =(1,3)，所以a⃗ ⋅c ⃗ =14， ………………………………1分 |a ⃗ |=2√ 5， ………………………………1分 |c ⃗ |=√ 10， ………………………………1分所以cos〈a⃗,c⃗ 〉=a⃗⋅c⃗|a⃗|×|c⃗|=√ 22+42×√ 12+32=7√ 210．所以a与c夹角的余弦值为7√ 210．………………………………2分16.(本小题15分)解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由已知条件可得，直角梯形的高BC=CD−AB=√ 3=圆锥的底面圆半径=圆柱的底面圆半径，圆柱的高为2√ 3，圆锥的高为√ 3，母线长为√ 6，………………………………3分(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=2π×√ 3×2√ 3+12×2π×√ 3×√ 6+π(√ 3)2=12π+3√ 2π+3π=(15+3√ 2)π．………………………………6分(2)其体积V=圆柱体积−圆锥体积=π(√ 3)2×2√ 3−13×π(√ 3)2×√ 3=6√ 3π−√ 3π=5√ 3π．………………………………6分17.(本小题15分)解：(1)由a→⊥b→，得a→⋅b→=(cosC+cosB)(cosC−cosB)+sinA(sinC−sinA)=0，……2分化简得sin2B−sin2C=sin2A−sinAsinC由正弦定理，得b2−c2=a2−ac，即a2+c2−b2=ac，所以cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.…………4分因为0<B<π，所以B=π3.…………2分(2)由(Ⅰ)知B=π3，又由b=√ 21，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=21，①…………2分由a+c=9，得(a+c)2=a2+c2+2ac=81，②．由①②得，ac=20，…………3分所以S=12acsinB=5√ 3．…………2分18.(本小题17分)证明：(1)∵ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，又AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴AB//面PCD ， …………2分 ∵面PAB ∩面PCD =l ，AB ⊂面PAB ∴l//AB ． …………2分(2)取PA 中点M ，连接BM ，EM ，则EM = //12AD ，又∵BF = //12AD ，∴EM = //BF ，∴四边形BFEM 为平行四边形，∴EF//BM ，∵EF ⊄面PAB ，BM ⊂面PAB ，∴EF//面PAB ． …………6分 (3)存在G ，使FG//面ABE ，PG GD=3. …………2分取AD 中点N ，连接FN ，NG ，则FN//AB ，FN ⊄面ABE ，AB ⊂面ABE ，∴FN//面ABE ，又∵FG//面ABE ，FN⋂FG =F ，FN ，FG ⊂面FNG ， ∴面FNG//面ABE ，且面PAD⋂面ABE =AE ，面PAD⋂面FNG =NG ， ∴AE//NG ，又∵N 为AD 中点，∴G 为ED 中点， ∴EG =GD ，又PE =ED ，∴PG GD=3. …………5分19.(本小题17分) 解：(1)在△ABO 中，由余弦定理得AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cosα=1+4−2×1×2×12=3，即AB =√ 3，…………2分于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+2√ 3；…………1分(2)因为OB⋅AC+OA⋅BC≥AB⋅OC，且△ABC为等边三角形，OB=1，OA=2，…………2分所以OB+OA≥OC，所以OC≤3，即OC的最大值为3，…………1分取等号时∠OBC+∠OAC=180°，所以cos∠OBC+cos∠OAC=0，不妨设AB=x，则x2+1−92x +x2+4−94x=0，解得x=√ 7，…………2分所以cos∠AOC=9+4−72×2×3=12，所以∠AOC=60°；…………2分(3)在△ABO中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosα=5−4cosα，所以AB=√ 5−4cosα，0<α<π，…………2分于是四边形OACB的面积为S=S△AOB +S△ABC=12OA⋅OB⋅sinα+√ 34AB2=sinα+√ 34(5−4cosα)=sinα−√ 3cosα+5√ 34=2sin(α−π3)+5√ 34，…………3分当α−π3=π2，即α=5π6时，四边形OACB的面积取得最大值为2+5√ 34．所以，当B满足∠AOB=5π6时，四边形OACB的面积最大，最大值为2+5√ 34．…………2分。
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题答案及评分标准
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题1已知m ,a ,b ,c 为正整数,且a log m 2+b log m 3+c log m 5=2024,求m +a +b +c 的最小值是.【答案】 30662已知x >0,y >0,-log 3y +3x=y -2x =15⋅32x -1y,则y +x =【答案】 11 .3若A 、 B 为锐角且sin B ⋅sin A +B =sin A ,则tan A 的最大值为.【答案】434数列a n 满足:对任意n ≥2,a n =2024a n -1-n . 如果该数列的每一项都是正数,则a 1的最小值为【答案】40472023240474092529 5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第i 次投中得分为4-i 分(i =1,2,3),若三次均未投中则得分为0分. 假设甲同学的投篮的命中率为p 0<p <1 ,若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56，则p = ，甲投篮测试的得分的均值为. 【答案】 2.376 .6设x ,y 均为非零实数,且满足x sin π12+y cos π12x cos π12-y sin π12=tanπ3 . 在△ABC 中,若tan C =y x,则sin3A +3sin2B 的最大值为.【答案】327已知虚数z 满足z +2z∈R ,则z 2+2z -3 的最大值为【答案】1033 .8n 是正整数, 3n -1没有12以上的质因子,则所有满足条件的n 和是【答案】 129已知四面体PABC ,点A 1在△PBC 内,满足△A 1BP ,△A 1CP ,△A 1BC 的面积之比为3:2:1,G 在线段AA 1上,直线PG 交平面ABC 于点M ,且AG GA 1=PGGM ,则四面体PABC 与A 1AMB的体积之比为.【答案】 1210如图,在一个10×10的方格表中填入0和1,使得任意一个3×3的方格表中都恰有一个1 ,则满足要求的填法数共有种【答案】 261二、解答题1已知抛物线C :y 2=18x +27的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 2重合, C 的准线经过E 的左顶点.(1)求E 的方程;(2)已知点F 1为E 的左焦点, P 为E 上的一点(异于左、右顶点), △PF 1F 2外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r ,求R ⋅r 的取值范围.【解析】(1) 易知 C 的顶点坐标为 -32,0 ,p 2=184=92,所以 C 的焦点坐标为 -32+92,0 ,即 3,0 ,C 的准线方程为 x =-32-92=-6,所以 a =6,c =3,b 2=a 2-c 2=27 ,所以 E 的方程为 E :x 236+y 227=1;4 分(2)设 ∠F 1PF 2=θ,PF 1=a 1,PF 2=a 2,由正弦定理可得 2R =F 1F 2sin θ=2csin θ,即R =c sin θ=3sin θ,则 cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2,即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=54cos θ+1, -8 分S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=27sin θcos θ+1=27sin θ2cos θ2cos 2θ2=27tanθ2又 S △PF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =9r , -12 分所以 27tanθ2=9r ,即 r =3tan θ2,所以 R ⋅r =9tan θ2sin θ=92cos 2θ2,又因为当 P 在短轴的端点时, θ 最大,此时, θ=60° , -16 分所以 θ∈0,π3 ,即 θ2∈0,π6 ,所以 cos θ2∈32,1 ,故 R ⋅r =92cos 2θ2∈92,6. -20 分2已知方程ln x +x 1-m =0,m ∈R 有两个不同的零点,分别记为a ,b ,且a <b .(1)求实数m 的取值范围;(2)若不等式t +1<ln a +t ln b 恒成立,求正数t 的取值范围.【解析】(1)设 f x =ln x +x 1-m ,m ∈R 的定义域为 0,+∞ ,f x =1x+1-m ,当 m ≤1 时,因 f x >0,故函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增,不存在两个零点,不合题意;当 m >1 时,设 g x =f x =1x +1-m ,g x =-1x2<0 ,故 g x 在 0,+∞ 上单调递减,即 f x =1x+1-m 在 0,+∞ 上单调递减,由 f x =0,得 x =1m -1,当 0<x <1m -1时, f x >0;当1m -1<x 时, f x <0;所以当 x =1m -1 时, f x 取得最大值.即 f 1m -1=ln 1m -1+1m -11-m =-ln m -1 -1,-⋯⋯-4 分若函数 f x 有两个不同的零点,则 -ln m -1 -1>0即 ln m -1 <-1=ln1e ,解得 m <1+1e,又 m >1当 x 趋近于 0+ 时, 1-m x 趋近于 0, ln x 趋近于负无穷, f x 趋近于负无穷;当 x 趋近于正无穷时, f x 趋近于负无穷.所以若函数 f x 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 1<m <1+1e.---8 分(2)因为 f x =ln x +x 1-m m ∈R 有两个不同的零点 a ,b ,由题知 0<a <b ,且 ln a +a -am =0ln b +b -bm =0 ,相减得到:m -1=ln a -ln b a -b由 t +1<ln a +t ln b 恒成立,所以 t +1<am -a +t mb -b 恒成立,即 t +1<a +tb m -1 恒成立,---12 分所以 t +1<a +tb ln a -ln b a -b 恒成立,即 t +1<ab+t a b-1ln a b 恒成立.设 k =ab ,则 k ∈0,1 时,不等式 t +1<t +k ln k k -1恒成立,因为 t +k >0,k -1<0 进而得 ln k -t +1 k -1t +k<0 在 k ∈0,1 时恒成立,设 h k =ln k -t +1 k -1t +k, k ∈0,1 ,注意到 h 1 =0 .则 h k =1k -t +1 t +k -k -1 t +k2 ,即 hk =1k -t +1 2t +k2=t 2+k 2-t 2k -kk t +k 2=k -1 k -t 2 k t +k 2, -16 分又因为 k ∈0,1 且 t >0,则k -1k t +k 2<0 ,所以当 t ≥1 时, k -t 2<0,即 h k >0,故 h k 在 k ∈0,1 单调递增,而 k =1 时 ln k -t +1k -1t +k=0,所以 h k <0 恒成立,故 t ≥1 满足题意.当 0<t <1 时,若 k ∈t 2,1 ,由 h k <0,则 h k 在 k ∈t 2,1 单调递减,所以当 k ∈t 2,1 时 h k >0,与题设不符.综上所述,正数 t 的取值范围 t ≥1. ---20 分加试1设有限集A ,B ,C ⊆R ,A ,B ,C 为有限集,对任意x ∈R ,定义:N A ,B ,C x =a ,b ,c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,a +b +c =x ∣ . 证明以下结论:(1)存在x ∈R ,使得0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C(2)x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥A2⋅B 2⋅C 2A +B +C 其中:A 表示集合A 中的元素个数, A +B +C ={a +b +c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C } .【解析】(1)x ∈A +B +CN A ,B ,C x =x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C ,a +b +c =x1=a ,b ,c ∈A ×B ×C1=A ⋅B ⋅C由平均值原理,存在 x ∈A +B +C ,使得 0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C. .20 分(2)由柯西不等式x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥X ∈A +B +C N A ,B ,C x 2⋅1A +B +C .. .30 分=1A +B +C x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C a +b +c =x12=1A +B +Ca ,b ,c ∈A ×B ×C12=A2⋅B 2⋅C 2A +B +C. .40 分2如图, AB 为圆O 的一条弦(AB <3R ,R 为圆O 的半径), C 为优弧AB的中点, M 为弦AB 的中点. 点D ,E ,N 分别在BC ,CA和劣弧AB上,满足BD=CE,且AD ,BE ,CN 三线共点于F . 延长CN 至G ,使GN =FN . 求证:∠FMB =∠GMB .【解析一】如图,延长 CM 交圆 O 于 T ,以 T 为圆心, TA 为半径作圆,与 CN 延长线交于 G ∵C 为优弧 AB 中点, ∴B 在圆 T 上,且 CA 与 CB 是圆 T 的切线∵∠AFB =AB+ED2=∠ACB +∠CAB =180°-12∠ATB∴F 在圆 T 上. .10 分∵CT 是圆 O 的直径,所以 ∠TNF =90°∴N 为 FG 的中点, G 与 G 重叠∴AFBG 四点共圆. . .20 分(实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆,证明共圆之后这个圆心就再也不会 出现, 只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分)∵CA 与 CB 是圆 T 的切线∴△CAF ∽△CGA ,△CBF ∽△CGB∴AF ⋅BG =AG ⋅BF . .30 分由托勒密定理知, AG ⋅BF =12AB ⋅FG =BM ⋅FG ,且 ∠FBM =∠AGF ∴△BFM ∽△GFA ∴∠BMF =∠FAG同理 ∠BMG =∠FAG ∴BM 平分 ∠FMG .40 分证毕(最后导出等角后面的证明调和四边形, 都是相对平凡的步骤了, 各占 10 分)【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质, 答案中会备注使用调和点列的地方, 请审卷 老师注意评分如图,连接 NB ,NA ,CN 交 AB 于 Q ∵C 是优弧 AB 的中点∴∠ANC =∠BNC ∵BD=EC∴∠BFN =BN+EC2=BN +BD2=DN2=∠NAF∴△BNF ∞△FNA∴NF 2=NA ⋅NB .10 分又 NC 平分 ∠ANB ,∴△QNB ∽△ANC ∴NA ⋅NB =NQ ⋅NC∴NF2=NQ⋅NC . . .20 分(每一个相似占 10 分)∵N 为 FG 中点∴NF NC =NQNF, ∴NF-NQNC-NF=NF+NQNC+NF,即FQFC=GQGC∴CFQG 成调和点列 (调和点列的性质) . .30 分(注: 有的学生可能会写成 C,Q;F,G=-1 也代表调和点列,可以给分)∵M 是 AB 中点, ∴CM⊥AB∴MQ 与 MC 分别是 ∠FMG 的内角平分线和外角平分线 (调和点列的性质) . .40 分 证毕。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新高考通用)01(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）01数学·答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 DCCBAABC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BCDACDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． π313．13 14．6四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）由题意2222AB CD AD BC ====，则60ABC ∠= ， 因为1,2BC AB ==，所以90,ACB AC BC ∠=⊥ ，（1分） 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =， 且,PA AB PA ⊥⊂平面PAB ， 所以PA ⊥平面ABCD ，（2分） 因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，（3分） 且,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，（4分）又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ；（5分） （2）如图，以A 为原点，,AP AB分别为x 轴，y 轴正方向，在平面ABCD 内过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则13(1,0,0),(0,2,0),0,,0,22P B D C ，（7分，建系、设点各一分）所以1(1,0,0),0,2AP AD == ，1(1,2,0),0,2PB BC =−=− ， 设平面PAD 的一个法向量1(,,)n x y z =，则11002n AP x y n AD ⋅==⋅=+=，令1z =−，得11)n =− ，（9分） 设平面PBC 的法向量()2,,n m n p = ，则222002n PB m n n n BC ⋅=−+=⋅=−=，令1p =，得2n = ，（11分） 设平面PAD 与平面PBC 的夹角为θ，则121221cos 244n n n n θ⋅===×⋅ ，（12分）所以平面PAD 与平面PBC．（13分）16．（15分）【详解】（1）易知9.398.570.82=+，所以根据正态分布区间公式有()()()19.390.162P x P X P x µσµσµσ−−≤≤+>=>+==，（3分） 即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16， 则()2,0.16Y B ∼，（4分，不写不扣分） 所以：()()()121C 0.1610.160.2688P Y ==××−=；（6分） （2）因为0.2 2.2t x =+，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为： 12314.6417.4220.726.1, 6.7,7.40.21 2.20.22 2.20.23 2.2u u u ======×+×+×+， 4525.230.088.4,9.40.24 2.20.25 2.2u u ====×+×+，（8分） 所以()()11123453, 6.1 6.77.48.49.47.655x u =×++++==×++++=，（10分） 则()()518.3i i i x x u u =−−=∑，()52110i i x x =−=∑（12分） 由公式可知()()()515218.30.83,7.60.833 5.1110ˆˆˆiii ii x x u u ba u bx x x ==−−====−=−×=−∑∑，（14分）即0.83 5.11u x +.（15分）17．（15分）【详解】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心， 故有：00233x x y y= =，（2分）解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，（4分） 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104xy xy +=≠.（5分）（2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =（7分）故设直线l的方程为()1y m m +≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++−=x m ，（8分） 由2Δ208160m =−>得213m <，（9分） 设()()1122,,,A x y B x y，则212124413m x x x x −+=，（10分） 由AH BQ ⊥2211y x −=−，所以()211210x x mm +++−=，（12分）所以)()21212410x x m x x m m −++−=， 所以()()()22444241130m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，（13分） 解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），（14分） 故直线l的方程为165y =−.（15分）18．（17分）【详解】（1）由题意得()()ln e 1ln x xf x ax ax+==，()0,x ∈+∞，则()2ln x f x ax =−′，（1分） 由()0f x ′=，解得1x =．（2分） 显然0a ≠，若0a >，则当01x <<时，()()0,f x f x ′>单调递增，当1x >时，()()0,f x f x ′<单调递减；（3分）若0a <，则当01x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减，当1x >时，()()0,f x f x ′>单调递增．（4分） 综上，当0a >时，()f x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减； 当a<0时，()f x 在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（5分） （2）（i ）由()ln e 1x ax=，得1ln xa x+=， 设()1ln xg x x+=，由(1)得()g x 在区间()0,1内单调递增，在区间()1,+∞内单调递减，（6分） 又()10,11e g g ==，当1x >时，()0g x >，且当x →+∞时，()0g x →，（8分） 所以当01a <<时，方程1ln xa x +=有两个不同的根，即方程()ln e 1x ax=有两个不同的根，故a 的取值范围是()0,1．（9分）（ii ）不妨设12x x <，则1201x x <<<，且1212ln 1ln 1x x x x ++=．（10分） 设()()()11ln 1ln xh x g x g x x x x + =−=−−，()0,x ∈+∞， 则()222ln 1ln ln 0x x h x x x x x ′−−=+=⋅≥，（11分） 所以()h x 在区间()0,∞+内单调递增， 又()10h =，所以()()11110h x g x g x =−< ，即()111g x g x<．（13分） 又()()21g x g x =，所以()211g x g x< ，（14分）又()2111,1,x g x x >>在区间()1,+∞内单调递减． 所以211x x >，即121x x >，（16分） 又12x x ≠，所以22121222x x x x +>>，得证．（17分）19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得11a =，21a =，3122a a a =+=，（1分） 123,,2,c m c m c m ∴===（2分） 312+,c c c ∴=即1+212+,c c c = （3分）∴对m ∀∈R ，当正整数=1k 时，存在=2n ，使得k nk n c c c +=+成立，即数列{}n c 为“1阶可分拆数列”；（4分）（2）3n nS a =− ， ∴当1n =时，13d a =−，（5分） 当2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n d S S a a −−−=−=−−−=⋅，（6分）（i ）若数列{}n d 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n 使得11nn d d d +=+成立， 当1n =时，211d d d =+，即()623a =−，解得0a =，（7分） 当2n ≥时，()1233+23n n a −⋅=−⋅，即1433n a −⋅=−，（8分） 因0a ≥，所以33a −≤，又14312n −⋅≥，（9分） 故方程1433n a −⋅=−无解.综上所述，符合条件的实数a 的值为0. （10分） （ii ）证明：*21,()n n n a a a n ++=+∈N ， ∴当2n ≥时，()21111nn n n n n n n a a a a a a a a +−+−=−=−， ∴2222123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()21232134324543+++a a a a a a a a a a a a a =+−−+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11n n n n a a a a +−−2121=a a a −1+n n a a +1=n n a a +，（11分）222212311=1n n n a a a a a a +∴+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+，（12分） 由（i ）知3nn S =，所以3nn na f =， 31121231=++++33333n n n n na a a a a T −−∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①，3112234+11=++++333333n n n n n a a a a a T −⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②，（13分）由①-②可得324311211234+12=++++3333333n n n n n n a a a a a a a a a a T −−−⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅+− 21234+11=+++33333n n n n a a a a −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+ 1222122+111=+++333333n n n n a a a a −−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+（）（14分） -22+111=+333n n n a T −，（15分） +12<03n n n n a T T −> ， ，-22+1221111=++333333n n n n n a T T T −∴<，（16分）315n T ∴<<，当*n ∈N 且3n ≥时， 222212311n n n n T a a a a a a +<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+成立.（17分）。
数学试题参考答案及评分标准
数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.20° 10.2 11. )1)(2(++x x 12.m=1 13. 43≠≥x x 且 14. (1,3--) 15.22-=+=x y x y 或 （全对才给分） 16. 21<<-x 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 17．解不等式① 得x ≥ 1 ……………………………………………… 2分 解不等式② 得x < 4 ……………………………………………… 4分 所以这个不等式组的解集为：1≤x <4 …………………………………………… 6分 18．解：方程两边同乘以42-x ，得4)2(42-=+-x x ， …………………………………………2分即062=-+x x ， …………………………………………3分 解之得31-=x ，22=x ， …………………………………………4分 经检验2=x 是原方程的增根，所以原方程的根为3-=x ． …………………………………6分 19．解：过点P 作P C ⊥AB 于C 点，据题意得AB 6602018=⨯=， ∠PAB=90°－60°=30°， ∠PBC=90°－45°=45°，∵∠PCB=90°，∴PC=BC ………………………………………………4分 在Rt △PAC 中PCPC+=630tan 0即PC PC +=633 …………………………5分 解得PC=6333>+∴海轮不改变方向继续前进无触碓危险. ………………………………………6分 20.解:设女同学平均体重x 千克,则男同学平均体重为1.2x 千克;设男同学y 人,则女同学为1.2y 人 …………………………………………………1分 根据题意得方程: 1.2xy ＋1.2xy ＝48(+y 1.2y )…………………………………3分PCB A整理得:2.4xy ＝48×2.2y ……………………………………………………………4分 ∵0≠y 解得=x 44(千克) 1.2=x 52.8(千克) …………………………………5分 答:男同学平均体重为52.8千克,女同学平均体重为44千克. ……………………6分 21.解：（1）如：田、日等（只要是轴对称图形就给分） …………………1分（2）这个游戏对小兰有利。