圆中考真题精选汇编二A

合集下载

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总含答案

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC.(1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线;(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值.【答案】(1)证明见解析;(2)8.【解析】(1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可;(2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.试题解析:连接AD,OA,∵∠ADC=∠B,∠B=60°,∴∠ADC=60°,∵CD是直径,∴∠DAC=90°,∴∠ACO=180°-90°-60°=30°,∵AP=AC,OA=OC,∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°,∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°,即OA⊥AP,∵OA为半径,∴AP是⊙O切线.(2)连接AD,BD,∵CD是直径,∴∠DBC=90°,∵CD=4,B为弧CD中点,∴BD=BC=,∴∠BDC=∠BCD=45°,∴∠DAB=∠DCB=45°,即∠BDE=∠DAB,∵∠DBE=∠DBA,∴△DBE∽△ABD,∴,∴BE•AB=BD•BD=.考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.2.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且点C是的中点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,交AF的延长线于点E.(1)求证:AE⊥DE;(2)若∠BAF=60°,AF=4,求CE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】试题分析:(1)首先连接OC,由OC=OA,,易证得OC∥AE,又由DE切⊙O于点C,易证得AE⊥DE;(2)由AB是⊙O的直径,可得△ABC是直角三角形,易得△AEC为直角三角形,根据AE=3求得AC的长,然后连接OF,可得△OAF为等边三角形,知AF=OA=AB,在△ACB中,利用已知条件求得答案.试题解析:(1)证明:连接OC,∵OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵∴∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵DE切⊙O于点C,∴OC⊥DE,∴AE⊥DE;(2)解:∵AB是⊙O的直径,∴△ABC是直角三角形,∵∠CBA=60°,∴∠BAC=∠EAC=30°,∵△AEC为直角三角形,AE=3,∴AC=2,连接OF,∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,∴△OAF为等边三角形,∴AF=OA=AB,在Rt△ACB中,AC=2,tan∠CBA=,∴BC=2,∴AB=4,∴AF=2.考点:切线的性质.3.如图,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG•AB=12,求AC的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案;(2)首先得出△CAG∽△BAC,进而得出AC2=AG·AB,求出AC即可.试题解析:(1)连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°,∵∠PAC=∠PBA,∠D=∠PBA,∴∠CAD+∠PAC=90°,即∠PAD=90°,∴PA⊥AD,∴PA是⊙O的切线;(2)∵CF⊥AD,∴∠ACF+∠CAF=90°,∠CAD+∠D=90°,∴∠ACF=∠D,∴∠ACF=∠B,而∠CAG=∠BAC,∴△ACG∽△ABC,∴AC:AB=AG:AC,∴AC2=AG•AB=12,∴AC34.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .(1)求证:直线PD是⊙A的切线;(2)若PC=25,sin∠P=23,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).【答案】(1)见解析;(2)20-4π.【解析】分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,又PD=BC,∴AD=PD,∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,∴PD是⊙A的切线.(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=23CDPD,5,令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)252,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为12×4×2=4,扇形ABE的面积为12π×42=4π,∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.5.如图,△ABC内接于⊙O,弦AD⊥BC垂足为H,∠ABC=2∠CAD.(1)如图1,求证:AB=BC;(2)如图2,过点B作BM⊥CD垂足为M,BM交⊙O于E,连接AE、HM,求证:AE∥HM;(3)如图3,在(2)的条件下,连接BD交AE于N,AE与BC交于点F,若NH=25,AD=11,求线段AB的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AB的长为10.【解析】分析:(1)根据题意,设∠CAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系,推导出∠BAC=∠ACB,再根据等角对等边得证结论;(2)延长AD、BM交于点N,连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN,进而根据等角对等边,得到DE=DN,BA=BN,再根据等腰三角形和直角三角形的性质,求得MH∥AE;(3)连接CE,根据(2)的结论,由三角形全等的判定与性质证得HF=HC,然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8,最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解:(1)证明:设∠CAD=a,则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC(2)证明:延长AD、BM交于点N,连接ED.∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN∴∠N=∠DEN=∠BAN∴DE=DN,BA=BN又∵BH ⊥AN,DM ⊥EN∴EM=NM,HN=HA,∴MH ∥AE(3)连接CE.∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由(1)知∠BCA=∠BAC∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM ≌△BDH,∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD ⊥MH又∵MH ∥AE,∴BD ⊥EF,∴△FNB ≌△ENB,同理可证△AFH ≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE∴NH ∥EC,EC=2NH,又∵NH=25,∴EC=45∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,∴AC=EC=45设HD=x ,AH=11-x ,∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD 至△CHG,可证CG=CD=AG AH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又∵AC 2-AH 2=CD 2-DH 2,∴(45)2-(11-x)2=(11-2x)2-x 2∴x 1=3,x 2=272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8. 又∵tan2AH CH a BH DH==,∴BH=6 ∴AB=22226810BM AH +=+= 点睛:此题主要考查了圆的综合,结合圆周角定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,解直角三角形的性质,综合性比较强,灵活添加辅助线,构造方程求解是解题关键.6.如图,AB 是圆O 的直径,射线AM ⊥AB ,点D 在AM 上,连接OD 交圆O 于点E ,过点D 作DC=DA 交圆O 于点C (A 、C 不重合),连接O C 、BC 、CE .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若圆O 的直径等于2,填空:①当AD= 时,四边形OADC 是正方形;②当AD= 时,四边形OECB 是菱形.【答案】(1)见解析;(2)①1;②3.【解析】试题分析:(1)依据SSS证明△OAD≌△OCD,从而得到∠OCD=∠OAD=90°;(2)①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;②依据菱形的性质得到OE=CE,则△EOC为等边三角形,则∠CEO=60°,依据平行线的性质可知∠DOA=60°,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析:解:∵AM⊥AB,∴∠OAD=90°.∵OA=OC,OD=OD,AD=DC,∴△OAD≌△OCD,∴∠OCD=∠OAD=90°.∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)①∵当四边形OADC是正方形,∴AO=AD=1.故答案为:1.②∵四边形OECB是菱形,∴OE=CE.又∵OC=OE,∴OC=OE=CE.∴∠CEO=60°.∵CE∥AB,∴∠AOD=60°.在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO=1,∴AD=.故答案为:.点睛:本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.7.如图,OB是以(O,a)为圆心,a为半径的⊙O1的弦,过B点作⊙O1的切线,P为劣弧OB上的任一点,且过P作OB、AB、OA的垂线,垂足分别是D、E、F.(1)求证:PD2=PE•PF;(2)当∠BOP=30°,P点为OB的中点时,求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF.【答案】(1)详见解析;(2)D(﹣34a,34a),E(﹣334a,34a),F(﹣32a,0),P(﹣3a,2a);S△DEF=33a2.【解析】试题分析:(1)连接PB,OP,利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD,得出PB PEOP PD=,同理,△OPF∽△BPD,得出PB PDOP PF=,然后利用等量代换即可.(2)连接O1B,O1P,得出△O1BP和△O1PO为等边三角形,根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标.再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积.试题解析:(1)证明:连接PB,OP,∵PE⊥AB,PD⊥OB,∴∠BEP=∠PDO=90°,∵AB切⊙O1于B,∠ABP=∠BOP,∴△PBE∽△POD,∴=,同理,△OPF∽△BPD∴=,∴=,∴PD2=PE•PF;(2)连接O1B,O1P,∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=30°,∴∠O1BP=90°﹣30°=60°,∵O1B=O1P,∴△O1BP为等边三角形,∴O1B=BP,∵P为弧BO的中点,∴BP=OP,即△O1PO为等边三角形,∴O1P=OP=a,∴∠O1OP=60°,又∵P为弧BO的中点,∴O1P⊥OB,在△O1DO中,∵∠O1OP=60°O1O=a,∴O1D=a,OD=a,过D作DM⊥OO1于M,∴DM=OD=a,OM=DM=a,∴D(﹣a, a),∵∠O1OF=90°,∠O1OP=60°∴∠POF=30°,∵PE⊥OA,∴PF=OP=a,OF=a,∴P(﹣a,),F(﹣a,0),∵AB切⊙O1于B,∠POB=30°,∴∠ABP=∠BOP=30°,∵PE⊥AB,PB=a,∴∠EPB=60°∴PE=a,BE=a,∵P为弧BO的中点,∴BP=PO,∴∠PBO=∠BOP=30°,∴∠BPO=120°,∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°,即OPE三点共线,∵OE=a+a=a,过E作EM⊥x轴于M,∵AO切⊙O1于O,∴∠EOA=30°,∴EM=OE=a,OM=a,∴E(﹣a, a),∵E(﹣a, a),D(﹣a, a),∴DE=﹣a﹣(﹣a)=a,DE边上的高为: a,∴S△DEF=×a×a=a2.故答案为:D(﹣a, a),E(﹣a, a),F(﹣a,0),P(﹣a,);S△DEF=a2.8.如图,正三角形ABC内接于⊙O,P是BC上的一点,且PB<PC,PA交BC于E,点F 是PC延长线上的点,CF=PB,AB=13,PA=4.(1)求证:△ABP≌△ACF;(2)求证:AC2=PA•AE;(3)求PB和PC的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)PB=1,PC=3.【解析】试题分析:(1)先根据等边三角形的性质得到AB=AC,再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP,于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF;(2)先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判断△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到结论;(3)先利用AC2=PA•AE计算出AE=134,则PE=AP-AE=34,再证△APF为等边三角形,得到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABP∽△CEP,得到PB•PC=PE•A=3,然后根据根与系数的关系,可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解,再解此方程即可得到PB和PC 的长.试题解析:(1)∵∠ACP+∠ABP=180°,又∠ACP+∠ACF=180°,∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中,∵AB=AC ,∠ABP=∠ACF , CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆.(2)在AEC ∆和ACP ∆中,∵∠APC=∠ABC ,而ABC ∆是等边三角形,故∠ACB=∠ABC=60º,∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ,∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由(1)知ABP ∆≌ACF ∆,∴∠BAP=∠CAF , CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°,又∠APC =∠ABC =60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中,∵∠BAP=∠ECP ,又∠APB=∠EPC=60°,∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由(2)2AC PA AE =⋅, ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解.解这个方程,得11x =, 23x =.∵PB<PB ,∴PB=11x =,PC=23x =,∴PB 和PC 的长分别是1和3。

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附详细答案

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(3,﹣1),点A 的坐标为(﹣2,3),点B 的坐标为(﹣3,0),点C 在x 轴上,且点D 在点A 的左侧. (1)求菱形ABCD 的周长;(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与BC 相切,且切点为BC 的中点时,连接BD ,求: ①t 的值; ②∠MBD 的度数;(3)在(2)的条件下,当点M 与BD 所在的直线的距离为1时,求t 的值.【答案】(1)8;(2)①7;②105°;(3)t=636+33. 【解析】分析:(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8;(2)①如图2,先根据坐标求EF 的长,由EE '﹣FE '=EF =7,列式得:3t ﹣2t =7,可得t 的值;②先求∠EBA =60°,则∠FBA =120°,再得∠MBF =45°,相加可得:∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;(3)分两种情况讨论:作出距离MN 和ME ,第一种情况:如图5由距离为1可知:BD 为⊙M 的切线,由BC 是⊙M 的切线,得∠MBE =30°,列式为3t 3=2t +6,解出即可; 第二种情况:如图6,同理可得t 的值. 详解:(1)如图1,过A 作AE ⊥BC 于E .∵点A 的坐标为(﹣23),点B 的坐标为(﹣3,0),∴AE 3,BE =3﹣2=1,∴AB 22AE BE +2231+()=2. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =2,∴菱形ABCD 的周长=2×4=8; (2)①如图2,⊙M 与x 轴的切点为F ,BC 的中点为E . ∵M (3,﹣1),∴F (3,0).∵BC =2,且E 为BC 的中点,∴E (﹣4,0),∴EF =7,即EE '﹣FE '=EF ,∴3t ﹣2t =7,t =7;②由(1)可知:BE =1,AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3,∴∠EBA=60°,如图4,∴∠FBA=120°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°.∵BC是⊙M的切线,∴MF⊥BC.∵F是BC的中点,∴BF=MF=1,∴△BFM是等腰直角三角形,∴∠MBF=45°,∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°;(3)连接BM,过M作MN⊥BD,垂足为N,作ME⊥BC于E,分两种情况:第一种情况:如图5.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠CBD=60°,∴∠NBE=60°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=30°.∵ME=1,∴EB=3,∴3t+3=2t+6,t=6﹣3;第二种情况:如图6.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠DBC=60°,∴∠NBE=120°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=60°.∵ME=MN=1,∴Rt△BEM中,tan60°=MEBE,EB=160tan︒=3,∴3t=2t+6+3,t=6+3;综上所述:当点M与BD所在的直线的距离为1时,t=6﹣3或6+33.点睛:本题是四边形和圆的综合题,考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题,此类问题比较复杂,弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系,并与方程相结合,找等量关系,求出时间t的值.2.如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D,连结DC、DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证:△BOC≌△CDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)4339π-.【解析】分析: (1)根据内心性质得∠1=∠2,∠3=∠4,则AD=CD,于是可判断四边形OADC为菱形,则BD垂直平分AC,∠4=∠5=∠6,易得OA=OC,∠2=∠3,所以OB=OC,可判断点O 为△ABC的外心,则可判断△ABC为等边三角形,所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°,BC=AC,再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°,AD=OC,CD=OA=OB,则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA;(2)作OH⊥AB于H,如图,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°,根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3333,OB=2OH=33,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式,利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:(1)证明:∵O是△ABC的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3, 由AD ∥CO ,AD =CO ,∴∠4=∠6, ∴△BOC ≌△CDA (AAS )(2)由(1)得,BC =AC ,∠3=∠4=∠6, ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点,BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中,CE=12AC=12AB=1,∠OCE=30°, ∴OA=OB=OC=33∵∠AOC=120°, ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.3.阅读:圆是最完美的图形,它具有一些特殊的性质:同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”,再利用圆的性质将问题进行转化,往往能化隐为显、化难为易。

(完整版)中考数学圆综合题汇编,推荐文档

(完整版)中考数学圆综合题汇编,推荐文档

∠BAD。
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
D
(2)若 AC 2 6 ,AD=4,求 AB 的长。
C
A
O
B
7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过 C 点的切线互相垂直,垂足为点 D,AD 交
⊙O 于点 E。
求证:(1)AC 平分∠DAB;
D
(2)若∠B=60°, CD 2 3 ,求 AE 的长。
(1)求证:CD=CE;
(2)若 CD=2,CF=5,求半径 OA 的长。 C
A
B
D
E
O
F
14.
如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 外,连接 OC,OC⊥AB,弦 BD 交 OC 于点
E,CD=CE。
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若 AB=13,BD=12,求 DE 的长。 A
D
O
DG
O F
17. 如图,在△ABC 中,AB=10,BC=8,AC=6,将△ABC 沿 AC 翻折,点 B 与 D 重合,O 是 CD 上一点,OC=3,以 O 为圆心,OC 为半径作⊙O,交 CD 于另一点 E。 (1)求证:直线 AD 是⊙O 的切线; (2)过点 D 作⊙O 的另一条切线,切点为点 M,连接 MC 并延长,交 AB 边于点 N,求线段 MN 的长。
25 题汇编
1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为 B,AD 为弦,OC∥AD。
(1)求证:DC 是⊙O 的切线;
(2)若 OA=2,求 AD OC 的值。
C
D
A
O
B
2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是 CD 延长线上的一点,且

中考数学成都中考数学二诊专题汇编A卷:圆(含答案)压轴题

中考数学成都中考数学二诊专题汇编A卷:圆(含答案)压轴题

中考数学专题:圆一.解答题1.如图,在⊙O中,直径AB=10,tan A=.(1)求弦AC的长;(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t(0<t<),连接PQ.当t为何值时,△BPQ为Rt△?2.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D,BC是⊙O的切线,E为BC的中点,连接BD、DE.(1)求DE是⊙O的切线;(2)设△CDE的面积为S1,四边形ABED的面积为S2,若S2=5S1,求tan∠BAC的值;(3)在(2)的条件下,连接AE,若⊙O的半径为2,求AE的长.3.如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,CD⊥AB于D,E是BA延长线上一点,连接CE,∠ACE =∠ACD,K是线段AO上一点,连接CK并延长交⊙O于点F.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若AD=DK,求证:AK•AO=KB•AE;(3)如图2,若AE=AK,=,点G是BC的中点,AG与CF交于点P,连接BP.请猜想P A,PB,PF的数量关系,并证明.4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC、BD相交于点F,AC是⊙O的直径,延长CB到点E,连接AE,∠BAE=∠ADB,AN⊥BD,CM⊥BD,垂足分别为点N、M.(1)证明:AE是⊙O的切线;(2)试探究DM与BN的数量关系并证明;(3)若BD=BC,MN=2DM,当AE=时,求OF的长.5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,直径AC与弦BD的交点为E,OB∥CD,BH⊥AC,垂足为H,且∠BF A=∠DBC.(1)求证:BF是⊙O的切线;(2)若BH=3,求AD的长度;(3)若sin∠DAC=,求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比.6.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,D为的中点,过D作DF⊥AB于点E,交⊙O于点F,交弦BC于点G,连接CD,BF.(1)求证:△BFG≌△DCG;(2)若AC=10,BE=8,求BF的长;(3)在(2)的条件下,P为⊙O上一点,连接BP,CP,弦CP交直径AB于点H,若△BPH与△CPB 相似,求CP的长.7.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于E,过点A作AF⊥OC于F,交⊙O于D,连接DE,BE,BD(1)求证:∠C=∠BED;(2)若AB=12,tan∠BED=,求CF的长.8.AB为⊙O的直径,点C、D为⊙O上的两个点,AD交BC于点F,点E在AB上,DE交BC于点G,且∠DGF=∠CAB.(1)如图1.求证:DE⊥AB.(2)如图2.若AD平分∠CAB.求证:BC=2DE.(3)如图3.在(2)的条件下,连接OF,若∠AFO=45°,AC=8,求OF的长.9.如图,在△ABC中,AB=AC=10,tan∠A=,点O是线段AC上一动点(不与点A,点C重合),以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D,作DE⊥AB于E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)当⊙O与AB相切于点F时,求⊙O的半径;(3)在(2)的条件下,连接OB交DE于点M,点G在线段EF上,连接GO.若∠GOM=45°,求DM和FG的长.10.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:直线DF是⊙O的切线;(2)求证:BC2=4CF•AC;(3)若⊙O的半径为2,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.11.如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.(1)求证:DP∥AB;(2)试猜想线段AE,EF,BF之间有何数量关系,并加以证明;(3)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O是AB边上一点,以点O为圆心,OA长为半径的圆经过点D,作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,连接FO并延长交⊙O于点G,已知DE=3,tan∠CDA=2.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)求证:OA2=OB•OE;(3)求线段EG的长.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO平分∠BAC,交BC于点O.以O为圆心,OC为半径作⊙O,分别交AO,BC于点E,F.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)延长AO交⊙O于点D,连接CD,若AD=2AC,求tan D的值;(3)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求BC的长.14.如图,在△ABC中,AB=AC,以边AB为直径的⊙O交边BC于点D,交边AC于点E.过D点作DF ⊥AC于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求证:CF=EF;(3)延长FD交边AB的延长线于点G,若EF=3,BG=9时,求⊙O的半径及CD的长.15.四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,线段AB是⊙O的直径,连接AC、BD.点H是线段BD上的一点,连接AH、CH,且∠ACH=∠CBD,AD=CH,BA的延长线与CD的延长线相交于点P.(1)求证:四边形ADCH是平行四边形;(2)若AC=BC,PB=PD,AB+CD=2(+1)①求证:△DHC为等腰直角三角形;②求CH的长度.16.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=16.点O在边BC上,以O为圆心,OB为半径的弧经过点A.P是弧AB上的一个动点.(1)求半径OB的长;(2)如果点P是弧AB的中点,联结PC,求∠PCB的正切值;(3)如果BA平分∠PBC,延长BP、CA交于点D,求线段DP的长.17.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P是AB延长线上一点,连接PC交DB的延长线于点F,且∠PFB=3∠CAB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)延长AC,DF相交于点G,连接PG,请探究∠CPG和∠CAB的数量关系,并说明理由;(3)若tan∠CAB=,CF=5,求⊙O的半径.18.如图,在⊙O的内接△ABC中,∠CAB=90°,AB=2AC,过点A作BC的垂线m交⊙O于另一点D,垂足为H,点E为上异于A,B的一个动点,射线BE交直线m于点F,连接AE,连接DE交BC于点G.(1)求证:△FED∽△AEB;(2)若=,AC=2,连接CE,求AE的长;(3)在点E运动过程中,若BG=CG,求tan∠CBF的值.31.如图所示,以△ABC的边AB为直径作⊙O,点C在⊙O上,BD是⊙O的弦,∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)求证:CG=BG;(3)若∠DBA=30°,CG=8,求BE的长.。

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(2)

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(2)

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(2)1.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交⊙O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交⊙O于点F.(1)求证:BD=BC;(2)若⊙O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.2.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与边BC相交于点F,与△ABC的外接圆交于点D.(1)求证:S△ABF:S△ACF=AB:AC;(2)求证:AB:AC=BF:CF;(3)求证:AF2=AB•AC﹣BF•CF;(4)猜想:线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系.(直接写出,不需证明.)3.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若CE=√2,求图中阴影部分的面积(结果保留π).5.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接AC,BC,过点C作⊙O的切线交AB 延长线于点D,OF⊥BC于点E,交CD于点F.(1)求证:∠BCD=∠BOE;(2)若sin∠CAB=35,AB=10,求BD的长.6.如图,AB是⊙O的直径,点E,C在⊙O上,点C是BÊ的中点,AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若AE=2,sin∠AFD=1 3,①求⊙O的半径;②求线段DE的长.7.如图,以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆,延长BC到点D.使得∠BAC=∠BDA,点E在DA的延长线上,点M在线段AC上,CE交BM于N,CE交AB于G.(1)求证:ED是⊙O的切线;(2)若AC=√6,BD=5,AC>CD,求BC的长;(3)若DE•AM=AC•AD,求证:BM⊥CE.8.已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线BD是⊙O的直径.(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;(2)如图2,E为⊙O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3√3,AE=3,求弦BC的长.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=12∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C、D两点.(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sin B=35,⊙O的半径为3,求AC的长.10.如图,点A在第一象限内,⊙A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过点A作AH⊥CD于点H.(1)求证:四边形ABOH为矩形.(2)已知⊙A的半径为4,OB=√7,求弦CD的长.11.如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F.(1)求证:AB=AC;(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.12.如图,已知⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D是圆上一点,E是DC延长线上一点,连结AD,AE,且AD=AE,CA=CE.(1)求证:直线AE是⊙O是的切线;(2)若sin E=23,⊙O的半径为3,求AD的长.13.如图,以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.14.如图所示,四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形,AB是⊙O的直径,∠ABD =45°,直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G,且满足∠CFE =45°.(1)求证:直线l⊥直线CE;(2)若AB=DG.①求证:△ABC≌△GDE;②若R=1,CE=32,求四边形ABCD的周长.15.如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,E为ABD̂上一点,且∠ADE=40°.(1)求BÊ的长;(2)若∠EAD=76°,求证:CB为⊙O的切线.16.在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.(1)如图①,求∠AOB和∠CEB的大小;(2)如图②,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作⊙O的切线,与CO的延长线相交于点G,若OA=3,求EG的长.17.如图,在⊙O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且cos∠ABC=45,OC=12OB.(1)求⊙O的半径;(2)求∠BAC的正切值.18.如图,AB是⊙O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC 于点F,交⊙O于点H,DB交AC于点G.(1)求证:AF=DF.(2)若AF=52,sin∠ABD=√55,求⊙O的半径.19.(2023•宜昌)如图1,已知AB是⊙O的直径,PB是⊙O的切线,P A交⊙O于点C,AB=4,PB=3.(1)填空:∠PBA的度数是,P A的长为;(2)求△ABC的面积;(3)如图2,CD⊥AB,垂足为D.E是AĈ上一点,AE=5EC.延长AE,与DC,BP的延长线分别交于点F,G,求EFFG的值.20.如图,AB为⊙O的直径,点C是AD̂的中点,过点C做射线BD的垂线,垂足为E.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若BE=3,AB=4,求BC的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).21.如图,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于点E,连接AC,AD,BC,作CF⊥AD于点F,交线段OB于点G(不与点O,B重合),连接OF.(1)若BE=1,求GE的长.(2)求证:BC2=BG•BO.(3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论.22.如图(1)所示,已知在△ABC中,AB=AC,O在边AB上,点F边OB中点,为以O 为圆心,BO为半径的圆分别交CB,AC于点D,E,联结EF交OD于点G.(1)如果OG=DG,求证:四边形CEGD为平行四边形;(2)如图(2)所示,联结OE,如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4,求边OB的长;(3)联结BG,如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形,且AO=OF,求OGOD的值.23.在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容:如图1,将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置,那么可以得到:AB=AB′,AC=AC′,BC=B′C′;∠BAC=∠B′AC′,∠ABC=∠AB′C′,∠ACB=∠AC′B′.(_____)刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即“变”中蕴含着“不变”,这是我们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“(_____)”处应填理由:;(2)如图2,小王将一个半径为4cm,圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置.①请在图中作出点O;②如果BB′=6cm,则在旋转过程中,点B经过的路径长为;【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置.另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止.此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图3所示,请你帮助小李解决这个问题.24.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BD是⊙O的直径,AB=AC,AE∥BC,E为BD的延长线与AE的交点.(2)若∠ABC =75°,BC =2,求CD̂的长.25.我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系,用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图,AB 是⊙O 的直径,直线l 是⊙O 的切线,B 为切点.P ,Q 是圆上两点(不与点A 重合,且在直径AB 的同侧),分别作射线AP ,AQ 交直线l 于点C ,点D .(1)如图1,当AB =6,BP 长为π时,求BC 的长;(2)如图2,当AQ AB =34,BP ̂=PQ ̂时,求BC CD 的值; (3)如图3,当sin ∠BAQ =√64,BC =CD 时,连接BP ,PQ ,直接写出PQ BP 的值.26.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点E ,⊙O 经过A ,D 两点,交对角线AC 于点F ,连接OF 交AD 于点G ,且AG =GD .(2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5:8,求tan∠ADB的值.27.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,D是⊙O上的一点,CO平分∠BCD,CE ⊥AD,垂足为E,AB与CD相交于点F.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)当⊙O的半径为5,sin B=35时,求CE的长.28.如图,AB是⊙O的直径,点C,F是⊙O上的点,且∠CBF=∠BAC,连接AF,过点C作AF的垂线,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点E,过点F作FG⊥AB于点G,交AC于点H.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若tan E=3,BE=4,求FH的长.29.如图,AB是⊙O的直径,点P是⊙O外一点,P A与⊙O相切于点A,点C为⊙O上的一点.连接PC、AC、OC,且PC=P A.(1)求证:PC为⊙O的切线;(2)延长PC与AB的延长线交于点D,求证:PD•OC=P A•OD;(3)若∠CAB=30°,OD=8,求阴影部分的面积.̂=EF̂,过点E作直线CD⊥AF交AF 30.如图,以AB为直径的⊙O上有两点E、F,BE的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9√5,求EN的长.31.如图,已知等腰△ABC,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过D作DF⊥AC 于点E,交BA延长线于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线.(2)若CE=√3,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用π表示).32.如图1,锐角△ABC内接于⊙O,D为BC的中点,连结AD并延长交⊙O于点E,连结BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G在AD上,连结BG,CG,若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC.(1)求∠BGC的度数.(2)①求证:AF=BC.②若AG=DF,求tan∠GBC的值.(3)如图2,当点O恰好在BG上且OG=1时,求AC的长.33.如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交⊙O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.34.已知,AB是半径为1的⊙O的弦,⊙O的另一条弦CD满足CD=AB,且CD⊥AB于点H(其中点H在圆内,且AH>BH,CH>DH).(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H(不写作法,保留作图痕迹);(2)连结AD,猜想:当弦AB的长度发生变化时,线段AD的长度是否变化?若发生变化,说明理由;若不变,求出AD的长度;(3)如图2,延长AH至点F,使得HF=AH,连结CF,∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P,点M为AP的中点,连结HM.若PD=12AD,求证:MH⊥CP.35.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AD=CD,过点D的直线l交BA 的延长线于点M.交BC的延长线于点N且∠ADM=∠DAC.(1)求证:MN是⊙O的切线;(2)求证:AD2=AB•CN;(3)当AB=6,sin∠DCA=√33时,求AM的长.36.如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)若sin∠P=13,BP=4,求CD的长.37.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,点E是BC的中点,连接OE、DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若sin C=45,DE=5,求AD的长;(3)求证:2DE2=CD•OE.38.如图,在⊙O 中,AB 是一条不过圆心O 的弦,点C ,D 是AB̂的三等分点,直径CE 交AB 于点F ,连结AD 交CF 于点G ,连结AC ,过点C 的切线交BA 的延长线于点H .(1)求证:AD ∥HC ;(2)若OG GC =2,求tan ∠F AG 的值;(3)连结BC 交AD 于点N ,若⊙O 的半径为5.下面三个问题,依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平,选择其中一道问题进行解答.①若OF =52,求BC 的长;②若AH =√10,求△ANB 的周长;③若HF •AB =88,求△BHC 的面积.39.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠F AD.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若P A=4,PD=2,求⊙O的半径和DE的长.40.如图,△ABC、△ABD内接于⊙O,AB=BC,P是OB延长线上的一点,∠P AB=∠ACB,AC、BD相交于点E.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)若BE=2,DE=4,∠P=30°,求AP的长.41.如图,AB与⊙O相切于点A,半径OC∥AB,BC与⊙O相交于点D,连接AD.(1)求证:∠OCA=∠ADC;(2)若AD=2,tan B=13,求OC的长.42.如图,AB是⊙O的直径,AB=2√10,⊙O的弦CD⊥AB于点E,CD=6.过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点F,连接BC.(1)求证:BC平分∠DCF;̂上一点,连接CG交AB于点H,若CH=3GH,求BH的长.(2)G为AD。

2022年中考人教版数学一轮复习圆综合练习题精选汇编含答案.docx

2022年中考人教版数学一轮复习圆综合练习题精选汇编含答案.docx

2022年中考人教版数学一轮复习:圆一综合练习题精选一、选择题(本大题共6道小题)1.下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;③在同圆中,相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.如图,已知AB是。

0的直径,点P在BA的延长线上,PD与0 0相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若。

的半径为4, BC=6,则PA的长为()3.如图,将。

0沿弦AB折叠,丞恰好经过圆心0,若。

0的半径为3,则尽的长为()C. 2 JID. 3 Ji4.如图,AB为。

0的直径,BC为。

0的切线,弦AD〃0C,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论:①CD是。

0的切线;②C0XDB;③左EDA^AEBD;④ED • BC=B0 • BE.其中正确结论的个数有()A. 4个B. 3个 D. 1个5.如图,弦CD 垂直于。

的直径AB,垂足为H,且CD = 2展,BD=/,则AB 的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5 6. 如图,以AB 为直径,点0为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=*,则图中阴影部分的 面积是()1 JIJI 1 JI —— C F) ----- ——I — 2 4 2 2 2二、填空题(本大题共5道小题)7.如图,AB 是。

0的直径,C, D 是。

0上的两点,若ZBCD = 28° ,贝IJZABD=8. 如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若圆锥的底面圆半径r-2 cm,扇形的圆心角9=120° ,则该圆锥的母线长1为.9. 如图,AB 是。

0的直径,弦CDXAB 于点E,若AB = 8, CD = 6,则BE =JI A. — B. 4 cm. C0 R10.若一个圆锥的底面圆半径为3 cm,其侧面展开图的圆心角为120。

,则圆锥的母线长是____________ cm.11. _____ 如图①,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图②是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A, B, AB = 40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm,则该脸盆的半径为cm.图①图②三、解答题(本大题共4道小题)12.如图①,在Z\ABC 中,点 D 在边BC 上,ZABC : ZACB : ZADB=1 : 2 : 3, 00 ^AABD的外接圆.(1)求证:AC是。

中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合含详细答案

中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=23DG,PO=5,求EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=12MOBM=,tanP=12COPO=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∵OC=OA,∴∠PAC=∠OCA,∴∠DAC=∠PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,∵FG∥AD,∴∠FGD+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠FGD=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,∴四边形HGDE是矩形,∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,∵BF AF=,∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°,∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,∴∠HEF=∠HFE,∴FH=EH,∴FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,∴△FHO≌△EHO,∴∠FHO=∠EHO=45°,∵四边形GHED是矩形,∴EH∥DG,∴∠OMH=∠OCP=90°,∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,∴HM=MO,∵OM⊥BE,∴BM=ME,∴OM=12 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,∴ME=CD=2a,BM=2a,在Rt△BOM中,tan∠MBO=122 MO aBM a==,∵EH∥DP,∴∠P=∠MBO,tanP=12 COPO=,设OC=k,则PC=2k,在Rt△POC中,,解得:在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,∴HE=3a=3,在Rt△HFE中,∠HEF=45°,∴.【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣23)、M2(﹣2,﹣23)、M3(﹣2,23)、M4(2,23).【解析】【分析】(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.【详解】(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,∴△OAC是等边三角形,故∠AOC=60°.(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;∴AC=1OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,2而OC是⊙O的半径,故PC与⊙O的位置关系是相切.(3)如图;有三种情况:①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣3劣弧MA的长为:6044 1803ππ⨯=;②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣23);劣弧MA的长为:12048 1803ππ⨯=;③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,23);优弧MA的长为:240416 1803ππ⨯=;④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,23);优弧MA的长为:300420 1803ππ⨯=;综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣23)、M2(﹣2,﹣23)、M3(﹣2,23)、M4(2,23).【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.3.图 1 和图 2 中,优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2,AB=23,点P为优弧AB上一点(点P 不与A,B 重合),将图形沿BP 折叠,得到点A 的对称点A′.发现:(1)点O 到弦AB 的距离是,当BP 经过点O 时,∠ABA′=;(2)当BA′与⊙O 相切时,如图 2,求折痕的长.拓展:把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M, N 重合)为半圆上一点,将圆形沿NP 折叠,分别得到点M,O 的对称点A′, O′,设∠MNP=α.(1)当α=15°时,过点A′作A′C∥MN,如图 3,判断A′C 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)如图 4,当α= °时,NA′与半圆O 相切,当α= °时,点O′落在NP上.(3)当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时,直接写出β的取值范围.【答案】发现:(1)1,60°;(2)23;拓展:(1)相切,理由详见解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】【分析】发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°,从而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长,根据垂径定理就可求出折痕的长.拓展:(1)过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切;(2)当NA′与半圆相切时,可知ON⊥A′N,则可知α=45°,当O′在PB时,连接MO′,则可知NO′=12MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°<α<30°或45°≤α<90°.【详解】发现:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图1所示,∵⊙O的半径为2,3∴22OB HB-222(3)1-=在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=12OB=1.∴BG=3.∵OG⊥BP,∴BG=PG=3.∴BP=23.∴折痕的长为23拓展:(1)相切.分别过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.如图3所示,∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆(2)当NA′与半圆O相切时,则ON⊥NA′,∴∠O NA′=2α=90°,∴α=45当O′在PB上时,连接MO′,则可知NO′=12 MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案为:45°;30°.(3)∵点P,M不重合,∴α>0,由(2)可知当α增大到30°时,点O′在半圆上,∴当0°<α<30°时点O′在半圆内,线段NO′与半圆只有一个公共点B;当α增大到45°时NA′与半圆相切,即线段NO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时,点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合,∴α<90°,∴当45°≤α<90°线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.4.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点E,连接AC,BC,点F是BA延长线上的一点,且∠FCA=∠B.(1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若AE=4,tan∠ACD=12,求AB和FC的长.【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ,403 CF【解析】分析:(1)连接OC,根据圆周角定理证明OC⊥CF即可;(2)通过正切值和圆周角定理,以及∠FCA=∠B求出CE、BE的长,即可得到AB长,然后根据直径和半径的关系求出OE的长,再根据两角对应相等的两三角形相似(或射影定理)证明△OCE∽△CFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解:⑴证明:连结OC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C在⊙O上∴CF是⊙O的切线⑵∵AE=4,tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA =∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛:此题主要考查了圆的综合知识,关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质,结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解,利用数形结合和方程思想是解题的突破点,有一定的难度,是一道综合性的题目.5.已知,如图:O 1为x 轴上一点,以O 1为圆心作⊙O 1交x 轴于C 、D 两点,交y 轴于M 、N 两点,∠CMD 的外角平分线交⊙O 1于点E ,AB 是弦,且AB ∥CD ,直线DM 的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求⊙O 1半径及点E 的坐标.(2)如图2,过E 作EF ⊥BC 于F ,若A 、B 为弧CND 上两动点且弦AB ∥CD ,试问:BF+CF 与AC 之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.(3)在(2)的条件下,EF 交⊙O 1于点G ,问弦BG 的长度是否变化?若不变直接写出BG的长(不写过程),若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于2【解析】分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理可得FQ=12BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下:过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD∴,=AC,∴BD=AC.∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.在△EPO1和△CQO1中,111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.∵CO1=DO1,∴O1Q=12BD,∴FQ=12BD.∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE=52,∴BG=52,∴弦BG的长度不变,等于52.点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG∥DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.6.如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B作BE⊥BD,交MN于点E,进而得出:DC+AD= BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中,当△ABD面积取得最大值时,若CD长为1,请直接写BD的长.【答案】(1)2;(2)AD ﹣DC=2BD ;(3)BD=AD=2+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC ,AD ,BD 之间的数量关系(2)过点B 作BE ⊥BD ,交MN 于点E .AD 交BC 于O ,证明CDB AEB ∆∆≌,得到CD AE =,EB BD =,根据BED ∆为等腰直角三角形,得到2DE BD =,再根据DE AD AE AD CD =-=-,即可解出答案.(3)根据A 、B 、C 、D 四点共圆,得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时,△ABD 的面积最大.在DA 上截取一点H ,使得CD=DH=1,则易证2CH AH ==,由BD AD =即可得出答案.【详解】解:(1)如图1中,由题意:BAE BCD ∆∆≌,∴AE=CD ,BE=BD ,∴CD+AD=AD+AE=DE ,∵BDE ∆是等腰直角三角形,∴2BD ,∴2BD ,2.(2)2AD DC BD -=.证明:如图,过点B 作BE ⊥BD ,交MN 于点E .AD 交BC 于O .∵90ABC DBE ∠=∠=︒,∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠,∴ABE CBD ∠=∠.∵90BAE AOB ∠+∠=︒,90BCD COD ∠+∠=︒,AOB COD ∠=∠,∴BAE BCD ∠=∠,∴ABE DBC ∠=∠.又∵AB CB =,∴CDB AEB ∆∆≌,∴CD AE =,EB BD =,∴BD ∆为等腰直角三角形,2DE BD =. ∵DE AD AE AD CD =-=-, ∴2AD DC BD -=.(3)如图3中,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时,△ABD 的面积最大.此时DG ⊥AB ,DB=DA ,在DA 上截取一点H ,使得CD=DH=1,则易证2CH AH == ∴21BD AD ==+.【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质,等腰直角三角形的性质以及图形的应用,正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.7.在O 中,AB 为直径,C 为O 上一点.(Ⅰ)如图①,过点C 作O 的切线,与AB 的延长线相交于点P ,若28CAB ∠=︒,求P ∠的大小;(Ⅱ)如图②,D 为弧AC 的中点,连接OD 交AC 于点E ,连接DC 并延长,与AB 的延长线相交于点P ,若12CAB ∠=︒,求P ∠的大小.【答案】(1)∠P =34°;(2)∠P =27°【解析】【分析】(1)首先连接OC ,由OA=OC ,即可求得∠A 的度数,然后由圆周角定理,求得∠POC 的度数,继而求得答案;(2)因为D 为弧AC 的中点,OD 为半径,所以OD ⊥AC ,继而求得答案.【详解】(1)连接OC ,∵OA =OC ,∴∠A =∠OCA =28°,∴∠POC =56°,∵CP 是⊙O 的切线,∴∠OCP =90°,∴∠P =34°;(2)∵D 为弧AC 的中点,OD 为半径,∴OD ⊥AC ,∵∠CAB =12°,∴∠AOE =78°,∴∠DCA =39°,∵∠P =∠DCA ﹣∠CAB ,∴∠P =27°.【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.8.如图所示,AB 是半圆O 的直径,AC 是弦,点P 沿BA 方向,从点B 运动到点A ,速度为1cm/s ,若10AB cm ,点O 到AC 的距离为4cm .(1)求弦AC 的长;(2)问经过多长时间后,△APC 是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或145s 时,△APC 是等腰三角形; 【解析】 【分析】(1)过O 作OD ⊥AC 于D ,根据勾股定理求得AD 的长,再利用垂径定理即可求得AC 的长;(2)分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可.【详解】(1)如图1,过O 作OD ⊥AC 于D ,易知AO=5,OD=4,从而AD==3,∴AC=2AD=6;(2)设经过t 秒△APC 是等腰三角形,则AP=10﹣t①如图2,若AC=PC ,过点C 作CH ⊥AB 于H ,∵∠A=∠A ,∠AHC=∠ODA=90°,∴△AHC ∽△ADO ,∴AC :AH=OA :AD ,即AC :=5:3,解得t=s ,∴经过s后△APC是等腰三角形;②如图3,若AP=AC,由PB=x,AB=10,得到AP=10﹣x,又∵AC=6,则10﹣t=6,解得t=4s,∴经过4s后△APC是等腰三角形;③如图4,若AP=CP,P与O重合,则AP=BP=5,∴经过5s后△APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或s时,△APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题,解决问题利用了垂径定理,勾股定理等知识点,解题时要注意当△BPC是等腰三角形时,点P的位置有三种情况.9.如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,3PA的长;(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x 的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为⊙O的切线,理由如下:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD,∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线;(2)∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°,∵∠BED=60°,∴∠P=30°,∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°,在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=3,∴0 tan30ODPD=,解得OD=1,∴22PO PD OD=+=2,∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;(3)如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°,即90°+x+2x=180°,解得x=30°,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°,∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=DE=BE,又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.10.已知:BD 为⊙O 的直径,O 为圆心,点A 为圆上一点,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,点C 为⊙O 上一点,且AB =AC ,连接BC 交AD 于点E ,连接AC .(1)如图1,求证:∠ABF =∠ABC ;(2)如图2,点H 为⊙O 内部一点,连接OH ,CH 若∠OHC =∠HCA =90°时,求证:CH =12DA ; (3)在(2)的条件下,若OH =6,⊙O 的半径为10,求CE 的长.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)215. 【解析】【分析】 ()1由BD 为O 的直径,得到D ABD 90∠∠+=,根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=,根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=,等量代换即可得到结论;()2如图2,连接OC ,根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=,根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=,ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+,根据相似三角形的性质即可得到结论;()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OH OC==,根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=,根据全等三角形的性质得到BF BE =,AF AE =,根据射影定理得到212AF 916==,根据相交弦定理即可得到结论. 【详解】()1BD 为O 的直径, 90BAD ∴∠=,90D ABD ∴∠+∠=,FB 是O 的切线,90FBD ∴∠=,90FBA ABD ∴∠+∠=, FBA D ∴∠=∠,AB AC =,C ABC ∴∠=∠,C D ∠=∠,ABF ABC ∴∠=∠;()2如图2,连接OC ,90OHC HCA ∠=∠=, //AC OH ∴,ACO COH ∴∠=∠,OB OC =,OBC OCB ∴∠=∠,ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠, 即ABD ACO ∠=∠,ABC COH ∴∠=∠,90H BAD ∠=∠=,ABD ∴∽HOC ,2AD BD CH OC∴==, 12CH DA ∴=; ()3由()2知,ABC ∽HOC , 2AB BD OH OC∴==, 6OH =,O 的半径为10, 212AB OH ∴==,20BD =, 2216AD BD AB ∴=-=, 在ABF 与ABE 中,90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩, ABF ∴≌ABE ,BF BE ∴=,AF AE =,90FBD BAD ∠=∠=,2AB AF AD ∴=⋅,212916AF ∴==, 9AE AF ∴==,7DE ∴=,15BE ==, AD ,BC 交于E ,AE DE BE CE ∴⋅=⋅,9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===. 【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的性质,勾股定理,射影定理,相交弦定理,正确的识别图形是解题的关键.。

圆中考真题精选汇编二A

圆中考真题精选汇编二A

圆中考真题精选汇编二1、(2010苏州)如图1,已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E ,则△ABE 面积的最小值是( )A 、2B 、1C 、222-D 、22-2、(2010临沂)如图2,直径AB 为6的半圆,绕A 点逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ',则图中阴影部分的面积是 ( )A 、6πB 、5πC 、4πD 、3π3、(2010陕西)如图3,点A 、B 、P 在⊙O 上,且50APB ∠=。

若点M 是⊙O 上的动点,要使△ABM 为等腰三角形,则所有符合条件的点M 有( )A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个~4、(2010上海)已知圆O 1、圆O 2的半径不相等,圆O 1的半径长为3,若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3,则圆O 1与圆O 2的位置关系是( )A 、相交或相切B 、相切或相离C 、相交或内含D 、相切或内含5、(2010武汉)如右图,⊙O 的直径AB 的长为10,弦AC 长为6,ACB ∠的平分线交⊙O 于D ,则CD 长为( )A 、7B 、72C 、82D 、 96、(2010年山西)如图6是以AB 为直径的半圆形纸片,AB =6cm ,沿着垂直于AB 的半径OC 剪开,将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ’A ’C ’ .如图2,其中O ’是OB 的中点.O ’C ’交BC ⌒ 于点F ,则BF ⌒的长为_______cm 。

B '第1题 第2题 |,BOC CBA O O’C’…图2F7、(2010杭州)如图7,已知△ABC,6==BCAC,︒=∠90C.O是AB的中点,⊙O与AC,BC 分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一个交点,连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.|8、(2010兰州)如图8,扇形OAB,∠AOB=90︒,⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E,并且与弧AB切于点C,则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是.9、(2010福州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,(1)求证:CB∥PD;(2)若BC=3,sin P=35,求⊙O的直径。

全国中考数学圆的综合的综合中考真题汇总附答案解析

全国中考数学圆的综合的综合中考真题汇总附答案解析

全国中考数学圆的综合的综合中考真题汇总附答案解析一、圆的综合1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求证:直线DM是⊙O的切线;(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF•DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示,连接OD.∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴¶¶BD CD=,∴OD⊥BC.又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.又∵OD为⊙O半径,∴直线DM是⊙O的切线.(2)连接BE.∵E为内心,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即∠BED=∠DBE,∴BD=DE.又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴DF DBDB DA=,即DB2=DF•DA.∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DF•DA=12,∴DB=DE=23.【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.如图,A、B两点的坐标分别为(0,6),(0,3),点P为x轴正半轴上一动点,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中点.(1)求证:A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当⊙M与x轴相切时,求点Q的坐标;(3)当点P从点(2,0)运动到点(3,0)时,请直接写出线段QM扫过图形的面积.【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为(32,9);(3)63 8.【解析】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= 12 PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

2022年中考数学真题分类汇编:圆2(含答案)

2022年中考数学真题分类汇编:圆2(含答案)

2022数学中考试题汇编圆一、选择题1.(2022·四川省泸州市)如图,AB是⊙O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交⊙O于点E.若AC=4√2,DE=4,则BC的长是( )A. 1B. √2C. 2D. 42.(2022·吉林省长春市)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BCD=121°,则∠BOD的度数为( )A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°3.(2022·贵州省铜仁市)如图,OA,OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.(2022·贵州省贵阳市)如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是( )A. 5B. 5√2C. 5√3D. 5√55.(2022·辽宁省营口市)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为( )A. 4√3B. 8C. 4√2D. 46.(2022·湖北省宜昌市)如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD=( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°7.(2022·四川省宜宾市)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−2,0)、B(4,0),若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点,则a的取值范围是( )A. a≥13B. a>13C. 0<a<13D. 0<a≤138.(2022·辽宁省盘锦市)下列命题正确的是( )A. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等C. 过任意三点可以画一个圆D. 对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形9.(2022·湖北省十堰市)如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,点D是弧AC上一动点(不与A,C重合),下列结论:①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB,其中一定正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.(2022·广西壮族自治区河池市)如图,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是( )A. 25°B. 35°C. 40°D. 50°11.(2022·广东省深圳市)已知三角形ABE为直角三角形,∠ABE=90°,BC为圆O切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE面积之比为( )A. 1:3B. 1:2C. √2:2D. (√2−1):112.(2022·四川省德阳市)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 413.(2022·湖南省娄底市)如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是( )A. √3π18B. √318C. √3π9D. √3914.(2022·吉林省)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在⊙A内且点B在⊙A外时,r的值可能是(A. 2B. 3C. 4D. 515.(2022·山东省青岛市)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB⏜上,则∠CME的度数为( )A. 30°B. 36°C. 45°D. 60°16.(2022·四川省内江市)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为6,则这个正六边形的边心距OM和BC⏜的长分别为( )A. 4,π3B. 3√3,π C. 2√3,4π3D. 3√3,2π17.(2022·河北省)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与AMB⏜所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°,则AMB⏜的长是( )A. 11πcmB. 112πcm C. 7πcm D. 72πcm18.(2022·贵州省毕节市)如图,一件扇形艺术品完全打开后,AB,AC夹角为120°,AB的长为45cm,扇面BD的长为30cm,则扇面的面积是( )A. 375πcm2B. 450πcm2C. 600πcm2D. 750πcm219.(2022·广西壮族自治区贺州市)如图,在等腰直角△OAB中,点E在OA上,以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F,连接EF,已知阴影部分面积为π−2,则EF的长度为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 3√220.(2022·四川省德阳市)一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是( )A. 16πB. 52πC. 36πD. 72π21.(2022·四川省遂宁市)如图,圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是( )cm2A. 175π3cm2B. 175π2C. 175πcm2D. 350πcm222.(2022·四川省广安市)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2m,圆锥的高AC=1.5m,圆柱的高CD=2.5m,则下列说法错误的是( )A. 圆柱的底面积为4πm2B. 圆柱的侧面积为10πm2C. 圆锥的母线AB长为2.25mD. 圆锥的侧面积为5πm223.(2022·广西壮族自治区贺州市)某餐厅为了追求时间效率,推出一种液体“沙漏”免单方案(即点单完成后,开始倒转“沙漏”,“沙漏”漏完前,客人所点的菜需全部上桌,否则该桌免费用餐).“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图(1)所示,已知圆锥体底面半径是6cm,高是6cm;圆柱体底面半径是3cm,液体高是7cm.计时结束后如图(2)所示,求此时“沙漏”中液体的高度为( )A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm二、填空题24.(2022·上海市)如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为______.(结果保留π)25.(2022·湖南省郴州市)如图,点A.B,C在⊙O上,∠AOB=62°,则∠ACB=______度.26.(2022·甘肃省)如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,若∠ABC=110°,则∠ADC=______°.27.(2022·内蒙古自治区通辽市)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,若AB=2√3,BC=3,点P从B点出发,在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP,当C,P两点距离最小时,动点P的运动路径长为______.28.(2022·上海市)定义:有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作“等弦圆”,现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形,当等弦圆最大时,这个圆的半径为______.29.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,⊙O为Rt△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为(结果保留π)______.30.(2022·辽宁省营口市)如图,在正六边形ABCDEF中,连接AC,CF,则∠ACF=______度.31.(2022·辽宁省盘锦市)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,以AB为直径的⊙O交边BC,AC于D,E两点,AC=2,则DE⏜的长是______.32.(2022·山东省青岛市)如图,AB是⊙O的切线,B为切点,OA与⊙O交于点C,以点A为圆心、以OC的长为半径作EF⏜,分别交AB,AC于点E,F.若OC=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为______.33.(2022·黑龙江省)已知圆锥的高是12,底面圆的半径为5,则这个圆锥的侧面展开图的周长为______.三、解答题34.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B,直线PO交⊙O于点D、E,交AB于点C.(1)求证:∠ADE=∠PAE.(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.35.(2022·辽宁省营口市)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O与AC交于点E,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证:∠D=∠EBC;(2)若CD=2BC,AE=3,求⊙O的半径.36.(2022·山东省威海市)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;(2)若BC=3,⊙O的半径为2,求sin∠BAC.37.(2022·山东省烟台市)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=45°.(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,若AB与切线AD所夹的锐角为75°,⊙O的半径为2,求BC的长.38.(2022·辽宁省盘锦市)如图,四边形ABCD是正方形,点A,点B在⊙O上,边DA的延长线交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.(1)求证:BG与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为1,求AF的长.39.(2022·山东省聊城市)如图,点O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,∠AOD=∠EOD.(1)连接AF,求证:AF是⊙O的切线;(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.40.(2022·江苏省泰州市)如图①,矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方,线段AB与点E、F都在直线l上,且AB=7,EF=10,BC>5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发,沿射线EF方向运动,矩形ABCD随之运动,运动时间为t秒.(1)如图②,当t=2.5时,求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度;(2)在点B运动的过程中,当AD、BC都与半圆O相交时,设这两个交点为G、H.连接OG、OH,若∠GOH为直角,求此时t的值.41.(2022·内蒙古自治区通辽市)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,以O为圆心,OB的长为半径的圆交边AB于点D,点C在边OA上且CD=AC,延长CD交OB的延长线于点E.(1)求证:CD是圆的切线;(2)已知sin∠OCD=4,AB=4√5,求AC长度及阴影部分面积.51..【答案】C【解析】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,∵OD⊥AC,∴点D是AC的中点,∴OD是△ABC的中位线,BC,∴OD//BC,且OD=12设OD=x,则BC=2x,∵DE=4,∴OE=4−x,∴AB=2OE=8−2x,在Rt△ABC中,由勾股定理可得,AB2=AC2+BC2,∴(8−2x)2=(4√2)2+(2x)2,解得x=1.∴BC=2x=2.故选:C.2.【答案】C【解析】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠A=180°−121°=59°,∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°,故选:C.3.【答案】B【解析】解:∵OA,OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,∠AOB=80°,∠AOB=40°.∴∠C=12故选:B.4.【答案】A【解析】解:连接OE,BD=5,由已知可得,OE=OB=12∵∠ABC=60°,∴△BOE是等边三角形,∴BE=OB=5,故选:A.5..【答案】A【解析】解:连接AB,如图所示,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.∵∠ADC=30°,∴∠ABC=∠ADC=30°.∴在Rt△ABC中,tan∠ABC=AC,BC∴BC=AC.tan∠ABC∵AC=4,=4√3.∴BC=4tan30∘故选:A.6..【答案】B【解析】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∠C=110°,∴∠A=70°,∵∠BOD=2∠A=140°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°,∴∠OBD=20°,故选:B.7..【答案】A【解析】解:把A(−2,0)、B(4,0)代入y =ax 2+bx +c 得,{4a −2b +c =016a +4b +c =0, 解得{b =−2a c =−8a, ∴抛物线的解析式为:y =ax 2−2ax −8a =a(x −1)2−9a ,设P(t,a(t −1)2−9a)为x 轴下方的抛物线上的点,则−2<t <4,设C 为AB 的中点,则C(1,0),∵以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点,∴CP ≥12AB ,即CP ≤3,∴(t −1)2+[a(t −1)2−9a]2≥9,∴a 2≥19−(t−1)2,∴a ≤√9−(t−1)2或a ≥√9−(t−1)2, ∵以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点,∴抛物线开口向上,即a >0,∴a ≥√9−(t−1)2, ∵√9−(t−1)2≥√9−0,即√9−(t−1)2≥13, ∴a ≥13.故选:A .8..【答案】D【解析】解:A 选项,对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故该选项不符合题意; B 选项,三角形的内心到三角形三个边的距离相等,故该选项不符合题意; C 选项,不在同一直线上的三点确定一个圆,故该选项不符合题意;D 选项,对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形,故该选项符合题意; 故选:D .9..【答案】C【解析】解:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC =∠ACB =60°,∵AB⏜=AB ⏜,BC ⏜=BC ⏜, ∴∠ADB =∠ACB =60°,∠BDC =∠BAC =60°,∴∠ADB =∠BDC ,故①正确;∵点D是弧AC上一动点,∴AD⏜与CD⏜不一定相等,∴DA与DC不一定相等,故②错误;当DB最长时,DB为⊙O直径,∴∠BDC=90°,∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°,∴DB=2DC,故③正确;在DB上取一点E,使DE=AD,如图:∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形,∴AD=AE,∠DAE=60°,∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD,∴BD=BE+DE=CD+AD,故④正确;∴正确的有①③④,共3个,故选:C.10..【答案】C【解析】解:∵∠ABC=25°,∴∠AOP=2∠ABC=50°,∵PA是⊙O的切线,∴PA⊥AB,∴∠PAO=90°,∴∠P=90°−∠AOP=90°−50°=40°,故选:C.11..【答案】B【解析】解:如图,连接OC,过点B作BM⊥AE于M,∵BC是⊙O的切线,OC为半径,∴OC⊥BC,即∠DCE=90°=∠OCD+∠BCD,∵DE是⊙O的直径,∴∠DCE=90°,∴∠DCA=180°−90°=90°=∠BCD+∠BCA,∴∠OCD=∠BCA,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠ODC=∠BCA,∵∠ABE=90°,∴∠A+∠E=90°=∠E+∠ODC,∴∠A=∠ODC,∴∠A=∠BCA,∴BA=BC,又∵BM⊥AC,∴AM=MC=12AC,∵∠A=∠CDE,∠AMB=∠DCE=90°,∴△ABM∽△DEC,∴AMDC =12=BMEC,∴S△ABCS△DCE =12AC⋅BM12CD⋅EC=BMEC=12,故选:B.12.【答案】C【解析】解:∵E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,故①正确;如图,设△ABC 的外心为O ,∵∠BAC =60°,∴∠BOC =120°,∴∠BEC ≠120°,故②错误;∵∠BAD =∠CAD ,∴BD⏜=DC ⏜, ∵点G 为BC 的中点,∴OD ⊥BC ,∴∠BGD =90°,故③正确;如图,连接BE ,∴BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE ,∵∠DBC =∠DAC =∠BAD ,∴∠DBC +∠EBC =∠EBA +∠EAB ,∴∠DBE =∠DEB ,∴DB =DE ,故④正确.∴一定正确的是①③④,共3个.故选:C .13.【答案】A【解析】解:作AD ⊥BC 于点D ,作BE ⊥AC 于点E ,AD 和BE 交于点O ,如图所示,设AB =2a ,则BD =a ,∵∠ADB =90°,∴AD =√AB 2−BD 2=√3a , ∴OD =13AD =√33a , ∴圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是:π×(√33a)2×122a⋅√3a2=√3π18,故选:A.14.【答案】C【解析】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=√AB2−BC2=4,∵点C在⊙A内且点B在⊙A外,∴3<r<5,故选:C.15.【答案】D【解析】解:连接OC,OD,OE,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴∠COD=∠DOE=60°,∴∠COE=2∠COD=120°,∠COE=60°,∴∠CME=12故选:D.16.【答案】D【解析】解:连接OB、OC,∵六边形ABCDEF为正六边形,=60°,∴∠BOC=360°6∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴BC=OB=6,∵OM⊥BC,BC=3,∴BM=12∴OM=√OB2−BM2=√62−32=3√3,=2π,BC⏜的长为:60π×6180故选:D.17.【答案】A【解析】解:作AO⊥PA,BO⊥AB,AO和BO相交于点O,如图,⏜所在圆相切于点A,B.∵PA,PB分别与AMB∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠P=40°,∴∠AOB=140°,∴优弧AMB对应的圆心角为360°−140°=220°,∴优弧AMB的长是:220π×9180=11π(cm),故选:A.18.【答案】C【解析】解:∵AB的长是45cm,扇面BD的长为30cm,∴AD=AB−BD=15cm,∵∠BAC=120°,∴扇面的面积S=S扇形BAC−S扇形DAE=120π×452360−120π×152360=600π(cm2),故选:C.19.【答案】C【解析】解:设OE=OF=r,则90°×π×r2360∘−12r2=π−2,∴r=±2(舍负),在Rt△OEF中,EF=√22+22=2√2,故选:C.20.【答案】C【解析】解:如图,AB=8,SA=SB=9,所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π,由扇形面积的计算公式得,圆锥侧面展开图的面积为12×8π×9=36π,故选:C.21.【答案】C【解析】解:在Rt△AOC中,AC=√72+242=25(cm),所以圆锥的侧面展开图的面积=12×2π×7×25=175π(cm2).故选:C.22.【答案】C【解析】解:∵底面圆半径DE=2m,∴圆柱的底面积为4πm2,所以A选项不符合题意;∵圆柱的高CD=2.5m,∴圆柱的侧面积=2π×2×2.5=10π(cm2),所以B选项不符合题意;∵底面圆半径DE=2m,即BC=2cm,圆锥的高AC=1.5m,∴圆锥的母线长AB=√1.52+22=2.5(cm),所以C选项符合题意;×2π×2×2.5=5π(cm2),所以D选项符合题意.∴圆锥的侧面积=12故选:C.23.【答案】B【解析】解:如图:∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm,高是6cm,∴△ABC是等腰直角三角形,∴△CDE也是等腰直角三角形,即CD=DE,π×62×6=由已知可得:液体的体积为π×32×7=63π(cm3),圆锥的体积为1372π(cm3),∴计时结束后,圆锥中没有液体的部分体积为72π−63π=9π(cm3),设计时结束后,“沙漏”中液体的高度AD为x cm,则CD=DE=(6−x)cm,π⋅(6−x)2⋅(6−x)=9π,∴13∴(6−x)3=27,解得x=3,∴计时结束后,“沙漏”中液体的高度为3cm,故选:B.24.【答案】400π【解析】解:如图,连接OB,过点O作OD⊥AB于D,∵OD⊥AB,OD过圆心,AB是弦,∴AD=BD=12AB=12(AC+BC)=12×(11+21)=16,∴CD=BC−BD=21−16=5,在Rt△COD中,OD2=OC2−CD2=132−52=144,在Rt△BOD中,OB2=OD2+BD2=144+256=400,∴S⊙O=π×OB2=400π,故答案为:400π.25.【答案】31【解析】解:∵∠AOB=62°,∴∠ACB=12∠AOB=31°,故答案为:31.26.【答案】70【解析】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−110°=70°,故答案为:70.27.【答案】√33π【解析】解:如图,取AB的中点J,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠BAP=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的⊙J上运动,当J,P,C共线时,PC的值最小,在Rt△CBJ中,BJ=√3,BC=3,∴tan∠CJB=BCBJ=√3,∴∠BJC=60°,∴当C,P两点距离最小时,动点P的运动路径长=60π×√3180=√33π.故答案为:√33π.28.【答案】2−√2【解析】解:如图,当⊙O过点C,且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等,即CG=CF=DE,此时⊙O最大,过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线,垂足分别为P、N、M,连接OC,∵CG=CF=DE,∴OP=OM=ON,∵∠C=90°,AB=2,AC=BC,∴AC=BC=√22×2=√2,由12AC⋅OP+12BC⋅ON+12AB⋅OM=S△ABC=12AC⋅BC,设OM=x,则OP=ON=x,∴√2x+√2x+2x=√2×√2,解得x=√2−1,即OP=ON=√2−1,在Rt△CON中,OC=√2ON=2−√2,故答案为:2−√2.29.【答案】5−34π【解析】解:作OD⊥AC于点D,作OE⊥CB于点E,作OF⊥AB 于点F,连接OA、OC、OB,如图,∵∠C=90°,OD=OE=OF,∴四边形CEOD是正方形,∵AC=4,BC=3,∠C=90°,∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5,∵S△ABC=S△AOC+S△COB+S△BOA,∴4×32=4⋅OD2+3⋅OE2+5⋅OF2,解得OD =OE =OF =1,∴图中阴影部分的面积为:4×32−1×1−π×12×34=5−34π, 故答案为:5−34π. 30.【答案】30【解析】解:设正六边形的边长为1,正六边形的每个内角=(6−2)×180°÷6=120°,∵AB =BC ,∠B =120°,∴∠BAC =∠BCA =12×(180°−120°)=30°,∵∠BAF =120°,∴∠CAF =∠BAF −∠BAC =120°−30°=90°,如图,过点B 作BM ⊥AC 于点M ,则AM =CM(等腰三角形三线合一), ∵∠BMA =90°,∠BAM =30°,∴BM =12AB =12,∴AM =√AB 2−BM 2=√12−(12)2=√32, ∴AC =2AM =√3,∵tan∠ACF =AFAC =1√3=√33, ∴∠ACF =30°,故答案为:30.31.【答案】518π【解析】解:连接OE ,OD ,∵AB =AC ,∠A =50°,∴∠B =∠C =180°−50°2=65°,又∵OB =OD ,OA =OE ,∴∠B =∠ODB =65°,∠A =∠OEA =50°,∴∠BOD =50°,∠AOE =80°,∴∠DOE =50°,由于半径为1,∴DE ⏜的长是50×π×1180=518π.故答案为:518π.32.【答案】4−π【解析】解:连接OB,∵AB是⊙O的切线,B为切点,∴∠OBA=90°,∴∠BOA+∠A=90°,由题意得:OB=OC=AE=AF=2,∴阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)=12AB⋅OB−90π×22360=12×4×2−π=4−π,故答案为:4−π.33.【答案】26+10π【解析】解:∵圆锥的底面半径是5,高是12,∴圆锥的母线长为13,∴这个圆锥的侧面展开图的周长=2×13+2π×5=26+10π.故答案为26+10π.34.【答案】(1)证明:连接OA,如图,∵PA为⊙O的切线,∴AO⊥PA,∴∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.∵OA=OE,∴∠OAE=∠AED,∴∠ADE=∠PAE;(2)证明:由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,∵∠DAE=90°,∴∠AED=90°−∠ADE=60°.∵∠AED=∠PAE+∠APE,∴∠APE=∠PAE=30°,∴AE=PE;(3)解:设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,∴OA=OE=6+x2,∴OC=OE−CE=6−x2,OP=OE+PE=14+x2.∵PA、PB为⊙O的切线,∴PA=PB,PO平分∠APB,∴PO⊥AB.∵PA为⊙O的切线,∴AO⊥PA,∴△OAC∽△OPA,∴OAOC =OPOA,∴6+x26−x2=14+x26+x2,即:x2+10x−24=0.解得:x=2或−12(不合题意,舍去),∴CE=2.35.【答案】(1)证明:∵AD与⊙O相切于点A,∴∠DAO=90°,∴∠AEB=90°,∴∠BEC=180°−∠AEB=90°,∴∠ACB+∠EBC=90°,∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∴∠D=∠EBC;(2)解:∵CD=2BC,∴BD=3BC,∵∠DAB=∠CEB=90°,∠D=∠EBC,∴△DAB∽△BEC,∴BDBC =ABEC=3,∴AB=3EC,∵AB=AC,AE=3,∴AE+EC=AB,∴3+EC=3EC,∴EC=1.5,∴AB=3EC=4.5,∴⊙O的半径为2.25.36.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠ADE=∠ABC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE;(2)解:连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,则∠FBC=90°,在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,∴sinF=BCCF =34,∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=34.37.【答案】解:(1)如图,切线AD即为所求;(2)连接OB,OC.∵AD是切线,∴OA⊥AD,∴∠OAD=90°,∵∠DAB=75°,∴∠OAB=15°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=15°,∴∠BOA=150°,∴∠BCA=12∠AOB=75°,∵∠ABC=45°,∴∠BAC=180°−45°−75°=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∵OB=OC=2,∴∠BCO=∠CBO=30°,∵OH⊥BC,∴CH=BH=OC⋅cos30°=√3,∴BC=2√3.38【答案】解:(1)连接BE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=90°,∴BE是圆O的直径,∵∠BAF+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB,∴∠FBG+∠EBF=90°,∴∠OBG=90°,故BG是圆O的切线;(2)如图,连接OA,OF,∵四边形ABCD是正方形,BE是圆的直径,∴∠EFD=90°,∠FDE=45°,∴∠FED=45°,∴∠AOF=90°,∵OA=OF=1,∴AF2=AO2+FO2=1+1=2,∴AF=√2,AF=−√2(舍去).39.【答案】(1)证明:在△AOF和△EOF中,{OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF,∴△AOF≌△EOF(SAS),∴∠OAF=∠OEF,∵BC与⊙O相切,∴OE⊥FC,∴∠OAF=∠OEF=90°,即OA⊥AF,∵OA是⊙O的半径,∴AF是⊙O的切线;(2)解:在Rt△CAF中,∠CAF=90°,FC=10,AC=6,∴AF=√FC2−AC2=8,∵∠OCE=∠FCA=90°,∴△OEC∽△FAC,∴EOAF =COCF,设⊙O的半径为r,则r8=6−r10,解得r=83,在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO=83,∴OF=√AF2+AO2=83√10,∴FD=OF−OD=83√10−83,即FD的长为83√10−83.40.【答案】解:(1)设BC与⊙O交于点M,当t=2.5时,BE=2.5,∵EF=′10,∴OE=12EF=5,∴OB=2.5,∴EB=OE,在正方形ABCD中,∠ABC=90°,∴ME=MO,又∵MO=EO,∴ME=EO=MO,∴△MOE是等边三角形,∴∠EOM=90°,∴l ME ⏜=60π×5180=5π3,即半圆O 在矩形ABCD 内的弧的长度为5π3;(2)连接GO ,HO ,∵∠GOH =90°,∴∠AOG +∠BOH =90°,∵∠AGO +∠AOG =90°,∴∠AGO =∠BOH ,在△AGO 和△OBH 中,{∠AGO =∠BOH ∠GAO =∠HBO OG =OH,∴△AGO≌△BOH(AAS),∴OB =AG =t −5,∵AB =7,∴AE =t −7,∴AO =5−(t −7)=12−t ,在Rt △AGO 中,AG 2+AO 2=OG 2,∴(t −5)2+(12−t)2=52,解得:t 1=8,t 2=9,即t 的值为8或9.41.【答案】(1)证明:如图,连接OD ,∵AC =CD ,∴∠A =∠ADC =∠BDE ,∵∠AOB =90°,∴∠A +∠ABO =90°,又∵OB =OD ,∴∠OBD =∠ODB ,∴∠ODB +∠BDE =90°,即OD⊥EC,∵OD是半径,∴EC是⊙O的切线;(2)解:在Rt△COD中,由于sin∠OCD=45,设OD=4x,则OC=5x,∴CD=√OC2−OD2=3x=AC,在Rt△AOB中,OB=OD=4x,OA=OC+AC=8x,AB=4√5,由勾股定理得,OB2+OA2=AB2,即:(4x)2+(8x)2=(4√5)2,解得x=1或x=−1(舍去),∴AC=3x=3,OC=5x=5,OE=OD=4x=4,∵∠ODC=∠EOC=90°,∠OCD=∠ECO,∴△COD∽△CEO,∴OCEC =CDOC,即5EC =45,∴EC=254,∴S阴影部分=S△COE−S扇形=12×254×4−90π×42360=252−4π=25−8π2,答:AC=3,阴影部分的面积为25−8π2.。

全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总及答案

全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.图 1 和图 2 中,优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2,AB=23,点P为优弧AB上一点(点P 不与A,B 重合),将图形沿BP 折叠,得到点A 的对称点A′.发现:(1)点O 到弦AB 的距离是,当BP 经过点O 时,∠ABA′=;(2)当BA′与⊙O 相切时,如图 2,求折痕的长.拓展:把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M, N 重合)为半圆上一点,将圆形沿NP 折叠,分别得到点M,O 的对称点A′, O′,设∠MNP=α.(1)当α=15°时,过点A′作A′C∥MN,如图 3,判断A′C 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)如图 4,当α= °时,NA′与半圆O 相切,当α= °时,点O′落在NP上.(3)当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时,直接写出β的取值范围.【答案】发现:(1)1,60°;(2)3;拓展:(1)相切,理由详见解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】【分析】发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°,从而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长,根据垂径定理就可求出折痕的长.拓展:(1)过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切;(2)当NA′与半圆相切时,可知ON⊥A′N,则可知α=45°,当O′在PB时,连接MO′,则可知NO′=12MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°<α<30°或45°≤α<90°.【详解】发现:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图1所示,∵⊙O的半径为2,AB=23,∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=12OB=1.∴3.∵OG⊥BP,∴3.∴3.∴折痕的长为3拓展:(1)相切.分别过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.如图3所示,∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆(2)当NA′与半圆O相切时,则ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45当O′在PB上时,连接MO′,则可知NO′=12 MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案为:45°;30°.(3)∵点P,M不重合,∴α>0,由(2)可知当α增大到30°时,点O′在半圆上,∴当0°<α<30°时点O′在半圆内,线段NO′与半圆只有一个公共点B;当α增大到45°时N A′与半圆相切,即线段NO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时,点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合,∴α<90°,∴当45°≤α<90°线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.2.如图,在ABC中,90ACB∠=,BAC∠的平分线AD交BC于点D,过点D作DE AD⊥交AB于点E,以AE为直径作O.()1求证:BC是O的切线;()2若3AC=,4BC=,求tan EDB∠的值.【答案】(1)见解析;(2)1tan 2EDB ∠=. 【解析】【分析】 ()1连接OD ,如图,先证明OD//AC ,再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥,然后根据切线的判定定理得到结论;()2先利用勾股定理计算出AB 5=,设O 的半径为r ,则OA OD r ==,OB 5r =-,再证明BDO ∽BCA ,利用相似比得到r :()35r =-:5,解得15r 8=,接着利用勾股定理计算5BD 2=,则3CD 2=,利用正切定理得1tan 12∠=,然后证明1EDB ∠∠=,从而得到tan EDB ∠的值.【详解】()1证明:连接OD ,如图,AD 平分BAC ∠,12∴∠=∠,OA OD =,23∴∠=∠,13∴∠=∠,//OD AC ∴,AC BC ⊥,OD BC ∴⊥,BC ∴是O 的切线;()2解:在RtACB 中,22345AB =+=, 设O 的半径为r ,则OA OD r ==,5OB r =-,//OD AC , BDO ∴∽BCA ,OD ∴:AC BO =:BA ,即r :()35r =-:5,解得158r =, 158OD ∴=,258OB =, 在Rt ODB 中,2252BD OB OD =-=, 32CD BC BD ∴=-=, 在Rt ACD 中,312tan 132CD AC ∠===, AE 为直径,90ADE ∴∠=,90EDB ADC ∴∠+∠=,190ADC ∠+∠=,1EDB ∴∠=∠,1tan 2EDB ∴∠=. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;也考查了圆周角定理和解直角三角形.3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().AB ()1用直尺和圆规作出AB 所在圆的圆心O ;(要求保留作图痕迹,不写作法) ()2若AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =,,求AB 所在圆的半径.【答案】(1)见解析;(2)50m【解析】分析:()1连结AC 、BC ,分别作AC 和BC 的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O ,如图1;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,根据垂径定理的推论,由C 为AB 的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===,,则CD 20=,设O 的半径为r ,在Rt OAD 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+,然后解方程即可.详解:()1如图1,点O 为所求;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,C 为AB 的中点,OC AB ∴⊥,1402AD BD AB ∴===, 设O 的半径为r ,则20OA r OD OD CD r ==-=-,,在Rt OAD 中,222OA OD AD =+,222(20)40r r ∴=-+,解得50r =,即AB 所在圆的半径是50m .点睛:本题考查了垂径定理及勾股定理的应用,在利用数学知识解决实际问题时,要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来,能将生活中的问题抽象为数学问题.4.如图,AB ,BC 分别是⊙O 的直径和弦,点D 为BC 上一点,弦DE 交⊙O 于点E ,交AB 于点F ,交BC 于点G ,过点C 的切线交ED 的延长线于H ,且HC=HG ,连接BH ,交⊙O 于点M ,连接MD ,ME .求证:(1)DE⊥AB;(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质,证明∠BFG=∠OCH=90°即可;(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质,得出∠HMD=∠BME,再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可.详解:证明:(1)连接OC,∵HC=HG,∴∠HCG=∠HGC;∵HC切⊙O于C点,∴∠OCB+∠HCG=90°;∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠HGC=∠BGF,∴∠OBC+∠BGF=90°,∴∠BFG=90°,即DE⊥AB;(2)连接BE,由(1)知DE⊥AB,∵AB是⊙O的直径,∴,∴∠BED=∠BME;∵四边形BMDE内接于⊙O,∴∠HMD=∠BED,∴∠HMD=∠BME;∵∠BME是△HEM的外角,∴∠BME=∠MHE+∠MEH,∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.点睛:此题综合性较强,主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.5.如图,AB是圆O的直径,射线AM⊥AB,点D在AM上,连接OD交圆O于点E,过点D作DC=DA交圆O于点C(A、C不重合),连接O C、BC、CE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若圆O的直径等于2,填空:①当AD=时,四边形OADC是正方形;②当AD=时,四边形OECB是菱形.【答案】(1)见解析;(2)①1;②3.【解析】试题分析:(1)依据SSS证明△OAD≌△OCD,从而得到∠OCD=∠OAD=90°;(2)①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;②依据菱形的性质得到OE=CE,则△EOC为等边三角形,则∠CEO=60°,依据平行线的性质可知∠DOA=60°,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析:解:∵AM⊥AB,∴∠OAD=90°.∵OA=OC,OD=OD,AD=DC,∴△OAD≌△OCD,∴∠OCD=∠OAD=90°.∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)①∵当四边形OADC是正方形,∴AO=AD=1.故答案为:1.②∵四边形OECB是菱形,∴OE=CE.又∵OC=OE,∴OC=OE=CE.∴∠CEO=60°.∵CE∥AB,∴∠AOD=60°.在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO=1,∴AD=.故答案为:.点睛:本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.6.如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M 为⊙O上一点,并且∠BMC=60°.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O的半径为2,试问BE+CF的值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)证明见试题解析;(2)BE+CF的值是定值,为等边△ABC边长的一半.【解析】试题分析:(1)连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点,由垂径定理的推理得OD⊥BC,∠BOD=∠COD,即可得到∠BOD=∠M=60°,则∠OBD=30°,所以∠ABO=90°,于是得到AB是⊙O的切线;(2)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,由△ABC为正三角形,D为BC 的中点,得到AD平分∠BAC,∠BAC=60°,利用角平分线性质得DM=DN,得∠MDN=120°,由∠EDF=120°,得到∠MDE=∠NDF,于是有△DME≌△DNF,得到ME=NF,得到BE+CF=BM+CN,由BM=12BD,CN=12OC,得到BE+CF=12BC,即可判断BE+CF的值是定值,为等边△ABC边长的一半.试题解析:(1)连结OB、OD,如图1,∵D为BC的中点,∴OD⊥BC,∠BOD=∠COD,∴∠ODB=90°,∵∠BMC=12∠BOC,∴∠BOD=∠M=60°,∴∠OBD=30°,∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABO=60°+30°=90°,∴AB⊥OB,∴AB是⊙O的切线;(2)BE+CF的值是为定值.作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,∵△ABC为正三角形,D为BC的中点,∴AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴DM=DN,∠MDN=120°,∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF ,在△DME 和△DNF 中,∵∠DME=∠DNF .DM=DN ,∠MDE=∠NDF ,∴△DME ≌△DNF ,∴ME=NF ,∴BE+CF=BM ﹣EM+CN+NF=BM+CN ,在Rt △DMB 中,∵∠DBM=60°,∴BM=12BD ,同理可得CN=12OC ,∴BE+CF=12OB+12OC=12BC ,∴BE+CF 的值是定值,为等边△ABC 边长的一半.考点:1.切线的判定;2.等边三角形的性质;3.定值问题;4.探究型;5.综合题;6.压轴题.7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF 3【答案】(1)详见解析;(2633π-. 【解析】【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC ,如图,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC;(2)连接OE,如图,∵△ACB中,∠ACB=90º,∠CAB=2∠B,∴∠B=30º,∠CAB=60º,∴△OCA是等边三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠ABC=90º,∴∠ACD=∠B=30º,∵PC∥AE,∴∠PCA=∠CAE=30º,∴FC=FA,同理,CF=FM,∴AM=2CF=23,Rt△ACM中,易得AC=23×32=3=OC,∵∠B=∠CAE=30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点,如图所示,∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO=3∵△CDO≌△EDO(AAS),∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样,易求93AOE S ∆=, 260333602BOES ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.8.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ,DE ⊥AC ,垂足为E ,交AB 的延长线于点F . (1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)若∠C =60°,AC =12,求BD 的长. (3)若tan C =2,AE =8,求BF 的长.【答案】(1)见解析;(2) 2π;(3)103. 【解析】分析:(1)连接OD ,根据等腰三角形的性质:等边对等角,得∠ABC=∠C ,∠ABC=∠ODB ,从而得到∠C=∠ODB ,根据同位角相等,两直线平行,得到OD ∥AC ,从而得证OD ⊥EF ,即 EF 是⊙O 的切线;(2) 根据中点的性质,由AB=AC=12 ,求得OB=OD=12AB =6,进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形,即∠BOD=600,从而根据弧长公式七届即可;(3)连接AD ,根据直角三角形的性质,由在Rt △DEC 中, tan 2DEC CE== 设CE=x,则DE=2x ,然后由Rt △ADE 中, tan 2AEADE DE∠== ,求得DE 、CE 的长,然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解:(1)连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ,即OD ⊥EF ∴EF 是⊙O 的切线 (2) ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由(1)得:∠C=∠ODB=600 ∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π (3)连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DEC CE== 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900 ∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AEADE DE∠== ∵ AE=8,∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5 ∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF ∴OF OD AF AE = 即:55108BF BF +=+ 解得:BF=103 即BF 的长为103. 点睛:此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.9.(问题情境)如图1,点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点,连接BE 、CE .求证:BCE 1S2=S平行四边形ABCD.(说明:S表示面积)请以“问题情境”为基础,继续下面的探究(探究应用1)如图2,以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O,⊙O与BC边相切于点H,与BD相交于点M.若AD=6,BD=y,AM=x,试求y与x之间的函数关系式.(探究应用2)如图3,在图1的基础上,点F在CD上,连接AF、BF,AF与CE相交于点G,若AF=CE,求证:BG平分∠AGC.(迁移拓展)如图4,平行四边形ABCD中,AB:BC=4:3,∠ABC=120°,E是AB的中点,F在BC上,且BF:FC=2:1,过D分别作DG⊥AF于G,DH⊥CE于H,请直接写出DG:DH的值.【答案】【问题情境】见解析;【探究应用1】18yx=;【探究应用2】见解析;【迁移1927【解析】【分析】(1)作EF⊥BC于F,则S△BCE=12BC×EF,S平行四边形ABCD=BC×EF,即可得出结论;(2)连接OH,由切线的性质得出OH⊥BC,OH=12AD=3,求出平行四边形ABCD的面积=AD×OH=18,由圆周角定理得出AM⊥BD,得出△ABD的面积=12BD×AM=12平行四边形的面积=9,即可得出结果;(3)作BM⊥AF于M,BN⊥CE于N,同图1得:△ABF的面积=△BCE的面积=12平行四边形ABCD的面积,得出12AF×BM=12CE×BN,证出BM=BN,即可得出BG平分∠AGC.(4)作AP⊥BC于P,EQ⊥BC于Q,由平行四边形的性质得出∠ABP=60°,得出∠BAP=30°,设AB=4x,则BC=3x,由直角三角形的性质得出BP=12AB=2x,BQ=12BE,AP=3BP=3,由已知得出BE=2x,BF=2x,得出BQ=x,EQ3x,PF=4x,QF=3x ,QC =4x ,由勾股定理求出AF =x ,CE,连接DF 、DE ,由三角形的面积关系得出AF×DG =CE×DH ,即可得出结果.【详解】(1)证明:作EF ⊥BC 于F ,如图1所示: 则S △BCE =12BC×EF ,S 平行四边形ABCD =BC×EF , ∴12BCEABCDSS =.(2)解:连接OH ,如图2所示: ∵⊙O 与BC 边相切于点H , ∴OH ⊥BC ,OH =12AD =3, ∴平行四边形ABCD 的面积=AD×OH =6×3=18, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠AMD =90°, ∴AM ⊥BD , ∴△ABD 的面积=12BD×AM =12平行四边形的面积=9, 即12xy =9, ∴y 与x 之间的函数关系式y =18x; (3)证明:作BM ⊥AF 于M ,BN ⊥CE 于N ,如图3所示: 同图1得:△ABF 的面积=△BCE 的面积=12平行四边形ABCD 的面积, ∴12AF×BM =12CE×BN , ∵AF =CE , ∴BM =BN ,∴BG 平分∠AGC .(4)解:作AP ⊥BC 于P ,EQ ⊥BC 于Q ,如图4所示: ∵平行四边形ABCD 中,AB :BC =4:3,∠ABC =120°, ∴∠ABP =60°,∴∠BAP =30°,设AB =4x ,则BC =3x ,∴BP=12AB =2x ,BQ =12BE ,AP BP =, ∵E 是AB 的中点,F 在BC 上,且BF :FC =2:1,∴BE =2x ,BF =2x , ∴BQ =x ,∴EQ =3x ,PF =4x ,QF =3x ,QC =4x , 由勾股定理得:AF =22AP PF +=27x ,CE =22EQ QC +=19x ,连接DF 、DE ,则△CDE 的面积=△ADF 的面积=12平行四边形ABCD 的面积, ∴AF×DG =CE×DH ,∴DG :DH =CE :AF =19x :27x 19:27=.【点睛】本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识;本题综合性强,需要添加辅助线,熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键.10.在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和图形W ,如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点,那么称点P 独立于图形W .(1)如图1,已知点A(-2,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B.在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中,独立于AB的点是;(2)如图2,已知点C(-3,0),D(0,3),E(3,0),点P是直线l:y=2x+8上的一个动点.若点P独立于折线CD-DE,求点P的横坐标x p的取值范围;(3)如图3,⊙H是以点H(0,4)为圆心,半径为1的圆.点T(0,t)在y轴上且t>-3,以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为(0,t+3),将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W.若⊙H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.【答案】(1)P2,P3;(2)x P<-5或x P>-53.(3)-3<t<或<t<【解析】【分析】(1)根据点P独立于图形W的定义即可判断;(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断;(3)求出三种特殊位置时t的值,结合图象即可解决问题.【详解】(1)由题意可知:在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中,独立于AB的点是P2,P3.(2)∵C(-3,0),D(0,3),E(3,0),∴直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,由283y xy x+⎧⎨+⎩==,解得52xy-⎧⎨-⎩==,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,由283y xy x+⎧⎨-+⎩==,解得53143xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩==,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53,∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为:x P<-5或x P>-53.(3)如图3-1中,当直线KN与⊙H相切于点E时,连接EH,则EH=EK=1,∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1,∴T(0,1-2),此时t=1-2,∴当-3<t<1-2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.如图3-2中,当线段KN与⊙H相切于点E时,连接EH.22∴T(0,22如图3-3中,当线段MN与⊙H相切于点E时,连接EH.22∴T(0,22∴当2<t<2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.综上所述,满足条件的t的值为-3<t<2或2<t<2【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,一次函数的应用,点P独立于图形W的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会利用特殊位置解决实际问题.。

2023年中考真题与圆有关的压轴题汇编(附详解)

2023年中考真题与圆有关的压轴题汇编(附详解)

2023年中考真题与圆有关的压轴题汇编(附详解)1.(2023·安徽)已知四边形ABCD 内接于O ,对角线BD 是O 的直径.(1)如图1,连接,OA CA ,若OA BD ⊥,求证;CA 平分BCD ∠;(2)如图2,E 为O 内一点,满足,AE BC CE AB ⊥⊥,若33BD =,3AE =,求弦BC的长. 2.(2023·北京)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点E ,BD 平分ABC ∠,BAC ADB ∠=∠.(1)求证DB 平分ADC ∠,并求BAD ∠的大小;(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F .若AC AD =,2BF =,求此圆半径的长.3.(2023·福建)如图,已知ABC ∆内接于,O CO 的延长线交AB 于点D ,交O 于点E ,交O 的切线AF 于点F ,且AF BC ∥.(1)求证:AO BE ∥;(2)求证:AO 平分BAC ∠.4.(2023·广东)综合探究如图1,在矩形ABCD 中()AB AD >,对角线AC BD ,相交于点O ,点A 关于BD 的对称点为A ',连接AA '交BD 于点E ,连接CA '.(1)求证:AA CA '⊥';(2)以点O 为圆心,OE 为半径作圆.①如图2,O 与CD 相切,求证:3AA CA '='; ①如图3,O 与CA '相切,1AD =,求O 的面积.5.(2023·广西) 如图,PO 平分APD ∠,PA 与O 相切于点A ,延长AO 交PD 于点C ,过点O 作OB PD ⊥,垂足为B .(1)求证:PB 是O 的切线; (2)若O 的半径为4,5OC =,求PA 的长.6.(2023·贵州) 如图,已知O 是等边三角形ABC 的外接圆,连接CO 并延长交AB 于点D ,交O 于点E ,连接EA ,EB .(1)写出图中一个度数为30︒的角:_______,图中与ΔACD 全等的三角形是_______; (2)求证:AED CEB ∽△△;(3)连接OA ,OB ,判断四边形OAEB 的形状,并说明理由.7.(2023·河北)如图,点18~P P 是O 的八等分点.若137PP P ,四边形3467P P P P 的周长分别为a ,b ,则下列正确的是( )A. a b <B. a b =C. a b >D. a ,b 大小无法比较8.(2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB 为直径的半圆O ,50cm AB =,如图1和图2所示,MN 为水面截线,GH 为台面截线,MN GH ∥. 计算:在图1中,已知48cm MN =,作OC MN ⊥于点C .(1)求OC 的长.操作:将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当30ANM ∠=︒时停止滚动,如图2.其中,半圆的中点为Q ,GH 与半圆的切点为E ,连接OE 交MN 于点D . 探究:在图2中(2)操作后水面高度下降了多少?(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ,求线段EF 与EQ 的长度,并比较大小.9.(2023·河南)如图,PA 与O 相切于点A ,PO 交O 于点B ,点C 在PA 上,且CB CA =.若5OA =,12PA =,则CA 的长为______.10.(2023·上海)在ABC ∆中7,3,90AB BC C ==∠=︒,点D 在边AC 上,点E 在CA 延长线上,且CD DE =,如果B 过点A ,E 过点D ,若B 与E 有公共点,那么E 半径r 的取值范围是________.11.(2023·上海)如图,在O 中,弦AB 的长为8,点C 在BO 延长线上,且41cos ,52ABC OC OB ∠==.(1)求O 的半径;(2)求BAC ∠的正切值.12.(2023·苏州)如图,AB 是半圆O 的直径,点,C D 在半圆上,CD DB =,连接,,OC CA OD ,过点B 作EB AB ⊥,交OD 的延长线于点E .设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ,若1223S S =,则tan ACO ∠的值为( )A.2 B. 223 C. 75 D. 32∆是O的内接三角形,AB是O的直径, 13.(2023·苏州)如图,ABC==,点F在AB上,连接CF并延长,交O于点D,连接BD,作AC BC5,25⊥,垂足为E.BE CD△∽△;(1)求证:DBE ABCAF=,求ED的长.(2)若214.(2023·天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,等边三角形ABC内接于圆,且顶点A,B均在格点上.(1)线段AB的长为________;(2)若点D在圆上,AB与CD相交于点P.请用无刻度...的直尺,在如图所示的网格中,画出∆为等边三角形,并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)________.点Q,使CPQ15.(2023·天津)在O 中,半径OC 垂直于弦AB ,垂足为D ,60AOC ∠=︒,E 为弦AB 所对的优弧上一点.(1)如图①,求AOB ∠和CEB ∠的大小;(2)如图②,CE 与AB 相交于点F ,EF EB =,过点E 作O 的切线,与CO 的延长线相交于点G ,若3OA =,求EG 的长. 16.(2023·无锡)如图,AB 是O 的直径,CD 与AB 相交于点E .过点D 的圆O 的切线DF AB ∥,交CA 的延长线于点F ,CF CD =.(1)求F ∠的度数;(2)若8DE DC ⋅=,求O 的半径.17.(2023·武汉)如图,,,OA OB OC 都是O 的半径,2ACB BAC ∠=∠.(1)求证:2AOB BOC ∠=∠;(2)若4,5AB BC ==,求O 的半径.18.(2023·杭州) 如图,在O 中,直径AB 垂直弦CD 于点E ,连接,,AC AD BC ,作CF AD ⊥于点F ,交线段OB 于点G (不与点,O B 重合),连接OF .(1)若1BE =,求GE 的长.(2)求证:2BC BG BO =⋅.(3)若FO FG =,猜想CAD ∠的度数,并证明你的结论.19.(2023·宜宾)如图,以AB 为直径的O 上有两点E ,F ,BE EF =,过点E 作直线CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C ,过C 作CM 平分ACD ∠交AE 于点M ,交BE 于点N .(1)求证:CD 是O 的切线;(2)求证:EM EN =;(3)如果N 是CM 的中点,且95AB =,求EN 的长.20.(2023·内江)如图,以线段AB 为直径作O ,交射线AC 于点C ,AD 平分CAB ∠交O 于点D ,过点D 作直线DE AC ⊥,交AC 的延长线于点E ,交AB 的延长线于点F .连接BD 并延长交AC 的延长线于点M .(1)求证:直线DE 是O 的切线;(2)当30F ∠=︒时,判断ABM 的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,1ME =,连接BC 交AD 于点P ,求AP 的长.21.(2023·乐山)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线2y x =--与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,C ,D 是半径为1的O 上两动点,且2CD =,P 为弦CD 的中点.当C ,D 两点在圆上运动时,PAB 面积的最大值是( )A. 8B. 6C. 4D. 322.(2023·乐山)如图,已知O 是Rt ABC △的外接圆,90ACB ∠=︒,D 是圆上一点,E 是DC 延长线上一点,连结AD AE ,,且AD AE CA CE ==,.(1)求证:直线AE 是O 是的切线; (2)若2sin 3E =,O 的半径为3,求AD 的长.23.(2023·广元) 如图,45ACB ∠=︒,半径为2的O 与角的两边相切,点P 是⊙O 上任意一点,过点P 向角的两边作垂线,垂足分别为E ,F ,设2t PE PF =+,则t 的取值范围是 _____.24.(2023·广元)如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,连接AC BC ,,过点C 作O 的切线交AB 延长线于点D ,OF BC ⊥于点E ,交CD 于点F .(1)求证:BCD BOE ∠=∠;(2)若3sin 5CAB ∠=,10AB =,求BD 的长.25.(2023·滨州) 如图,点E 是ABC ∆的内心,AE 的延长线与边BC 相交于点F ,与ABC ∆的外接圆相交于点D .(1)求证:::ABF ACF S S AB AC =△△;(2)求证:::AB AC BF CF =;(3)求证:2AF AB AC BF CF =⋅-⋅;(4)猜想:线段,,DF DE DA 三者之间存在的等量关系.(直接写出,不需证明.)26.(2023·东营) 如图,在ABC 中,AB AC =,以AB 为直径的O 交BC 于点D ,DE AC ⊥,垂足为E .(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30C ∠=︒,23CD =,求BD 的长.27.(2023·济宁) 如图,已知AB 是O 的直径,CD CB =,BE 切O 于点B ,过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ,若2EF BF =.(1)如图1,连接BD ,求证:ADB OBE △≌△;(2)如图2,N 是AD 上一点,在AB 上取一点M ,使60MCN ∠=︒,连接MN .请问:三条线段MN BM DN ,,有怎样的数量关系?并证明你的结论.28.(2023·烟台)如图,在菱形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点,交对角线AC 于点F ,连接OF 交AD 于点G ,且AG GD =.(1)求证:AB 是O 的切线; (2)已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8,求tan ADB ∠的值.29.(2023·临沂)如图,O 是ABC 的外接圆,BD 是O 的直径,,AB AC AE BC =∥,E 为BD 的延长线与AE 的交点.(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若75,2ABC BC ∠=︒=,求CD 的长.30.(2023·聊城) 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,ADC ∠的平分线DE 交AC 于点E .以AD 上的点O 为圆心,OD 为半径作O ,恰好过点E .(1)求证:AC 是O 的切线;(2)若12CD =,3tan 4ABC ∠=,求O 的半径.2023年中考真题与圆有关的压轴题汇编详解1.(2023·安徽)已知四边形ABCD 内接于O ,对角线BD 是O 的直径.(1)如图1,连接,OA CA ,若OA BD ⊥,求证;CA 平分BCD ∠;(2)如图2,E 为O 内一点,满足,AE BC CE AB ⊥⊥,若33BD =,3AE =,求弦BC 的长.【答案】(1)见解析 (2)32BC =【小问1详解】∵对角线BD 是O 的直径,OA BD ⊥ ∴AB AD =.∴BCA DCA ∠=∠.∴CA 平分BCD ∠.【小问2详解】∵对角线BD 是O 的直径.∴90BAD BCD ∠=∠=︒.∴,DC BC DA AB ⊥⊥∵,AE BC CE AB ⊥⊥.∴,,CE DA AE DC ////∴四边形AECD 平行四边形.∴DC AE =.∵33BD =,3AE =.∴33BD =,3DC =.∴BC ==2.(2023·北京)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点E ,BD 平分ABC ∠,BAC ADB ∠=∠.(1)求证DB 平分ADC ∠,并求BAD ∠的大小;(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F .若AC AD =,2BF =,求此圆半径的长.【答案】(1)见解析,90BAD ∠=︒(2)4【小问1详解】解:①BAC ADB ∠=∠∴AB BC =.∴ADB CDB ∠=∠,即DB 平分ADC ∠.∵BD 平分ABC ∠.①ABD CBD ∠=∠.①AD CD =.①AB AD BC CD +=+,即BAD BCD =.①BD 是直径.①90BAD ∠=︒;【小问2详解】解:∵90BAD ∠=︒,CF AD ∥.①180F BAD ∠+∠=︒,则90F ∠=︒.①AD CD =.①AD DC =.①AC AD =.∴AC AD CD ==.∴ADC △是等边三角形,则60ADC ∠=︒.∵BD 平分ADC ∠. ∴1302CDB ADC ∠=∠=︒. ∵BD 是直径. ∴90BCD ∠=︒,则12BC BD =. ∵四边形ABCD 是圆内接四边形.∴180ADC ABC ∠+∠=︒,则120ABC ∠=︒.∴60FBC ∠=︒.∴906030FCB ∠=︒-︒=︒. ∴12FB BC =. ∵2BF =.∴4BC =.∴28BD BC ==.∵BD 是直径. ∴此圆半径的长为142BD =. 3.(2023·福建)如图,已知ABC 内接于,O CO 的延长线交AB 于点D ,交O 于点E ,交O 的切线AF 于点F ,且AF BC ∥.(1)求证:AO BE ∥;(2)求证:AO 平分BAC ∠.【答案】(1)见解析 (2)见解析【小问1详解】证明AF 是O 的切线.AF OA ∴⊥,即90OAF ∠=︒. CE 是O 的直径.90CBE ∴∠=︒.∴90OAF CBE ∠=∠=︒.AF BC ∥.BAF ABC ∴∠=∠.OAF BAF CBE ABC ∴∠-∠=∠-∠,即OAB ABE ∠=∠.AO BE ∴∥.【小问2详解】解:ABE ∠与ACE ∠都是AE 所对的圆周角.ABE ACE ∴∠=∠.OA OC =.ACE OAC ∴∠=∠.ABE OAC ∴∠=∠.由(1)知OAB ABE ∠=∠.OAB OAC ∴∠=∠.AO ∴平分BAC ∠.4.(2023·广东)综合探究如图1,在矩形ABCD 中()AB AD >,对角线AC BD ,相交于点O ,点A 关于BD 的对称点为A ',连接AA '交BD 于点E ,连接CA '.(1)求证:AA CA '⊥';(2)以点O 为圆心,OE 为半径作圆.①如图2,O 与CD 相切,求证:3AA CA '='; ①如图3,O 与CA '相切,1AD =,求O 的面积.【答案】(1)见解析 (2)①见解析;①224π+. 【小问1详解】∵点A 关于BD 的对称点为A '.∴点E 是AA '的中点,90AEO ∠=︒.又∵四边形ABCD 是矩形.∴O 是AC 的中点.∴OE 是ACA '的中位线.∴OE A C '∥∴90AAC AEO ∠'=∠=︒.∴AA CA '⊥'【小问2详解】①过点O 作OF AB ⊥于点F ,延长FO 交CD 于点G ,则90OFA ∠=︒.∵四边形ABCD 是矩形.∴AB CD ,AO BO CO DO ===.∴OCG OAF ∠=∠,90OGC OFA ∠=∠=︒.∵OCG OAF ∠=∠,90OGC OFA ∠=∠=︒,AO CO =.∴()AAS OCG OAF ≌.∴OG OF =.∵O 与CD 相切,OE 为半径,90OGC ∠=︒.∴OG OE =.∴OE OF =又∵90AEO ∠=︒即OE AE ⊥,OF AB ⊥.∴AO 是EAF ∠的角平分线,即OAE OAF ∠=∠.设OAE OAF x ∠=∠=,则OCG OAF x ∠=∠=.又∵CO DO =∴OCG ODG x ∠=∠=∴2AOE OCG ODG x ∠=∠+∠=又∵90AEO ∠=︒,即AEO △是直角三角形.∴90AOE OAE ∠+∠=︒,即290x x +=︒解得:30x =︒.∴30OAE ∠=︒,即30A AC '∠=︒.在Rt A AC '△中,30A AC '∠=︒,90AA C '∠=︒.∴2AC CA '=. ∴()222223AA AC CA CA CA CA ''''=-=-=';①过点O 作OH A C '⊥于点H .∵O 与CA '相切.∴OE OH =,90A HO '∠=︒∵90AAC AEO A EO A HO ''∠'=∠=∠=∠=︒∴四边形A EOH '是矩形.又∵OE OH =.∴四边形A EOH '是正方形.∴OE OH A H '==.又∵OE 是ACA '的中位线. ∴12OE A C '= ∴12A H CH A C ''==∴OH CH = 又∵90A HO '∠=︒.∴45OCH ∠=︒又∵OE A C '∥.∴45AOE ∠=︒又∵90AEO ∠=︒.∴AEO △是等腰直角三角形,AE OE =.设AE OE r ==,则AO DO ==∴)1DE DO OE r r =-=-= 在Rt ADE △中,222AE DE AD +=,1AD =即)222211r r +=∴()2212411r ===+∴O 的面积为:224S r π==. 5.(2023·广西) 如图,PO 平分APD ∠,PA 与O 相切于点A ,延长AO 交PD 于点C ,过点O 作OB PD ⊥,垂足为B .(1)求证:PB 是O 的切线; (2)若O 的半径为4,5OC =,求PA 的长.【答案】(1)见解析 (2)12AP =【小问1详解】①PA 与O 相切于点A .①OA PA ⊥.①PO 平分APD ∠,OB PD ⊥.①OA OB =.①PB 是O 的切线;【小问2详解】①O 的半径为4.①4OA OB ==.①OB PD ⊥,5OC =. ①223BC OC OB =-=,459AC OA OC =+=+=.①BCO ACP ∠=∠.①tan tan BCO ACP ∠=∠.①BO AP BC AC =,即439AP =. ①12AP =.6.(2023·贵州) 如图,已知O 是等边三角形ABC 的外接圆,连接CO 并延长交AB 于点D ,交O 于点E ,连接EA ,EB .(1)写出图中一个度数为30︒的角:_______,图中与ACD 全等的三角形是_______; (2)求证:AED CEB ∽△△;(3)连接OA ,OB ,判断四边形OAEB 的形状,并说明理由.【答案】(1)1∠,2∠,3∠,4∠;BCD △;(2)证明见详解; (3)四边形OAEB 是菱形;【小问1详解】解:∵O 是等边三角形ABC 的外接圆.∴CO 是ACB ∠的角平分线,60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒.∴1230∠=∠=︒.∵CE 是O 的直径.∴90CAE CBE ∠=∠=︒.∴3430∠=∠=︒.∴30︒的角有:1∠,2∠,3∠,4∠.∵CO 是ACB ∠的角平分线.∴90ADC BDC ∠=∠=︒,56903060∠=∠=︒-︒=︒.在ACD 与BCD △中.∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩.∴ACD BCD ≌.故答案为:1∠,2∠,3∠,4∠,BCD △;【小问2详解】证明:∵56∠=∠,3=230∠∠=︒.∴AED CEB ∽△△;【小问3详解】解:连接OA ,OB .∵OA OE OB r ===,5660∠=∠=︒.∴OAE △ ,OBE △是等边三角形.∴OA OB AE EB r ====.∴四边形OAEB 是菱形.7.(2023·河北)如图,点18~P P 是O 的八等分点.若137PP P ,四边形3467P P P P 的周长分别为a ,b ,则下列正确的是( )A. a b <B. a b =C. a b >D. a ,b 大小无法比较【答案】A【详解】连接1223,PP P P .∵点18~P P 是O 的八等分点,即1223345566778148PP P P P P P P P P P P P P P P ======= ∴12233467PP P P P P P P ===,464556781178P P P P P P P P P P PP =+=+= ∴4617P P PP =又∵137PP P 的周长为131737a PPPP P P ++=.四边形3467P P P P 的周长为34466737b PP P P P P P P ++=+. ∴()()34466737131737b a P P P P P P P P PP PP P P ++-++=+-()()12172337131737PP PP P P P P PP PP P P =+++-++122313PP P P PP =-+在123PP P 中有122313PPP P PP >+ ∴1223130b a PP P P PP -=+>-故选A .8.(2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB 为直径的半圆O ,50cm AB =,如图1和图2所示,MN 为水面截线,GH 为台面截线,MN GH ∥. 计算:在图1中,已知48cm MN =,作OC MN ⊥于点C .(1)求OC 的长.操作:将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当30ANM ∠=︒时停止滚动,如图2.其中,半圆的中点为Q ,GH 与半圆的切点为E ,连接OE 交MN 于点D .探究:在图2中(2)操作后水面高度下降了多少?(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ,求线段EF 与EQ 的长度,并比较大小.【答案】(1)7cm ;(2)11cm 2;(3)253cm 3EF =,25π=cm 6EQ ,EF EQ >. 【详解】解:(1)连接OM .∵O 为圆心,OC MN ⊥于点C ,48cm MN =.∴124cm 2MC MN ==. ∵50cm AB =. ∴125cm 2OM AB ==. ∴在Rt OMC 中.222225247cm OC OM MC =-=-=.(2)∵GH 与半圆的切点为E .∴OE GH ⊥∵MN GH ∥∴OE MN ⊥于点D .∵30ANM ∠=︒,25cm ON =.∴125cm 22OD ON ==. ∴操作后水面高度下降高度为:25117cm 22-=. (3)∵OE MN ⊥于点D ,30ANM ∠=︒∴60DOB ∠=︒.∵半圆的中点为Q .∴AQ QB =.∴90QOB ∠=︒.∴30QOE ∠=︒.∴tan EF QOE OE =∠⋅=. 30π2525π==cm 1806EQ ⨯⨯.()25π25π066==>.∴EF EQ >.9.(2023·河南)如图,PA 与O 相切于点A ,PO 交O 于点B ,点C 在PA 上,且CB CA =.若5OA =,12PA =,则CA 的长为______.【答案】103【详解】如图,连接OC .∵PA 与O 相切于点A .∴90OAC ∠=︒;∵OA OB CA CB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴OAC OBC ≌.∴90OAC OBC ∠=∠=︒.∴90PAO PBC ∠=∠=︒.∵P P ∠=∠.∴PAO PBC ∽. ∴PO AO PC BC=. ∵5OA =,12PA =.∴13PO =.设CB CA x ==,则12PC PA CA x =-=-. ∴13512x x=-. 解得103x =. 故CA 的长为103. 故答案为:103. 10.(2023·上海)在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒,点D 在边AC 上,点E 在CA 延长线上,且CD DE =,如果B 过点A ,E 过点D ,若B 与E 有公共点,那么E 半径r 的取值范围是________. 【答案】10210r <≤【详解】解:由题意画出图形如下:连接BE .B 过点A ,且7AB =.B 的半径为7. E 过点D ,它的半径为r ,且CD DE =.2CE CD DE r ∴=+=.3,90BC C =∠=︒. 22294BE BC CE r ∴=+=+,22210AC AB BC =-=.D 在边AC 上,点E 在CA 延长线上.CD AC CE AC ≤⎧∴⎨>⎩,即2102210r r ⎧≤⎪⎨>⎪⎩. 10210r ∴<≤.B 与E 有公共点.AB DE BE AB DE ∴-≤≤+,即22947794r r r r ⎧+≤+⎪⎨-≤+⎪⎩①②. 不等式①可化为2314400r r --≤.解方程2314400r r --=得:2r =-或203r =. 画出函数231440y r r =--的大致图象如下:由函数图象可知,当0y ≤时,2023r -≤≤. 即不等式①的解集为2023r -≤≤.同理可得:不等式②的解集为2r ≥或203r ≤-. 则不等式组的解集为2023r ≤≤.又10r <≤①①r r <≤.r <≤11.(2023·上海)如图,在O 中,弦AB 的长为8,点C 在BO 延长线上,且41cos ,52ABC OC OB ∠==.(1)求O 的半径;(2)求BAC ∠的正切值.【答案】(1)5 (2)94 【小问1详解】解:如图,延长BC ,交O 于点D ,连接AD .由圆周角定理得:90BAD ∠=︒.弦AB 的长为8,且4cos 5ABC ∠=. 845AB BD BD ∴==. 解得10BD =.O ∴的半径为152BD =. 【小问2详解】 解:如图,过点C 作CE AB ⊥于点E .O 的半径为5.5OB ∴=.12OC OB =. 31522BC OB ∴==. 4cos 5ABC ∠=. 45BE BC ∴=,即41552BE =. 解得6BE =.2AE AB BE ∴=-=,2292CE BC BE =-=. 则BAC ∠的正切值为99224CE AE ==. 12.(2023·苏州)如图,AB 是半圆O 的直径,点,C D 在半圆上,CD DB =,连接,,OC CA OD ,过点B 作EB AB ⊥,交OD 的延长线于点E .设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ,若1223S S =,则tan ACO ∠的值为( )A. 2B. 223 C . 75 D. 32 【答案】A【详解】解:如图,过C 作CH AO ⊥于H .∵CD BD =.∴COD BOE CAO ∠=∠=∠.∵1223S S =,即122132OA CH OB BE =. ∴23CH BE =. ∵A BOE ∠=∠.∴tan tan A BOE ∠=∠.∴CH BE AH OB =,即23CH AH BE OB ==. 设2AH m =,则3BO m AO CO ===.∴32OH m m m =-=.∴22922CH m m m =-=.∴22tan 22CH m A AH m∠===.∵OA OC =.∴A ACO ∠=∠.∴tan ACO ∠=; 故选A.13.(2023·苏州)如图,ABC 是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,5,25AC BC ==,点F 在AB 上,连接CF 并延长,交O 于点D ,连接BD ,作BE CD ⊥,垂足为E .(1)求证:DBE ABC △∽△;(2)若2AF =,求ED 的长.【答案】(1)证明见解析(2)355【小问1详解】证明:∵AB 是O 的直径,BE CD ⊥.∴90ACB BED ∠=︒=∠.∵CAB CDB ∠=∠.∴DBE ABC △∽△.【小问2详解】∵5,25AC BC ==,90ACB ∠=︒. ∴225AB AC BC =+=,1tan 2AC ABC BC ∠==. ∵2AF =.∴3BF =.∵DBE ABC △∽△.∴ABC DBE ∠=∠. ∴1tan tan 2DE ABC DBE BE ∠=∠==.设DE x =,则2BE x =,BD =. ∵AFC BFD ∠=∠,CAB CDB ∠=∠.∴ACF DBF ∽. ∴AC AF CF BD DF BF==.2DF=,则2DF x =. ∴EF x DE ==.∴3BD BF ==.∴5DE =. 14.(2023·天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,等边三角形ABC 内接于圆,且顶点A ,B 均在格点上.(1)线段AB 的长为________;(2)若点D 在圆上,AB 与CD 相交于点P .请用无刻度...的直尺,在如图所示的网格中,画出点Q ,使CPQ 为等边三角形,并简要说明点Q 的位置是如何找到的(不要求证明)________.【答案】(1)29(2)画图见解析;如图,取,AC AB 与网格线的交点E ,F ,连接EF 并延长与网格线相交于点G ;连接DB 与网格线相交于点H ,连接HF 并延长与网格线相交于点I ,连接AI 并延长与圆相交于点K ,连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ,则点Q 即为所求【小问1详解】 解:222529AB =+=;故答案为:29.【小问2详解】解:如图,取,AC AB 与网格线的交点E ,F ,连接EF 并延长与网格线相交于点G ;连接DB 与网格线相交于点H ,连接HF 并延长与网格线相交于点I ,连接AI 并延长与圆相交于点K ,连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ,则点Q 即为所求;连接PQ ,,AD BK ,过点E 作ET ⊥网格线,过点G 作GS ⊥网格线.由图可得:∵AJF BLF ∠=∠,AFJ BFL ∠=∠,AJ BL =.①()Rt Rt AAS AJF BLF ≌.①FJ FL =,AF BF =.①MJ NL =.①FJ MJ FL NL -=-,即FM FN =.①IMF HNF ∠=∠,IFM HFN ∠=∠.①()Rt Rt ASA IMF HNF ≌.①FI FH =.①AFI BFH ∠=∠,AF BF =.①()SAS AIF BHF ≌.①FAI FBH ∠=∠.①AD BK =.①12∠=∠.①ABC 是等边三角形.①60ACB ∠=︒,即1+60PCB ∠∠=︒.①2+60PCB ∠∠=︒,即60PCQ ∠=︒.①ET GS =,ETF GSF ∠=∠,EFT GFS ∠=∠.①()Rt Rt AAS ETF GSF ≌.①EF GF =.①AF BF =,AFE BFG ∠=∠.①()SAS AFE BFG ≌.①EAF GBF ∠=∠.①60GBF EAF CBA ∠=∠=∠=︒.①18060CBQ CBA GBF ∠=︒-∠-∠=︒.①CBQ CAB ∠=∠.①CA CB =.①()ASA CAP CBQ ≌.①CQ CP =.①60PCQ ∠=︒.①PCQ △是等边三角形,此时点Q 即为所求;故答案为:如图,取,AC AB 与网格线的交点E ,F ,连接EF 并延长与网格线相交于点G ;连接DB 与网格线相交于点H ,连接HF 并延长与网格线相交于点I ,连接AI 并延长与圆相交于点K ,连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ,则点Q 即为所求.15.(2023·天津)在O 中,半径OC 垂直于弦AB ,垂足为D ,60AOC ∠=︒,E 为弦AB 所对的优弧上一点.(1)如图①,求AOB ∠和CEB ∠的大小;(2)如图②,CE 与AB 相交于点F ,EF EB =,过点E 作O 的切线,与CO 的延长线相交于点G ,若3OA =,求EG 的长.【答案】(1)120AOB ∠=︒,30CEB ∠=︒ (2)3 【小问1详解】解:在O 中,半径OC 垂直于弦AB .∴AC BC =,得AOC BOC ∠=∠.∵60AOC ∠=︒.∴2120AOB AOC ∠=∠=︒.∵1122CEB BOC AOC ∠=∠=∠. ∴30CEB ∠=︒.【小问2详解】解:如图,连接OE .同(1)得30CEB ∠=︒.∵在BEF △中,EF EB =.∴75EBF EFB ∠=∠=︒.∴2150AOE EBA ∠=∠=︒.又180120AOG AOC ∠=︒-∠=︒.∴30GOE AOE AOG ∠=∠-∠=︒.∵GE 与O 相切于点E .∴OE GE ⊥,即90OEG ∠=︒.在Rt OEG △中,tan ,3EG GOE OE OA OE∠===. ∴3tan 303EG =⨯︒=.16.(2023·无锡)如图,AB 是O 的直径,CD 与AB 相交于点E .过点D 的圆O 的切线DF AB ∥,交CA 的延长线于点F ,CF CD =.(1)求F ∠的度数;(2)若8DE DC ⋅=,求O 的半径.【答案】(1)67.5︒(2)2【小问1详解】如图,连接OD .FD 为O 的切线.∴90ODF ∠=︒.DF AB ∥.∴90AOD ∠=︒.AD AD =. ∴1452ACD AOD ∠=∠=︒. CF CD =.∴1(180)67.52F ACD ∠∠=⨯-=︒. 【小问2详解】如图,连接AD .AO OD =,90AOD ∠=︒.∴45EAD ∠=︒.45ACD ∠=︒.∴ACD EAD ∠=∠,且ADE CDA ∠=∠.∴DAE DCA ∽.∴DE DA DA DC=,即28DA DE DC =⋅=. ∴22DA =.∴222OA OD AD ===,即半径为2. 17.(2023·武汉)如图,,,OA OB OC 都是O 的半径,2ACB BAC ∠=∠.(1)求证:2AOB BOC ∠=∠;(2)若4,5AB BC ==,求O 的半径.【答案】(1)见解析 (2)52 【小问1详解】证明:∵AB AB =.∴12ACB AOB ∠=∠. ∵BC BC =.∴12BAC BOC ∠=∠. 2ACB BAC ∠=∠.2AOB BOC ∴∠=∠.【小问2详解】解:过点O 作半径OD AB ⊥于点E ,则1,2∠=∠=DOB AOB AE BE . BOC AOB ∠=∠2 .∴DOB BOC ∠=∠.BD BC ∴=.4,5==AB BC .2,5∴==BE DB .在Rt BDE △中,90DEB =︒∠221∴=-=DE BD BE .在Rt BOE 中,90OEB ∠=︒.222(1)2∴=-+OB OB .52OB ∴=,即O 的半径是52.18.(2023·杭州) 如图,在O 中,直径AB 垂直弦CD 于点E ,连接,,AC AD BC ,作CF AD ⊥于点F ,交线段OB 于点G (不与点,O B 重合),连接OF .(1)若1BE =,求GE 的长.(2)求证:2BC BG BO =⋅.(3)若FO FG =,猜想CAD ∠的度数,并证明你的结论.【答案】(1)1 (2)见解析(3)45CAD ∠=︒,证明见解析【小问1详解】解:直径AB 垂直弦CD .∴90AED ∠=︒.∴90DAE D ∠+∠=︒.CF AD ⊥.∴90FCD D ∠+∠=︒.∴DAE FCD ∠=∠.由圆周角定理得:DAE BCD ∠=∠.∴BCD FCD ∠=∠.在BCE 和GCE 中.BCE GCE CE CEBEC GEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩. ∴BCE GCE≌()ASA .∴1GE BE ==; 【小问2详解】 证明:AB 是O 的直径.∴90ACB ∠=︒.在ACB △和CEB 中.90ACB CEB ABC CBE∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩. ∴ACB △CEB ∽.∴BC BA BE BC=. ∴2BC BA BE =⋅.由(1)知GE BE =.∴12BE BG =. 又2AB BO =. ∴2122BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅; 【小问3详解】解:45CAD ∠=︒,证明如下:如图,连接OC .FO FG=.∴FOG FGO∠=∠.直径AB垂直弦CD.∴CE DE=,90AED AEC∠=∠=︒,又AE AE=.∴ACE△ADE≌()SAS.∴DAE CAE∠=∠.设DAE CAEα∠=∠=,FOG FGOβ∠=∠=.则FCD BCD DAEα∠=∠=∠=,OA OC=.∴OCA OACα∠=∠=.又90ACB∠=︒.∴903OCF ACB OCA FCD BCDα∠=∠-∠-∠-∠=︒-.CGE OGFβ∠=∠=,GCEα∠=,90CGE GCE∠+∠=︒∴90βα+=︒.∴90αβ=︒-.2COG OAC OCAααα∠=∠+∠=+=.∴()2290180 COF COG GOFαββββ∠=∠+∠=+=︒-+=︒-. ∴COF AOF∠=∠.COF和AOF中.CO AOCOF AOFOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SASCOF AOF≌,∴OCF OAF∠=∠.即903αα︒-=.∴22.5α=︒.∴245CADα∠==︒.19.(2023·宜宾)如图,以AB 为直径的O 上有两点E ,F ,BE EF =,过点E 作直线CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C ,过C 作CM 平分ACD ∠交AE 于点M ,交BE 于点N .(1)求证:CD 是O 的切线;(2)求证:EM EN =;(3)如果N 是CM 的中点,且95AB =,求EN 的长.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6【小问1详解】证明:如图所示.①BE EF =.∴12∠=∠.∵OA OE =∴13∠=∠.∴23∠∠=.∴OE AF ∥∵CD AF ⊥.∴OE CD ⊥.∴CD 是O 的切线;【小问2详解】证明:如图所示.①CM 平分ACD ∠ ∴1562DCA ∠=∠=∠ 又∵1122DAC ∠=∠=∠,AD CD ⊥ 则90ADC ∠=︒.∴EMC =∠()()11151804522DAC DCA ADC ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒. ∵AB 是O 的直径.∴90MEN AEB ∠=∠=︒.∴45ENM EMN ∠=∠=︒.∴EM EN =;【小问3详解】解:如图所示,取EC 的中点P ,连接PN .①CD 是O 的切线.∴90CEB OEB ∠+∠=︒.∵90AEB AEO OEB ∠=∠+∠=︒.∴AEO BEC ∠=∠.又OAE OEA ∠=∠.∴BEC OAE ∠=∠.∵N 是MC 的中点,P 是EC 的中点. ∴11,22PN EM PN EM EN ==∥. ∵AE EB ⊥.∴PN EB ⊥.在Rt PEN △中,1tan 2PN PEN EN ∠==. ∵BEC OAE ∠=∠. ∴1tan tan 2EB EAB PEN AE ∠==∠= 设BE b =,则2AE b =.∴AB =∵AB =∴9b =∴18AE =,9EB =.∵BEC EAC ∠=∠,ECB ACE ∠=∠.∴ECB ACE ∽. ∴2AE CE EB CB==. ∵CM 是ACD ∠的角平分线.∴N 到,CD AC 的距离相等,设为d ,在EBC ,设点C 到EB 的距离为h . ∴11221122ENC BNC EC d EN h S S BC d BN h ⨯⨯==⨯⨯. ∴2EN EC BN BC==. ∴263EN EB ==.20.(2023·内江)如图,以线段AB 为直径作O ,交射线AC 于点C ,AD 平分CAB ∠交O 于点D ,过点D 作直线DE AC ⊥,交AC 的延长线于点E ,交AB 的延长线于点F .连接BD 并延长交AC 的延长线于点M .(1)求证:直线DE 是O 的切线;(2)当30F ∠=︒时,判断ABM 的形状,并说明理由;(3)在(2)的条件下,1ME =,连接BC 交AD 于点P ,求AP 的长.【答案】(1)见解析 (2)ABM 是等边三角形,理由见解析(3)433AP =. 【小问1详解】证明:连接OD .∵AD 平分CAB ∠.∴12∠=∠.∵OA OD =.∴32∠=∠.∴31∠=∠.∴OD AC ∥.∵DE AC ⊥.∴OD DE ⊥.∵OD 是O 的半径.。

备战中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

备战中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(1)如图1,在矩形ABCD 中,点O 在边AB 上,∠AOC =∠BOD ,求证:AO =OB ; (2)如图2,AB 是⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点A ,OP 与⊙O 相交于点C ,连接CB ,∠OPA =40°,求∠ABC 的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)25°.【解析】试题分析: (1)根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ,根据矩形的对边相等,每个角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC ,根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ,从而得证结论.(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数.试题解析:(1)∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°,AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB(2)解:∵AB 是O 的直径,PA 与O 相切于点A , ∴PA ⊥AB ,∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°,∴∠AOP=50°,∵OB=OC ,∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB , ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2.如图,已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB ,分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ,AE 交半圆O 于点F ,连接CF . (1)判断直线DE 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)若半圆O 的半径为6,求AC 的长.【答案】(1)直线CE 与半圆O 相切(2)4π【解析】试题分析:(1)结论:DE 是⊙O 的切线.首先证明△ABO ,△BCO 都是等边三角形,再证明四边形BDCG 是矩形,即可解决问题;(2)只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题,求AC 即可解决问题.试题解析:(1)直线CE 与半圆O 相切,理由如下:∵四边形OABC 是平行四边形,∴AB ∥OC.∵∠D=90°,∴∠OCE=∠D=90°,即OC ⊥DE ,∴直线CE 与半圆O 相切.(2)由(1)可知:∠COF=60°,OC=OF ,∴△OCF 是等边三角形,∴∠AOC=120°∴AC 的长为1206180π⨯⨯=4π.3.已知:AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ,BD=CD,连接AD 、AC .(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ,交AB 于点K,求证AK=2OF ;(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析12105【解析】试题分析:(1)由直径所对的圆周角等于90°,得到∠ADB =90°,再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论;(2)连接BE .由同弧所对的圆周角相等,得到∠GAB =∠BEG .再证△KFE ≌△BFE ,得到BF =KF =BK .由OF =OB -BF ,AK =AB -BK ,即可得到结论.(3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.先证CM 垂直平分AG ,得到AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°.再证∠GAF =∠GCM =α.通过证明△AGB ≌△CMG ,得到BG =GM =12AG .再证明∠BGC =∠MCG =α.设BF =KF =a , 可得GF =2a ,AF =4a . 由OK =1,得到OF =a +1,AK =2(a +1),AF = 3a +2,得到3a +2=4a ,解出a 的值,得到AF ,AB ,GF ,FC 的值.由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =, AK =6,可以求出 AH 的长.再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ,利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠,得到∠GAD =45°,则AL =2AH ,即可得到结论.试题解析:解:(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,∴∠ADC =90°.∵BD =CD ,∠BDA =∠CDA ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD ,∴∠BAD =∠CAD .(2)连接BE .∵BG =BG ,∴∠GAB =∠BEG .∵CF ⊥AB ,∴∠KFE =90°.∵EH ⊥AG ,∴∠AHE =∠KFE =90°,∠AKH =∠EKF ,∴∠HAK =∠KEF =∠BEF .∵FE =FE ,∠KFE =∠BFE =90°,∴△KFE ≌△BFE ,∴BF =KF =BK .∵ OF =OB -BF ,AK =AB -BK ,∴AK =2OF .(3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.∵AC =CG , ∴点C 在AG 的垂直平分线上.∵ OA =OG ,∴点O 在AG 的垂直平分线上, ∴CM 垂直平分AG ,∴AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°.∵AF ⊥CG ,∴∠AGC +∠GAF =90°,∴∠GAF =∠GCM =α.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AGB = 90°,∴∠AGB =∠CMG =90°.∵AB =AC =CG ,∴△AGB ≌△CMG ,∴BG =GM =12AG .在Rt △AGB 中, 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== . ∵∠AMC =∠AGB = 90°,∴BG ∥CM , ∴∠BGC =∠MCG =α.设BF =KF =a , 1tan tan 2BF BGF GF α∠===,∴GF =2a ,1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ,AF =4a .∵OK =1,∴OF =a +1,AK =2OF =2(a +1),∴AF =AK +KF =a +2(a +1)=3a +2,∴3a +2=4a ,∴a =2, AK =6,∴AF =4a =8,AB =AC =CG =10,GF =2a =4,FC =CG -GF =6.∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =,设KH =m ,则AH =2m ,∴AK =22(2)m m +=6,解得:m =655,∴AH =2m =1255.在Rt △BFC 中,1tan 3BF BCF FC ∠== .∵∠BAD +∠ABD =90°, ∠FBC +∠BCF =90°,∴∠BCF =∠BAD ,1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ,∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯,∴∠GAD =45°,∴HL=AH ,AL =2AH = 1210.4.如图,AB 是半圆O 的直径,半径OC ⊥AB ,OB =4,D 是OB 的中点,点E 是弧BC 上的动点,连接AE ,DE .(1)当点E 是弧BC 的中点时,求△ADE 的面积;(2)若3tan 2AED ∠= ,求AE 的长; (3)点F 是半径OC 上一动点,设点E 到直线OC 的距离为m ,当△DEF 是等腰直角三角形时,求m 的值.【答案】(1)62ADE S =;(2)1655AE =;(3)23m = ,22m =,71m =-.【解析】【分析】(1)作EH ⊥AB ,连接OE ,EB ,设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a ,则EH =OH =2+a ,根据Rt △AEB 中,EH 2=AH•BH ,即可求出a 的值,即可求出S △ADE 的值;(2)作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE ,设EF =2x ,DF =3x ,根据DF ∥BE 故AF AD EF BD=,得出AF =6x ,再利用Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2,即可求出x ,进而求出AE 的长; (3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论,分别求出m 的值.【详解】解:(1)如图,作EH ⊥AB ,连接OE ,EB ,设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a ,∵点E 是弧BC 中点,∴∠COE =∠EOH =45°,∴EH =OH =2+a ,在Rt △AEB 中,EH 2=AH•BH ,(2+a )2=(6+a )(2﹣a ), 解得a =222±-,∴a =222-,EH=22,S △ADE =1622AD EH =;(2)如图,作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE设EF =2x ,DF =3x∵DF ∥BE ∴AF AD EF BD = ∴622AF x ==3 ∴AF =6x 在Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2(6x )2+(3x )2=(6)2解得x =255AE =8x =1655(3)当点D 为等腰直角三角形直角顶点时,如图设DH =a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ,∴∠DFO=∠EDH∴△ODF ≌△HED∴OD =EH =2在Rt △ABE 中,EH 2=AH•BH(2)2=(6+a )•(2﹣a )解得a =±232-m =23当点E 为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFG≌△DEH设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a在Rt△ABE中,EH2=AH•BH(2+a)2=(6+a)(2﹣a)解得a=222±-∴m=22当点F为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFM≌△FDO设OF=a,则ME=a,MF=OD=2∴EH=a+2在Rt△ABE中,EH2=AH•BH(a+2)2=(4+a)•(4﹣a)-解得a=±71m=71-【点睛】此题主要考查圆内综合问题,解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.5.如图,已知在△ABC中,∠A=90°,(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积.【答案】(1)作图见解析;(2)3π【解析】【分析】(1)与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线,角平分线与AC的交点就是点P的位置.(2)根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径,然后求圆的面积.【详解】解:(1)如图所示,则⊙P为所求作的圆.(2)∵∠ABC=60°,BP平分∠ABC,∴∠ABP=30°,∵∠A=90°,∴BP=2APRt△ABP中,AB=3,由勾股定理可得:AP=3,∴S⊙P=3π6.如图,线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线,点D为圆上一点,满足BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧,连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点,连接EF,分别交AB、BD于点G、H,且EF=BD.(1)求证:EF∥BC;(2)若EH=4,HF=2,求BE的长.【答案】(1)见解析;(2) 233【解析】【分析】(1)根据EF=BD可得EF=BD,进而得到BE DF,根据“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长,根据“在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角,利用锐角三角函数求出∠BHG,进而求出∠BDE的度数,确定BE所对的圆心角的度数,根据∠DFH=90°确定DE为直径,代入弧长公式即可求解.【详解】(1)∵EF=BD,∴EF=BD∴BE DF∴∠D=∠DEF又BD=BC,∴∠D=∠C,∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径,BC为切线,∴AB⊥BC又EF∥BC,∴AB⊥EF,弧BF=弧BE,GF=GE=12(HF+EH)=3,HG=1DB平分∠EDF,又BF∥CD,∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=∠BFH ∴HB=HF=2∴cos∠BHG=HGHB =12,∠BHG=60°.∴∠FDB=∠BDE=30°∴∠DFH=90°,DE为直径,DE=3BE所对圆心角=60°.∴弧BE=163π=233π【点睛】本题是圆的综合题,主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识,掌握圆周角的有关定理,切线的性质,垂径定理及弧长公式是解题关键.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,DE⊥AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若∠C=60°,AC=12,求BD的长.(3)若tan C=2,AE=8,求BF的长.【答案】(1)见解析;(2) 2π;(3)103. 【解析】 分析:(1)连接OD ,根据等腰三角形的性质:等边对等角,得∠ABC=∠C ,∠ABC=∠ODB ,从而得到∠C=∠ODB ,根据同位角相等,两直线平行,得到OD ∥AC ,从而得证OD ⊥EF ,即 EF 是⊙O 的切线;(2) 根据中点的性质,由AB=AC=12 ,求得OB=OD=12AB =6,进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形,即∠BOD=600,从而根据弧长公式七届即可; (3)连接AD ,根据直角三角形的性质,由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ,然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ,求得DE 、CE 的长,然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解:(1)连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ,即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线(2) ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由(1)得:∠C=∠ODB=600∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π (3)连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8,∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即:55108BF BF +=+ 解得:BF=103 即BF 的长为103. 点睛:此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.8.如图①,已知Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,8AC =,10AB =,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作O ,过C 作CE 切O 于E ,交AB 于F .(1)若O 的半径为2,求线段CE 的长;(2)若AF BF =,求O 的半径; (3)如图②,若CE CB =,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离. 【答案】(1)42CE =(2)O 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6. 【解析】【分析】(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得;(2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到OE BC =OC BA ,即r 8-r =610,解得即可;(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,GB GE AB AC=,即12108GE =,解得即可. 【详解】(1)如图,连结OE .∵CE 切O 于E ,∴90OEC ∠=︒.∵8AC =,O 半径为2,∴6OC =,2OE =.∴2242CE OC OE =-=;(2)设O 半径为r .在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,10AB =,8AC =,∴226BC AB AC -=. ∵AF BF =, ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O 于E ,∴90OEC ∠=︒.∴OEC ACB ∠=∠,∴OEC BCA ∆~∆.∴OE OC BC BA =, ∴8610r r -=, 解得3r =.∴O 的半径为3;(3)连结EG 、OE ,设EG 交AC 于点M ,由对称性可知,CB CG =.又CE CB =,∴CE CG =.∴EGC GEC ∠=∠.∵CE 切O 于E ,∴90GEC OEG ∠+∠=︒.又90EGC GMC ∠+∠=︒,∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠,∴OEG OME ∠=∠.∴OE OM =.∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.连结AE 、BE ,∵AD 是直径,∴90AED ∠=︒,即90AEG ∠=︒.又CE CB CG ==,∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒,∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒,B B ∠=∠,∴GBE ABC ∆~∆. ∴GB GE AB AC =,即12108GE =. ∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.9.如图,已知等边△ABC ,AB=16,以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ,过点D 作DF ⊥AC ,垂足为F ,过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,连结GD .(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长;(3)求tan∠FGD的值.【答案】(1)证明见解析;(2)6;(3).【解析】试题分析:(1)连接OD,根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°,根据OD=OB得到∠ODB=60°,得到OD∥AC,根据垂直得出切线;(2)根据中位线得出BD=CD=6,根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度,从而得到AF的长度,最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度;(3)过点D作DH⊥AB,根据垂直得出FG∥DH,根据Rt△BDH求出BH、DH的长度,然后得出∠GDH的正切值,从而得到∠FGD的正切值.试题解析:(1)如图①,连结OD,∵△ABC为等边三角形,∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=6.在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC-CF=12-3=9 在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF·sinA=9×=(3)如图②,过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3.∴tan∠GDH===,∴tan∠FGD=tan∠GDH=考点:(1)圆的基本性质;(2)三角函数.10.如图,AB为⊙O的直径,DA、DC分别切⊙O于点A,C,且AB=AD.(1)求tan∠AOD的值.(2)AC,OD交于点E,连结BE.①求∠AEB的度数;②连结BD交⊙O于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1)2;(2)①∠AEB=135°;②22 CH=【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得∠BAD=90°,由题意可得AD=2AO,即可求tan∠AOD的值;(2)①根据切线长定理可得AD=CD,OD平分∠ADC,根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC,AE=CE,根据圆周角定理可求∠ACB=90°,即可证∠ABC=∠CAD,根据“AAS”可证△ABC≌△DAE,可得AE=BC=EC,可求∠BEC=45°,即可求∠AEB的度数;②由BC=1,可求AE=EC=1,BE2=,根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC,可证△ABE∽△HBC,可求CH的长.【详解】(1)∵DA是⊙O切线,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,AB=2AO,∴AD=2AO,∴tan∠AODADAO==2;(2)①∵DA、DC分别切⊙O于点A,C,∴AD=CD,OD平分∠ADC,∴DO⊥AC,AE=CE.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,且∠BAC+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠CAD,且AB=AD,∠ACB=∠AED=90°,∴△ABC≌△DAE(AAS),∴CB=AE,∴CE=CB,且∠ACB=90°,∴∠BEC=45°=∠EBC,∴∠AEB=135°.②如图,∵BC=1,且BC=AE=CE,∴AE=EC=BC=1,∴BE2=.∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°,且∠EBC=45°,∴∠ABE=∠HBC,且∠BAC=∠CHB,∴△ABE∽△HBC,∴BC CHEB AE=,即12CH=,∴CH22=.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,锐角三角函数,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.。

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题汇总含答案解析

人教全国中考数学圆的综合的综合中考真题汇总含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.(1)求证:∠G=∠CEF;(2)求证:EG是⊙O的切线;(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG =34,AH=33,求EM的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)253.【解析】试题分析:(1)由AC∥EG,推出∠G=∠ACG,由AB⊥CD推出AD AC=,推出∠CEF=∠ACD,推出∠G=∠CEF,由此即可证明;(2)欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可;(3)连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△OCH中,利用勾股定理求出r,证明△AHC∽△MEO,可得AH HCEM OE=,由此即可解决问题;试题解析:(1)证明:如图1.∵AC∥EG,∴∠G=∠ACG,∵AB⊥CD,∴AD AC=,∴∠CEF=∠ACD,∴∠G=∠CEF,∵∠ECF=∠ECG,∴△ECF∽△GCE.(2)证明:如图2中,连接OE.∵GF=GE,∴∠GFE=∠GEF=∠AFH,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∵∠AFH+∠FAH=90°,∴∠GEF+∠AEO=90°,∴∠GEO=90°,∴GE⊥OE,∴EG是⊙O的切线.(3)解:如图3中,连接OC.设⊙O的半径为r.在Rt△AHC中,tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34,∵AH=33,∴HC=43,在Rt△HOC中,∵OC=r,OH=r﹣33,HC=43,∴222(33)(43)r r-+=,∴r=2536,∵GM∥AC,∴∠CAH=∠M,∵∠OEM=∠AHC,∴△AHC∽△MEO,∴AH HCEM OE=,∴33432536=,∴EM=253.点睛:本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,正确寻找相似三角形,构建方程解决问题吗,属于中考压轴题.2.四边形ABCD 的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AD 为直径的半圆过点E,圆心为O.(1)如图①,求证:四边形ABCD 为菱形;(2)如图②,若BC 的延长线与半圆相切于点F,且直径AD=6,求弧AE 的长.【答案】(1)见解析;(2)π2【解析】试题分析:(1)先判断出四边形ABCD是平行四边形,再判断出AC⊥BD即可得出结论;(2)先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ,∠ADE =∠CDE ,进而得出∠CDA =30°,最后用弧长公式即可得出结论.试题解析:证明:(1)∵四边形ABCD 的对角线交于点E ,且AE =EC ,BE =ED ,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵以AD 为直径的半圆过点E ,∴∠AED =90°,即有AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 是菱形;(2)由(1)知,四边形ABCD 是菱形,∴△ADC 为等腰三角形,∴AD =DC 且DE ⊥AC ,∠ADE =∠CDE .如图2,过点C 作CG ⊥AD ,垂足为G ,连接FO .∵BF 切圆O 于点F ,∴OF ⊥AD ,且132OF AD ==,易知,四边形CGOF 为矩形,∴CG =OF =3. 在Rt △CDG 中,CD =AD =6,sin ∠ADC =CG CD =12,∴∠CDA =30°,∴∠ADE =15°. 连接OE ,则∠AOE =2×∠ADE =30°,∴3031802AE ππ⋅⨯==.点睛:本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质,熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.3.矩形ABCD 中,点C (3,8),E 、F 为AB 、CD 边上的中点,如图1,点A 在原点处,点B 在y 轴正半轴上,点C 在第一象限,若点A 从原点出发,沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,点B 随之沿y 轴下滑,并带动矩形ABCD 在平面内滑动,如图2,设运动时间表示为t 秒,当点B 到达原点时停止运动. (1)当t =0时,点F 的坐标为 ; (2)当t =4时,求OE 的长及点B 下滑的距离; (3)求运动过程中,点F 到点O 的最大距离;(4)当以点F 为圆心,FA 为半径的圆与坐标轴相切时,求t 的值.【答案】(1)F (3,4);(2)8-43;(3)7;(4)t 的值为245或325. 【解析】试题分析:(1)先确定出DF ,进而得出点F 的坐标; (2)利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°,即可得出结论;(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,即可得出结论; (4)分两种情况,利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析:解:(1)当t =0时.∵AB =CD =8,F 为CD 中点,∴DF =4,∴F (3,4); (2)当t =4时,OA =4.在Rt △ABO 中,AB =8,∠AOB =90°, ∴∠ABO =30°,点E 是AB 的中点,OE =12AB =4,BO =43,∴点B 下滑的距离为843-.(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,∴FO=OE+EF=7.(4)在Rt △ADF 中,FD 2+AD 2=AF 2,∴AF 22FD AD +,①设AO =t 1时,⊙F 与x 轴相切,点A 为切点,∴FA ⊥OA ,∴∠OAB +∠FAB =90°.∵∠FAD +∠FAB =90°,∴∠BAO =∠FAD .∵∠BOA =∠D =90°,∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ,∴AB AO FA FE =,∴1853t=,∴t 1=245,②设AO =t 2时,⊙F 与y 轴相切,B 为切点,同理可得,t 2=325. 综上所述:当以点F 为圆心,FA 为半径的圆与坐标轴相切时,t 的值为245或325. 点睛:本题是圆的综合题,主要考查了矩形的性质,直角三角形的性质,中点的意义,勾股定理,相似三角形的判定和性质,切线的性质,解(2)的关键是得出∠ABO =30°,解(3)的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,解(4)的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ,是一道中等难度的中考常考题.4.如图,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径.∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F .(1)求证:DP∥AB;(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为⊙O的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,再由∠ACD=∠BCD=45°,则∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根据切线的性质得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB.(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于△DAB为等腰直角三角形,可得到AD5222===;由△ACE为等腰直角三角形,得到AE CE3222====,在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=42,则CD=72,易证得∴△PDA∽△PCD,得到PD PA AD52PC PD CD72===,所以PA=57PD,PC=75PD,然后利用PC=PA+AC可计算出PD.【详解】解:(1)证明:如图,连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD=45°.∴∠DAB=∠ABD=45°.∴△DAB为等腰直角三角形.∴DO⊥AB.∵PD为⊙O的切线,∴OD⊥PD.∴DP∥AB.(2)在Rt△ACB中,,∵△DAB 为等腰直角三角形,∴.∵AE ⊥CD ,∴△ACE 为等腰直角三角形.∴.在Rt △AED 中,,∴.∵AB ∥PD ,∴∠PDA=∠DAB=45°.∴∠PAD=∠PCD . 又∵∠DPA=∠CPD ,∴△PDA ∽△PCD .∴.∴PA=75PD ,PC=57PD . 又∵PC=PA+AC ,∴75PD+6=57PD ,解得PD=.5.如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥BC,垂足为H ,连接OB . (1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ,使AG ∥OB ,若∠BAC=600, 求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF :FE=1:9,求sin ∠ADG 的值。

全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总含答案解析

全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.图 1 和图 2 中,优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2,AB=23,点P为优弧AB上一点(点P 不与A,B 重合),将图形沿BP 折叠,得到点A 的对称点A′.发现:(1)点O 到弦AB 的距离是,当BP 经过点O 时,∠ABA′=;(2)当BA′与⊙O 相切时,如图 2,求折痕的长.拓展:把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M, N 重合)为半圆上一点,将圆形沿NP 折叠,分别得到点M,O 的对称点A′, O′,设∠MNP=α.(1)当α=15°时,过点A′作A′C∥MN,如图 3,判断A′C 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)如图 4,当α= °时,NA′与半圆O 相切,当α= °时,点O′落在NP上.(3)当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时,直接写出β的取值范围.【答案】发现:(1)1,60°;(2)3;拓展:(1)相切,理由详见解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】【分析】发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°,从而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长,根据垂径定理就可求出折痕的长.拓展:(1)过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切;(2)当NA′与半圆相切时,可知ON⊥A′N,则可知α=45°,当O′在PB时,连接MO′,则可知NO′=12MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°<α<30°或45°≤α<90°.【详解】发现:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图1所示,∵⊙O的半径为2,AB=23,∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=12OB=1.∴3.∵OG⊥BP,∴3.∴3.∴折痕的长为3拓展:(1)相切.分别过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.如图3所示,∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆(2)当NA′与半圆O相切时,则ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45当O′在PB上时,连接MO′,则可知NO′=12 MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案为:45°;30°.(3)∵点P,M不重合,∴α>0,由(2)可知当α增大到30°时,点O′在半圆上,∴当0°<α<30°时点O′在半圆内,线段NO′与半圆只有一个公共点B;当α增大到45°时N A′与半圆相切,即线段NO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时,点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合,∴α<90°,∴当45°≤α<90°线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.2.如图1,以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.(1)图1中,线段AE=;(2)如图2,在图1的基础上,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),在旋转过程中AD与⊙O交于点F.①当α=30°时,请求出线段AF的长;②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;③当α=°时,DM与⊙O相切.【答案】(1)2(2)①2②2,相离③当α=90°时,DM与⊙O相切【解析】(1)连接BE,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=45°,∴△AEB是等腰直角三角形,又∵AB=8,∴AE=4;(2)①连接OA、OF,由题意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,则∠OAF=60°,又∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∵OA=4,∴AF=OA=4;②连接B'F,此时∠NAD=60°,∵AB'=8,∠DAM=30°,∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;此时DM与⊙O的位置关系是相离;③∵AD=8,直径的长度相等,∴当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,故此时可得α=∠NAD=90°.点睛:此题属于圆的综合题,主要是仔细观察每一次旋转后的图形,根据含30°角的直角三角形进行计算,另外在解答最后一问时,关键是判断出点D的位置,有一定难度.3.如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径.∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.(1)求证:DP∥AB;(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB为⊙O的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,再由∠ACD=∠BCD=45°,则∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根据切线的性质得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB.(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于△DAB为等腰直角三角形,可得到AB10AD5222===;由△ACE为等腰直角三角形,得到AC6AE CE3222====,在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=42,则CD=72,易证得∴△PDA∽△PCD,得到PD PA AD52PC PD CD72===,所以PA=57PD,PC=75PD,然后利用PC=PA+AC可计算出PD.【详解】解:(1)证明:如图,连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD=45°.∴∠DAB=∠ABD=45°.∴△DAB为等腰直角三角形.∴DO⊥AB.∵PD为⊙O的切线,∴OD⊥PD.∴DP∥AB.(2)在Rt△ACB中,,∵△DAB为等腰直角三角形,∴.∵AE⊥CD,∴△ACE为等腰直角三角形.∴.在Rt△AED中,,∴.∵AB∥PD,∴∠PDA=∠DAB=45°.∴∠PAD=∠PCD.又∵∠DPA=∠CPD,∴△PDA∽△PCD.∴.∴PA=75PD,PC=57PD.又∵PC=PA+AC,∴75PD+6=57PD,解得PD=.4.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F . (1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π- 【解析】 【分析】(1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题. 【详解】 (1)连接OD .∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA .∵∠OAD =∠DAC ,∴∠ODA =∠DAC ,∴OD ∥AC ,∴∠ODB =∠C =90°,∴OD ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.(2)连接OE ,OE 交AD 于K . ∵AE DE =,∴OE ⊥AD .∵∠OAK =∠EAK ,AK =AK ,∠AKO =∠AKE =90°,∴△AKO ≌△AKE ,∴AO =AE =OE ,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE =60°,∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-. 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.5.在平面直角坐标系中,已知点A (2,0),点B (0,),点O (0,0).△AOB 绕着O 顺时针旋转,得△A'OB',点A 、B 旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α.(Ⅰ)如图1,A'B'恰好经过点A时,求此时旋转角α的度数,并求出点B'的坐标;(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证:AA'⊥BB';(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)α=60°,B'(3,);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为﹣2.【解析】【分析】(Ⅰ)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,),确定∠ABO=30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α=60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;(Ⅱ)依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',即可得出∠OBB'=∠OA'A =(180°﹣α),再根据∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)作AB的中点M(1,),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解:(Ⅰ)如图1,过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,∴∠ABO=30°,∠BAO=60°,由旋转得:OA=OA',∠A'=∠BAO=60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α=∠AOA'=60°,∵OB=OB'=2,∠COB'=90°﹣60°=30°,∴B'C =OB’=,∴OC=3,∴B'(3,),(Ⅱ)证明:如图2,∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为-2.理由是:如图,作AB的中点M(1,),连接MP,∵∠APB=90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,2),∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P 的轨迹为以点M 为圆心,以MP 为半径的圆.6.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积. 【答案】(1)详见解析;(2)6334π-.【解析】 【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC ,如图,∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ; (2)连接OE ,如图,∵△ACB 中,∠ACB =90º,∠CAB =2∠B,∴∠B =30º,∠CAB =60º,∴△OCA 是等边三角形,∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90º,∴∠ACD =∠B =30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30º,∴FC=FA,同理,CF =FM,∴AM =2CF=23,Rt △ACM 中,易得AC=23×3=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3∵△CDO ≌△EDO(AAS),∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样,易求93AOE S ∆=, 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.7.如图, Rt △ABC 中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F , (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r=12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD=18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)1010,1510,12【解析】【分析】(1)根据切线长定理,有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形,BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC为等量关系列式.(2)∠CPD为弧DH所对的圆周角,连接OD,易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°,所以∠CPD=45°.(3)由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形,故过圆心O作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到∠MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG∥OM,得到同位角∠G=∠MOD.又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G,即得到∠ADB的正切值,进而求得AB.再设CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解:(1)证明:设圆心为O,连接OD、OE、OF,∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得:r=12(a+b-c)(2)取FH 中点O ,连接OD∵FH ∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB 与圆相切于点F ,∴FH 为圆的直径,即O 为圆心∵FH ∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°(3)设圆心为O ,连接DO 并延长交⊙O 于点G ,连接PG ,过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10 ∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM=3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ,∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan∠ADB=ABBD=tan∠MOD=3∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310=610设CE=CD=x,则BC=310+x,AC=610+x∵AB2+BC2=AC2∴(910)2.+(310+x)2=(610+x)2解得:x=910∴BC=1210,AC=1510∴△ABC各边长AB=910,AC=1510,BC=1210【点睛】本题考查切线的性质,切线长定理,正方形的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键,而在不能直接求得线段长的情况下,利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.8.如图,在△ABC中,以AC为直径作⊙O交BC于点D,交AB于点G,且D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,交AC的延长线于点F.(1)求证:直线EF是⊙O的切线;(2)若CF=3,cosA=25,求出⊙O的半径和BE的长;(3)连接CG,在(2)的条件下,求CGEF的值.【答案】(1)见解析;(2)2,65(3)CG:EF=4:7【解析】试题分析:(1)连结OD.先证明OD是△ABC的中位线,根据中位线的性质得到OD∥AB,再由DE⊥AB,得出OD⊥EF,根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线;(2)先由OD∥AB,得出∠COD=∠A,再解Rt△DOF,根据余弦函数的定义得到cos∠FOD==,设⊙O的半径为R,解方程=,求出R=,那么AB=2OD=,解Rt△AEF,根据余弦函数的定义得到cosA==,求出AE=,然后由BE=AB﹣AE即可求解.试题解析:(1)证明:如图,连结OD.∵CD=DB,CO=OA,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AB,AB=2OD,∵DE⊥AB,∴DE⊥OD,即OD⊥EF,∴直线EF是⊙O的切线;(2)解:∵OD∥AB,∴∠COD=∠A.在Rt△DOF中,∵∠ODF=90°,∴cos∠FOD==,设⊙O的半径为R,则=,解得R=,∴AB=2OD=.在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°,∴cosA===,∴AE=,∴BE=AB﹣AE=﹣=2.【点睛】本题考查了切线的判定,解直角三角形,三角形中位线的性质知识点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连结圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.9.如图,已知等边△ABC,AB=16,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长;(3)求tan∠FGD的值.【答案】(1)证明见解析;(2)6;(3).【解析】试题分析:(1)连接OD,根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°,根据OD=OB得到∠ODB=60°,得到OD∥AC,根据垂直得出切线;(2)根据中位线得出BD=CD=6,根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度,从而得到AF的长度,最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度;(3)过点D作DH⊥AB,根据垂直得出FG∥DH,根据Rt△BDH求出BH、DH的长度,然后得出∠GDH的正切值,从而得到∠FGD的正切值.试题解析:(1)如图①,连结OD,∵△ABC为等边三角形,∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=6.在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC-CF=12-3=9 在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF·sinA=9×=(3)如图②,过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3.∴tan∠GDH===,∴tan∠FGD=tan∠GDH=考点:(1)圆的基本性质;(2)三角函数.10.如图,是大半圆的直径,是小半圆的直径,点是大半圆上一点,与小半圆交于点,过点作于点.(1)求证:是小半圆的切线;(2)若,点在上运动(点不与两点重合),设,.①求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②当时,求两点之间的距离.【答案】(1)见解析;(2)①,,②两点之间的距离为或.【解析】【分析】(1)连接CO、CM,只需证到CD⊥CM.由于CD⊥OP,只需证到CM∥OP,只需证到CM 是△AOP的中位线即可.(2)①易证△ODC∽△CDP,从而得到CD2=DP•OD,进而得到y与x之间的函数关系式.由于当点P与点A重合时x=0,当点P与点B重合时x=4,点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),因此自变量x的取值范围为0<x<4.②当y=3时,得到-x2+4x=3,求出x.根据x的值可求出CD、PD的值,从而求出∠CPD,运用勾股定理等知识就可求出P,M两点之间的距离.【详解】(1)连接,如图1所示∵是小半圆的直径,∴即∵∴∵∴∴,∵∴,∴∴.,即∵经过半径的外端,且∴直线是小半圆的切线.(2)①∵,,∴∴∴∽∴∴∵,,,∴当点与点重合时,;当点与点重合时,∵点在大半圆上运动(点不与两点重合),∴∴与之间的函数关系式为,自变量的取值范围是.②当时,解得,Ⅰ当时,如图2所示在中,∵,∴,∴∵,∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时,如图3所示,同理可得∵∴∴过点作,垂足为,连接,如图3所示∵,∴同理在中,∵,∴综上所述,当时,两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识,综合性比较强.。

中考数学试题分类汇编圆2(含答案)

中考数学试题分类汇编圆2(含答案)

中考数学试题分类汇编圆2(含答案)2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)二.填空题1.(2022年陕西)如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面,其水面宽1.6米,则这条管道中此时最深为0.4 米2.(2022年义乌)已知直线l与⊙O相切,若圆心O到直线l 的距离是5,则⊙O的半径是.53. 3.(2022年昆明)半径为r 的的边长为 .(4.(2022年南安)已知:⊙A的半径为2cm,AB=3cm.以B为圆心作⊙B,使得⊙A与⊙B外切,则⊙B的半径是cm.15.(2022年巴中)如图所示,以六边形的每个顶点为圆心,1为半径画圆,则图中阴影部分的面积为。

26.(2022年巴中)⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2 7x 110的两根,如果两圆外切,那么圆心距a的值是 . 77.(2022年河北)某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥,它的高AO = 8米,母线AB 与底面半径OB的夹角为,tan8.(2022年郴州)一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为6cm,则圆锥的侧面积是____cm.(结果保留p)18p9.(2022年杭州)如图, 已知△ABC,AC BC 6,C 90 .O是AB的中点,⊙O与AC,BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O 与AB的一个交点,连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG .3 2圆内接正三角形4,则圆锥的底面积是平方米(结果保留π).36 π 32022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)10.(2022年德州)粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD 的周长约为_______ mm.( 1.73,结果精确到1 mm)300C B图1 图211.(2022年巴中)如图所示,⊙O的两弦AB、CD交于点P,连接AC、BD,得S△ACP:S△DBP=16:9,则AC:BD 4:3 D12.(2022年青岛)如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC = 24°,则∠BOC = °.48的中点,已知∠AOB=98°13.(2022年丽水)如图,△ABC 是⊙O的内接三角形,点D是BC,∠COB=120°.则∠ABD的度数是.101°2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)14.(2022年兰州)如图,扇形OAB,∠AOB=90 ,⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E,并且与弧AB切于点C,则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是15.(2022年济南)如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、B (-2,-2)、C (4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为16.(2022年成都)若一个圆锥的侧面积是18π,侧面展开图是半圆,则该圆锥的底面圆半径是___________.317.(2022年成都)如图,ABC内接于O,B 90 ,AB BC,D是O上与点B关于圆心O成中心对称的点,P是BC边上一点,连结AD、DC、AP.已知AB 8,CP 2,Q是线段AP上一动点,连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R,且满足AP BR,则18.(2022年成都)如图,在ABC中,AB为O的直径,B 60,C 70,则BOD的度数是_____________度.10012BQ的值为_______________.1和13QR2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)19.(2022年盐城)已知圆锥的底面半径为3,侧面积为15 ,则这个圆锥的高为.4 20.(2022年浙江金华)如果半径为3cm 的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切,那么两圆的圆心距O1O2=cm.1 21.(2022年广东广州)一个扇形的圆心角为90°.半径为2,则这个扇形的弧长为________.(结果保留)π22.(2022年浙江金华)如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD 的中点,以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是BG153,则BK . ,BM33上的一个动点,连结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. 若23.(2022年台州)如图,正方形ABCD边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于E.则直线CD与⊙O的位置关系是,阴影部分面积为(结果保留π) .相切,6 πD124.(2022年凉山州)如图,如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下在3扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的体积是3 25.(2022年红河)已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面展开图的圆心角为26.(2022年宜宾)将半径为5的圆(如图2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)1)剪去一个圆心角为n°的扇形后围成如图2所示的圆锥则n 的值等于14427.(2022年台州)如图,菱形ABCD中,AB=2 ,∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π) .(8+4)πl28.(2022年益阳)如图,分别以A、B为圆心,线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点,则∠CAD的度数为.120 AB29.(2022年宁夏)矩形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成,则能射进阳光部分的面积是.2ab12 b 230.(2022年遵义)如图,△ABC内接于⊙O,∠C=40,则∠. 5031.(2022年遵义)如图,已知正方形的边长为2cm,以对角的两个顶点为圆心, 2cm长为半径画2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)弧,则所得到的两条弧的长度之和为cm(结果保留).232.(2022年无锡) 如图,AB是O的直径,点D在O上∠AOD=130°,BC∥OD交O于C,则∠A= .40B33.(2022年山西)图1是以AB为直径的半圆形纸片,AB=6cm,沿着垂直于AB的半径OC剪⌒ 开,将扇形OAC沿AB 方向平移至扇形O’A’C’ .如图2,其中O’是OB的中点.O’C’交BC⌒ BF的长为_______cm.π 于点F,则BF34.(2022年玉溪) 是4 .如图,在半径为10的⊙O 中,OC垂直弦AB于点D,AB =16,则CD的长35.(2022年东营)将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.17①② ③2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)236.( 2022年株洲)两圆的圆心距d 5,它们的半径分别是一元二次方程x 5x 4 0的两个根,这两圆的位置关系是 . 外切37.(2022年怀化)如图6,已知直线AB是⊙O的切线,A为切点,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,且∠OBA=40°,则∠ADC= .2538.(2022年黄冈)将半径为4cm的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示),当圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是___________cm.39.(2022年镇江)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,若AB=10,CD=8,则线段OE的长为 .340.(2022年黄冈)如图,⊙O中,MAN的度数为320°,则圆周角∠MAN=_______.20°41.(2022年长沙)已知扇形的面积为12 ,半径等于6,则它的圆心角等于度.120 42.(2022年绍兴)如图,⊙O是正三角形ABC的外接圆,点P在劣弧AB上, ABP=22°,则BCP的度数为_____________.38°2022年中考数学试题分类汇编圆2(含答案)43. (2022年泰安)如图,直线AB与半径为2⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点,EF//AB,若EF=2,则∠EDC 的度数为__________。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

圆中考真题精选汇编二1、(2010苏州)如图1,已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C 的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E ,则△ABE 面积的最小值是( )A 、2B 、1C 、222-D 、22-2、(2010临沂)如图2,直径AB 为6的半圆,绕A 点逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ',则图中阴影部分的面积是 ( )A 、6πB 、5πC 、4πD 、3π3、(2010陕西)如图3,点A 、B 、P 在⊙O 上,且50APB ∠=。

若点M 是⊙O 上的动点,要使△ABM 为等腰三角形,则所有符合条件的点M 有( )A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个~4、(2010上海)已知圆O 1、圆O 2的半径不相等,圆O 1的半径长为3,若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3,则圆O 1与圆O 2的位置关系是( )A 、相交或相切B 、相切或相离C 、相交或内含D 、相切或内含5、(2010武汉)如右图,⊙O 的直径AB 的长为10,弦AC 长为6,ACB ∠的平分线交⊙O 于D ,则CD 长为( )A 、7B 、72C 、82D 、 96、(2010年山西)如图6是以AB 为直径的半圆形纸片,AB =6cm ,沿着垂直于AB 的半径OC 剪开,将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ’A ’C ’ .如图2,其中O ’是OB 的中点.O ’C ’交BC ⌒ 于点F ,则BF ⌒的长为_______cm 。

B '第1题 第2题 |,BOC CBA O O’C’…图2F7、(2010杭州)如图7,已知△ABC,6==BCAC,︒=∠90C.O是AB的中点,⊙O与AC,BC 分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一个交点,连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.|8、(2010兰州)如图8,扇形OAB,∠AOB=90︒,⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E,并且与弧AB切于点C,则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是.9、(2010福州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,(1)求证:CB∥PD;(2)若BC=3,sin P=35,求⊙O的直径。

¥10、(2009福州)如图,等边ABC∆边长为4,E是边BC上动点,ACEH⊥于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使EBPE=。

设)20(≤<=xxEC。

(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);(2)Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求EFPQ的面积(用含x的代数式表示);第6题第7题第8题(3)当(2)中 的EFPQ 面积最大值时,以E 为圆心,r 为半径作圆,根据⊙E 与此时EFPQ 四条边交点的总个数,求相应的r 的取值范围。

[11、(2008福州)如图,AB 是o 的直径,AD 是弦,DAB ∠=22.5,延长AB 到点C ,使得45ACD ∠=。

(1)求证:CD 是o 的切线;(2)若AB=22,求BC 的长。

12、(2007福州)如图,已知ABC 内接于o ,点D 在OC 的延长线上,sin B =12,30D ∠=。

(1)求证:AD 是o 的切线;(2)若AC=6,求AD 的长。

%13、(2010芜湖)如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点.(1)求证:PM =PN ;(2)若BD =4,PA= 32 AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长.14、14、(2010桂林)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,FH 是⊙O 的切线,切点为F ,FH ∥BC ,连结AF 交BC 于E , ∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ,连结BF .(1)证明:AF 平分∠BAC ;(2)证明:BF =FD ;(3)若EF =4,DE =3,求AD 的长.}AB C D E O~15、(2010荆州)如图,⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上,⊙O 经过C 、D 两点,与斜边AB 交于点E ,连结BO 、ED ,有BO ∥ED ,作弦EF ⊥AC 于G ,连结DF .(1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为5,sin ∠DFE=53,求EF 的长.16、(2010潍坊)如图,AB 是O ⊙的直径,C D 、是O ⊙上的两点,且.AC CD(1)求证:OC BD ∥;{(2)若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC 的形状.;17、(2010临沂)如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD (1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BDE = 60°,PD =3,求PA的长.18、(2010上海)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上。

(1)求弦BC的长;(2)求圆O的半径长.(本题参考数据:sin ° = 1213,cos ° =513,tan ° =125)19、(2010陕西)如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC 于点E,连接BE。

(1)若BE是△DEC的外接圆的切线,求∠C的大小(2)当AB=1,BC=2时,求△DEC外接圆的半径。

"20、(2010山西)如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45º.(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)若⊙O的半径为3cm,AE=5 cm.求∠ADE的正弦值.¥$21、(2010广州)如图,⊙O 的半径为1,点P 是⊙O 上一点,弦AB 垂直平分线段OP ,点D 是APB 上任一点(与端点A 、B 不重合),DE ⊥AB 于点E ,以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ,分别过点A 、B 作⊙D 的切线,两条切线相交于点C .(1)求弦AB 的长;(2)判断∠ACB 是否为定值,若是,求出∠ACB 的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC 的面积为S ,若2S DE =4,求△ABC 的周长.^22、(2010兰州)如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC=PC ,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC 是⊙O 的切线;A B C DE O(2)求证:12BC AB=;(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值./参考答案1、C2、A3、D4、A5、B6、π7、332+8322 +9、(1)证明略~(2)510、解:(1)BE、PE、BF三条线段中任选两条.(2)在Rt△CHE中,∠CHE=90°∠C=60°,∴EH 3 x∵PQ=EF=BE=4-x∴2323EFPQ S x x =+. (3)223233(2)232EFPQ S x x =+=--+∴当x =2时,EFPQ S 有最大值.此时E 、F 、P 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 的中点,且点C 、 点Q 重合~∴平行四边形EFPQ 是菱形.过E点作ED ⊥FP于D ,∴ED =EH =3.∴当⊙E 与EFPQ 四条边交点的总个数是2个时,0<r <3;当⊙E 与EFPQ 四条边交点的总个数是4个时,r =3;当⊙E 与EFPQ 四条边交点的总个数是6个时,3<r <2;当⊙E 与EFPQ 四条边交点的总个数是3个时,r =2时;当⊙E 与EFPQ 四条边交点的总个数是0个时,r >2时.11、(1)证法一:连接OD ,因为∠DAB=,∠DOC=2∠DAB ,所以∠DOC=450,又因为∠ACD=450,所以∠ODC=1800-∠ACD -∠DOC=900,即OD ⊥CD,所以CD 为⊙O 的切线;证法二:连接OD ,因为∠DAB=,∠ACD=450,所以∠ADC=1800-∠DAB -∠ACD=,又OA=OD ,所以∠ADO=∠DAB=,所以∠ODC=∠ADC -∠ADO=900,即OD ⊥CD,所以CD 为⊙O 的切线;(2, ,(3, 由(1)可得△ODC 是等腰直角三角形,因为AB=22,AB 是直径,所以OD=OB=2,所以OC=2OD=2,所以BC=OC -OB=2-2.12、(1)证明略(2)13、(1)连结OM ,证明略(2)85BC = 14、(1)(2)证明略 (3)214AD = 4. (1)连结OE ,证明略 (1) 485EF =16、(1)证明略(2)平行四边形OBDC 为菱形5. (1)证明略(2)PA=1一、 (1)BC=24(2)半径长为15米19、(1)30C ∠=(2)外接圆的半径为5820、(1)CD 与o 相切(2)5sin 6ADE ∠=(1)(1)(2)ACB ∠是定值,为60(3)3 一、 (1)(2)证明略(3)MN ·MC=8。

相关文档
最新文档