第二章作业题答案

2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？

答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

在流场中经过一封闭曲线(不是流线)的所有流线所围成的管状表面，称为流管。

流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。

2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为

22u xy =，22v x y =

试证过点（1，7）的流线方程为

2248y x -=

积分得22y x c -=

代入点（1，7）求积分常数48c =

∴过点（1，7）的流线方程为2248y x -=

2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为

V =22y xy +=常数

求速度分量的表达式。

解：对22y xy +=常数求导，2220dy dy y y x dx dx

++=，得出dy y dx x y -=+

u 和v 的关系，x y u v y

+=-

代入V =得v y =±

求得u 和v 的表达式：,v y u x y ==--或,v y u x y =-=+

2-4 求第2-3题中速度分量u 的最大变化率及方向。

解：梯度矢量G grad i j k x y z

ϕϕϕϕ∂∂∂==++∂∂∂

()u x y =±+

()u u G grad i j i j x y

ϕ∂∂==+=±+∂∂

G =

2-5 试证在柱坐标系（,,r z θ）下，速度的散度表达式为

1()r r V V w divV V r r z

θθ∂∂∂=+++∂∂∂ 证：u v w divV x y z

∂∂∂=++∂∂∂ cos x r θ=，sin y r θ=，r dr V dt =，rd V dt θθ= cos sin r dx u V V dt

θθθ==- sin cos r dy v V V dt

θθθ==+ sin cos u u r u u u x r x x r r

θθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ cos sin v v r v v v y r y y r r

θθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ cos r u V r r θ∂∂=∂∂ ，sin (sin cos )r u V V V θθθθθθθ

∂∂=--+∂∂ sin r v V r r θ∂∂=∂∂ ，cos (cos sin )r v V V V θθθθθθθ

∂∂=+-∂∂ 222222cos sin sin sin cos cos r r r r r r u v V V V V V V V V V x y r r r r r r r r r θθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂+=+++++=++∂∂∂∂∂∂∂∂代入1()r r u v w V V w divV V x y z r r z

θθ∂∂∂∂∂∂=++=+++∂∂∂∂∂∂

2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？

（a ）3sin u x y =- 23cos v x y =-

（b ）3sin u x y = 23cos v x y =-

（c ）2sin cos u r θθ= 22sin v r θ=-

（d ）2k V r

= 22x y +=常数

解：对于不可压缩流体，应满足连续方程 0u v x y

∂∂+=∂∂ （a ）22 3sin 3sin 0u v x y x y x y

∂∂+=-+=∂∂ 满足质量守恒条件 （b ）22

3sin 3sin 0u v x y x y x y ∂∂+=+≠∂∂ 不满足质量守恒条件 （c

）r = ，arctan y x

θ= ()2223sin sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2sin u u r u u u r r x r x x r r r

θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=-=--=∂∂∂∂∂∂∂

33cos cos sin 2sin (4sin cos )2sin 4sin cos v v r v v v r y r y y r r r

θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=+=-+-=--∂∂∂∂∂∂∂ 24sin cos 0u v x y

θθ∂∂+=-≠∂∂ 不满足质量守恒条件 （d ）对22x y +=常数求导，220dy x y

dx +=得出dy x dx y =-

u

和v 的关系，x v u y

=- 代入2

k V r == 得3

222()ky

u x y =±+，3222()kx v x y =+

5

5

22222233 0()()u v kxy kxy x y x y x y ∂∂-+=+=∂∂++ 满足质量守恒条件

2-7 流体力学具有分速度

2223/22223/22223/2()()()x u x y z y v x y z z w x y z ⎧=⎪++⎪⎪=⎨++⎪⎪=⎪++⎩

试问该流场是否有旋？如果无旋，求出其速度位函数。

解：判定无旋流的条件：0,0,0===z y x ωωω 即;x v y u ∂∂=∂∂;y w z v ∂∂=∂∂z

u x w ∂∂=∂∂ 5

22223()v xy x x y z ∂-=∂++，5

22223()u xy y x y z ∂-=∂++ ∴u v y x

∂∂=∂∂ 同理;y w z v ∂∂=∂∂z

u x w ∂∂=∂∂ ∴ 该流场无旋 对于无旋流，速度位函数3

2222()xdx ydy zdz

d udx vdy wdz x y z φ++=++=++

1

22221

()c x y z φ=-+++

2-8 有不可压流体作定常运动，其速度场为

2u ax v ay az ω=⎧⎪=⎨⎪=-⎩

式中a 为常数。求：

（1） 线变形率、角变形率；

（2） 流场是否有旋；

（3） 是否有速度位函数存在。

解：微团线变形速率

微团角变形速率