函数的单调性、奇偶性的综合问题
函数的单调性和奇偶性的综合应用
函数的单调性和奇偶性的综合应用对称有点对称和轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x2x应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、ky x=、2y ax bx c =++相关练习：若()f x ax =，()bg x x=-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称，()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b(2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。
(4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像O点对称：对称中心O 轴对称：偶函数奇函数奇函数奇函数4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减）(2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ） A. ()(3)(2)f f f π->>- B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(2)(3)f f f π-<-<(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )A. 最小值是5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是5(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( ) A. 增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C. 减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 不确定(8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅< 的解是（ ）A. 20x -<<或02x <<B. 20x -<<或2x >C. 2x <-或02x <<D. 3x <-或3x >(9) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，有12||||x x <，则（ ）A.12()()f x f x ->- B. 12()()f x f x -<- C. 12()()f x f x -=- D. 12|()||()|f x f x -<-5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】相关练习：(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>-(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围。
函数单调性和奇函数性质的综合应用题
函数单调性和奇函数性质的综合应用题题目描述给定函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，请回答以下问题：1. 函数 $f(x)$ 的定义域是什么？2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性如何？3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 的单调性如何？4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大最小值分别是多少？解答1. 函数 $f(x)$ 的定义域是所有实数集 $(-\infty, +\infty)$，因为对任意实数 $x$，$f(x)$ 的定义都存在。
2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性是奇函数。
为了验证函数的奇偶性，我们需要检查函数是否满足 $f(-x) = -f(x)$。
对于函数 $f(x) = x^3 -3x^2 + 2x + 1$，我们有 $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 +3x^2 - 2x + 1$。
可以看到 $f(-x) = -f(x)$ 成立，所以函数 $f(x)$ 是奇函数。
3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 是递增函数。
为了验证函数的单调性，我们需要检查函数在该区间上的导数是否大于等于零。
计算函数的导数 $f'(x)$，我们有 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。
将其带入$0 < x < 3$，我们可以看到 $f'(x) > 0$。
因此，函数 $f(x)$ 在开区间$(0, 3)$ 上是递增的。
4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大值是 $f(2) = 11$，最小值是 $f(-1) = -1$。
为了找出最大最小值，我们可以求函数在该区间内的驻点和区间的端点处的函数值。
计算导数 $f'(x) = 3x^2 -6x + 2$ 的根，可得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.答案1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|【答案】B【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.2.f（x）＝x2＋|x|（）A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数【答案】D3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（）A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数【答案】C【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（）A.在[－1,0]上是增函数B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数C.在[1,0]上是减函数D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数【答案】A【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数【答案】C【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1<x2，则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x1）<f（x2），f（－x1）>f（－x2），即－f（－x1）<－f（－x2）.所以f（x1）－f（－x1）<f（x2）－f（－x2），即g（x1）<g（x2）.所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（）A.f（1）>f（2）B.f（1）>f（－2）C.f（－1）>f（－2）D.f（－1）<f（2）【答案】D【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，∴f（1）<f（2），又∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（）A.f<f（－1）<f（2）B.f（－1）<f<f（2）C.f（2）<f（－1）<fD.f（2）<f<f（－1）【答案】B【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，∴f（－2）>f>f（－1）.又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.∴f（－1）<f<f（2）.8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f （x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（）①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）<g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）<g（b）－g（－a）.其中成立的是（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④【答案】C【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f （x1）]＞0，则当n∈N*时，有（）A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）【答案】C【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.又f（x）为偶函数，∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（）A.（－2,0）∪（0,2）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－2,0）∪（2，＋∞）【答案】A【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（）A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）B.[－4，－2]∪[0，＋∞）C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）【答案】C【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g （－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x ≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（）A.（－1,0）∪（2,＋∞）B.（－∞，－2）∪（0,2）C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）D.（－2,0）∪（0,2）【答案】C【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为或解得x<－2或x>2.13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（）A.（－∞，0]B.[0，＋∞）C.（－∞，＋∞）D.[1，＋∞）【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.【答案】③【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.【答案】m≥n【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，所以f≤f＝f.16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.【答案】（－∞，0]【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.（1）试求f（x）在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.设x<0，则－x>0，因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.于是有f（x）＝（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式. 【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；（①－②）÷2，得g（x）＝2x.19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：（1）函数f（x）是奇函数；（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.设任意x∈R，因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）＝－（－x3＋3x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，（3－－x2x1－）＞0，所以f（x2）＞f（x1）.所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）.∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.21.设定义域为R的函数f（x）＝（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，且g（0）＝0，所以g（x）＝22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）. ∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，∴a≥.。
函数的单调性和奇偶性 例题和练习 高中数学 高考
函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
函数单调性和奇偶性的综合应用题
函数单调性和奇偶性应用【巩固练习】⑴函数y=（2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____⑶设f （x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7）＝－17，求f(7）的值。
⑷已知f （x)是奇函数，g(x)是偶函数,且f （x ）－g(x ）＝ ,求f(x)、g(x).【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数.例2、函数f （x)＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上单调，则（ ）A ．a ∈（－∞，1］B ．a ∈［2,＋∞）C ．a ∈［1，2］D ．a ∈(－∞，1]∪［2，＋∞)【变式训练】 已知函数f （x)＝x 2＋2（a －1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数,求实数a 的取值范围．例3、已知f （x)是定义在[－1，1]上的增函数,且f （x －2)〈f （1－x ），求x的取值范围二、函数奇偶性的判断和应用例4.判断下列函数的奇偶性(1）f （x)=5x+3 （2）f （x)=x －2+x 4（3） (4）【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0<x 时，2)(2-+=x x x f ， 求11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x a x x f ）在（1,1-12-=x ax 2211)(x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f的解析式.三、单调性和奇偶性的的综合应用例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序练习：1：()y f x =在(0,2）上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222f f f 的大小关系2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ,都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系3、已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
函数的单调性奇偶性综合应用练习
函数的单调性、奇偶性综合应用一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y 可得：f(－x)= －f(x)，在R 上任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f(x 2) －f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2－x 1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0。
又因为x>0时f(x)<0，所以f(x 2－x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1).由定义可知f(x)在R 上是减函数.(2)因为f(x)在R 上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x 2－2x －3，则y=u .因为u ≥0，所以x 2－2x －3≥0.所以x ≥3或x ≤－1.因为y=u 在u ≥0时是增函数，又当x ≥3时，u 是增函数，所以当x ≥3时，y 是x 的增函数。
又当 x ≤－1时，u 是减函数，所以当x ≤－1时，y 是x 的减函数。
所以y=322--x x 的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定 思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x 1+x 2+x 3+x 4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
函数的奇偶性和单调性综合训练及答案
一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =-C．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞3．函数y =）A ．(]2,∞- B ．(]2,0C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题1．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。
2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = .3．若函数2()1x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。
函数单调性与奇偶性的综合应用
解：原不等式化为 f(1－3a)＜－f(1－a)． ∵f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)． ∴原不等式化为 f(1－3a)＜f(a－1)． ∵f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
【例3】已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12， 试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
跟踪训练 3 已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围.
迁移与应用 1．B 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)． 又 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＞f(1)＞f(0)， 即 f(－2)＞f(1)＞f(0)． 2．解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)． ∵f(a)＜f(2)，∴f(|a|)＜f(2)， ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴|a|＞2，即 a＞2 或 a＜－2. ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2 或 a＞2.
(1)证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x， 则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0， 则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0. ∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
函数性质的综合问题
)
课 后
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝1－|x|
限 时
集
课
C．f(x)＝－x3
D．f(x)＝ln(x2＋3)
训
外
素
养
C [由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A、
提
升 D选项，由条件②可知，f(x)为奇函数，则可排除B选项，故选C.]
返 首 页
2．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则
时 集
课
训
外 素
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
养
提 升
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.]
返 首 页
课 堂
(1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同
考
点 一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间
探
课
究
上，再利用其单调性比较大小．
后
限
(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)＞f(x2)的形式，
返 首 页
课
堂
考
点
探 究
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
课 后
＝0×12＋f(49)＋f(50)
限 时
集
课 外
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
训
素
养
提
升
返 首 页
课
法二：(特例法)由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如
堂
课
堂 考
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
点
探 究
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。
通过示例来说明函数单调性的判断方法。
1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。
通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。
2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。
通过示例来演示这些性质的应用。
第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。
通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。
3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。
通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。
通过示例来说明这些方法的运用。
4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。
通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。
第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。
通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。
5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。
通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。
第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。
函数的单调性及奇偶性测试题(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )A.1B.-1C.0D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1B.1C.-1D.-3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.["-1，2"]B.C.(0，1)D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
函数的单调性与奇偶性的综合应用
【变式训练】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调 递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围。
【例4】若f(x)是定义在R上的偶函数，在（- ∞ ，0]上是减函 数，且f(2)=0。 ①求使得f(x)<0的x的取值范围； ②求使得xf(x)<0的x的取值范围；
【变式训练】函数y=f(x) (x≠0)是奇函数，且当x>0时，是增函数， 若f(1)=0,求不等式f(x-2)<0的解集；
（- ∞ ，-1）和（1，+ ∞ ）是关于原点对称的区间 （-1，0） 和 （ 1，0） 是关于原点对称的区间
题型一、比较大小
【例1】（1）已知偶函数f(x)在区间[0，4]上是增函数， 试比较f(-1),f(-2),f(-3)的大小关系_____________ 试比较f(-1),f(3),f(4)的大小关系______________
题型四、抽象函数中的单调性与奇偶性
【例5】设函数f(x)对于任意的x,y ∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0时，f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)为奇函数；
（2）证明f(x)在R上位减函数； （3）若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围；
总结：
1. 函数单调性与奇偶性之间的关系
函数的单调性和奇偶性的综合应用
学习目标：
1.了解函数单调性与奇偶性之间的关系
2.利用函数单调性与奇偶性解决综合性的数学 问题
共同学习，合作探究
单调性与奇偶性的关系
作函数 f ( x) x 并观察两个函数的单调性及奇偶性
2
函数单调性与奇偶性的综合应用--郝
函数单调性与奇偶性的综合应用一、基础知识：1. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x --<，则函数在该区间单调递减。
2.（1）对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-(或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f ）⇔函数()f x 是偶函数；（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.3.（1）对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-(或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ）⇔函数()f x 是奇函数；（2）图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；二、经典例题：类型一：分段函数利用函数奇偶性求函数关系式例1.若()y f x =在[)0,x ∈+∞上的表达式为(1)y x x =-，且()f x 为奇函数，则(],0x ∈-∞时()f x 等于（ ）A.(1)x x --B.(1)x x +C.(1)x x -+D.(1)x x - 变式1：若函数()f x 同时具备以下两个性质(1)()f x 是偶函数；(2)对任意实数x 都有(x)()44f f x ππ+=-，则()f x 解析式可以是() A.()cos f x x = B.()cos(2)2f x x π=+ C.()sin(4)2f x x π=+ D.()cos6f x x = 答案：D类型二：比较大小解题方法：利用单调性奇偶性作图，放到同一单调区间比较大小例1.已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<变式1：定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)1,2120,()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<- 则（ ）A.(3)(2)(1)f f f <-<B.(1)(2)(3)f f f <-<C.(2)(1)(3)f f f -<<D.(3)(1)(2)f f f <<- 类型三：求参数或未知数取值范围解题方法：数形结合例 1. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______. 答案：13(,)22变式1：已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A.12(,)33 B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式2：已知()f x 是奇函数，在区间(2,2)-上单调递增，且有(2)(12)0f a f a ++->,求实数a 的取值范围。
专题八 函数奇偶性与单调性的综合问题(解析版)
专题八 函数奇偶性与单调性的综合问题奇偶性与单调性的综合问题主要包括：奇偶性与单调性的判断，利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小以及解不等式等．考点一 奇偶性与单调性的判断【方法总结】对于函数奇偶性与单调性的判断问题主要是应用奇偶性与单调性的定义及相关结论解决．当然对于选填题也可用特值法秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )A ．y ＝|log 3x |B ．y ＝x 3C ．y ＝e |x |D ．y ＝cos |x |答案 C 解析 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数．对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确．对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减．(2)已知函数f (x )＝x e|x |，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )是奇函数，且在(－∞，－1)上是减函数B ．函数f (x )是奇函数，且在(－∞，－1)上是增函数C ．函数f (x )是偶函数，且在(－∞，－1)上是减函数D ．函数f (x )是偶函数，且在(－∞，－1)上是增函数答案 A 解析 由题意，函数f (x )＝x e |x |，可得其定义域为R ，又由f (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＝x e－x ＝x ·e x ，则f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，故选A.(3) (2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0，2)上单调递增B ．f (x )在(0，2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称答案 C 解析 f (x )的定义域为(0，2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．故选C ．(4)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0，1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0，1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0，1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0，1)上是减函数答案 B 解析 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0，1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0，1)上是减函数．故选B ．(5)(2019·北京)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．答案 －1 (－∞，0] 解析 因为f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)的定义域为R ，所以f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a＝0，所以a ＝－1．因为f (x )＝e x ＋a e －x ，所以f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x －a e x ．因为f (x )是R 上的增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立，即e x ≥a e x 在R 上恒成立，所以a ≤e 2x 在R 上恒成立．又e 2x ＞0，所以a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]．【对点训练】1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x | 1．答案 B 解析 y ＝1x为奇函数；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在(0，＋∞)上 为减函数；y ＝|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x2．答案 D 解析：选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.3．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )3．答案 B 解析：选函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1，0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.4．已知f (x )＝e x －e －x 2，则下列正确的是( ) A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数4．答案 A 解析 定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －e x 2＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵e x 是R 上的增函数，－ e －x 也是R 上的增函数，∴e x －e －x 2是R 上的增函数，故选A ． 5．已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)5．答案 C 解析 由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C ．考点二 比较函数值的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．同时要充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．【例题选讲】[例2](1) (2019·全国Ⅰ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> 答案 C 解析 根据函数f (x )为偶函数可知，f (log 314)＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<322-<232-<20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (322-)>f (232-)>f (log 314)．故选C ． (2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0．设a ＝ln 1m，b ＝(ln m )2，c ＝ln m ，其中m ＞e ，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )答案 C 解析 根据已知条件知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，|a |＝ln m ＞1，b ＝(ln m )2＞|a |，0＜c ＝12ln m ＜|a |，∴f (c )＞f (a )＞f (b )． (3)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．a >c >b答案 B 解析 因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B ． 【对点训练】6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (0)>f (log 32)>f (－log 23)B ．f (log 32)>f (0)>f (－log 23)C ．f (－log 23)>f (log 32)>f (0)D ．f (－log 23)>f (0)>f (log 32)6．答案 C 解析 ∵log 23>log 22＝1＝log 33>log 32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (log 23)>f (log 32)>f (0)，又函数f (x )为偶函数，∴f (log 23)＝f (－log 23)，∴f (－log 23)>f (log 32)>f (0)．7．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<5()2f <7()2fB ．7()2f <f (1)<5()2fC ．7()2f <5()2f <f (1)D ．5()2f <f (1)<7()2f7．答案 B 解析 ∵函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，7()2f <f (3)<5()2f ，即7()2f <f (1)<5()2f ．8．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)8．答案 A 解析 ∵f (x )是偶函数∴f (－2)＝ f (2)，又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又∵1＜2＜3∴f (1)＞f (2)＝f (－2)＞f (3)，故选A ．9．(2017·全国Ⅰ)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a9．答案 C 解析 法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0．∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数．又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1) >g (20.8)，则c >a >b ．法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b ．10．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0．设a ＝ln1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )＞f (b )＞f (c ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (a )＞f (b ) D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案 C 解析 由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．又因为|a |＝ln π＞1，b ＝(ln π)2＞|a |，0＜c ＝ln π2＜|a |，所以f (c )＞f (|a |)＞f (b )．又由题意知，f (a )＝f (|a |)．所以f (c )＞f (a )＞f (b )．11．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12．若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2， 2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)11．答案 C 解析：因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，22， 所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2，6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2，6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.12．已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件：①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )；②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)；③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接)12．答案 f (4.5)<f (7)<f (6.5) 解析：由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0，2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即，f (4.5)<f (7)<f (6.5)．考点三 解不等式(抽象函数)【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．要注意奇偶性中结论8：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性的应用．特别应用奇偶性中结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)，可避免分类讨论．【例题选讲】[例3](1)(2017·全国Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]答案 D 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1．故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3．(2)已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)答案 A 解析 由f (a －3)＋f (9－a 2)<0得f (a －3)<－f (9－a 2)．又由奇函数性质，得f (a －3)<f (a 2－9)．因为f (x )是定义域为(－1，1)的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3．(3)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)答案 C 解析 ∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝0，在(0，＋∞)内是减函数．若xf (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )<0＝f (2)或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )>0＝f (－2).根据f (x )在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内是减函数，解得：x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选．(4)已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)>f (x －2)的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 ∵函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (2x －1)>f (x －2)可转化为f (|2x －1|)>f (|x －2|)，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (2x －1)>f (x －2)⇔|2x －1|>|x －2|，两边平方解得：x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞) ，故f (2x －1)>f (x －2)的解集为x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(5)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，32 解析 ∵f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|<2＝122，∴|a －1|<12，∴12<a <32． (6)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e ． (7)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，1]B ．[－4，2]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) 答案 A 解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1．(8)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为偶函数，且对∀x 1<x 2≤1，满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0．若f (3)＝1，则不等式f (log 2x )<1的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，8B ．(1，8)C ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞) D ．(－∞，1)∪(8，＋∞) 答案 A 解析 因为对∀x 1<x 2≤1，满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，所以y ＝f (x )当x ∈(－∞，1]时，是单调递减函数，又因为f (x ＋1)为偶函数，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，所以函数y ＝f (x )当x >1时，是增函数，又因为f (3)＝1，所以有f (－1)＝1，当log 2x ≤1时，即当0<x ≤2时，f (log 2x )<1⇒f (log 2x )<f (－1)⇒log 2x >－1⇒x >12，∴12<x ≤2，当log 2x >1时，即当x >2时，f (log 2x )<1⇒f (log 2x )<f (3)⇒log 2x <3⇒x <8，∴2<x <8，综上所述：不等式f (log 2x )<1的解集为⎝⎛⎭⎫12，8，故选A ．(9)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)<x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案 C 解析 由条件式得(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，∴x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为减函数，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (0)，∴1－x >0，∴x <1，故选C ．(10)定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞)答案 C 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0．令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2．故选C ．【对点训练】13．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则f (x )>0的解集为_______________． 13．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <0或x >12 解析 由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，可知函数y＝f (x )在(－∞，0)内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0．由f (x )>0，可得x >12或－12<x <0． 14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若实数m 满足f (log 3|m －1|)＋f (－1)<0，则m 的取值范围是( )A ．(－2，1)∪(1，4)B ．(－2，1)C ．(－2，4)D ．(1，4)14．答案 A 解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )是R 上的增函数，由题得f (log 3|m －1|)＋f (－1)<0，所以f (log 3|m －1|)<－f (－1)＝f (1)，所以log 3|m －1|<1＝log 33，所以|m －1|＜3，所以－3＜m －1＜3，所以－2＜m ＜4，因为|m －1|>0，所以m ≠1，故m ∈(－2，1)∪(1，4)．故选A ．15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为________． 15．答案 (－1，0)∪(0，1) 解析 ∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，∴f (－1)＝－f (1)＝0，f (x )在(－∞，0)上也是增函数，f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f (x )＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f (x )＞0，根据f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，且f (－1)＝f (1)＝0，解得x ∈(－1，0)∪(0，1)．16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若|f (ln x )－f (ln 1x )|2<f (1)，则x 的 取值范围是( )A ．(0，1e )B ．(0，e)C ．(1e，e) D ．(e ，＋∞) 16．答案 C 解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f (ln 1x)＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋ f (ln x )＝2f (ln x )，所以|f (ln x )－f (ln 1x )|2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e ． 17．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23 17．答案 A 解析 因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x－1)＜f ⎝⎛⎭⎫13，所以|2x －1|＜13，所以13＜x ＜23． 18．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 18．答案 B 解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12． 19．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________．19．答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12． 20．设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A ．[－3，3]B ．[－2，4]C ．[－1，5]D ．[0，6]20．答案 B 解析 因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数．故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4．21．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，1]C ．(－∞，2]D ．[－2，2]21．答案 B 解析 因为函数f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立等价于f (a )≥f (x )max ＝f (1)，所以|a |≤1，解得－1≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[－1，1]，故选B ．22．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－5，0]C ．[－5，1]D ．[－2，0]22．答案 D 解析 因为f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，即|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x－1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，由x －2≤ax ＋1，得a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2，0]．考点四 解不等式(具体函数)【方法总结】函数是给定的，但解析式比较复杂，一般不把自变量代入处理．而是先研究函数的单调性与奇偶性，然后把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)去解决问题．要注意奇偶性中结论8：奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性的应用．特别应用奇偶性中结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)，可避免分类讨论．【例题选讲】[例4](1)已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．答案 －2<x <23解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2，2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m∈[－2，2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23． (2)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则满足f (x －1)>1e 2－e 2的x 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 B 解析 由f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即e －x －a e x ＝a e －x －e x ，得a ＝1，所以f (x )＝e x －e －x ，则f (x )在R 上单调递增，又f (x －1)>1e 2－e 2＝f (－2)，所以x －1>－2，解得x >－1，故选B ． (3)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1 解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x－1|)．当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1．所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1． (4)已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2，1)D ．(1，2)答案 C 解析 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0ln (1＋x )，x >0.函数f (x )的图象如下：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1．故选C ．(5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a的取值范围是____________．答案 解(1，3]析 设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2．要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．【对点训练】23．已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (1log a3)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．23．答案 (0，1)∪(3，＋∞) 解析 因为函数f (x )＝x 3＋2x 是奇函数，且在R 上是增函数，f (1)＋f (1log a3)>0，所以f (1log a 3)>－f (1)＝f (－1)，所以1log a 3>－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >1，0<a <3或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<1a <1，3<a ，所以a ∈(0，1)∪(3，＋∞)．24．已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________． 24．答案 (2，3) 解析 根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x －2x ＝－f (x )，即函数f (x ) 为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x 在R 上为减函数，则函数f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2，3)．25．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x>0的解集为( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)25．答案 D 解析 因为当x >0时，函数f (x )单调递增，又f (1)＝0，所以f (x )＝2x －2x>0的解集为(1，＋ ∞)，所以f (x )x ＞0在(0，＋∞)上的解集为(1，＋∞)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )x 是偶函数，则f (x )x>0在R 上的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．26．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，2x －x 2(x <0)，函数g (x )＝|f (x )|－1，若g (2－a 2)>g (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2，2)D ．(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)26．答案 D 解析 由题可知，f (x )为单调递增的奇函数，则g (x )为偶函数，又g (2－a 2)>g (a )，因此|2－a 2|>|a |，即(2－a 2)2>a 2，利用换元法解得a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)．故选D ．。
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函数的单调性、奇偶性综合运用
【学习目标】
1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；
2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
【学习过程】
一．复习回顾：
1．函数单调性、奇偶性的定义
2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是
二．例题精讲：
题型一：知单调性求参数的范围
1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。
2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围.
【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若
)4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。
题型二：单调性的判断与证明：
3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论
4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断)
(1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】
1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时，
1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 .
2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f <
()1232+-a a f ,求a 的取值范围.
3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围
4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论
函数的单调性、奇偶性综合运用(一)
【学习目标】
1、 进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；
2、 利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
【学习过程】
一．复习回顾：
1．函数单调性、奇偶性的定义
2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是
二．例题精讲：
题型一：知单调性求参数的范围
1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系。
2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围.
【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若
)4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。
题型二：单调性的判断与证明：
3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论
注：（1）利用特殊函数图象找结论（2）证明什么设什么，转换；用单调性；用奇偶性；结论（3）变成8个类比题（4）奇函数在原点两侧对称区间上单调性相同；同理，偶函数存在原点两侧对称区间上单调性相反
4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断)
(1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 答案：解：设021<<x x , 则 021>->-x x ,
∵ f (x) 在(0,+ ∞)上单调递增，∴f (－x 1)>f (－x 2),
∵f (x )为偶函数, ∴f (x 1)>f (x 2) 又0)
()()()()(1)(1)(x f 1)(x f 112211221>-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x f x f x f x f x f x f （∵f (x 1)<0,f (x 2)<0）
∴,)(x f 1)(x f 121->-∴(x)
f 1-是(－∞,0)上的单调递减函数. 【课堂巩固】
1、设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时，
1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 .
3、 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f <
()1232+-a a f ,求a 的取值范围.
4、若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围
5、已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论。