柯西积分公式课件
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第三章柯西积分公式3-5
C 2
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
科西积分公式.ppt
e-i ie-i
πi 2
ei iei e-i ie-i
πi 2
2
cos1
2
sin
1
πi sin
1
sin(
π 2
1)
1 ( π 1) 1 ( π 1)
2πi sin 2 cos 2
2
2
2πisin 1
4
例题5
一致趋于0，则有：
f
(z)
1 2πi
l
f
( )d
z
证明： 以 z为圆心，R为半径作一
足够大的圆CR，将l和z点 都包含，则有：
l
z
f (z) 1 f ( )d 1 f ( )d
2i CR z 2i l z
R时
1
2i
l
f
( )dz
l za
cosh z
dz 2πi cosh(1) 2πi cosh1
|z|2 z 1
例题3
计算：
l
z(
e z2
z
dz，l为圆 1)
|
z
i
|
1 2
Y z=i
解：
ez 在复平面的奇点为 z(z2 1)
z
0,
i
ez
O z=0 X z=-i
l
ez z(z2
l
柯西公式给出了，解析函数在解析区域内部的 值和边界值之间的关系。
l a
l
证明：函数g(z) f (z) 在内除z a外均解析
za
在内作以a为圆心，半径充分小的圆周l
柯西积分公式
Q lim f ( z ) = f ( z0 )
z z0
ε > 0, δ > 0 z z 0 = R < δ
f ( z ) f ( z0 ) < ε
注： ) D可为多连通域； (1
( 2)该公式表明解析函数 f ( z )在C内部任一点的值， 可以用其在边界上的值 表示。
1 f (z) f (z0 ) = ∫C z z0 dz 2πi
z∈C
1 取 z < d , 则有 2
1 1 z z0 ≥ d , ≤ z z0 d d z z0 z ≥ z z0 z > , 2 2 < z z0 z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
z→ 0
当 δ → 0时 , f ( z ) → f ( z 0 )( z ∈ C1 )
∫
C
f (z) dz = z z0
C1
∫
C1
f ( z ) δ →0 dz → z z0
C D z0 C1
→ f ( z0 )∫
1 dz = 2π if ( z 0 ) z z0
定理(Cauchy 积分公式 积分公式) 定理
§3.5 Cauchy积分公式 积分公式
分析 设 D 单连通 , f ( z )在 D 内解析 ,
z 0 ∈ D , C 是 D 内围绕 z 0的一条闭曲线 .
∫
C
f ( z) dz = z z0
∫
C1
f (z ) (z dz z z0
C z0 C1
D
取 C 1 = { z z z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
3.3柯西积分公式
C
2、关于柯西积分公式的说明: 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的又一特征 值表示 (这是解析函数的又一特征 这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具
2
z = −1
( 2)
∫
z −1 =
π sin z 4 dz = z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 π sin z z + 1 dz 4 = 2 πi; = 2πi ⋅ 2 1 z −1 z +1
2 z =1
π sin z 由复合闭路定理, ( 3) ∫ 2 4 dz 由复合闭路定理 得 z −1 z =2 π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
由复合闭路定理, 由复合闭路定理 得
ez ∫ z =3 z ( z 2 − 1) dz z ez ez e z ( z + 1) z ( z − 1) z 2 − 1 dz + =∫ 1 ∫ z −1 = 14 ( z − 1) dz + ∫ z +1 = 14 ( z + 1) dz z= z 4
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
1、定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围区域 D 内解析 , 、 上连续， z 在 D = D ∪ C 上连续， 0 为 D 内任一点 , 则
1 f (z) f (z0 ) = dz. ∫C 2πi z − z0
柯西积分公式及高阶导数公式PPT课件
z2
4 dz 1
是 D上的解析函数, 那么 2
2
n
2 2 蜒 f (z)dz
f (z)dz,
i i C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
其中C和Ck(1kn)取正向2.
2
D
2i.
习题课
24
例7. 解
Ñ 求积分
ez z 1 zn dz, 其中n为整数.
(1) n 0时,
函数
ez zn
在
z
1上解析.
f (z) d z,
要注意: a)
C z z0
f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部习. 题课
6
例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:
1 sin z
z
1)
d z; 2)
d z;
2 π i |z|4 z
|z|2 z 3
1
3) |za|a z2 a2 d z, (a>0).
C z
解 根据Cauchy积分公式, 当z在C内时,
f (z)定理22.5πi设f (z3)是单2连通7区域D上1的解析函数2, i 3z2 7z 1 . z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区z 域
于的是分段光f滑((或z)可求长2)Joir(da6n曲z 线, 7则), 而1+i 在C内, 所以
习题课
23
(3) 根据 复合闭路定理以及前面的结果,
定理2.4 设 C ,C1,C2 ,L ,Cn是多连通区域D内
分段光滑s(i或n可求z长) Jordan曲线s,inC1,C2z,L ,Cn 都
sinπ z
都C,在C1zC,C的22,内Lz2部,C4,n它为1们边d互界z 不的包闭z含区1 也域1互含z不于2 相D4内交1.,d并若z且f (以z) z1 1
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
柯西积分定理ppt课件
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
10
定理3.2.2' 设简单闭曲线L是单连通区域D的边界, f (z)在闭区域D D L上解析，则
L f (z)dz＝0.
定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理) 设D是简单 闭曲线L所围成的区域. 若f (z)在D上解析，在 D D L上连续,则
第二节 柯西积分定理
• 一、单连通区域的柯西积分定理 • 二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式 • 三、多连通区域上的柯西积分定理
1
一、单连通区域的柯西积分定理
1. 问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关.
观察上节例2, 被积函数当 n 1 时为 1 ,
证 设L是光滑曲线z z(t)(a t b), z(a) , z(b) ,则
f (z)dz L
b F ' (z(t))z' (t)dt
a
F(z(t)) b a
F(z(b)) F(z(a)) F( ) F().
若L是分段光滑曲线，则可把积分分成几段计算，
再求和。
20
另证 由假设，根据推论3.2.1和定理3.2.6，
z
F(z) f ()d z0
是在D内确定的一个函数. 下证F ' (z) f (z),z D. 任意取定z1 D，令L0为D内连接z0与z1的一条简单曲线，
16
并取z D与z1充分接近，记L1 L0 z1z,则
3-3柯西积分公式
作以 z0 为中心、
为半径的圆周：
C
D
C z z z0 .
显然,C 及其内部落在 D 内.
z C
0
由闭曲线上积分的形变原理,得
z z
C
f z
0
dz =
C
zz
f z
0
dz
本章第一节的 例 2 P54 =Biblioteka 例 8 计算积分
I
z =1
cos e z z
dz
解
f z cos e z 是整函数 在全平面上解析的函数
f z 在 z 1 解析
z 0 z z 1 故由公式 3.3.2 有 I 2 i cos e z 2 i cos1.
f z
2
f z0 Re i Re i
Rie i d
函数 f z 解析函数的积分平均值公式 3.3.3 表示了：
1 2
2 0
f z0 Re i d
在圆心处的值等于其在圆周上的积分平均值.
小结
一、柯西积分公式
二、解析函数的积分平均值定理
得
sin z 1 I 2 2 z dz 2 z
sin z 2 z dz z
sin z 2 z dz z
1 2 i sin z z 1 sin z z 1 2
i sin1 sin 1
作业
P81:
8 (1) (2) (3) (4)
ez z 例 9 计算积分 z 2 dz 其中 C 是: C 1 单位圆周曲线 逆时针方向
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K z z0
K z z0
Cz
z0
K
2 π if (z0 ) K
f (z) f (z0) d z z z0
|
f
因为f (z)-f (z0)|
(z)在
< .
z0连续, 任给
设以 z0为中心,
R
0 , 存在 0
为半径旳圆周K
, :
当 |z-z0|< 时,
|z-z0|=R全部
在C旳内部, 且R < .
C2 C1 C3
1 0
2
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i e z
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
二、 解析函数旳高阶导数
一种解析函数不但有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它旳值也可用函数在边界上旳值经过积分来表达. 这 一点和实变函数完全不同.
1
2
C
| Δ z || f (z) | d s | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到 C上各点旳最短距离, 则取 |Dz| 适本地小使其满足 |Dz| < d/2,所以
C
|
z
z0
|
d,
|
z
1 z0
解 1) sin z dz 2 i sin z 0
z 4 z
z0
2) ( 1 2 )dz dz 2 dz
z 4 z 1 z 3
z 4 z 1 z 4 z 3
f ( z )1及 2
2 i 1 2 i 2 6 i
复变函数第7讲柯西积分公式
K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .
数学物理方法课件：03第三章 柯西定理,柯西积分
(3) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(4) | f (z)dz | | f (z) |ds max | f (z) | lC
C
C
zC
| dz | ds
曲线 C 的长度
n
n
f ( k )zk | f ( k ) | |zk | 求极限 (4)
k 1
k 1
§3.2 柯西积分定理及其推广
g(z)
f (a z) f (a) 1 f (z)dz
z
2 i
CR (z a)2
1
2 i
dz f (z) [(z a z)1 (z a)1
CR
z
1 (z a)2 ]
z
f (z)
z( ) i ei
z
四
个
C
dz (z a)n
f [z( )] z( )d
a
步
2π i ei dθ
骤
0
nei n
2π 0
e i (1n)
dθ
2
0,
,
n1 n1
积分值与圆周 C 的半径无关
例2：计算 I Re z dz，其中 C 为： y
C
(1) 从 0 到 1+i 的直线段；
i
1 i
➢ 复变函数积分的定义，性质，计算方法 ➢ 利用柯西定理和柯西积分公式计算积分
作业：习题三 4(2), 6, 8, 10, 11, 14
§3.1 复变积分的概念及其简单性质
1.积分的定义
• 有向曲线： 给定起点和终点的曲线
CB
沿有向曲线 C 反向遍历得到曲线 C • 围线：逐段光滑的简单闭曲线
围线的正向(左手法则)：
柯西积分公式课件
1 0
2
第8页/共10页
•谢谢！
第9页/共10页
感谢您的观看。
第10页/共10页
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
或
C
f (z) z z0
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
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• 分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
y
iC
而sin z在复平面上处处解析,
O
x
所以，f z sin z, z0 i,
原式=2i sin z zi
2i sin i.
第5页/共10页
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
例2.
1 dz, 其中C : z 1 1. C z2 1
C : z 2
解： 被积函数有奇点1和-1，而两个奇点只有z 1在C内，
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
第7页/共10页
五、布置作业
• 课本 P143 10,12.
• 补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
C2 C1 C3
(A. Cauchy,法,1789-1857)
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分 公式
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复变函数课件柯西积分公式课件19页PPT
Байду номын сангаас
复变函数课件柯西积分 公式课件
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
复变函数课件柯西积分 公式课件
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
第5次(2003) 复变函数的积分 柯西积分公式
3 8
i
解 : 2、 C是中心在点 1, 当 z 半径R 2的圆周时 ,
函数 1 ( z 1) ( z 1)
3 3
y
C
在C所围
1o
1
x
区域含有一个奇点 1 z
19
利用高阶导数公式
1
( z 1)
C
1
3
( z 1)
3
dz
( z 1)
C
( z 1)
u y
3 y 3x ,
2 2
由C R方程得 :
v y
u x
2
v( x, y )
y
v
dy ( 6 xy) dy 3 xy g( x )
25
从而
v
x ( x ) 3 x 2 , 得到g
3 y g ( x )
2
16
( i ) f ( z )在C 所围成的单连通域内解析,由基本定理 C f ( z )dz 0 ( ii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 2、C 为闭路径 复合闭路定理和柯西积分公式(一次因子） ( iii ) f ( z )在 C 所围成的区域内有奇点，则挖洞后用 复合闭路定理和高阶求导公式(二次及二次以上因子）
3
在C内有两
C1
C2
C
个奇点 : z 0, z 1。
o 1
2
x
作封闭正向曲线 1 , 仅含z 0; C 作封闭正向曲线 2 , 仅含z 1. C
C1与C 2互不包含, 互不相交, 这样以C , C1 , C 2为 边界构成了一个复连通 区域。
柯西积分公式 牛顿莱布尼茨公式.ppt
第三章 复变函数的积分
第3.2节 Cauchy积分定理
柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，
（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么
C f (z)dz 0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。
（线2，）那C么是沿在CD从内z0连到接z的z0 及积z分两值点由的z任0及一z条所简确单定曲，
两点的另一条简单曲线。则C' C C 是D内的 1
一条简单闭曲线，由（1），有
f (z)dz 0
C'
而
f (z)dz f (z)dz
C'
C C1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C
C1
所以定理的结论成立。
C f (z)dz 0
其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿C0
按反时针方向，沿 C1,...,Cn 按顺时针方向取
积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一
同运动时，区域D总在它的左侧。因此
f (z)dz f (z)dz f (z)dz ...
C
C0
C1
f (z)dz 0 Cn
n+1条简单闭曲线 C0,C1,...,Cn,
曲线 C1,...,Cn 中每一条都在其余曲线的外
区域内，而且所有这些曲线都在 C0 的内区域，
C0 , C1,..., Cn
围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个
闭区域 D 。
柯西定理的注解：
设f(z)在 D上解析，那么令C表示D的全部边界，
我们有
此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的
第3.2节 Cauchy积分定理
柯西定理
定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，
（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么
C f (z)dz 0
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。
（线2，）那C么是沿在CD从内z0连到接z的z0 及积z分两值点由的z任0及一z条所简确单定曲，
两点的另一条简单曲线。则C' C C 是D内的 1
一条简单闭曲线，由（1），有
f (z)dz 0
C'
而
f (z)dz f (z)dz
C'
C C1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C
C1
所以定理的结论成立。
C f (z)dz 0
其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿C0
按反时针方向，沿 C1,...,Cn 按顺时针方向取
积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一
同运动时，区域D总在它的左侧。因此
f (z)dz f (z)dz f (z)dz ...
C
C0
C1
f (z)dz 0 Cn
n+1条简单闭曲线 C0,C1,...,Cn,
曲线 C1,...,Cn 中每一条都在其余曲线的外
区域内，而且所有这些曲线都在 C0 的内区域，
C0 , C1,..., Cn
围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个
闭区域 D 。
柯西定理的注解：
设f(z)在 D上解析，那么令C表示D的全部边界，
我们有
此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的
§2.4 柯西公式
j
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
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§3.3 柯西积分公式
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
C f z dz 0
D
z0 C
如 C sin zdz 0 , C : z i 1
y
如果被积函数在D内有奇点，怎么办
iC
如
sin z
C z i dz 0 ,
C: zi 1
O
x
(A. Cauchy,法,1789-1857)
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分
公式
微分方程 物理问题
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
C2 C1 C3
1 0
2
谢谢！
或
C
f (z) z z0
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
原式=2i sin z zi
2i sin i.
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
例2.
1 dz, 其中C : z 1 1. C z2 1
C : z 2
解：被积函数有奇点1和-1，而两个奇点只有z 1在C内，
f (z)
1
原式=C
z 1 dz z 1
2 i 1
z 1 z1
f (z0 )
1 dz
K z z0
2 if (z0 ).
三、典型例题
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
f (z)
例1.
C
sin z z i
dz,
其中C :
z i
1.
解：z i是被积函数在C内唯一奇点，
y
iC
而sin z在复平面上处处解析,O Nhomakorabeax
所以，f z sin z, z0 i,
i
yy
C2 C1 CC
-1
1
-1OO 1 2 xx
四、小结：使用柯西积分公式的关键
主要用于计算一些被积函数形如 F z f z 的周线积分；
z z0
z
z0
是被积函数 F
z
f z
z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
C f z dz 0
D
z0 C
如 C sin zdz 0 , C : z i 1
y
如果被积函数在D内有奇点，怎么办
iC
如
sin z
C z i dz 0 ,
C: zi 1
O
x
(A. Cauchy,法,1789-1857)
拉格朗日级数
天体力学
柯西积分
公式
微分方程 物理问题
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
C2 C1 C3
1 0
2
谢谢！
或
C
f (z) z z0
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
原式=2i sin z zi
2i sin i.
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
例2.
1 dz, 其中C : z 1 1. C z2 1
C : z 2
解：被积函数有奇点1和-1，而两个奇点只有z 1在C内，
f (z)
1
原式=C
z 1 dz z 1
2 i 1
z 1 z1
f (z0 )
1 dz
K z z0
2 if (z0 ).
三、典型例题
f (z)
C z z0 d z=2 π i f (z0 )
f (z)
例1.
C
sin z z i
dz,
其中C :
z i
1.
解：z i是被积函数在C内唯一奇点，
y
iC
而sin z在复平面上处处解析,O Nhomakorabeax
所以，f z sin z, z0 i,
i
yy
C2 C1 CC
-1
1
-1OO 1 2 xx
四、小结：使用柯西积分公式的关键
主要用于计算一些被积函数形如 F z f z 的周线积分；
z z0
z
z0
是被积函数 F
z
f z
z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z