12函数的极值教案

1.2函数的极值

一、教学目标

理解并掌握函数极值的概念；能利用导数求函数的极值；掌握求函数极值的方法和步骤； 二、教学重、难点

函数在某点取得极值的条件，利用导数求函数的极值的方法和步骤。 三、知识链接

导函数的符号与函数单调性的关系：

如果在某个区间内，函数()x f y =的导数()0>'x f ,则在这个区间上，函数()x f y =是 增加的

如果在某个区间内，函数()x f y =的导数()0<'x f ,则在这个区间上，函数()x f y =是 减少的 四、学习过程

知识点一：极值的定义

问题1 观察函数()7622

3+-=x x x f 的图像，并思考以下问题：

图1 图2

（1）观察函数()x f y =在点0=x 处的函数值()0f ，比较()0f 与附近点的函数值的大小？0=x 点是函数的最大值点吗？

()0f 的函数值大于其附近点的函数值，0=x 点不一定是最大值点。

（2）观察函数()x f y =在点2=x 点处的函数值()2f ，比较()2f 与附近点的函数值的大小？2=x 点是函数的最大值点吗？

()2f 的函数值小于其附近点的函数值，2=x 点不一定是最小值点。

像这样的，反映函数在某一个点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质的值称为极值。

问题2 极值的定义

类比图1中具体函数的极值，写出函数极值的一般性定义：

如图2，在包含类1x 的一个区间()b a ,内，函数()f x 在任何一点的函数值都小于或

等于1x 点的函数值，称点1x 为函数()f x 的 极大值点，其函数值()1x f 为函数的极大值 如图2，在包含类2x 的一个区间()b a ,内，函数()f x 在任何一点的函数值都小于或

等于2x 点的函数值，称点2x 为函数()f x 的 极小值点，其函数值()2x f 为函数的极小值

极大值与极小值统称为 极值 。

极大值点与极小值点统称为极值点 。 例1 找出图中的极值点

极大值点是：d ,f ,h 极小值点是：c,e,g

反思1：

（1）函数的极值是唯一的吗？

函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内可能有多个极大值或极小值 (2)极大值与极小值之间有无确定的大小关系?请举例说明.

极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，f 是极大值点，c 是极小值点，而)(c f >)(f f

(3)极值一定是最大值或最小值吗？

极值不一定是最大值或最小值.

极值是就某一点附近的小区间而言，是函数的局部性质，由极值的定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 问题探究二：连续函数图像特征与导数关系：

观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,总结极值与导数之间有什么关系?（完成表格）

极大值与导数的关系：

反思2：如何判断极值0()f x 是极大值还是极小值？

(1) 如果在x 0附近的左边()'

f

x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值. (2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'

f x ＞0,那么f(x 0)是极小值

例2 求函数53632)(2

3

+--=x x x x f 的极值

解：因为)3)(2(6)('-+=x x x f ，令0)('=x f ，解得21-=x ，32=x 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况表：

所以，当时，函数有极大值，且极大值为)492=， 当3=x 时， 函数有极小值，且极小值为()763-=f 反思3 求函数极值的步骤是什么？ （1）求导数()f x '

（2）解方程()f x '=0，利用方程的根x 0，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（3）由()f x '在方程()f x '=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况: ① 若f ’(x)在x 0两侧的符号“左正右负”，则x 0 为极大值点; ② 若f ’(x)在x 0两侧的符号“左负右正”，则x 0 为极小值点; ③ 若f ’(x)在x 0两侧的符号相同，则x 0 不是极值点

变式1 判断下列函数是否有极值，若有极值，请求出；若没有极值，请说明理由。

（1）x x x y 43123

++= ()03)1(422

2>++=++='x x x x f 所以函数()x f 在R 上为增函数，无极值。

（2）161282

3++-=x x x y

624242+-='x x y ，0='y 令，即0624242

=+-x x ，解得2

1=x

当21>x 时，0>'y ；当21

'y

即在2

1

=x 的附近y '不变号，所以此函数无极值。

反思4

（1）对于可导函数在某点0x 处取得极值的条件是什么？

可导函数在某点x 0取得极值的充要条件f(x 0)=0且点x 0的左右附近的导数值符号要相反 （2）“点0x 是可导函数()x f 的极值点”是“()00='x f ”的什么条件？

可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数3y x =,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.

因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f ′(x0)＝0”的充分但不必要条件;

变式2 函数()2

23a bx ax x x f +--=在1=x 时有极值10，则b a ,的值为（ C ）

A.3,3-==b a 或11,4=-=b a

B.3,3-==b a

C.11,4=-=b a

D.以上都不正确

解：由题设条件得：()()⎩

⎨⎧='=0110

1f f 即

⎩

⎨

⎧=--=+-02310

-12b a a b a 解之得⎩⎨⎧-==33b a 或⎩

⎨⎧=-=114

b a 通过验证，只有11,4=-=b a 符合题意

（为什么要检验？）

归纳总结：

1．理解极值的定义需注意哪些 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 3. 求可导函数f (x )的极值的步骤:

课堂练习1：

下列说法正确的是（ D ）

A .若()()0x f x f ≤，则称()0x f 为()x f 的极小值

B .若()()0x f x f ≥，则称()0x f 为()x f 的极大值

C .若()0x f 为()x f 的极大值，则()()0x f x f ≤

D .极值点一定出现在定义区间的内部 分析：反例x y =

，由极值的定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都大；若

函数在某点处存在极值，则应在该点附近的左右两侧的导数存在，并且()x f '的符号相反

课堂练习2：

下列命题中，真命题为（ D ）

①单调递增函数存在极大值；②单调递增函数存在极小值；③由单调递增转化为单调递减的连续函数存在极大值；④由单调递增转化为单调递减的连续函数存在极小值； A . ①④ B . ②③ C . ②③ D . ③④

单调函数不存在极值，若函数在区间上有极值，则函数在区间上不是单调函数。