上海十三校2009—2010学年高三年级联考数学试(理科)
2010上海十校高三数学测试理科
2010上海市十校(高三)数学测试(理科)一、填空题(本大题满分为 56分)本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 则一律得零分.1. 已知椭圆方程为3x 2 +2y 2 =1，则该椭圆的长轴长为 ________________ .2. 已知6=(-2, -1),6=仇，1)，若a 与b 夹角为钝角，则实数人取值范围是 ___________________________ .3. 设 A = Qx, y)(x —y)JX=O, B = ^x, y)| y =1｝则 A“B 用列举法可表示为 ___________________________ .4. 复数 z 满足 z+3 — J5i=J5，设 z =m , z =n ，贝U mn =max7 min______________ ・f3 \n5. 在二项式 Jx + 3 i !的展开式中，各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且A+ B = 72,则展开式'、、x.丿中常数项的值为 ___________ .6. 已知函数f (x) =ACOS 2(，x 」)J (A V,「0的最大值为 3, f(x)的图像与y 轴的交点坐标为(0, 2),其相邻两条对称轴间的距离为 2,则f(1) + f(2)+H|+ f(2010) = _______________x b +c a +b —c7 .已知a^b , a^b+c ，则关于x 的方程 x a a+b —c=0的解集为 ______________________________ .a —b a —ca —b2x —58•函数y( X • A)的值域是x-39.在AABC 中，已知b = 2・2 a =2，如果三角形有解，则1 1-，乙胜的概率也是 丄，则在一次五局三胜制的比22赛中，甲队以3:1获胜的概率是 ________设 S n =tan d +tan 日2 +tan 氏 +川 +tan ^n ，则 lim S n =n —SC12.已知 f(x) =1abx_log 3(3x +1)为偶函数, g(x) =2x +©2步为奇函数，其中a,b 为复数，则2010、(a k b k )的值是 ______________ .k =i4分，否:;：一~0】U 〔4,，则集合人=Z A 的取值范围是10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为1 一11.设函数f (x)，点A 表示原点，点 A n ( n, f (n))x 2角，a n 二 A0A AA 人2人川 A n —A n ,(n E N 讯),日n 是向量a 与向量i = (1,0)的夹. 2 工 213.已知实数x、y满足方程x-a，1 y-1 1，当0乞y乞b ( b R)时，由此方程可以确定14.有下列四个命题：一 1（1）一定存在直线I ，使函数f （x ）=lgx ・lg 的图像与函数g （x ） =lg （-x ） • 2的图像关于直线I 对称;（2） 不等式：arcsinx 兰arccosx 的解集为|——,1 ；I 2 一（3） 已知数列、a n f 的前n 项和为S h = - （-1）， n ，N ，则数列、a n ? 一定是等比数列；（4） 过抛物线y 2 = 2px （ p 0）上的任意一点 M （々，y ：J 的切线方程一定可以表示为y °y =p(x X 。
da2009年高考数学(上海)理
n A1B1 2x 0 ，n AC 2x 2 y 2z 0 ，令 z 1 ，解得 x 0 ， y 1 ． 1
11) ，· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 n＝ (0，
O (B) A M x
C
y
设 AC 的中点为 M ，
BM AC ， BM ⊥CC1 ，
BM 平面 AC ， ， 0) 是平面 AC · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 1 1C ，即 BM (11 1 1C 的一个法向量． ·
设平面 A 1B 1C 的一个法向量是 n ( x，y，z ) ．
2009 年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明： 1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评 分标准的精神进行评分． 2． 评阅试卷， 应坚持每题评阅到底， 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅， 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给 分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答： 一、 （第 1 题至第 14 题） 1．i 2． a ≤ 1
上海闸北区09届高三数学(理)学科期末练习卷
题号-一--二二 三总分1~10 11~131415161718得分闸北区09届高三数学（理）学科期末练习卷lim ［匕二 (3)n ］的值是n心 2 n 4 …tan x, x 兰0“ 小、，小、若f(x 2)飞2 -x,X"，则 f(G 2) f ®设x, y 是满足2x y =4的正数U lg x • lg y 的最大值是函数 f (x) = x • sin x T( x 三 R),若 f (a) = 2，贝U f (-a)的值为7.若动直线x=a 与函数f （x ）=sinx 和g （x ）=cosx 的图像分别交于 M,N 两点，贝U MN 的最 大值为 _______________ .8. 5张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5 ，从这5张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 9.已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n‘ ,数列｛b n ｝的通项公式是b n =3n ,令集合A 二｛a i ,a 2,…，a n 「｝ ,B 二｛b i ,b ,…，b n ,J , n ，N * •将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 ｛C n ｝.则数列｛C n ｝的前28项的和S 28二 10.设a 1 ,若仅有一个常数c 使得对于任意的x 'a,2al ,都有y ・b,a 2】满足方程log a x log a ^c ，这时，a 的取值的集合为（考试时间：120分钟满分：150分）50分）本大题共有10题，只要求直接 5分，否则一律得零分.2. 3.4.的展开式中常数项为（用数字作答）•5. 6. •填空题（本大题满分 填写结果，每题填对得12 1 —i二选择题（本大题满分 15分）本大题共有3题，每题都给出代号为 A B 、C D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结 论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一 律得零分.11. “函数f （x ）（x ・R ）存在反函数”是“函数 f （x ）在R 上为单调函数”的（）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充分必要条件D •既不充分也不必要条件12.已知O, A,B 是平面上的三点，直线AB 上有一点C ,满足AC=CB ,则OC 等于 （）A. OA —OBB. OA OBC. 1OA_1OB D.2 2(n)若 sinC sin(B -A)二sin2A ，试判断△ ABC 的形状.［解］(I)(n)1OA 1OB2 213.如图, 动点P 在正方体 ABCD — ABC 1D 1 的对角线 BD 1 上. 过点P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于之,MN =y ，则函数y= f （x ）的图像大致是（A 1D 1C 1B 1:\p ” N —\P AB•解答题（本大题满分 85分）本大题共有 得分 评卷人a14.（本小题满分 14分)A,B,C 所对的边长分别是a,b,c .(I)若 c=2 , C =— 3，且△ ABC 的面积S 二3，求a,b 的值;5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 在△ ABC 中，内角15.(本小题满分14分)如图，平面PAD丄平面ABCD , ABCD为正方形，.PAD = 90°,且PA =AD, E、F分别是线段PA、CD的中点.(I)求证：PA _平面ABCD ；(n)求EF和平面ABCD所成的角:-; (川)求异面直线EF与BD所成的角1 •［解］(I)（出）PEF16.(本小题满分17分)某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产•已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)目年固定每件产品每件产品「每年最多可1类另别7、^成本成本销售价生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定, 预计［6,8］•另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税•假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(I)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润屮川2与生产相应产品的件数X之间的函数关系并指明其定义域；(n)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.［解］(I)(n)n• n -4,b n =(-1)n (a n -3n 21),其中■为实数，n为正整数.(I)对任意实数■，证明数列｛a n ｝不是等比数列;(n)对于给定的实数 ■，试求数列｛b n ｝的前n 项和S n ；(川)设0 ：：： a ：：： b ,是否存在实数■,使得对任意正整数n ,都有a ：：： S n :: b 成立？若存在，求■的取值范围；若不存在，说明理由. ［解］(I)17.(本小题满分20分) 已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满18.（本小题满分 20分）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等） 的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合A 由全体二元有序实数组组成，在 A 上定义一个运算，记为O,对于 A 中的任意两个元素：——（a,b ）, - -（c,d ），规定:(I)计算:(2,3) O (-1,4);（H ）请用数学符号语言表述运算O 满足交换律和结合律，并任选其一证明； （川）A 中是否存在唯一确定的元素I 满足：对于任意二三A ，都有O 1=1 O成立,若存在，请求出元素I ;若不存在，请说明理由；（W ）试延续对集合 A 的研究，请在 A 上拓展性地提出一个真命题，并说明命题为真的理由.［解］（I ）a -cd a b d5c b(出)(W)j. O -=(6 故异面直线 EF 与BD 所成角为 <3 arccos ...... .................................................................闸北区09届高三数学（理）学科期末练习卷参考答案与评分标准一.填空题1.2 ； 2•- 1； 3.2 ； 4.1 0；5. lg 2 ；6.0；7. 、2 ; 8•丄； 9.820 ; 10. {2}2二•选择题 11. B ; 12. D ;13. B .三•解答题14.（本小题满分14分）解：（I ）由余弦定理及已知条件得， a 2 ・b 2_ab=4 , (3)、3，所以 1 absin C =、3，得 ab = 4 .; 2 2a b -ab =4, ab =4,(n)由题意得 sinBcosA 二 sin AcosA ,当cosA=0时，A = Z , △ ABC 为直角三角形 ........................................ •分2当cosA = 0时，得sin B = si nA ，由正弦定理得 a = b ,所以，△ ABC 为等腰三角形. ......................................................... •分 15.解（I ）证明：由已知 PA _ AD , AB _ AD ,所以.PAB 为平面PAD 与平面ABCD 所成二面角的平面角， .......................... 1分 由已知：平面PAD 丄平面ABCD ，得PA _ AB ............................................................ 1分 又AB 平面ABCD , AD 平面ABCD ,且AB 与AD 相交••• PA _ 平面 ABCD（n ）连接AF ，则.AFE 即为—（川）解法一：取 BC 的中点 M 连结EM FM 贝U FM//BD ,•••/ EFM （或其补角）就是异面直线 ............................................. EF 与BD 所成的角。
2010上海市十校(高三)数学测试(理科)
2010上海市十校（高三）数学测试（理科）一、填空题（本大题满分为56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知椭圆方程为22321x y +=，则该椭圆的长轴长为___________.2.已知)1,(),1,2(λ=--=b a，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是__________________.3.设{}{}1),(,0)(),(===-=y y x B x y x y x A ，则B A 用列举法可表示为_________________.4.复数z满足3z +=n z m z ==min max ，，则m n ⋅=__________.5.在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且72=+B A ,则展开式中常数项的值为__________.6.已知函数)0,0(1)(cos )(2>>++=ωϕωA x A x f 的最大值为3,)(x f 的图像与y 轴的交点坐标为)2,0(,其相邻两条对称轴间的距离为2,则++)2()1(f f (2010)f += ____________.７．已知a b ≠，a b c ≠+，则关于x 的方程0xb c a b cx a a b c a b a c a b++-+-=---的解集为________.8. 函数253x y x -=-（x ∈Ａ）的值域是(][),04,-∞+∞ ，则集合Ａ＝___________. 9.在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是___________________. 10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为21，乙胜的概率也是21，则在一次五局三胜制的比 赛中，甲队以3:1获胜的概率是_______.11.设函数1()2f x x =+，点A 表示原点，点(,())n A n f n （n N *∈），n θ是向量a 与向量(1,0)i = 的夹角，0112231n n n a A A A A A A A A -=++++ ，设123tan tan tan n S θθθ=++tan n θ++ ，则lim _________n n S →∞=.12.已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数，x x ba x g 22)(++=为奇函数，其中b a ,为复数，则20101()kk k ab =+∑的值是_________.13.已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为__________________. 14.有下列四个命题：（1）一定存在直线l ，使函数1()lg lg2f x x =+的图像与函数2)lg()(+-=x xg 的图像关于直线l 对称；（2）不等式：arcsin arccos x x ≤的解集为⎤⎥⎣⎦； （3）已知数列{}n a 的前n 项和为1(1)n n S =--，n N *∈，则数列{}n a 一定是等比数列；（4）过抛物线22(0)y px p =>上的任意一点(,)M x y 的切线方程一定可以表示为00()y y p x x =+． 则正确命题的序号为_________________．二、选择题：（本大题满分20分）15.方程22201020101sin(19)cos(19)x y +=所表示的曲线是（ ）. (A ) 双曲线 (B ) 焦点在x 轴上的椭圆 (C ) 焦点在y 轴上的椭圆 (D ) 以上答案都不正确16.长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）.(A ) x >B 2x << (C x <<D ) 1>x 17.给定正数,,,,a b c p q ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列，则关于x 的一元二次方程220bx ax c -+=（ ）.(A ) 有两个相等实根 (B ) 有两个相异实根(C ) 有一个实根和一个虚根 (D ) 有两个共轭虚根18.有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（ ）. (A ) !n (B )()12n n - (C ) ()12n n + (D ) nn 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解题时要写出必要的解题过程.19.（本题满分12分）如图，AB 是圆柱体OO '的一条母线，BC 过底面圆的圆心 O ，D 是圆O 上不与点B 、C 重合的任意一点，已知棱5AB =，5BC =，3CD =。
度上海十三校高三年级联考(理)
2009-2010学年度上海十三校高三年级联考数学试题（理）考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）1．已知集合B A y y x B x x y y x A 则},0|),{(},2|),{(2==-=== 。
2．函数)1arccos(2-=x y 的定义域为 。
3．函数2)81(+-=x y 的值域是 。
4．函数x x x f cos sin )(+=的单调减区间为 。
5．不等式0)2)(sin |(|<-+x x x 的解集为 。
6．设,43),()1(1121612121*=⋅∈+++++=++n n n S S N n n n S 且 则n 的值是 。
7．已知二次函数[)+∞∈++=,0)(2)(2的值域为R x c x ax x f ，则)1(f 的最小值为 。
8．设函数R x f 在)(上有定义，下列函数：①|;)(|x f y -=②)(||2x f x y ⋅=；③);(x f y --=④)()(x f x f y -+=中偶函数的有 （写出所有正确的序号）9．已知定义在R 上的函数)(x f ，都有)()2(x f x f -=+成立，设)(n f a n ==，则数列}{n a 中值不同的项最多有 项。
10．用数学归纳法证明：)(2)13()()2()1(*N n n n n n n n ∈+=++++++ 的第二步中，当1+=k n 时等式左边与n=k 时的等式左边的差等于 。
11．已知n n n n n n n n b a b a b a +>+==-+-1,2,213则满足的正整数n 的值为 。
2009届上海高三年级十四校联考理
2009届上海市高三年级十四校联考数学试卷（理科）（考试用时120分钟 满分150分）60分，共12小题，每小题满分 5分）1 .设集合 A = {x | y = . 1 - x}, B = {y | y = 一 1 - x},则 A B =22.不等式0的解是x4.数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =2a n -1,则｛a n ｝的通项公式为a n = _______5. ___________________________________________________________ 函数f （x ） = 2cosx （sinx • \3cosx ）的单调递增区间是 __________________________________ 。
6. 若函数y = f （x ）存在反函数y = f °（x ）,且函数y = 2x- f （x ）的图象过点（2, 1），则函数y = f 」（x ） — 2x 的图象一定过点 _______ 。
7.如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的 侧积面与圆锥的侧面积之比为 _________ ■的函数序号是 ______ 9 .高三（1）班准备在本班7名演讲选手中抽取 5人参加班会课的演讲比赛 （每人演讲一场），若甲、乙两人一定被选中，且甲的出场顺序排在乙的前面（不一定相邻） ，则高三（1）班5名参加演讲的选手出场的顺序有 _______ 种可能（用数字作答）。
10.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：①不是常数列；②它的极限就是这个数列中的项。
则此数列的一个通项公式a n = ________ 。
3. limC n 2 2C「 n —「(n 1)2、填空题（本大题满分8. F 面四个函数：①TL=cos(2x —) JI:② y =sin(2x)x H④ y = cos( )中,同时具有 “最小正周期是［图象关于点（一 ,0）对称”两个性质611 •在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是。
2009年上海高考数学理科卷带详解
2009年上海市高考数学试卷（理科)一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．若复数z 满足z （1+i ）=1-i （i 是虚数单位），则其共轭复数z =_________． 【测量目标】复数的基本概念;复数代数形式的四则运算. 【考查方式】化简复数等式，求解一个复数的共轭复数. 【难易程度】中等 【参考答案】i【试题解析】设z ＝a ＋b i,则（a ＋b i ）(1+i) =1-i,即a －b ＋（a ＋b )i ＝1－i ，（步骤1）由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ,解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i,故答案为i ．（步骤2) 2．已知集合A ={x |x1｝，B =｛x |xa ｝,且A B =R ，则实数a 的取值范围是_________．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合,已知集合间的关系,运用数轴法求解集合中未知参数的取值范围． 【难易程度】容易 【参考答案】a1【试题解析】因为A B =R ,画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a 1。
第2题图3．若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0,则x 满足的条件是_________．【测量目标】矩阵初步.【考查方式】根据代数余子式的概念，列出关于x 的不等式求出取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】x ＞83【试题解析】依题意，得： (-1）2⨯(9x -24）＞0，解得：83x >，故答案为：x ＞83. 4．某算法的程序框如下图所示,则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_________．第4题图【测量目标】选择结构程序框图.【考查方式】给出程序框图，按照程序框图的执行流程分析循环过程，判断输入值与输出值之间的关系。
【难易程度】容易 【参考答案】2,12,1xx x y x->⎧=⎨⎩【试题解析】根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y 与输入量x 满足的关系式是2,12,1x x x y x ->⎧=⎨⎩，故答案为：2,12,1xx x y x ->⎧=⎨⎩. 5．如图,若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是_________。
2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。
上海市2009年高三十四校联考模拟考试数学(理科)试卷
上海市2009年高三十四校联考模拟试卷数学试题（理科）考试用时120分钟 满分150分一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）1．不等式021≥+-x x 的解集为 .2．设θθθ2,54cos ,53sin 则-==的终边所在的象限是.3．以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在0342=+-y x 上的抛物线方程是 .4．二项式()15153yx -展开式中所有的理系数之和为 .5．设65432,2321z z z z z z i z ++++++=那么= .6．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取ξ且,22,3,25,0,25,3,22--- 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=.7．若数列}{),,(}{*221n nn n a N n p p a a a 则称为正常数满足∈=+为“等方比数列”。
则“数列}{n a 是等方比数列”是“数列}{n a 是等方比数列”的条件.8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π34，半径为18cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为.9．已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为.10．如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列： 1，3，6，10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，则nn S n 3lim ∞→=.11．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如[2.3]=2，][}{,2]3.1[x x x +=-=-定义函数，那么下列命题中所有正确命题的序号为 .①函数}{x 的定义域是R ；②函数}{x 的值域为R ；③方程23}{=x 有唯一解；④函数}{x 是周期函数；⑤函数}{x 是增函数.12．矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点124),,(22=++++y xy x dy cx by ax 若曲线在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线b a y x +=-则,1222的值为 .二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）13．无穷等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（）A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-14．已知非零向量,21||||,0||||==⋅+AC AB AC AB 满足则△ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形15．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘n ！！如下：当n 为偶数时， 135)4)(2(!!,;246)4)(2(!!⨯⨯--=⨯⨯--= n n n n n n n n n 为奇数时当；现有四个命题：①!2009)!!2008)(!!2009(=，②!10042!!2008⨯=，③2008！！个位数为0，④2009！！个位数为5。
2009年全国高考理科数学真题(含答案)-上海卷
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417xx 5 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABC D A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________（结果用最简分数表示）. 8. 已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________. 9. 已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by ax C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________. 10. 在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =___________时，0)(=k a f . 13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
数学_2009-2010学年上海市某校高三(上)摸底数学试卷(理科)_(含答案)
2009-2010学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷（理科）一、填空题：本大题有12小题，每小题4分，共48分.请将答案填写在题中的横线上.1. (1+i)(1−i)表示为a+bi(a, b∈R)，则a+b=________．2. f(x)=cos(ωx−π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω=________．3. 正方体ABCD−A1B1C1D1，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角是________．4. limn→∞1n2(1+32+2+⋯+n+12)=________．5. 椭圆两焦点为F1(−4,0)，F2(4,0)，P在椭圆上，若△PF1F2的面积的最大值为12，则椭圆方程为________．6. 设正数数列{a n}前n项和为S n，且对所有自然数n，有√S n=1+a n2，则通过归纳猜测可得到S n=________．7. 某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元．（用数学作答）8. 圆x2+y2−4x−2y+c＝0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB＝90∘则c值是________．9. 函数y=3−|x−1|−m的图象与x轴有交点时，m的取值范围是________．10. 对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)=x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是________．11. 若f(x)=asin(x+π4)+bsin(x−π4)(ab≠0)是偶函数，则有序实数对(a, b)可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）12. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，a−b，ab，ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F={a+b√2|a, b∈Q}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号填填上）二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.13. 设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件14. 设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b>1；②a+b>2；③a2+b2>2；④ab>1，其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A ①和④B ②和④C ②和③D 只有②15. 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间x （年）的函数关系如图，下列四种说法①前三年中，产量的增长的速度越来越快； ②前三年中，产量的增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（ ） A ②与③ B ②与④ C ①与③ D ①与④16. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴的长，给出下列式子：①a 1+c 1=a 2+c 2；②a 1−c 1=a 2−c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1<c2a 2．其中正确式子的序号是（ ）A ①③B ②③C ①④D ②④三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知向量a →=(1+sin2x,sinx −cosx)，b →=(1,sinx +cosx)，函数f(x)=a →⋅b →． (1)求f(x)的最大值及相应的x 的值； (2)若f(θ)=85，求cos2(π4−2θ)的值．18. 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜． （1）分别求出红色骰子投掷所得点数为2和蓝色骰子投掷所得点数为1的概率； （2）分别求出红色骰子投掷所得点数和蓝色骰子投掷所得点数的数学期望； （3）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？19.如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =BC =12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． （1）求证OD // 平面PAB ；（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．20. 由函数y =f(x)确定数列{a n }，a n =f(n)，函数y =f(x)的反函数y =f −1(x)能确定数列{b n }，b n =f −1(n)，若对于任意n ÎN ∗，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．（1）若函数f(x)=px+1x+1确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ；（2）在（1）条件下，记n1x 1+1x 2+⋯1x n为正数数列{x n }的调和平均数，若d n =2a n +1−1，S n 为数列{d n }的前n 项之和，H n 为数列{S n }的调和平均数，求limn →∞=H n n ；（3）已知正数数列{c n }的前n 项之和T n =12(C n +n C n)．求T n 表达式．21. 过点A(0, a)作直线交圆M ：(x −2)2+y 2=1于点B 、C ，（理）在BC 上取一点P ，使P 点满足：AB →=λAC →，BP →=λPC →，(λ∈R) （文）在线段BC 取一点P ，使点B 、P 、C 的横坐标的倒数成等差数列 （1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求△MRS 面积的最大值． 22. 已知函数f(x)=ax 2+4x −2，若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2．（1）求实数a 的取值范围； （2）（理）对于给定的非零实数a ，求最小的负数M(a)，使得x ∈[M(a), 0]时，−4≤f(x)≤4都成立； （3）（理）在(II)的条件下，当a 为何值时，M(a)最小，并求出M(a)的最小值． (II)（文）求最小的实数b ，使得x ∈[b, 1]时，f(x)≥−2都成立；(III)（文）若存在实数a ，使得x ∈[b, 1]时，−2≤f(x)≤3b 都成立，求实数b 的取值范围．2009-2010学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷（理科）答案1. 22. 103. arccos 13 4. 145. x 225+y 29=16. n 27. 86408. −39. (0, 1]10. −1<a <311. (1, −1) 12. ③④ 13. A 14. D 15. A 16. B 17.解：(1)因为a →=(1+sin2x,sinx −cosx)，b →=(1,sinx +cosx)， 所以f(x)=1+sin2x +sin 2x −cos 2x =1+sin2x −cos2x =√2sin(2x −π4)+1.因此，当2x −π4=2kπ+π2，即x =kπ+38π(k ∈Z)时，f(x)取得最大值√2+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ−cos2θ及f(θ)=85得sin2θ−cos2θ=35，两边平方得1−sin4θ=925，即sin4θ=1625．因此，cos2(π4−2θ)=cos(π2−4θ) =sin4θ=1625．18. 解：（1）易知红色骰子投掷所得点数为2的概率为46=23蓝色骰子投掷所得点数为1的概率为36=12（2）又红色骰子投掷所得点数为8的概率为26=13蓝色骰子投掷所得点数为7的概率为36=12∴ 红色骰子投掷所得点数的数学期望=8⋅13+2⋅23=4； ∴ 蓝色骰子投掷所得点数的数学期望=7⋅12+1⋅12=4．（3）∵ 投掷骰子点数较大者获胜，∴ 投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7， 红色骰子点数为2．∴ 投掷蓝色骰子者获胜概率是12⋅23=1319. 解：方法一：（1）∵ O 、D 分别为AC 、PC 中点， ∴ OD // PA 又PA ⊂平面PAB ∴ OD // 平面PAB（2）∵ AB ⊥BC ，OA =OC ，∴ OA =OB =OC ， 又∵ OP ⊥平面ABC∴ PA =PB =PC ．取BC 中点E ，连接PE ，则BC ⊥平面POE 作OF ⊥PE 于F ，连接DF ，则OF ⊥平面PBC∴ ∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 可设PA =2，AB =BC =1，PO =√142，EO =12，PE =√152， OD =1，OF =PO⋅EO PE=√142√15， 在Rt △ODF 中，sin∠ODF =OF OD=√21030， ∴ OD 与平面PBC 所成的角为arcsin√21030． 方法二：∵ OP ⊥平面ABC ，OA =OC ，AB =BC ，∴ OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz （如图），设AB =a ，则A(√22a,0,0)，B(0,√22a,0)，C(−√22a,0,0) 设OP =ℎ，则P(0, 0, ℎ)． （1）∵ D 为PC 的中点， ∴ OD →=(−√24a,0,12ℎ)，又PA →=(√22a,0,−ℎ)， ∴ OD →=−12PA →．∴ OD → // PA →．∴ OD // 平面PAB ．（2）∵ PA =2a∴ ℎ=√72a ， ∴ OD →=(−√24a,0,√144a)，可求得平面PBC 的法向量n →=(−1,1,√17)，∴ cos⟨OD →，n →>=|OD →|⋅|n →|˙=√21030．设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos⟨OD →，n →>|=√21030， ∴ OD 与平面PBC 所成的角为arcsin√2103020. 解：（1）由题意的：f −1(x)=1−xx−p =f(x)=px+1x+1，所以p =−1，所以a n =−n+1n+1（2）a n =−n+1n+1，d n =2an +1−1=n ，s n 为数列{d n }的前n 项和，s n =n(n+1)2，又H n 为数列{S n }的调和平均数， 所以H n =n1s 1+1s 2+⋯1s n=n21×2+23×2+⋯2n(n−1)=(n+1)2lim n →o H n n =lim n →o n +12n =12（3）因为正数数列{c n }的前n 项之和T n =12(c n +nc n)所以c 1=12(c 1+nc 1)解之得：c 1=1，T 1=1当n ≥2时，c n =T n −T n−1，所以2T n =T n −T n1+nT n −T n1T n −T n−1=n T n −T n−1即T n 2−T n−12=n所以，T 2n−1−T 2n−2=n −1，T 2n−2−T 2n−3=n −2，…T 22−T 12=2累加得：T n 2−T 12=2+3+4+...+n 2 T n 2=1+2+3+4+⋯+n =n(n+1)2，T n =√(n+1)n 221. 解：（1）（理）令P(x, y)，因为AB →=λAC →，BP →=λPC →，(λ∈R) 所以x B =λx C ，x −x B =λ(x C −x) ∴ x−x BxC −x=xB x C，∴ x =2x B x CxB +x C①设过A 所作的直线方程为y =kx +a ，（显然k 存在）又由{y =kx +a(x −2)2+y 2=1得(1+k 2)x 2+(2ak −4)x +a 2+3=0 ∴ x B +x C =4−2ak 1+k 2，x B x C =2a+3k 2−ak代入①，得x =a 2+32−ak ，∴ y =kx +a =2a+3k 2−ak消去k ，得所求轨迹为2x −ay −3=0，（在圆M 内部）（文）令P(x, y)，因为点B 、P 、C 的横坐标的倒数成等差数列 所以 2x =1x B+1x c⇒x =2x B x cxB +x c（以下同理）（2）上述轨迹过为定点(32,0)的直线在圆M 内部分，由{2x −ay −3=0(x −2)2+y 2=1得(a 2+4)y 2−2ay −3=0 则|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√a 2+3(a 2+4)2 ∴ S △MRS =12×12×4√a 2+3(a 2+4)2=√a 2+3(a 2+4)2=√1(a 2+3)+1(a 2+3)+2令t =a 2+3，则t ≥3，而函数f(t)=t +1t在t ≥3时递增， ∴ S △MRS ≤√13+13+2=√34． ∴ S △MRS |max =√34，此时t =3，a =0，22. 解：（1）∵ f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=a(x 1+x 22)2+b(x 1+x 22)+c −ax 12+bx 1+c +ax 22+bx 2+c 2=−a4(x 1−x 2)2≤0，∵ x 1≠x 2，∴ a ≥0．∴ 实数a 的取值范围为[0, +∞)．（2）（理）∵ f(x)=ax 2+4x −2=a(x +2a )2−2−4a ， 显然f(0)=−2，对称轴x =−2a <0．（1）当−2−4a<−4，即0<a <2时，M(a)∈(−2a，0)，且f[M(a)]=−4．令ax 2+4x −2=−4，解得x =−2±√4−2aa ， 此时M(a)取较大的根，即M(a)=−2+√4−2aa=√4−2a+2，（2）当−2−4a ≥−4，即a ≥2时，M(a)<−2a ，且f[M(a)]=4． 令ax 2+4x −2=4，解得x =−2±√4+6a a，此时M(a)取较小的根，即M(a)=−2−√4+6aa =√4+6a+2，（3）（理）由（2）知，当0<a<2，M(a)=√4−2a+2．此时M(a)>−1当a≥2，M(a)=√4+6a−2≥−3．此时M(a)≥−3（当且仅当a=2时，取等号）∵ −3<−1，∴ 当a=2时，M(a)取得最小值−3．(II)（文）∵ f(0)=−2由x∈[b, 1]时，f(x)≥−2都成立∴ b≥0∴ b的最小值为0(III)（文）由(II)知b≥0∴ f(x)在[b, 1]上为增函数，∴ f(1)≤3b即：a+4−2≤3b又由(I)a≥0⇒3b≥a+2≥2⇒b≥23∴ 23≤b<1。
2009届上海高三十四校联考模拟试卷理
2009届上海市高三十四校联考模拟试卷数学试题（理科）考试用时120分钟 满分150分一、填空题（本大题满分 60分，共12小题，每小题满分 5分）x _11 •不等式0的解集为。
x +2 3 42•设sin ,cos ••—•一，则2二的终边所在的象限是 _________ 。
5 53 •以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在 2x-4y ，3=0上的抛物线方程是 _________________ 4•二项式153x-y 15展开式中所有的理系数之和为 _________________ 。
5 .设 z = -3i,那么 z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6=。
2 26 .设I 为平面上过点（0 , 1 ）的直线，I 的斜率等可能5 5-^2' 2^ . 3^ —，0, ~2，""3,2・-2,且 表示坐标原点到I 的距离，则随机变量学期望E E =2若数列｛a n ｝满足勺｛二P （P 为正常数，n ・N *）,则称｛a n ｝为“等方比数列”。
则a n｛a n ｝是等方比数列”是“数列 ｛a n ｝是等方比数列”的 ____ 条件。
4一& 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成3角的余弦值为 ___________ 。
9 •已知f （x ）是定义在R 上的函数，且f （1） =1,对任意的R 都有下列两式成立：f (x 5) 一 f (x)5; f (x 1)乞 f (x)1 若g(x) = f (x) 1 - x,则g(6)的值为3项和为S n ,则lim —= __________Y S n7. “数列10.如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列:1, 3, 6, 10,…，记这个数列的前 n11 •符号[X]表示不超过x 的最大整数，如[2.3]=2，[-1.3] =-2,定义函数｛x ｝ =x • [X],那么下列命题中所有正确命题的序号为a b x ax + by12.矩阵的一种运算^ =，该运算的几何意义为平面上的点 （x, y ）在矩2 d 八y 丿 fx + dy 丿'a b'、22阵的作用下变换成点（ax+by,cx+dy ）,若曲线x 2+4xy+2y =1在矩阵2 d 丿 1 a 、的作用下变换成曲线 x 2 -2y 2 =1,则a+b 的值为 ________________ 。
【理数】2009年上海市高三调研试卷
2009年上海市高三数学教学调研试卷（理科）一、填空题：1．方程2log (31)3x -=的解是 。
2．行列式123234345的元素5的代数余子式的值为 。
3．若直线l 过点(1,2)A ，且它的一个方向向量为(1,2)d =，则直线l 的方程为 。
4．若复数Z满足Z =，且(13)i Z -是纯虚数，则复数Z = 。
5．函数()sin 2f x x x =的最小正周期是 。
6．如果()na b +的二项展开式中的第三项与第二项的系数之比为2，那么正整数n = 。
7．若函数()112x f x =-的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 。
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 的值是 。
9．计算：()()()()123lim()1111n nn n n n n n n n →∞++++=++++ 。
10．若正三角形ABC 的边长为1，O 是ABC ∆所在平面内的任意一点，则2OA OB OC +-=。
11．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d ，高为h ，则圆锥形量杯侧面上刻度V （容积）与页面深度x 的函数关系为 。
12．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则AB = 。
13．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽取一件，且不放回抽取，抽到次品的数学期望E ξ的值是 。
14．已知函数()24(1)3(0)f x ax a x a =+-+>的定义域为[]0,2，若()()m a x 2f x f=，则实数a 的取值范围是 。
二、选择题：15．圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点()1,0的圆的方程为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A ()()22111x y -+-= ； .B ()()22111x y +++=；（第8题图）.C ()()22111x y -++=； .D ()()22111x y ++-=16．若,,a b c R ∈，则a b >成立的充分非必要条件为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 22ac bc > ； .B a c b c +>+； .C a c <且c b <； .D ac bc >17．在直角坐标平面xOy 上，已知点(3,2)A ，点B 在椭圆221168x y +=上运动，动点P 满足AB BP = ，那么点P 的轨迹方程是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A()()223213216x y +++= ； .B()()223216432x y +++=；.C()()223213216x y --+= ； .D()()223216432x y --+=18．已知x 是1,2,3,,5,6,7x 这七个数据的中位数，且21,3,,x y -这四个数据的平均数为1，那么1y x-的最小值是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 4255； .B 3155； .C 283； .D 不存在三 、解答题： 19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，11.CB AC AA ===（1）棱锥1C CDB -的体积；（2）二面角1A AC D --的大小 20．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3。
2009年高考上海数学(理)完整word版
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i i i z (1)1(-=+是虚数单位），则其共轭复数z = ．2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是 ．3．若行列式9873154xx中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 ．4．某算法的程序框图如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是 ．5．如图，若正四棱柱1111D C B A ABCD =的底面边长为2， 高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是 （结 果用反三角函数值表示）．6．函数x x y 2sin cos 22+=的最小值是 ．7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示 选出的志愿者中女生的人数，则数学期望ξE = （结果用最简分数表示）． 8．已知三个球的半径321,,R R R 满足32132R R R =+，则它们的表面积321,,S S S 满足的等 量关系是 ．9．已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一个点，且21PF ⊥．若△21F PF 的面积为9，则b = ． 10．在极坐标系中，由三条直线3,0πθθ==，1sin cos =+θρθρ围成圆形的面积是． 11．当0≤x ≤1时，不等式2sinxπ≥kx 成立，则实数k 的取值范围是 ．12．已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ． 13．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4）， （-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．14．将函数2642--+=x x y （]6,0[∈x ）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θαθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．“22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 【答】（ ）（A ）必要不充分条件． （B ）充分不必要条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分也不必要条件．16．若事件E 与F 相互独立，且41)()(==F P E P ，则)(F E P 的值等于【答】（ ） （A ）0． （B ）161． （C ）41． （D ）21．17．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人” ．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是【答】（ ）（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4． （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0． （C ）丙地：中位数为2，众数为3．（D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3．18．过圆1)1()1(:22=-+-y x C 的圆心，作直线分别交 x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图）．若这四部分图形面积满足ⅢⅡⅣⅠS S S S +=+，则 这样的直线AB 有 【答】（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分14分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，AB ⊥BC ，求二面角111C C A B --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．有时可用函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤-+=6,44.4,6,ln 151.0)(x x x x xa a x f描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数)(*N ∈x ，)(x f 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7≥x 时，掌握程度的增长量)()1(x f x f -+总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(](](]133,127,127,121,121,115。
上海2009年高三十校联考模拟考试数学理科
上海市2009年高三十校联考模拟考试数学（理科）试卷一、 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 若()22311n n n C C C n *--=+∈N ，则n =_____________． 2. 若复数z 满足132i 2izz =--（i 是虚数单位），则z =__________． 3. 已知1tan 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 36πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()tan αβ+=____________． 4. 由0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字且数字2，3相邻的四位数共_______个（结果用数字表示）．5. 函数44sin cos y x x =+的单调递增区间是______________________．6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度r 可定义为2lg 23r I =+．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，而1976年唐山地震的震级为7.8级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_____________倍．（精确到个位）7. 在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．8. 已知平面上直线l 的方向向量()3,4d →=-，点()0,0O 和()4,2A -在l 上的射影分别是1O 和1A ，则11O A =u u u u r________________．9. 已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________．10. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件．具体如下：“在ABC ∆中，已知a =45B =o ，____________，求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示60A =o，试将所缺的条件补充完整． 11. 如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）12. 在解决问题：“证明数集{}23A x x =<≤没有最小数”时，可用反证法证明． 假设()23a a <≤是A 中的最小数，则取22a a +'=，可得：22223222a a aa a +++'=<=<=≤，与假设中“a 是A 中的最小数”矛盾！ 那么对于问题：“证明数集,,,n B x x m n n m m *⎧⎫==∈<⎨⎬⎩⎭N 并且没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设0n x m =是B 中的最大数，则可以找到x '=____________（用0m ，0n 表示），由此可知x B '∈，x x '>，这与假设矛盾！所以数集B 没有最大数．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分. 13. 圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是( )(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切14. 已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，各项的和为S ，且()lim 21n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围是( )(A)()()1,00,1-U (B)()()2,11,0---U(C) ()()0,11,2U (D)()()2,00,2-U15. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()y f x =的图像上有且仅有()n n ∈*N 个整点，则称函数()y f x =为n 阶整点函数．有下列函数：①()sin 2f x x =； ②()3g x x =； ③()13xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()ln x x φ=，其中是一阶整点函数的个数为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）416. 已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A 、B 和C 分别在函数3log a y x =、2log a y x =和log a y x =（其中1a >）的图像上，则实数a 的值为( )(D)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求实数t 的值.18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r，求证：EF ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+．（1） 求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2） 试问数列{}n a 中任意连续两项的乘积()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >．（1） 若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a的值；（2） 已知关于x的不等式2sin cos 0x x x b ++>，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，求实数b 的取值范围； （3） 已知关于x 的不等式组()2271,1log log 32x x tx t ⎧>⎪+⎨⎪++<⎩的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知等轴双曲线C 的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是坐标原点，且双曲线经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C 的方程：①22274x y -=；②9xy =；③92xy =．请确定哪个是等轴双曲线C 的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线C 上选一处P 建一座码头，向()3,3A 、()9,6B 两地转运货物．经测算，从P 到A 、从P 到B 修建公路的费用都是每单位长度a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3） 如图，函数313y x x=+的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）理科答案说明1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分. 1.5. 2.47i 55-. 3. 7-. 4. 60. 5. (),242k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . 6. 2. 7. 32. 8. 4.9.[][)0,19,+∞U .10. 2c =. 11. ①②⑤ 12.答案不惟一，0011n m ++，0002n m m +，…….二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三、（第17至21题）17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数()221f x x tx =-+的对称轴为x t =，所以2t ≤或5t ≥ …… 3分若2t ≤，在区间[]2,5上函数是单调递增的，所以()()max 5251018f x f t ==-+=，解得95t =，符合 …… 7分 若5t ≥，在区间[]2,5上函数是单调递减的，所以()()max 24418f x f t ==-+=，解得34t =-，与5t ≥矛盾，舍去 …… 11分 综上所述，满足题意的实数t 的值为95……12分18.【解】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系． …… 1分 则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭， …… 3分则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,0,0BC =-u u ur ，()1,1,2PB =--u u u r ． …… 5分0EF BC ⋅=u u u r u u u r ，0EF PB ⋅=u u u r u u u r，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ． …… 7分（2）()1,0,2PA =-u u u r ，可设()01PG PA λλ=≤≤u u u r u u u r，所以向量PG u u u r的坐标为(),0,2λλ-， …… 8分平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ．点G 到平面PCE的距离4PG EFd EFλ⋅===u u u r u u u r u u u r． …… 10分 PBC ∆中，1BC =，PC =PB =PBC S ∆=． …… 12分 三棱锥G PBC -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅=⋅==，所以34λ=． …… 13分此时向量PG u u u r 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG =u u u r PG…… 14分19.【解】（1）由11422n n n n a a a a +++=+及125a =可知数列{}n a 的每一项都是正的． …… 1分 111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， …… 3分所以11132n n a a +-=， …… 4分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……6分 （2）由（1）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+． …… 8分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++ 22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 10分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 11分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数． …… 13分所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 14分20.【解】（1）0a =时不合题意； …… 1分0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a +=，1232x x a=-，由题意知()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+， …… 2分 解得2a =-或3a =（舍）， …… 3分 所以2a =-． …… 4分（2）因为2sin cos x x x b ++)1sin 21cos 2sin 22232x x b x b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， …… 5分 设()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，原不等式等价于“()f x b >，[]0,x π∈”，…… 6分 因为函数()f x 的最小正周期为π，[]0,π的长度恰为函数的一个正周期，所以当122b --<时，()2f x b >--，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，即b的取值范围为⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． …… 9分 （3）先解不等式711x >+，整理得601x x -+>+，即()()160x x +-< 所以不等式711x >+的解集()1,6A =- …… 10分 设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组的解集为A B I不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2030340x tx t tx tx ⎧>⎪+>⎨⎪+-<⎩…… 11分所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⊆I ，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230340tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立 …… 12分 当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t > …… 13分 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即243t x x<+恒成立 …… 14分当()0,6x ∈时，243x x +的取值范围为2,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以实数227t ≤ …… 15分 综上所述，t 的取值范围为20,27⎛⎤⎥⎝⎦…… 16分21.【解】（1）双曲线22274x y -=的焦点在x 轴上，所以①不是双曲线C 的方程……1分 双曲线9xy =不经过点33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以②不是双曲线C 的方程 …… 2分所以③92xy =是等轴双曲线C 的方程 …… 3分 等轴双曲线92xy =的焦点1F 、2F 在直线y x =上，所以双曲线的顶点也在直线y x=上， …… 4分联立方程92xy y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得双曲线92xy =的两顶点坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线92xy =的实轴长为6 …… 5分 （2） 所求问题即为：在双曲线92xy =求一点P ，使PA PB +最小．首先，点P 应该选择在等轴双曲线的92xy =中第一象限的那一支上 …… 6分等轴双曲线的92xy =的长轴长为6，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是原点，所以()3,3A 是92xy =的一个焦点， …… 7分 设双曲线的另一个焦点为()23,3F --，由双曲线的定义知：26PA PF =- 所以()26PA PB PF PB +=-+，要求PA PB +的最小值，只需求2PF PB +的最小值 …… 8分直线2BF 的方程为3430x y --=，所以直线2BF 与双曲线92xy =在第一象限的交点为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭…… 9分所以码头应在建点P 33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分（3）① ())()11f x x x f x x x ⎫-=-+=-+=-⎪⎪-⎝⎭，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点()00，；…… 1分② 渐近线是3y x =和0x =．当0x >时，当x 无限增大时，1x无限趋近于0，1y x x =+与y x =无限趋近；当y 无限增大时，x 无限趋近于0． …… 2分③ 双曲线的对称轴是y =和y x =． …… 3分④ 双曲线的顶点为，⎛⎝，实轴在直线y =上，实轴长为…… 4分⑤虚轴在直线y x =，虚轴长为 …… 5分⑥焦点坐标为，⎛ ⎝，焦距…… 6分 说明：（i ）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii ）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了1y x x=+的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分。
2009-2010学年上海十三校高三年级联考
2009-2010学年度上海十三校高三年级联考地理试题一、选择题（50分，每题2分，每题只有一个正确选项）（一）2009年7月22日上午上海观察到了壮观的日全食。
读图回答1—3题。
1．出现日全食时，月球的位置应在上图中的（）A．a处B．b处C．c处D．d处2．2009年7月22日月相与潮汐分别为（）A．上弦月小潮B．望大潮C．朔大潮D．下弦月小潮．3．日食发生时，是观察太阳外部结构的有利时机，下列天文现象中最有利于观察的是（）A．黑子B．太阳风C．日珥D．耀斑（二）下图是“某地地形简图”，M点位于36.5°N。
两中学生分别到达P、M点。
测量并计算出两点相对高度是288米。
读图回答4—5题。
4．图中P、Q两点之间的四条小路中，起伏最小的是（）A．①B．②C．③D．④5．冬至日正午，M峰顶的影子正好移至P点，则P、M之间的水平距离大约是（）A．300米B．400米C．500米D．600（三）“莫问桑田事，但看桑落洲。
数家新住处，昔日大江流。
古岸崩欲尽，平沙长未休。
想应百年后，人世更悠悠。
”读唐朝诗人胡玢的诗，结合图和所学知识，回答6—7题。
某河段示意图6．下列叙述正确的是（）A．曲流的东岸是侵蚀岸B．“数家新住处”应位于乙地C．诗中叙述的情境一般发生在河流的上游D．河流流向为自南向北7．河流入海泥沙量的减少可能对河口三角洲带来的影响是（）A．地下水位下降B．河水流速减慢C．淤积速度加快D．出现侵蚀后退（四）图1中甲地年降水量约为1000mm，乙地年降水量约为500mm。
图2示意四地气温年内变化。
据此完成8—9题。
图1 图28．造成甲、乙两地降水量差异显著的主导因素是（）A．纬度位置B．大气环流C．地形D．洋流9．图3中与甲地气温年内变化相符的曲线是（）A．①B．②C．③D．④（五）读世界四大渔场与洋流分布示意图。
读图回答10—12题。
10．图中序号所示的大渔场中，位于太平洋的有（）A．①②B．③④C．①③D．②④11．图中洋流b流经水域，海水等温线的凸出方向是（）①向高纬度凸出②向低纬度凸出③向北凸出④向南凸出A．①③B．①④C．②③D．②④12．拉尼娜出现时，下列关于渔场水温变化的叙述，正确的是（）A．①渔场水温明显高于正常年份B．②渔场水温明显低于正常年份C．③渔场水温明显高于正常年份D．④渔场水温明显低于正常年份（六）下列四国局部图中的甲、乙、丙、丁为各国重要海港，读图回答13—15题。
2009年高考上海数学试题答案(理数)
2009年高考上海数学试题答案（理数) 一、（第一题至第14题）1. i2. 1a ≤3. 83x > 4. 2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩5 47=9. 3 10.3411. 1k ≤ 12. 14 13.()3,3 14. 2arctan 3二．（第15题至第18题）三. （第19题至第23题） 19.解：如图，建立空间直角坐标系。
则 A ()2,0,0，C ()0,2,0，A 1()2,0,2，B 1()0,0,2，C 1()0,2,2， …… 2分设AC 的中点为M ， BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面11AC C ，即BM=（1，1，0）是平面11AC C 的一个法向量。
……5分设平面A 1B 1C 的一个法向量是n=(),,x y z ，1AC =()2,2,2--，11A B =()2,0,0-， …… 7分∴n ⋅11A B=2x -=0，∴n ⋅1AC =2220x y z -+-=，令1z =，解得0,1x y ==。
∴n=()0,1,1， …… 10分设法向量n 与BM的夹角为ϕ，二面角111B AC C --θθ的大小为，显然为锐角。
1cos cos 2|n BM n BM θ⋅=ϕ==⋅ ，解得3πθ=∴二面角111B AC C --的大小为3π…… 14分20. 证明：（1）当≥x7时，0.4(1)()(3)(4)f x f x x x +-=--而当≥x 7时，函数(3)(4)x x --y=单调递增，且(3)(4)0x x --> ……3分故(1)()f x f x +-单调递减。
所以，当≥x 7，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降 ……6分解：（2）由题意可知0.115ln0.856aa +=- ……9分 整理得0.056ae a =- ……13分 解得(]0.050.05620.506123.0,123.0121,1271e a e =⋅≈⨯=∈- ……14分 由此可知，该学科是乙学科 21.解：（1）双曲线C的渐近线0m y =，即0x = …… 2分 ∴直线l的方程0x += …… 6分∴直线l 与m的距离d =…… 8分 （2）证法一：设过原点且平行于l 的直线:0,b kx y -=则直线l 与b 的距离d =，当2k >时，d >。
2009年高考上海数学试题答案(理数)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知函数)0(1)(2≥+=x x x f 的反函数为1()f x -，则=-)5(1f __________.2．椭圆15922=+y x 的焦点坐标为____________. 3．方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是__________.4．若0)1(lim =-∞→nn a ，则实数a 的取值范围是__________.5．某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式123212a b 的值是__________. 6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
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上海十三校2009—2010学年高三年级联考数学试（理科）考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）1．已知集合B A y y x B x x y y x A 则},0|),{(},2|),{(2==-=== 。
2．函数)1arccos(2-=x y 的定义域为 。
3．函数2)81(+-=x y 的值域是 。
4．函数x x x f cos sin )(+=的单调减区间为 。
5．不等式0)2)(sin |(|<-+x x x 的解集为 。
6．设,43),()1(1121612121*=⋅∈+++++=++n n n S S N n n n S 且 则n 的值是 。
7．已知二次函数[)+∞∈++=,0)(2)(2的值域为R x c x ax x f ，则)1(f 的最小值为 。
8．设函数R x f 在)(上有定义，下列函数：①|;)(|x f y -=②)(||2x f x y ⋅=；③);(x f y --=④)()(x f x f y -+=中偶函数的有 （写出所有正确的序号）9．已知定义在R 上的函数)(x f ，都有)()2(x f x f -=+成立，设)(n f a n ==，则数列}{n a 中值不同的项最多有 项。
10．用数学归纳法证明：)(2)13()()2()1(*N n n n n n n n ∈+=++++++ 的第二步中，当1+=k n 时等式左边与n=k 时的等式左边的差等于 。
11．已知n n n n n n n n b a b a b a +>+==-+-1,2,213则满足的正整数n 的值为 。
12．从数列)}(21{*N n n ∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为 。
13．若关于x 的方程]2,21[2)22(log 22在区间=+-x ax 上有解，则实数a 的取值范围为 。
14．已知,0>a 定义在D 上的函数)()(x g x f 和的值域依次是]6,)32([3++-a a π和],)425(,425[422π++a a 若存在41|)()(|,,2121<-∈x g x f D x x 使得成立，则a 的取值范围为 。
二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）15．“a=1”是“函数(]1,||)(∞--=在区间a x x f 上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．,90,︒=∠∆PBO POB Rt 中以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB ∆的面积，且α=∠AOB 弧度，则（ ） A ．αα=tan B ．αα2tan = C ．ααcos 2sin =D ．ααcos sin 2=17．设函数)10)(10)(10)(10)(10()(5242322212c x x c x x c x x c x x c x x x f +-+-+-+-+-= 设集合54321*921,},,{}0)(|{c c c c c N x x x x f x M ≥≥≥≥⊆===设 ，则51c c -为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1418．设实数4321,,,a a a a 是一个等差数列，且满足4,3131=<<a a 。
若定义n an b 2=，给出下列命题：（1）4321,,,b b b b 是一个等差数列：（2）;21b b <（3）42>b ；（4）324>b ；（5）.256:42=b b 其中真命题的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对边的长，已知31cos ,3tan ==C B ， 63=b 。
求边AB 的长与ABC ∆的面积。
20．（本题满分14分）某农村在2003年底共有人口1500人，全年农业生产总值为3000万元，从2004年起计划10年内该要的总产值每年增加50万元，人口每年净增a 人。
设从2004年起的第x 年年底（2004年为第一年，*N x ∈）该村人均产值为y 万元。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增量不能超过多少人？ 21．（本题满分16分）已知定义在区间]23,[ππ-上的函数)(x f y =图像关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，.sin )(x x f -=（1）作出)(x f y =的图像； （2）求)(x f y =的解析式；（3）若关于x 的方程a x f =)(有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有的解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围。
22．（本题满分16分）已知函数)0,(1222)(2≠∈--+=x R x a a x f x x ，其中a 为常数，且.0<a （1）若)(x f 是奇函数，求a 的取值集合A ； （2）当a=-1时，设)(x f 的反函数为)(1x f-，且函数)(x g y =的图像与)1(1+=-x f y 的图像关于x y =对称，求)1(g 的取值集合B 。
（3）对于问题（1）（2）中的A 、B ，当},,0|{B a A a a a a ∉∉<∈时，不等式 )4(9102-<+-x a x x 恒成立，求x 的取值范围。
23．（本题满分18分）已知函数],[,)(11b a x m kx x f ∈+=当时，)(x f 的值域为],[22b a ，当],[22b a x ∈时，)(x f 的值域为],[33b a ，依次类推，一般地，当],[11--∈n n b a x 时，)(x f 的值域为],[n n b a ，其中k 、m 为常数，且.1,011==b a（1）若k=1，求数列}{},{n n b a 的通项公式；（2）项m=2，问是否存在常数0>k ，使得数列}{n b 满足?4lim =∞→n n b 若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若0<k ，设数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为S n ，T n ，求 )()(201021201021S S S T T T +++-+++ 。
参考答案一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 1．{（0，0）（2，0）} 2．]2,2[- 3．),0(+∞ 4．)](452,42[Z k k k ∈++ππππ 5．),0(+∞ 6．5 7．48．②④ 9．4 10．3k+211．212．]12,23[13．nn b )81(=14．（0，1）二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）15．A 16．B 17．C 18．C三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分） 解：在,23sin ,31cos ,3tan ,===∆B C B ABC 则因为中322c o s 1s i n 2=-=C C…………2分由正弦定理2363322sin sin ==c B b C c 得 …………5分解得c=8，即AB=8。
…………7分又A+B+C=π，则B C B C B C A sin cos cos sin )sin(sin +=+=……9分因,6322sin ,21cos +==A B 则 …………11分 .3826s i n 21+==∆A b c s S ABC…………14分综上，AB=8，.3826+=∆ABC S20．（本题满分14分） 解：（1）由题意得，第x 年总产值为（3000+50x ）万元 …………1分人口数为1500+ax ， …………2分 则,1500503000)(axxx f y ++==…………5分 *],10,1[N x x ∈∈…………6分（2）方法一、由题意得，任取,],10,1[,2121x x x x <∈0)1500)(1500()3000150050)((15005030001500503000)()(1212112212>++-⨯-=++-++=-ax ax a x x ax x ax x x f x f恒成立，…………11分 则,25,3000150050<>⨯a a 得…………13分 因a 是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。
…………14分方法二，由题意得，*],9,1[,0)()1(N x x x f x f ∈∈>-+恒成立……8分 又axxx a x x f x f ++>++++⇔>-+500`503000)1(1500)1(5030000)()1(，…………11分 所以,255015003000<⨯<a a 得…………13分 因a 是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。
…………14分21．（本题满分16分） 解：（1）)(x f y =的图像如图所示。
…………4分（2）任取)(],23,4[2],4,[x f y x x =∈--∈因函数则πππππ图像关于直线4π=x 对称， 则)2()(x f x f -=π…………6分又当x x x f x f x x f x cos )2sin()2()(,sin )(,4-=--=-=-=≥πππ则时……8分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-=]23,4[,sin 4,,cos )(ππππx x x x x f …………10分（3）当a=-1时，a x f =)(的两根为0，;2,2ππ=a M 则…………11分当,4)(,)22,1(4321x x x x a x f a <<<<=--∈π的四根满足时 由对称性得，;,,04321ππ==+=+a M x x x x 则…………13分当3214)(,22x x x a x f a <=<=-=π的三根满足时， 由对称性得，;43,213ππ==+a M x x 则 …………14分当.2,,,)(,1,2221π==⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈a M x x a x f a 则对称性得两根为时……15分 综上，当;4322;,)22,1(ππ=-==--∈a a M a M a 时当时 当.2,}1{1,22π=-⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈a M a 时…………16分22．（本题满分16分）解：（1）由必要条件,0,020)1()1(2<=--=+-a a a f f 得 所以a=-1，…………2分下面 证充分性，当a=-1时，xxx f 2121)(-+=， 任取R x x ∈≠,0，02121121*********)()(=-++-+=-++-+=+---xxx x x x x x x f x f 恒成立，…………4分 由A={-1}。