一元一次不等式方程组的解法
(完整版)一元一次不等式知识点总结(最新整理)
符号语言表示为：如果
，那么
。
基本性质 2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
（或
基本性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
）。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
5x 2
1
1≥
2
x 3
1，并把解集在数轴上表示出来． 5 4 3 2 1
0
1
若不成立，则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为
或
的形式，
其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为 1。这五个步骤根据具体题
目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为 1 时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，
A
B
C
知识点 6：一元一次不等式的定义
9．下列属于一元一次不等式的是（ ）A．10>8 知识点 7：一元一次不等式的整数解
D
B． 2x 1 3y 2 C． 2(1 y) 1 y 1 D． x2 3 5 2
10．在不等式 3x 2 4 中， x 可取的最大整数值是（ ）A．0 B．1 C．2 11．不等式 2 x －1≥3 x －5 的正整数解的个数为( )A．5 个 B．2 个 C．3
知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本
性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
《一元一次不等式组的解法》PPT
推论法实例
通过思考问题、总结经验和按照 经验解题，我们将找到一元一次 不等式组的解集。
检验题
选择题
通过选择题的方式检验你对一 元一次不等式组解法的理解。
计算题
通过计算题的方式巩固你的解 法技巧。
解答题
通过解答题的方式进一步运用 你的解题能力。
数学思维：从解题到应用
提高解题能力
学习一元一次不等式组的解法，提高你的解题能力， 培养数学思维。
1. 求出各个不等式的解析式。 2. 对解析式进行分类讨论。 3. 求出不等式考问题：仔细思考问题的条件和要求。 2. 总结经验：总结类似问题的解法经验。 3. 按照经验解题：根据经验解决问题。
一元一次不等式组的解法选择
适合图像法的情况
当不等式组的不等式比较简单 且数量较少时，图像法是一个 快速且直观的解法选择。
1
图像法
通过绘制不等式的图像来确定交点，从而获得解集。
2
代数法
通过求解不等式的解析式，对解进行分类讨论，从而获得解集。
3
推论法
通过思考问题，总结经验，并按照经验解题，从而获得解集。
图像法的具体步骤
1. 画图：绘制不等式的图像。 2. 判断交点：确定图像的交点。 3. 说明解集：给出交点的解集。
代数法的具体步骤
提高应用能力
了解一元一次不等式组的应用场景，提高你的应用 能力，解决实际问题。
总结
一元一次不等式组解法回顾
通过本PPT，你已经了解了一元一次不等式组的三种解法：图像法、代数法和推论法。
解题技巧总结
掌握了各种解法的具体步骤和选择条件，你能更好地解决一元一次不等式组问题。
知识拓展
继续学习数学知识，拓展你的数学思维和解题能力。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。
本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。
示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。
示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。
根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。
在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。
通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。
总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)
专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x ＜6，－2≤0的解集，在数轴上表示正确的是()2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．（x ＋2），①＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________．5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．6．解不等式|3x －12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由|3x －12|≤4，得－4≤3x －12≤4.－4，①②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：－6＞0，＋1＜0或＜0，＋1＞0.解(Ⅰ)＞2，＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)＜2，＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2；(2)4x －13－x ＞1；(3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x 5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)．①去括号，得20－15x －1＜21＋15x.②移项，合并同类项，得－30x ＜2.③系数化为1，得x ＞－115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5＋3y ＝10，－3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围．8．关于x 的两个不等式①3x ＋a 2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x＞13x－2，23x＞－2，x＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x－13－x＞1，4x－1－3x＞3，x＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x＋13≥2(x＋1)，x＋1≥6x＋6，－5x≥5，x≤－1.2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x－15＜21＋15x.移项，合并同类项，得－30x＜16.系数化为1，得x＞－8 15 .3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，当a－1＞0，即a＞1时，x＞2a－1；当a－1＝0，即a＝1时，x无解；当a－1＜0，即a＜1时，x＜2a－1.4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：2x ＋3y ＝10，－3y ＝2，＝2，＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1.在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m 3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是()A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22＋y ＝－7－a ，－y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5－a ＜1，－2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6＞2，＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为()A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87－a ≥0，－b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8－1＞0，－a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．91＜a ①，＋5＞x －7②有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B2．解：(1)＝－3＋a ，＝－4－2a.∵x 为非正数，y 3＋a ≤0，4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3.(2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ＋b ＝－3，3a ＋b ＝13，＝－4，＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y 4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．－a ＜1.①，－2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9.6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b 3.∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜a 2≤1，3＜b 3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12.∵a，b为整数，∴a＝1，2，b＝10，11，12. 8．a≤19．＋1＜a①，＋5＞x－7②，解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2-3【详解】解：由题意得：130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a＜x≤3b- 不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解②得，x>m ，∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m ⩽3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 1005 120x x -+>，15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）．A ．2121m n -+>-+B ．1144m n ++>C ．m a n b+>+D ．am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、∵m >n ，∴-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意；B 、∵m >n ，∴m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意；C 、∵m >n ，∴m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、∵m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >-由50x -≤得：5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．4．不等式3﹣x ＜2x +6）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．故选：A．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________kg．名称A B批发价（元/kg）43零售价（元/kg）64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A种西瓜x kg，则（6-4）x+120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x≥120．答：该超市至少批发A种西瓜120kg．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．7．不等式2103x--<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <．∴不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-，∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥，∴不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；②将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ；③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧，∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >， k 为正整数，∴k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b +=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b +=，得出c b ＜；B.根据112a c b+=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b +=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.∵0a b ＞＞，∴11a b＜，∵112a c b+=，∴11c b，∴c b ＜，故A 错误；B.∵112a c b +=，即2a c ac b+=，∴()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，∴a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D 【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式②得：y ≤a ，∴原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a ≥﹣5，1133x a x x++=--，去分母得∶1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=，∵分式方程有非负整数解，∴x ≥0（x 为整数）且x ≠3，∴42a -为非负整数，且42a -≠3，∴a ≤4且a ≠﹣2，∴符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，∴符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（）A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c=-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤，∴3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c＝﹣2+3c ，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．7．若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x m x -=-的解为：x ＝6−m ，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m ≠2，∴m ≠4，∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，∴6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元．①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解.（1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：① “神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得：50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得1x ≥-，解不等式②，得>7x -，∴该不等式组的解集为1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
一元一次不等式组的解法最新版
某种杜鹃花适宜生长在平 均气温为17 -20ºC的山区, 已知这一地区海拔每上升 100m, 气温下降0.6ºC, 现测出山脚下的平均气温
是23ºC.
估计适宜种植这种 杜鹃花的山坡的高度.
1.气温为“17-20ºC”的含义是什么? 2.气温与山的高度(可设为x m)存在怎样 的数量关系? 3.可以用什么式子表达这个问题?
式
(在同一数轴学上习表目标示:),
然(1后)解再一求元出一这次几不个等不式组等的式步解骤集是的什 公共部分. 么?
(2)什么是不等式组的解集?
怎样直观地寻求和表示出它的解集?
x 2,
x
3.
① ②
在同一数轴上表示不等式①，②
的解集：
2
3
①，②的解集的公共部分
记作: 2<x<3，
叫做一元一次不等式组
0 1 2 3 45 6 7 89
3x7
(10)xx
2, 5.
解:原不等式组的解集为
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
5x2
x 1,
解:原不等式组的解集为
(11)x 4. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1x4
(12)xx
x5
x 1,
解:原不等式组的解集为
(7)
x
4.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x1
(8) xx
0, 4.
解:原不等式组的解集为
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
x4
同小取小
例4. 求下列不等式组的解集:
x 3,
人教版初一数学下册：一元一次不等式的解法(基础)知识讲解
一元一次不等式的解法（基础）知识讲解【学习目标】1．理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式．【要点梳理】【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3)384x (4)1x≥2 (5)2x+y≤8【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．【答案与解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.（2015•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，合并同类项，得﹣x≥1，系数化为1，得x≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为()【答案】C3.（2015•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．【答案与解析】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，﹣x≤﹣2，把x的系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：．【总结升华】去分母时，不要漏乘没有分母的项． 举一反三： 【变式】若3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时，21y y >． 【答案】 解：∵3511+-=x y ,14522--=x y , 若21y y >，则有1452351-->+-x x 即 6101<x∴当6101<x 时，21y y >．4.关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集为x ≤-1，则a 的值是_________．【思路点拨】首先把a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a 的方程，解方程即可求解． 【答案】－１【解析】由已知得：12a x -≤，由112a -=-，得1a =-． 【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．举一反三：【变式1】如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l ，则a 的取值范围是________． 【答案】1a -<【高清课堂：一元一次不等式 370042 例6】 【变式2】已知关于x 的方程2233x m xx ---=的解是非负数，m 是正整数，求m 的值． 【答案】 解：由2233x m xx ---=，得x ＝22m -， 因为x 为非负数，所以22m-≥0，即m ≤2， 又m 是正整数，所以m 的值为1或2．附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】 举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x <解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵） 答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。
一元一次不等式组解集
一元一次不等式组解集
解集是一个数学概念，用于表示一个方程或者一个方程组的所有符合条件的解的集合。
解集可以很直观地反映出一个方程或者不等式的解的分布状况。
通过解集，我们可以很清楚地了解到一个方程或者不等式的解的集中趋势，以及解的分散程度等信息。
对于一元一次不等式组，其解集通常被表示为一个区间或者多个区间的并集。
如何求解一元一次不等式组的解集呢？通常我们采用的是分别解各个不等式，然后取解的交集的方式。
例如，给定一元一次不等式组{x+3>2, 2x-1<3}，我们首先解第一个不等式，得到解x>-1，然后解第二个不等式，得到解x<2，最后取这两个解的交集，即{-1<x<2}，这就是这个不等式组的解集。
在求解一元一次不等式组的解集的过程中，需要注意的是，如果不等式组中有多个不等式，那么需要分别解每一个不等式，然后取所有解的交集。
如果不等式组中的不等式之间存在“或”的关系，那么需要取所有解的并集。
在解不等式的过程中，如果不等式中有负数，那么在两边同时乘以负数的时候，需要注意，不等号的方向是需要发生变化的。
总的来说，一元一次不等式组的解集是通过解不等式组中的每一个不等式，然后根据不等式之间的关系，取这些解的交集或者并集得到的。
这个过程需要掌握解不等式的基本方法，以及处理不等式组中多个不等式之间关系的技巧。
一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题
一元一次不等式与一元一次不等式组的解法知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
4．一元一次不等式（重点）只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． 5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．例：131321≤---x x 解不等式：6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．（三）常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 .a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1；1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞01.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6): (这类试题在中考中很多见)1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥ 2.（2010福建宁德）解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来． 3.（2006年绵阳市）12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a<） 当0a <时，bx a <（或b x a >）当0a <时，b x a <（或b x a>） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜15 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-ab，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6D.无数个2.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1B.0C.－1D.不存在|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________. 已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）yx＜0中，正确结论的序号为________。
(完整版)一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
例 判断如下各式是否是一元一次不等式？ word-x≥5 2x-y＜02x 34x 5x22 x532、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数二 不等式的解 ：的值，都叫做这个不等式的解。
三 不等式的解集：3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简 例 判断如下说法是否正确，为什么？称这个不等式的解集。
X=2 是不等式 x+3＜2 的解。
X=2 是不等式 3x＜7 的解。
不等式 3x＜7 的4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
解是 x＜2。
X=3 是不等式 3x≥9 的解5、用数轴表示不等式的方法四 一元一次不等式：考点二、不等式根本性质例 判断如下各式是否是一元一次不等式1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。
－ｘ＜５ ２ｘ－ｙ＜０2x 3x22 x 5 ≥３ｘ3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。
例 五．不等式的根本性质问题4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运 例 1 指出如下各题中不等式的变形依据算改变。
②如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的 数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的1〕由 3a>2 得 a> 2 32) 由 3+7>0 得 a>-7数就不等为 0，否如此不等式不成立； 考点三、一元一次不等式3〕由-5a<1 得 a>- 1 54)由 4a>3a+1 得 a>11、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1， 例 2 用>〞或<〞填空，并说明理由且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式知识点总结
一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
数学七年级下册培优第13讲 一元一次不等式(组)的解法探究
第十三讲一元一次不等式（组）的解法探究专题讲解专题1 一元一次不等式的解法例1解不等式，并在数轴上表示出来：（1）3－2x＞4；（2）10－3(x＋6)≤1；（3）12(x－3)＜1－2x；（4）213x－＜715x＋＋1．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练1．1（1）不等式x＞－3的负整数解是________．（2）求不等式2x－2≥2(2x＋1)的正整数解是________．（3）若a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；②ab＞1；③a＋b＜ab；④1a＜1b．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式已知y＝2－2x，试求：（1）当x为何值时，y＞0；（2）当y为何值时，x≤－1．专题2 一元一次不等式组的解法例2解不等式组，并在数轴上表示出来：（1）591131xx⎧⎨⎩＋＞－－＜；（2）23212x xx⎧⎪⎨⎪⎩－≤－＞－；（3）3353324xx⎧⎪⎨⎪⎩＋＜＋＜．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练2．1不等式组21318xx⎧⎨⎩－≥－－＞的解集在数轴上可表示为（）练2．2不等式组31526xx⎧⎨⎩＋≥－－＞－的解集是________，这个不等式组的所有整数解的和是________．练2．3不等式组31212131xx x⎧⎨⎩－≤－＜－的解集是________；负整数解是________．变式1已知三角形的三边长分别为a＋1，a，a－1，求a的取值范围．专题3 含参数不等式（组）例3不等式13(x－m)＞2－m的解集为x＞2，求m的值．归纳总结：DCBA②方法与技巧：______________________________________________________________________ 练3．1如果不等式ax≤2的解集是x≥－4，则a的值为（）A．a＝－12B．a≤－12C．a＞－12D．a＜－12例4已知不等式组2133x ax b⎧⎨⎩－＜－＞的解集为－1＜x＜1，求a，b的值为多少．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练3．2不等式组2123x ax b⎧⎨⎩－＜－＞的解集为－1＜x＜1，那么(a＋1)(b－1)＝________．练3．3关于x的不等式组12x mx m⎧⎨⎩＞－＞＋的解集为x＞－1，则m＝________．变式若不等式组x a bx a b⎧⎨⎩＋＜－＞的解集为－1＜x＜3，求关于x的不等式ax－b＜0．例5已知关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜107，求关于x的不等式ax＋b＞0的解集．归纳总结：①题型特征：________________________________________________________________________②方法与技巧：______________________________________________________________________练3．4 已知关于x的不等式ax＋b＜0的解集是x＞13，求bx－a＞0的解集．变式已知不等式组1xx a⎧⎨⎩＞＜．（1）如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明；（2）如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明．A 级1．将下列不等式化成“x＜a”或“x＞a”的形式，并在数轴上表示出来：（1）－2x＞5；（2）2x－1＜7；（3）23x－1＜5．2．若0＜b＜a，下列不等式组：①x ax b⎧⎨⎩＞＜；②x ax b⎧⎨⎩＞－＜－；③x ax b⎧⎨⎩＞＜－；④x ax b⎧⎨⎩＞－＜．其中有解的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．点P(5－a，2)位于第二象限，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a＜5 C．a≤5 D．a≥5 4．长方形的周长为30，宽不超过3，则长a的取值范围是（）A．27≤a≤30 B．12≤a＜15 C．12＜a＜15 D．0＜a＜125．不等式组2403xx⎧⎨⎩－＞－＞0的解集为（）A．x＞2 B．x＜3 C．x＞2或x＜－3 D．2＜x＜36．若不等式组530xx m⎧⎨⎩－≥－≥有实数解，则实数m的取值范围是（）A．m≤53B．m＜53C．m＞53D．m≥537．不等式x－12(1－12x)－13(2－4x)≤2的非负整数解为________．8．关于x的方程(2－3a)x＝1的解为负数，则a的取值范围是________．9．若a为整数，且点P（3a－9，2a－10）在第四象限，求2a＋1的值．10．已知x 满足3351114x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋＞－＋＞－，化简｜x －2｜＋｜x ＋5｜．B 级1．解不等式组()2214310x x xxx ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＜－≤－－＞ 2．解不等式（2x ＋1）（3x －2）＞0时，根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”有210320x x ⎧⎨⎩＋＞－＞①或210320x x ⎧⎨⎩＋＜－＜②，解不等式①，得x ＞23；解不等式②，得x ＜－12，则不等式（2x ＋1）（3x －2）＞0的解集为x ＞23或x ＜－12，请根据上述方法解不等式5123x x +-＜0．家庭作业1．将下列不等式化成“x ＜a ”或“x ＞a ”的形式，并在数轴上表示出来： （1）－34x ＞34； （2）3－2x ＞－4； （3）－1－3x ＜7x －3．2．已知y ＝2x －3，当x 时，x ＞y 成立． 3．命题：①－a ＞b ⇒a ＋b ＜0；②a ＜－b ⇒a ＞b ；③ab ＞0⇒a ＞0，b ＞0；④a ＞b ，c ≠0⇒ac ＞bc 其中正确个数是 ．4．不等式3（x ＋1）≥5 x －1的非负整数解是 ． 5．不等式组235324x x ⎧⎨⎩＋＞－≤的解集是 ．6．已知三个奇数的和不超过27且大于10，这样的数组共有 个．7．已知点M （－35－P ，3＋P ）是第三象限的点，则P 的取值范围是 ．8．不等边三角形的周长为8，其中最大的一条边长为3，最小一边的长为c ，则c 的取值范围是 ． 9．若a ＜0，则不等式ax ＋b ＜0的解集是（ ）A ．x ＞b a B ．x ＜b a C ．x ＞－b a D ．x ＜－ba10．若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋1；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知x ＝3是关于x 的不等式3x －2＞22ax ＋的解，求a 的取值范围．12．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）3（x＋1）≤4（x－2）－3；（2）213x－－512x＋≤1；（3）4813458x xx x⎧⎨⎩－＜＋＋＜＋（4）－1＜322x－＜2．13．已知2b－a＜3，2 a－b＜5，化简｜2b－a－7｜－｜b－2a＋8｜＋｜a＋b－9｜．下次课必背不等式的解法：步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一；注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题．不等式组的解：“大大取大”，“小小取小”，“大小小大中间找”，“大大小小找不了”．二元一次方程组的解法：①代入消元法：由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．②加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，再求解．。
(完整版)一元一次不等式知识点总结(最新整理)
含分母的一元一次不等式组的解法
x.②
3 x－1＞2 x＋1，① (2) －2x＜－8； ②
导引：根据解不等式组的一般步骤，分别解不等式组中的
每一个不等式，把它们的解集在数轴上表示出来，
找出解集的公共部分，从而得出不等式组的解集．
5x－2＞3 x＋1，①
(1)
1 2
x－1
7－ 3 x；② 2
解：(1)解不等式①，得x＞2.5.解不等式②，得x≤4.
1
的解集为－1＜x＜1，求a，b
的值．
2x＋3＜1，
2
若不等式组
x＞
1（x－3）的整数解是关于x的方程 2
2x－4＝ax的根，求a的值．
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。
一元一次不等式经典例题
1. 解不等式：2x - 5 ≤3x + 7
解法：将x的系数移到一边，常数移到另一边，得到-x ≤12，再将不等式两边乘以-1，即可得到x ≥-12，所以解集为[-12, +∞)。
2. 解不等式：3x + 5 > 2x - 3
解法：将x的系数移到一边，常数移到另一边，得到x > -8，所以解集为(-8, +∞)。
3. 解不等式：4x - 7 ≤5x + 3
解法：将x的系数移到一边，常数移到另一边，得到-x ≤10，再将不等式两边乘以-1，即可得到x ≥-10，所以解集为[-10, +∞)。
4. 解不等式：2x + 3 > 5x - 1
解法：将x的系数移到一边，常数移到另一边，得到-3x > -4，再将不等式两边乘以-1并改变不等号的方向，即可得到x < 4/3，所以解集为(-∞, 4/3)。
5. 解不等式：-2x + 5 ≤3x - 7
解法：将x的系数移到一边，常数移到另一边，得到-5x ≤-12，再将不等式两边乘以-1并改变不等号的方向，即可得到x ≥12/5，所以解集为[12/5, +∞)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程要点：一元一次不等式（组）一元一次不等式(组)的解法及其应用题题型一：整数解例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组30,32x x-⎧⎪⎨<⎪⎩≥的所有整数解之和是（ ）A 、9B 、12C 、13D 、15考点：一元一次不等式组的整数解．分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．解答：由①得：x≥3，由②得：x ＜6，∴不等式的解集为：3≤x ＜6，∴整数解是：3，4，5， 所有整数解之和：3+4+5=12．故选B ．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．练习 1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组⎩⎨⎧3-x ＞04x 3+32 ＞- x 6的最小整数解为( )．A.0B.1C.2D.-1【答案】A（2011•南通）求不等式组的解集，并写出它的整数解.专题：探究型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x 的整数解即可． 解答：【解】解不等式3x －6≥x －4，得x ≥1．解不等式2x ＋1＞3(x －1)，得x ＜4．所以原不等式组的解集为1≤x ＜4． 它的整数解为1，2，3．点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．例2 ①（2011•恩施州14,3分）若不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是 4＜a≤5 ．364213(1)x x x x -≥-⎧⎨+>-⎩考点：一元一次不等式的整数解。
分析：首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a 的范围． 解答：解：∵不等式x ＜a 只有四个正整数解， ∴四个正整数解为：1，2，3，4， ∴4＜a≤5，故答案为：4＜a≤5，点评：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．②已知关于x 的不等式x －2a ＜3的最大整数解－5，求a 的取值范围． 解：x ＜2a ＋3，由题意，有－5＜2a ＋3≤－4，－8＜2a ≤－7，742a >≥．③关于x 的不等式组2(1)3(2)6,1, 2x x x a--+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②恰好有两个整数解，求a 的取值范围． 解：由①，得2x －2－3x －6＞－6，－x ＞2，x ＜－2，由②得x ＞2－a ，因为恰好有两个整数解－5≤2－a ＜－4，所以－7≤－a ＜－6，－7≥a ＞6．练习 1．关于x 的不等式组121,232,x x x a -+⎧-≤⎪⎨⎪->⎩只有3个整数解，求a 的取值范围．2．关于x 的不等式组2135,20,x x x a -<-⎧⎨-<⎩恰好有4个整数解，求a 的取值范围．题型二：不等式(组)的解集例3 已知不等式13a x ->的每一个解都是21122x -<的解，求a 的取值范围；解：由13a x ->，得x ＜a －3，由21122x -<得x ＜1，由题意有：a －3≤1，得a ≤4．点评：注意二者之区别．练习 1．若不等式132x a x a --->的解集与x ＜6的解集相同，求a 的取值范围．解：由132x a x a --->，得2x －2a －3x ＋3a ＞6，－x ＞6－a ，x ＜a －6，由题意，有a －6＝6，所以a ＝12．2．（2011山东日照，6，3分）若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a ﹣1）x ＜a+5成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1＜a≤7B ．a≤7C ．a ＜1或a≥7D ．a=7 考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。
专题：计算题。
分析：求出不等式2x ＜4的解，求出不等式（a ﹣1）x ＜a+5的x ，得到当a ﹣1＞0时，51a a +-≥2，求出即可． 解答：解：解不等式2x ＜4得：x ＜2， ∴当a ﹣1＞0时，x<51a a +-，∴51a a +-≥2，∴1＜a≤7．故选A ．点评：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a 的不等式是解此题的关键．题型三：求参数a 的取值范围 例3 ①关于x的方程组12,2x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集是x ＞5，求m 的取值范围．解：由122x ->，得x ＞5，又因为方程组的解集是x ＞5，所以m ≤5． ②关于x 的不等式组233(2),1,x x x m ->-⎧⎨->⎩有解，求m 的取值范围．练习 1．关于x 的不等式组12,x x m -<≤⎧⎨>⎩有解，求m 的取值范围．2．（2011年山东省威海市，11，3分）如果不等式组213(1)x x x m ->-⎧⎨<⎩的解集是x＜2，那么m 的取值范围是（ ）．A 、m=2B 、m ＞2C 、m ＜2D 、m≥2 考点：解一元一次不等式组；不等式的解集． 专题：计算题．分析：先解第一个不等式，再根据不等式组213(1)x x x m->-⎧⎨<⎩的解集是x ＜2，从而得出关于m 的不等式，解不等式即可． 解答：解：解第一个不等式得，x ＜2， ∵不等式组213(1)x x x m->-⎧⎨<⎩的解集是x ＜2，∴m≥2，故选D ．点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．例4 如果关于x 的不等式组22,4,x a x a >-⎧⎨<-⎩有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 解：∵不等式22,4,x a x a >-⎧⎨<-⎩有解，所以2a －2＜4－a ，a ＜2，所以其解集为：2a －2＜x ＜4－a ，其每一个解都是不等式组－6＜x ≤5的解，所以226,45,a a -≥-⎧⎨-≤⎩解之得a ≥－1，所以不等式的解集为－1≤a ＜2．例5 （2011湖北随州，7，3）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x ay x 的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围为 a ＜4 ． 考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组。
专题：方程思想。
分析：先解关于关于x ，y 的二元一次方程组的解集，其解集由a 表示；然后将其代入x+y ＜2，再来解关于a 的不等式即可．解答：解：⎩⎨⎧=++=+ ② ①3313y x a y x 由①－③×3，解得y ＝1－8a ； 由①×3－③，解得x ＝83a ；∴由x+y ＜2，得1+4a ＜2，即＜1，解得，a ＜4． 故答案是：a ＜4．点评：本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．例6 ①化简：|x －6|＋|x ＋2|； ②．化简：|x ＋5|－|x －2|； ③|x －2|＋|x ＋4|．例7 某中学有若干名学生住宿，若每间宿舍住4人，则有20人没有宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍住不满，求住宿舍的学生人数及宿舍的间数。
解：设有x 间房间，总人数为：(4x ＋20)人， 由题意有：0＜(4x ＋20)－8(x －1)＜8，有：0＜－4x ＋28＜8，－28＜－4x ＜－20，7＞x ＞5， 又∵x 是整数，∴x ＝6，∴学生人数为：4x ＋20＝44人， 答：有6个房间，人数为44人。
例8 某工厂现有甲种原料194千克，乙种原料170千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共30件。
已知生产一种A 种产品需要甲种原料7千克，乙种原料4千克；生产一件B 种产品需要甲种原料5千克，乙种原料9千克。
请你设计出所有符合题意的生产方案。
解：设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(30－x)件。
由题意有：{7x+5(30x)194(1)4x+9(30x)170 (2)≤≤－ － 由①得：2x ≤44，x ≤22， ⑵得：－5x ≤－100，x ≥20，∴不等式组的解集是：20≤x ≤22，答：当生产A 种产品20、21、22件时，生产B 种产品分别为10、9、8件．例9 为加强贫困地区的卫生医疗条件，北京和上海计划向外地支援先进的医疗设备，其中北京有40台，上海有100台，将运往贵州80台和四川60台，所需要费用如右表所示：有关部门计划用78000元运送这批医疗设备，请你设计一种方案，使贵州和四川能得到所需要的医疗设备，而且运费正好够用． 解：设北京运往四川x 台，则北京运往贵州(40－x)台，上海运往四川(60－x)台，上海运往贵州[100－(60－x)]台，由题意有：300x ＋500(40－x)＋运费表（单价：元/台）上海北京贵州四川终点起点800400500300400(60－x)＋800[100－(60－x)]＝78000．3x＋5(40－x)＋4(60－x)＋8(40＋x)＝780，3x＋200－5x＋240－4x＋320＋8x＝780，2x＋760＝780，x＝10．所以北京运往四川10台，运往贵州30台；上海运往四川50台，运往贵州50台．。