离散数学PPT课件

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第四节 主析取范式与主合取范式
命题公式的规范化
1、命题联结的归约：最小命题联结词组 2、命题范式 定义1：一个命题公式称为合取范式，如果它具
有如下形式：A1 A2 …An，其中A1 ， A2 ， …，An都是由命题变元或其否定所组成 的析取式。
定义1：一个命题公式称为析取范式，如果它具 有如下形式：A1 A2 … An，其中A1 ，
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注意：命题常量具有确定的真值；而命题 变元可以标识任意命题，它不能确定真 值，它本身也不是命题。
常用的命题联结词
1、否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新的 命题，记为P。若P为T，P为F，若P为 F， P为T。
2、合取
定义：设P、Q是两个命题，P与Q的合取是 一个复合命题，记为PQ。当且仅当P，Q
离散数学
第一章 命题逻辑
什么是逻辑学：逻辑学是一门研究思维形 式及思维规律的科学。
逻辑学的分类：辩证逻辑与形式逻辑。
其中，辩证逻辑是以辩证法认识论的世界 观为基础的逻辑学；
形式逻辑主要是对人的思维形式结构和规 律进行研究的类似于语法的一门工具性
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学科。思维的形式结构主要包括概念、判 断和推理之间的结构和联系，其中概念 是思维的基本单位，通过概念对事物是 否具有某种属性进行肯定或否定的回答， 这就是判断。由一个或几个判断推出另 一判断的思维形式就是推理。
研究推理有很多方法，用数学的方法研究 推理的规律称为数理逻辑。所谓的数学 方法就是引进一套符号体系的方法，所 以数理逻辑又称符号逻辑，它是从量的 方面来研究思维规律的。
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现代数理逻辑分为证明论、模型论、递归 函数论、公理化集合论等。在此我们介 绍的是数理逻辑最基本的内容：命题逻 辑和谓词逻辑。
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②析取是二元运算。
4、条件
定义：给定两个命题P、Q，它们的条件命 题是一个复合命题，记为PQ。当且仅 当P为T，Q为F时，PQ为F，否则PQ为 T.
注： ①在PQ中P成为前件，Q称为后件。
②条件联结词与自然语言中的“如果那 么”类似，但也不尽相同。
③善意的推断
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④二元运算
5、双条件
定义：给定两个命题P、Q，它们的双条件 命题是一个复合命题，记为PQ。当且 仅当P、Q的真值相同时， PQ为T，否 则PQ为F.
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A2 ， …，An都是由命题变元或其否定所组 成的合取式。
求一个命题公式的析取或合取范式的步骤：
①化归：将命题公式中的联结词化归为， ，
②移非：利用狄.摩根律，将求非符号移到 命题变元的前面。
③归约：利用分配律将之化为析取或合取 范式。
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例子：
1、((pq) r) p 2、（p q) (p q) 注：一个命题公式的析取或合取范式并不是唯一
p2，， pn为出现在A，B中的所有的命 题变元，如果对p1， p2，， pn的任何 一种真值指派， A，B的真值都相同，则 称A，B是等价（或等值）的。记为AB
验证命题公式等值常用的方法有：真值表 法、蕴含法、公式法（直接证法）。
1、真值表法： 例：证明AB(AB)(BA)
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2、蕴含法：
定理1：设A，B是两个命题公式，则AB 当且仅当AB为永真式。
子公式：如果X是命题公式A的一部分，且X本身 也是一个命题公式，则称X是命题公式A的子 公式。
定理： （置换规则）设X是命题公式A的子公式，
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如果X Y，则将A中的X用Y置换所得到 的命题公式B与A等价。
例题： 1、证明：(PQ) (P Q) P 2、证明：(PQ) (Q R) (P Q) R 对偶式： 对偶的概念： 对偶定理：设A，B是命题公式，如果 A B，则A* B*
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P、Q同时为T时， PQ为T，否则PQ为F。
注：①合取类似于自然语言中的“与”，“且” 等，但又不完全相同。
②合取是一个二元运算。
3、析取
定义：设P、Q是两个命题，P与Q的析取是一个复 合命题，记为PQ。当且仅当P，Q同为F时， PQ为F，否则PQ为T。
注： ①析取类似于自然语言中的“或”但也不 完全一样。自然语言中的“或”分为二种，即： “排斥或”与“可兼或”。而析取表示的是自 然语言中的“可兼或”
的。
主析取范式与主合取范式
定义：n个命题变元的合取式，称为布尔小项或 合取，如果每个命题变元或其否定不能同时出 现，但二者必须出现且仅出现一个。
注：①n个命题变元构成的布尔小项有2n个 ②布尔小项的编码：命题变元-1，其否定-0
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布尔小项的常见性质：
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第一节 命题与命题联结词
什么是命题：能够判断真假的陈述语句。
命题的真值：真（T或1)和假（F或0） 命题的种类：简单命题（原子命题）与复合命题
命题的表示：大写或小写英文字母或带下标的英 文字母。
表示命题的字母称为命题标识符。
命题常量与命题变元：表示确定命题的标识符成 为命题常量；仅仅表示命题的的位置标志的标 识符称为命题变元。
蕴含的定义：
定义2：如果AB为永真式，则称A蕴含B， 记为AB
蕴含常见的性质：
1、自反性 2、传递性 3、如果AB， AC，则ABC 4、如果AC， BC，则ABC
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由前面的例子和定理1我们马上可以得到 定理2： AB当且仅当AB，BA 分析蕴含的验证方法
例1：证明：Q(PQ)P 例2：证明： (P Q) P Q 3、公式法 常用的等值演算公式有24个。 置换规则
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定义：
①命题常量、命题变元是命题公式
②如果A是命题公式，则A是命题公式 ③如果A、B是命题公式，则AB、AB、
AB、AB也是命题公式 ④只有有限次地应用①—— ③产生的符号
串才是命题公式。
命题公式的赋值：
命题公式的分类：重言式、矛盾式、可满 足式
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第三节 等值演算 等值的概念：设A，B是两个命题公式，p1，
注： ①双条件联结词与自然语言中的 “当且仅当”，“充分必要”类似， 但也不尽相同。
②二元运算
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命题联结词除了上述五个之外，还有不可 兼析取、条件否定、与非、或非联结词。
在一个复合命题中往往含有多个命题联结 词，其运算的次序是：、、、、
第二节 命题公式及其分类
直观地说，由命题变元、命题常量、命题 联结词、括号组成的一个有意义的式子 成为命题公式。