极值原理
考研数学解题技巧极值法
考研数学解题技巧极值法在考研数学中，解题技巧的掌握是非常重要的。
其中，极值法作为一种常用的解题方法，在求解极值问题时非常有效。
本文将介绍考研数学解题中的极值法，并分享一些关于如何应用极值法解题的技巧。
一、极值法的概念及原理极值法是一种通过找出函数取得极大值或极小值的点来解决问题的方法。
在解决最优化问题时，极值法常常被使用。
其原理是通过求解函数的导数为零的点，即找到函数的极值点，进而确定问题的最优解。
二、应用极值法的基本步骤1. 理解问题并确定目标函数：在应用极值法时，首先需要清楚地理解问题的背景和要求，明确问题的目标函数。
2. 建立方程或函数模型：根据问题的要求，建立相应的方程或函数模型，将问题抽象为数学表达式。
3. 求解导数为零的点：对建立的模型函数，求解其导数为零的点。
这些点即为函数的极值点。
通过求解极值点，可以得出函数在该点取得极大值或极小值。
4. 验证求解结果：将得到的极值点代入原问题，验证结果是否满足问题的要求。
若验证成功，则所得的极值即为问题的最优解。
三、极值法解题的技巧和注意事项1. 辅助方法的灵活使用：在应用极值法时，可以结合其他方法进行辅助。
例如，结合代数方法、几何方法或者计算机辅助方法来解决复杂的数学问题。
2. 掌握求导法则和基本函数的导数：在求解导数为零的点时，需要熟练掌握导数的计算方法，包括求导法则和基本函数的导数表达式。
只有对导数的计算方法熟练掌握，才能快速准确地求解极值点。
3. 理解经典案例和典型题型：在学习极值法解题技巧时，要多加练习和理解经典案例和典型题型。
通过分析和解答这些案例和题目，可以更好地理解和掌握极值法的应用。
4. 注意问题的约束条件：在应用极值法时，要特别注意问题的约束条件。
有时问题的解可能会受到一定的约束条件的限制，必须在这些约束条件下寻找最优解。
四、应用极值法解题举例以下是一个具体的例子，演示了如何应用极值法解题：例题：求解函数y=x^2+2x+1的极值。
极值原理在生活中的实际应用
极值原理在生活中的实际应用1. 引言极值原理是数学中的一个重要概念，它在生活中也有很多实际应用。
极值原理可以帮助我们找到问题的最优解或最佳方案。
本文将介绍极值原理在生活中的实际应用，并以列点的方式进行展示。
2. 金融领域•投资组合优化：使用极值原理可以通过对不同投资组合进行分析，找到最佳投资组合，实现最大收益。
•资产定价：通过极值原理可以确定金融资产的合理定价，避免市场出现明显的高估或低估现象。
•风险控制：极值原理可以帮助金融机构评估风险并制定相应的风险控制策略，保护投资者的利益。
3. 运输与物流•最优路径规划：使用极值原理可以确定两地之间的最短路径或最低成本路径，提高物流效率。
•车辆调度优化：通过极值原理可以优化车辆的调度安排，最大程度地满足客户需求，减少等待时间和成本。
•资源配置优化：极值原理可以帮助物流公司合理分配各种资源，例如货物、人力、仓储等，提高资源利用效率。
4. 生产与制造•生产计划优化：使用极值原理可以帮助企业制定最佳的生产计划，平衡生产线上各个环节的生产速度，最大程度地提高产能。
•设备维护优化：通过极值原理可以确定设备的最佳维护周期和维护策略，提高设备的可靠性和使用寿命。
•质量控制：极值原理可以帮助企业制定最佳的质量控制策略，保证产品质量达到最优水平。
5. 市场营销•定价策略：通过极值原理可以确定产品的最佳定价策略，平衡成本和市场需求，最大程度地提高盈利能力。
•促销策略优化：使用极值原理可以帮助企业制定最佳的促销策略，提高销售量和市场份额。
•渠道选择优化：极值原理可以帮助企业选择最佳的销售渠道，提高产品的市场覆盖率和销售效果。
6. 决策支持•项目选择：通过极值原理可以帮助企业选择最具潜力和回报的项目，降低投资风险。
•人事管理：使用极值原理可以辅助企业进行员工薪酬、晋升和激励制度的设计，提高员工绩效和满意度。
•资源配置：极值原理可以帮助企业合理分配各种资源，例如资金、人力、设备等，提高资源利用效率。
最大值原理和极值原理
最大值原理和极值原理最大值原理和极值原理是微分学和数学分析中的两个基本原理，其中最大值原理指出了有界区间上的连续函数在该区间内达到最大值，而极值原理则更为广泛地描述了函数在一些区域内的最大值和最小值的存在性和一些相应的性质。
最大值原理（Maximum Value Principle）是最基本的实分析原理之一，它陈述了连续函数在有界区间上一定存在最大值。
具体而言，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在该区间上不为常值函数，则f(x)在[a,b]上一定存在最大值。
最大值原理的直观解释是：在一个有限区间上有连续增减变化的函数，一定会有一个最大值，而这个最大值在这个区间上是唯一存在的。
最大值原理有着重要的应用，比如在最优化问题中，我们常常需要寻找函数在特定区域内的最大值。
最大值原理告诉我们，在一些有界区域内找最大值时，可以限定区域，从而避免不必要的计算，提高计算效率。
此外，最大值原理在物理学中也有广泛的应用，比如利用最大值原理可以证明最高点必定是压强最大的地方。
极值原理（Extreme Value Theorem）则是在更一般的情况下描述函数的极值。
极值原理指出，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在该区间上至少存在一个最大值和一个最小值。
这个原理给出了一个非常重要的结论，即连续函数在有界、封闭区间上一定存在最大值和最小值。
需要注意的是，在开区间上的连续函数未必存在极值。
极值原理也有许多重要应用。
比如在微分学中，极值原理可以帮助我们确定函数的最大值和最小值，从而找到函数的拐点、驻点等重要信息。
在应用中常需要利用极值原理来证明一些性质，比如利用极值原理可以证明存在性定理。
此外，极值原理在微分方程的存在性和唯一性的证明中也有重要作用。
总的来说，最大值原理和极值原理是微分学和数学分析中的两个基本原理，它们描述了实函数的最大值和最小值在一些区间内的存在性，对于理解和证明函数的性质非常有帮助。
多元函数求极值原理
多元函数求极值原理宝子，今天咱们来唠唠多元函数求极值这个超有趣的事儿。
咱先得知道啥是多元函数。
你想啊，一元函数就像你沿着一条直线走路，只有一个变量在变。
但多元函数呢，就好比你在一个超级大的游乐场里玩，有好多好多因素会影响你的体验，这些因素就是变量啦。
比如说，你去游乐场，门票价格、游乐设施排队时间、园内餐饮价格啥的都可能影响你玩得开不开心，这里的开心程度就可以看成是一个多元函数，而门票价格、排队时间、餐饮价格就是它的变量。
那啥是极值呢？极值就像是你在这个游乐场里最开心或者最不开心的那个点。
比如说，有个套餐组合，门票便宜、排队时间短、餐饮性价比高，这个时候你就超级开心，这个组合对应的就是这个多元函数的极大值点；反之，如果又贵又要排很久队还吃不好，那就是极小值点（就是体验超差的情况啦）。
对于多元函数求极值，咱得用到一些小妙招。
其中一个重要的概念就是偏导数。
偏导数就像是你单独看每个因素对整体的影响。
比如说，咱们只看门票价格对开心程度的影响，其他的排队时间、餐饮价格啥的先不管，这就是求关于门票价格这个变量的偏导数。
你可以想象成你把其他小伙伴都捂住，只看这一个小伙伴的表现。
当多元函数在某一点取得极值的时候呢，这里有个超级酷的现象。
这个点的各个偏导数都会满足一定的条件。
就好像在一个团队里，每个成员都在一个特定状态下，整个团队才会达到最佳或者最差状态。
如果这个多元函数是连续可微的（这就像是这个游乐场的规则都很平滑，没有突然的变化），那么在极值点处，它的所有一阶偏导数都等于零。
这就好比在这个完美或者超糟糕的组合下，单独改变任何一个小因素，对整体的影响在这个瞬间是没有的。
但是呢，宝子，这还没完事儿。
一阶偏导数为零只是个必要条件，就像你找到了一群可能是超级英雄的人，但还得进一步确定他们是不是真的超级英雄。
咱们还得看二阶偏导数。
二阶偏导数就像是看这个因素改变一点点之后，它的变化趋势的变化。
这就有点绕了哈。
如果二阶偏导数满足一些特定的关系，比如说正定或者负定，那咱们就能确定这个点到底是极大值点还是极小值点啦。
强极值原理 霍普夫
强极值原理霍普夫全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫（Hopf）是一位20世纪伟大的数学家，他在数学领域做出了许多贡献，其中著名的强极值原理就是他的杰作之一。
强极值原理是指在微分几何中的一个基本定理，它揭示了曲面上的极值点的性质，为研究曲面的拓扑性质提供了重要的工具。
在数学分析中，极值原理是对函数的最大值和最小值的性质进行研究的一种方法。
在微分几何中，强极值原理是研究曲面上的极值点的性质与拓扑性质的关系。
强极值原理告诉我们，在曲面上局部极值点的附近，曲面的几何和拓扑性质是严格相关的。
具体来说，强极值原理告诉我们，如果一个曲面上的点是极小值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极小值点。
这意味着在极小值点处，曲率必须是非负的。
同样地，如果一个曲面上的点是极大值点，那么在该点附近的任意曲线上，该点仍然是极大值点。
这意味着在极大值点处，曲率必须是非正的。
霍普夫的强极值原理为微分几何领域的研究提供了重要的工具。
它不仅揭示了极值点的性质，而且还帮助我们理解曲面的整体拓扑性质。
强极值原理的应用范围非常广泛，它在地震学、气象学、生物学等领域都得到了广泛的应用。
第二篇示例：强极值原理，也称为霍普夫定理，是一个数学定理，它关于在随机独立同分布的情况下，极大值和极小值出现的概率。
霍普夫定理是概率论和数理统计中非常重要的定理，它可以帮助我们理解随机事件的规律性和规律性。
强极值原理最早由霍普夫（Emil Julius Gumbel）于1958年提出，在统计学和气象学领域得到了广泛的应用。
霍普夫定理有时也被称为极值定理或Gnedenko-Holshunov定理，是概率论中关于极大值和极小值分布的一个非常重要的结论。
霍普夫定理指出，在独立同分布的情况下，最大值和最小值的极限分布函数具有一定的特殊形式。
具体来说，若一个随机变量序列满足一定的条件，那么这个序列的最大值或最小值在适当归一化下会收敛到极值分布。
在实际应用中，强极值原理可以帮助我们预测自然界中一些罕见而重要的极端事件，比如自然灾害和金融市场的崩溃等。
极值原理在哲学教学中的应用
一
关 键 是 这 些 基 本 结 构 要 靠 教 师 去 发 现 、 去 挖
掘 。 系统 的 、完 整 的 知 识 结 构 有 利 于学 生 形 成 良好 的认 知 结 构 ，学 生 只 有 掌 握 了反 映 哲 学 学
三 、 效 地 运 用 极 值 原 理 ， 以 教 会 学 生正 有 可 确 的 学 习 方 法 ， 轻 学 生 的 学 习 负担 。 减
世 代 代 积 累 起 来 的浩 如 烟 海 的大 量 科 学 文 化 知 识 的提 炼 和 浓 缩 ，体 现
出 条 理 性 、科 学 性 和 深 刻 性 。 在 教
维普资讯
极值 原 理 就 是 指 用 最 简 洁 最 凝 炼 的模 式 或 定 律 去 囊 括 、去 浓 缩 最 大 、最 丰 富 的 事 物 和 现 象 。极 值 原
理 就 如 同 教 学 规 律 ，客 观 地 存 在 于
生 可 以多 学 ” 叶 圣 陶 先 生 说 ： 教 任 何 功 课 ， ； “ 最 终 目的都 在 于 达 到 不 需 要 教 ” 教 学 就 是 要 让 学 ， 生 “ 己去 探 索 ， 自 自己去 辨 析 ， 自己去 历 练 ， 而 从
目前 ，全 国许 多 中学 校 在 高考 指 挥 棒过 片 学
式 ” 教 学 方 法 使 学 生 厌 烦 上 课 ， 江 重 。一 天 学 习 的 时 间 是 有 限 的 ，学 生 却 有 做 不 的 课
堂上的知识难以真正被学生所接受 苏 完的题 目， 背不完的书。那么掌握正确的学习
生思考 。
内外 因
哲 －兰’ 。 圣Ｉ堆｛兰三一 拳辩 义。兰 茎． 主兰一认 证 ’ ’ 思 ｛ ， 妻论 三识 。
极值原理在生活中的实际应用
极值原理在生活中的实际应用极值原理是数学中的一个重要概念，主要用于描述函数在局部范围内的最大值或最小值。
然而，极值原理并不仅仅在数学领域中适用，它还可以在生活中的各个方面找到实际应用。
下面，我将从几个不同的角度来介绍极值原理在生活中的实际应用。
首先，极值原理可以应用于经济学中。
在市场经济中，企业的目标通常是在有限的资源条件下实现最大利润。
利润的最大化与成本的最小化密切相关，因此企业需要使用极值原理来找到最佳的生产或经营决策。
通过比较不同生产方案的边际成本和边际收益，企业可以确定最佳产量和销售价格，从而最大化利润。
另一个领域是交通规划。
在城市交通规划中，要考虑到交通流量的最大化和拥堵问题，以提高整体交通效率和减少环境污染。
极值原理可以用于决策者确定最佳交通信号配时方案，以最大限度地减少交通拥堵。
此外，极值原理还可以用于公共汽车或地铁等公共交通线路的设计，以便旅行者能够以最短的时间和最低的成本到达目的地。
在生态学中，极值原理也有广泛的应用。
生态学研究的一个重要问题是如何最佳地管理自然资源，以实现可持续发展。
通过应用极值原理，可以确定最佳的捕捞量以保持渔业资源的平衡，最佳的森林砍伐量以保护生态系统的完整性，以及最佳的水资源利用方案以满足社会需求并保护水源。
此外，极值原理还可以应用于医学和健康领域。
在临床医学中，医生经常需要确定最佳的治疗方案，以提供最好的治疗效果。
通过评估不同治疗方案的风险和效益，医生可以使用极值原理来确定最佳的治疗方法。
此外，在健康管理中，个人也可以使用极值原理来制定最佳的饮食和运动计划，以维持良好的身体健康。
最后，极值原理还可以在社会科学研究中找到应用。
例如，在教育领域，教育者需要确定最佳的教学方法和学科设置，以提供最好的教育效果。
通过应用极值原理，教育者可以评估不同教学策略的效果，并选择最佳的教学方法。
类似地，在管理学中，企业管理者可以使用极值原理来确定最佳的人力资源分配方案和组织结构，以提高组织效能和员工工作满意度。
化学中的极值法原理是什么
化学中的极值法原理是什么化学中的极值法原理是一种分析化学方法，通过测定反应或化合物在特定条件下的极值（如极大值或极小值），来确定物质的含量或者性质。
极值法主要应用于定量分析和质量分析中。
在定量分析中，极值法可用于确定化合物的含量，而在质量分析中，极值法可用于确定物质的性质，如酸碱性、氢离子浓度等。
极值法的原理基于反应的平衡和特定条件下的极值原理。
在反应中，化合物或反应物的浓度和反应条件之间存在一种关系，当浓度或条件发生变化时，反应达到平衡时产生的极值也发生相应的变化。
通过测定反应物浓度或反应条件下的极值，可以推断出化合物的含量或物质的性质。
极值法可以用于测定化学反应中的平衡常数。
平衡常数是表征反应物浓度之间的比例关系的物理量，可以通过测定不同浓度下反应物的极值来确定。
例如，对于酸碱反应，通过测定酸碱溶液的电导率、电动势或酸碱指示剂的颜色变化，可以确定酸碱溶液的酸碱度，进而推导出平衡常数。
极值法还可以用于测定化合物的含量。
一种常见的极值法是滴定法，通过逐渐加入一种已知浓度的试剂，直到出现颜色或物理性质发生突变的现象，以确定反应物的含量。
滴定法的原理基于反应物和试剂之间的化学反应，在反应达到临界点时出现显著的极值。
此外，极值法还可以用于测定物质的性质。
例如，通过测定溶液的电导率、氢离子浓度或溶液的颜色变化，可以确定溶液的酸碱性；通过测定溶液的折射率和浓度之间的关系，可以推测出溶质的摩尔折射率，从而确定溶质的性质。
总之，化学中的极值法原理是通过测定反应或化合物在特定条件下的极值（如极大值或极小值），来确定物质的含量或者性质。
基于反应的平衡和特定条件下的极值原理，极值法在化学分析中起着重要的作用，为定量分析和质量分析提供了一种有效的手段。
简述极值原理的应用方法
简述极值原理的应用方法1. 概述极值原理（Extreme Value Principle）是应用于数学分析、最优化和物理学中的一项基本原理。
其基本思想是在一个有限集合中存在最大值和最小值。
在实际应用中，极值原理常常用于求解最优化问题和优化算法。
2. 应用方法2.1. 寻找极值点的方法寻找函数的极值点是极值原理的一种常见应用方法。
以下是几种常用的方法：•导数法：对于连续可导的函数，通过求解导数为零的方程来找到函数的极值点。
其中，导数为零的点可能是极大值点、极小值点或驻点。
•二分法：对于有界函数，可以通过二分法来逼近极值点。
该方法需要先确定一个区间，在该区间内通过逐步缩小区间范围的方式来找到极值点的近似值。
•牛顿法：牛顿法是通过函数的一阶和二阶导数来逼近极值点。
该方法通过迭代计算，不断逼近极值点。
2.2. 极值在实际问题中的应用极值原理不仅在数学分析中有应用，还在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些实际问题中极值原理的应用方法：•最优化问题：极值原理在最优化问题中有重要应用。
例如，在生产过程中，为了提高效益、降低成本，需要确定某个变量的最优值，这可以通过极值原理来解决。
最优化问题的求解可以利用上述提到的找极值点的方法。
•经济决策：在经济决策中，极值原理可以用于确定最优的投资策略、定价策略和市场策略，从而使企业获得最大利润。
例如，在确定产品的最优价格时，可以利用极值原理来确定最大利润对应的价格。
•机器学习：在机器学习中，极值原理可以用于求解最优化问题，例如线性回归和逻辑回归。
这些问题可以通过优化算法来求解，而这些优化算法的基础就是极值原理。
2.3. 优化算法的应用优化算法是一类通过迭代方法逼近极值点的算法。
以下是几种常见的优化算法：•梯度下降法：梯度下降法是一种通过迭代调整参数值的方法来求解最优化问题。
该方法通过计算函数的梯度（导数）方向，从而找到可使目标函数值下降的参数值。
•遗传算法：遗传算法是一种基于进化原理的优化算法。
极大值原理
极大值原理
极大值原理是微分方程理论中的一个重要概念，它在研究微分方程解的性质和行为时发挥着关键作用。
在这篇文档中，我们将详细介绍极大值原理的定义、应用和相关概念，希望能够为大家对这一理论有一个清晰的认识。
首先，我们来看一下极大值原理的定义。
极大值原理是指微分方程解在某个区域内取得极大值（或极小值）的点，要么是边界上的点，要么是解在该区域内的驻点。
这一原理为我们分析微分方程解的性质提供了重要的线索，有助于我们理解解的行为和特征。
接下来，我们将介绍极大值原理的应用。
在实际问题中，通过极大值原理可以帮助我们分析微分方程解的行为，例如确定解的稳定性、存在性和唯一性等性质。
通过对解的极值点进行分析，我们可以得到关于解的定性信息，这对于理解和预测实际问题的发展趋势具有重要意义。
除了极大值原理的基本概念和应用，我们还需要了解一些相关的概念。
例如，在具体的微分方程问题中，我们可能会遇到最大值原理、最小值原理、弱极值原理等不同形式的极值原理，它们在不同的问题中具有不同的作用和意义。
因此，我们需要对这些相关概念有一个清晰的认识，以便能够灵活运用极值原理解决具体的微分方程问题。
总之，极大值原理是微分方程理论中的重要概念，它为我们分析微分方程解的性质和行为提供了重要的线索。
通过对极大值原理的理解和运用，我们可以更好地理解微分方程解的行为，为实际问题的分析和预测提供有力的支持。
希望本文能够帮助大家对极值原理有一个清晰的认识，进一步提高对微分方程理论的理解和运用能力。
极值原理的应用
极值原理的应用1. 什么是极值原理？极值原理是数学分析中的一个重要原理，用于求解函数的极大值和极小值。
它是数学中的基础概念之一，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
在应用数学、物理学、经济学、工程学等领域中，极值原理都具有重要的应用价值。
2. 数学中的极值原理2.1 极大值与极小值在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\leq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极大值。
类似地，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\geq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极小值。
2.2 极值原理的应用极值原理在数学中有着广泛的应用。
例如，在求解一元函数的最大值和最小值问题时，可以通过寻找函数的驻点（即导数为零的点）来判断极值的位置。
此外，极值原理还可以用于优化问题的求解，如线性规划、非线性规划等。
3. 物理学中的极值原理极值原理在物理学中也有着重要的应用。
例如，费马原理就是一种极值原理，它用于描述光的传播路径。
费马原理认为，光线在两点之间传播时，其路径是使得光程取极值的路径。
这个极值可以是最小值（即最短路径），也可以是最大值（即最长路径），这取决于传播介质的性质。
另一个物理学中的例子是哈密顿原理，它用于描述力学体系的最小作用量原理。
根据哈密顿原理，力学体系的运动轨迹是取使作用量S（即积分$\\int L dt$）取极值的路径。
这里，L是拉格朗日函数，t是时间变量。
4. 工程学中的极值原理极值原理在工程学中也有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，极值原理可以用于信号的去噪和压缩。
通过寻找信号中的极小值或极大值点，可以提取出信号中的重要信息，从而实现信号的去噪和压缩。
此外，极值原理还可以应用于电力系统、通信系统等领域。
例如，在电力系统的负荷调度中，可以利用极值原理来优化电网的功率平衡，减少功率损耗。
求极值原理
求极值原理嘿，你有没有想过，在生活中我们总是在追求某种极致呢？就像爬山，我们想爬到最高的地方，看最美的风景；又或者是做生意，想要把利润最大化。
这其实就和数学里的求极值原理有点像啦。
我记得我有个朋友叫小李，他是个果农。
他种了一大片果园，每年都要考虑怎么让自己的收成最好，赚的钱最多。
这就像是在求一个关于产量和利润的极值。
他得考虑种多少棵果树合适呢？如果种得太少，那果子的总产量就少，赚的钱肯定也不多。
可要是种得太多，果树之间互相抢夺养分、阳光和空间，果子可能长得不好，品质下降，最后算下来利润也不会高。
这就像是在一个函数里找那个最高点或者最低点，多一点少一点都不行，是不是很神奇？那在数学的世界里，求极值是怎么一回事呢？比如说我们有一个简单的二次函数，y = ax² + bx + c（a≠0）。
这个函数的图像可能是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
如果是开口向上的，那这个抛物线就有一个最低点，这个最低点对应的y值就是这个函数的极小值；要是开口向下呢，就有一个最高点，对应的y值就是极大值。
这就好比是一座山，开口向上的抛物线像个山谷，最低点就是山谷的底部；开口向下的就像个小山丘，最高点就是山丘的顶部。
我们怎么找到这个极值点呢？这就用到求导啦。
导数就像是一个函数的指南针，它能告诉我们函数在某个点的变化率。
对于二次函数y = ax² + bx + c，它的导数y' = 2ax + b。
当这个导数等于0的时候，就像我们在爬山的时候，走到了一个既不向上也不向下的地方，那这个点很可能就是极值点啦。
把2ax + b = 0解出来，得到x = -b / 2a，这个x值对应的y值就是极值。
再来说说我邻居老张的故事吧。
老张开了个小工厂，生产一些小零件。
他要考虑成本和产量的关系。
他发现成本C和产量x之间有个函数关系，假设是C(x)=x² - 10x + 30。
老张就想知道，生产多少个零件的时候，成本最低呢？按照求极值的方法，先对C(x)求导，C'(x)=2x - 10。
最新4极值原理与最大模估计
§4极值原理与最大模估计 14．1弱极值原理 2从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋3于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体4的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温5度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生6大于M 的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”. 7记}0,0|),{(T t l x t x Q ≤<<<=,Q 的侧边与底边统称为Q 的抛物边界,记为8Γ或Q p ∂,{}0,:),(),0(=Ω∈⋃⨯Ω∂=Γt x t x T ,}0,0|),{(T t l x t x Q ≤≤≤≤=, 9 }),(|),({)(上的连续函数是Q t x u t x u u Q C ==, 10 }),(|),({)(上的连续函数是Q t x u t x u u Q C ==, 11)}(,,,|{)(12Q C u u u u u Q C xx x t ∈=，, 12我们将考虑热传导方程 13),,(2t x f u a u Lu xx t =-= 14（4.1） 15从第一节我们知道,如果0),(≥t x f ,则称杆内有热源；如果0),(≤t x f ,则表示杆16内有冷源,或称为热汇. 17定理4.1（弱极值原理）设)()(12Q C Q C u ⋂∈，,且满足,0),(≤=t x f Lu 则u 在Q 18上的最大值必在Q 的抛物边界Γ上达到,即19),(max ),(max t x u t x u Q Γ= 20（4.2） 21证明 先设0),(<t x f ,则我们断言u 必不能在Q 内达到最大值.u 在Q 上连续,22有最大值,必在Γ上达到,若不然,设在某点Q t x P ∈),(000,使得 23),(max ),(00t x u t x u Q=, 24 则 ,0,00022≤∂∂=∂∂P P x u x u 25 ,00=∂∂P tu当T t <0 26 ,00≥∂∂P t u当T t =0 27 因此,0),(022200≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=P x u a t u t x f 这与0),(<t x f 的假设矛盾,因而u 必不能在28 Q 内达到最大值.),(max ),(max t x u t x u Q Γ=. 29 现在考虑一般的情况,即0),(≤t x f ,我们设法将它归结为前面已证的情况. 30为此,对于任意0>ε,考虑辅助函数 31,),(),(t t x u t x v ε-= 32简单计算可得 33,0<-=-=εεf Lu Lv34 应用已证的断言,v 一定不能在Q 内达到最大值,（v 在Γ上达到最大值） 35则有 ),(max ),(max t x v t x v Q Γ= 36()()t t x u t t x u Q εε-=-Γ),(max ),(max 37 令0→ε,得 38),(max ),(max t x u t x u Q Γ= 39 推论 设)()(12Q C Q C u ⋂∈，,且满足,0),(≥=t x f Lu 则u 在Q 上的最小值必在Γ40上达到,即 41 ),(min ),(min t x u t x u Q Γ= 42（4.3） 43如果,0=Lu 则u 在Q 上的最大值与最小值都必在抛物边界Γ上达到,即 44),(max ),(max t x u t x u Q Γ=, ),(min ),(min t x u t x u Q Γ=, 45 )(max )(max u u Q -=-Γ, 46 u u Q Γ=max max . 47 证明 令u v -=,则0≤-=-=f Lu Lv ,利用定理4.1,则 48)),((max )),((max t x u t x u Q -=-Γ49 由此即得),(min ),(min t x u t x u Q Γ=, 50 如果,0=Lu 则有51),(max ),(max t x u t x u Q Γ=,),(min ),(min t x u t x u Q Γ=,)),((max )),((max t x u t x u Q -=-Γ,52于是有 53u u Q Γ=max max 54附注 这里我们注意两种不同的说法：“必在抛物边界上达到”与“除恒为常数55外不能在Q 内（包括T t =）达到”的区别,后者的结论更强.由于我们定理的结论56属于前者,因此称为弱极值原理. 57我们还可以讨论稍一般的方程 58),,(),(),(2t x f u t x c u t x b u a u Lu x xx t =++-= 59（4.4） 60定理4.2 设0),(≥t x c ,又设)()(12Q C Q C u ⋂∈，,且满足,0≤Lu 则u 在Q 上的非61负最大值必在抛物边界Γ上达到（如果存在的话）,即 62 ),(max ),(max t x u t x u Q +Γ≤ 63（4.3） 64其中}0),,(m ax {),(t x u t x u =+.65 证明 （1）先设,0<Lu 则我们断言u 的非负最大值必不能在Q 内达到.如不然,66设在某点Q t x P ∈),(000,使得 670),(max ),(00≥=t x u t x u Q, 68 则 ,0,00022≤∂∂=∂∂P P x u x u ,00≥∂∂P t u 69 因此0)),(),((002≥++-=P x xx t P u t x c u t x b u a u Lu 这与0<Lu 的假设矛盾,因而70u 必不能在Q 内达到非负最大值,),(max ),(max t x u t x u Q +Γ≤. 71 （2）现在考虑一般的情况,即0≤Lu ,我们设法将它归结为前面已证的情况. 72为此,对于任意0>ε,考虑辅助函数73,),(),(t t x u t x v εε-= 74简单计算可得 75,0<--=t c t Lu Lv εεε 76 应用已证的断言,εv 一定不能在Q 内达到非负最大值,则有 77 ),(m ax ),(m ax t x v t x v Q +Γ≤εε 78 即 ()()+Γ-≤-t t x u t t x u Q εε),(m ax ),(m ax 79 令0→ε,则有 80),(max ),(max t x u t x u Q +Γ≤ 81 推论 设0),(≥t x c ,又设)()(12Q C Q C u ⋂∈，,且满足,0≥Lu 则u 在Q 上的非正82最小值必在抛物边界Γ上达到（如果存在的话）,即 83 ),(min ),(min t x u t x u Q -Γ≥ 84 其中}0),,(m in{),(t x u t x u =-.85 如果在Q 内,0=Lu 那么 86.),(max ),(max t x u t x u Q Γ= 87 附注 当0),(≥t x c 的条件放宽为),0(,),(00>-≥c c t x c 上面形式的极值原理不再88成立. 89例如 对,3u u u Lu xx t --=,0),,0(,sin T t x x e u t ≤<∈=π90,0sin sin 3sin sin )sin (<-=-+==x e x e x e x e x e L Lu t t t t t 91 显然0,00====πx x u u x u t sin 0==,92 ),(t x u 的非负最大值在⎪⎭⎫ ⎝⎛T ，2π处达到非负最大值. 93 但我们有 94定理 4.3 设0),(c t x c -≥,其中0c 为正常数,又设)()(12Q C Q C u ⋂∈，且满足95,0≤=f Lu 那么如果0),(max ≤Γt x u ,必有0),(max ≤t x u Q 96 证明 令).,(),(0t x u e t x v t c -=容易验证),(t x v 满足方程 97,0)),((002≤=+++--t c x xx t fe v c t x c bv v a v 98由于此时有0),(0≥+c t x c ,应用定理4.2,我们有 990),(max ),(max ),(max 0≤=≤+-Γ+Γt x u e t x v t x v t c Q 100 因此0),(≤t x v ,从而在Q 上0),(≤t x u .101 推论（比较原理） 设),0(),(00>-≥c c t x c 又设)()(,12Q C Q C v u ⋂∈，,且有102ΓΓ≤≤v u Lv Lu ,,则在Q 上),(),(t x v t x u ≤. 103 证明 只须令),(),(),(t x v t x u t x w -=,由v u ,的条件,显然有 104 0)(≤-=-=Lv Lu v u L Lw ,,0)(≤-=ΓΓv u w 105 由定理4.3,得Q t x t x w ∈≤),(,0),(于是),(),(t x v t x u ≤,Q t x ∈),(. 1064.2第一边值问题解的最大模估计107考虑第一边值问题 108 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=∈=-====T t t g u t g u l x x u Q t x f u a u Lu l x x t xx t 0),(),(,0),(),(,21002ϕ 109 （4.5）110 定理4.4 设)()(12Q C Q C u ⋂∈，是问题（4.5）的解,则 111,max B FT u Q +≤ 112（4.6） 113 其中2],0[1],0[],0[sup ,sup ,sup max {,sup g g B f F T T l Q ϕ==.114 证明 考虑辅助函数),(),(t x u B Ft t x w ±+=,易知0≥±=±=f F Lu F Lw ,在Γ上 115 0)(≥±≥ΓΓu B w ,116 由弱极值原理,w 在Q 上的最小值必在Γ上达到,即 117,0min min ≥=Γw w Q 118 于是 Q t x w ∈≥),(,0, B Ft t x u +≤±),( 119 故.max B FT u Q+≤ 120 推论1 问题（4.5）在)()(12Q C Q C ⋂，中的解是唯一的. 121 证明 设21,u u 是（4.5）的两个解,令21u u w -=,则w 满足122⎪⎩⎪⎨⎧====-====0,0,00002l x x t xx t w w w w a w Lw 123 此时.0,0==B F 124 ,0,0,0max ===+≤w w B FT w Q 21u u =. 125推论2 问题（4.5）在)()(12Q C Q C ⋂，中的解连续依赖于非齐次项f ,初值ϕ与126边值21,g g .127 ),,,;,(),(21g g f t x u t x u ϕ=,128 )~,~,~,~;,(~),(~21g g f t x u t x u ϕ=, 12922],0[11],0[],0[~sup ~sup ~sup ~sup ),(~),(g g g g f f T t x u t x u T T l Q -+-+-+-≤-ϕϕ. 130 由此可以看出,最大模估计就蕴涵着解的唯一性与稳定性,因此以后我们不再重131复这些讨论. 132现在考虑稍一般的方程的第一边值问题 133 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=∈=++-====Tt t g u t g u l x x u Q t x f cu bu u a u Lu l x x t x xx t 0),(),(,0),(),(,21002ϕ 134 （4.7）135 定理 4.5 设),0(),(00>-≥c c t x c 又设)()(12Q C Q C u ⋂∈，是问题（4.7）的解,136则 137 ),(max 0B FT e u T c Q +≤ 138（4.8）139其中B F ,的定义如定理4.4中.140 证明 令),(),(0B Ft e t x v t c +=则 141 [],))(),((00B Ft c t x c F e Lv t c +++= 142),(0u L Lu f F F e t c ±=±=±≥≥≥同时ΓΓ±≥≥)(u B v . 143 由比较原理,在Q 上u v ±≥,由此可得（4.8）.144。
简述极值原理的应用
简述极值原理的应用1. 什么是极值原理？极值原理是数学中的一条重要原理，主要用于求解函数的最大值和最小值。
在实际生活和科学研究中，极值原理也被广泛应用于各个领域。
2. 极值原理的应用领域2.1 经济学领域•企业决策：极值原理可以用于优化企业的生产和经营决策。
通过确定生产成本和需求曲线，可以求解最佳生产规模和售价，从而实现利润的最大化。
•资产管理：极值原理可以应用于投资组合选择和资产配置等问题。
通过考虑不同资产的收益率和风险，可以求解最优的资产组合以实现最大化的投资回报。
2.2 物理学领域•力学：极值原理可以应用于力学问题的求解。
例如，当物体在重力作用下运动时，可以利用极值原理求解物体的最短时间、最短路径等问题。
•光学：极值原理可以应用于光线的传播问题。
通过最小时间原理，可以求解光线在不同介质之间的传播路径，从而解释光的折射和反射现象。
2.3 生物学领域•进化论：极值原理可以应用于进化论的研究。
通过对自然选择的分析，可以求解适应度函数的极值点，从而预测物种的进化方向。
•生态学：极值原理可以应用于生态系统的研究。
通过对食物链和能量流的分析，可以求解最优的能量转化路径和物种的分布格局。
3. 极值原理的数学应用3.1 导数和二阶导数的应用•导数：极值原理可以通过对函数的导数进行分析，找到函数的临界点和驻点。
当导数为零时，函数可能达到最值点。
•二阶导数：极值原理可以通过对函数的二阶导数进行分析，确定函数的凸性和拐点。
当二阶导数大于零时，函数可能达到最小值，当二阶导数小于零时，函数可能达到最大值。
3.2 约束条件的引入在实际问题中，通常存在着一些约束条件。
极值原理可以通过引入约束条件，将问题转化为约束最优化问题，并求解最优解。
3.3 数值方法的应用为了求解复杂的极值问题，通常需要借助数值方法进行计算。
常用的数值方法包括牛顿法、梯度下降法和遗传算法等。
4. 总结极值原理作为一条重要的数学原理，在实际应用中发挥着重要的作用。
4极值原理与最大模估计
4极值原理与最大模估计极值原理和最大模估计是数学分析中常用的两个概念和方法，它们在优化问题和概率统计中都有广泛的应用。
下面分别介绍这两个概念，并详细解释它们的应用。
极值原理：极值原理是分析最优解的一种方法，它主要包括极大值和极小值。
极值原理可分为：1.极大值原理：极大值原理表示一个函数在其定义域有一个局部最大值时，该函数的导数等于零。
也就是说，如果一些函数的导数等于零，那么该函数在该处可能有一个局部最大值。
这一概念在求解优化问题时非常有用，可以通过求解导数为零的方程来找到函数的极大值。
2.极小值原理：极小值原理与极大值原理类似，表示一个函数在其定义域有一个局部最小值时，该函数的导数等于零。
即如果一些函数的导数等于零，那么该函数在该处可能有一个局部最小值。
也是在优化问题中常用的方法之一最大似然估计：最大似然估计是一种统计学思想，用于估计参数的值。
它假设给定一组观测数据，通过最大化这组数据出现的可能性来估计参数的值。
最大似然估计的思想可以简单概括为：给定一组观测数据，选择使这组数据出现的概率最大化的参数作为估计值。
最大似然估计的过程可以用数学表示为：设X为随机变量，其概率分布函数为f(x，θ)，其中θ是待估计的参数。
则给定一组观测数据x1, x2, ..., xn，其似然函数为L(θ，x) = ∏[f(xi，θ)]，最大似然估计就是通过最大化似然函数L(θ，x)来估计参数θ的值。
最大似然估计的应用非常广泛，特别是在概率统计和机器学习领域。
通过最大似然估计，可以通过观测数据来估计未知参数的值，从而进行数据分析和预测。
最大似然估计的优点是直观、易于理解和计算，但也有一些限制和假设条件。
总结起来，极值原理和最大似然估计是数学分析中常用的两个概念和方法。
极值原理用于求解优化问题，通过导数为零的方程来寻找函数的极大值或极小值。
最大似然估计用于估计参数的值，通过最大化数据出现的可能性来得到参数的估计值。
这两个概念和方法在实际问题中都有广泛的应用，对于理解和解决复杂的问题非常有帮助。
极值原理
xt0 x0
N1 x t f ,t f 0
t f
x
N1T x
v
tt f
(4) 终端时刻tf可变时，用来确定tf的 终端横截条件：
H
t
vT
N1 t tt f
.
H
x
式中，哈密顿函数为
Hxt,ut,t,t Lxt,ut,t T f xt,ut,t
(2)在最优曲线x*(t)上与最优控制u*(t) 对应的哈密顿函数为极小值的条件，即
H x* t,u* t,* t,t min H x* t,ut,* t,t ut Ru
另外，如果根据物理意义已经判定所
讨论最优控制问题的解存在，而由极小值 原理求出的控制又只有一个，那么显然可 知，此控制是最优控制。实际遇到的问题 往往属于这种情况。
(2)这个例子比较简单，可以直接解出来。
稍复杂一点的情况是，u的取值要决定x和λ ，
而x和λ 的取值反过来又决定于u，这时要用 试探法求解。在复杂一点的问题往往就不能 用解析法求解了。
设n维系统状态方程 x. t f xt,ut,t (1)
式中：x(t)为n维状态向量；u(t)为r维控制向 量；f(.)为n维向量函数。
始端时间和始端状态
xt0 x0
(2)
始端时间和始端状态满足约束方程
N1 x t f ,t f 0
(3)
控制向量取值于
控制向量u(t)是分段连续函数，属于r为 空间中的有界闭集，应满足
gxt,ut,t 0
则为把状态x(t)的初态
极值原理在的应用
极值原理在的应用一、极值原理简介极值原理是数学中的一个重要原理，它在很多领域都有广泛的应用。
极值原理是指函数在某一区间上的取极值的性质，包括极大值和极小值。
在数学中，我们通过求导和求极值的方法来研究函数的极值，从而得出最优解。
二、极值原理在经济学中的应用经济学是应用数学最广泛的领域之一，而极值原理在经济学中的应用也非常重要。
下面列举了一些具体的应用场景：1.利润最大化：企业追求利润最大化是经济学中的基本原则之一。
通过研究需求、成本和价格等因素，可以使用极值原理来确定最佳的生产和销售策略，以达到利润最大化的目标。
2.资源分配：在资源有限的情况下，如何合理分配资源是经济学中关注的问题之一。
通过优化资源的利用效率和最终产出的效益，可以使用极值原理来确定最佳的资源分配方案。
3.供需平衡：供需平衡是市场经济中十分重要的概念，通过分析市场需求和供给的变化情况，可以使用极值原理来确定最佳的价格水平，以实现供需平衡。
三、极值原理在物理学中的应用极值原理在物理学中的应用非常广泛，下面列举了一些具体的应用场景：1.物体的最速下落路径：在重力作用下，物体在竖直方向上的运动是自由落体运动。
通过使用极值原理，可以确定物体下落的最优路径，即最短时间到达目的地。
2.平衡系统中的稳定点：在力学中，稳定点是平衡系统中的重要概念。
通过求解势能函数的极值点，可以确定系统的稳定点，以研究物体是否会发生倾覆、倒塌等现象。
3.光的反射和折射：光的反射和折射是光学中的基本现象。
通过使用极值原理，可以确定光线在不同介质中的传播路径和角度，从而研究光的反射和折射规律。
四、极值原理在生态学中的应用生态学是研究生物和环境的相互关系的学科，极值原理在生态学中也有一些应用：1.最大种群密度：生态环境中，种群的密度对整个生态系统的稳定和平衡有着重要影响。
通过使用极值原理，可以确定种群的最大密度，以实现生态系统的稳定和平衡。
2.物种分布的优化：不同物种在生态环境中的分布受到多种因素的影响。
非线性laplace方程解的极值原理
非线性laplace方程解的极值原理
非线性拉普拉斯方程的极值原理是拉普拉斯方程求解过程中一种有效的数学方法，主要是为了求解非线性拉普拉斯方程，其优点在于数学模型简单、仿真精度高、可以用来计算非线性拉普拉斯方程的最小解。
非线性拉普拉斯方程极值原理基本上可以概括为：给定非线性拉普拉斯方程的
边界条件（如边界上的有效值或边界描述值），那么求解此方程的最优解就是在这些边界条件的约束下使得函数极值的极值最大或最小。
因此，可以将非线性拉普拉斯方程问题转化为极值理论模型，来求解非线性拉普拉斯方程最优解。
非线性拉普拉斯方程的求解极值原理是采用约束最优化算法对含限在边界值的
函数进行研究，以得到约束下的函数的最优解，包括极大值和极小值。
其具体求解步骤如下：首先，构建非线性拉普拉斯方程的函数形式，明确求解的目标函数，然后将边界条件装入约束条件中，构成约束最优化算式，以此为基础，采用对应的数学方法，如黎曼–积分变换、坐标转换等。
最后，迭代搜索求出拉普拉斯方程在边界条件中的极小值或极大值，从而求得非线性拉普拉斯方程的最优解。
总之，非线性拉普拉斯方程的极值原理可以更加有效的求解非线性拉普拉斯方程，它的优点在于可以高效的求解最优值，且仿真效果也很好。
传递函数极值定理
传递函数极值定理又称积分极值原理。
它告诉我们一个重要结论：当 f (x)是一个连续可微函数时，在某一点 x= a 附近，一切点上导数都存在并且连续，从而使 f (x)的最大值 f'(x)出现在 x= a 处，也就是在该点有极大值；当 f'(x)不存在时，也就没有最大值。
因此，凡是对于任意的连续函数 f (x)，只要这个极大值不是 f'(x)，那么它必定是某一区间的极小值。
反之，如果一个函数在某一区间内至少有一个最大值或最小值，那么这个函数在该区间内至少有一个最大值或最小值，或者说，至多有两个最大值或两个最小值。
换句话说，最大值和最小值总是出现在函数的某一区间内。
换言之，函数的最大值与最小值仅仅依赖于该函数所在的区间，但不依赖于具体的函数。
每一个函数在某一区间上的极值总会成为另外一个函数在相应区间上的一个最值，二者相等。
因此，研究函数的极值问题通常采用相应区间上的最值来表示，其中在一般情况下求函数的极大、极小值，是指函数在某一单调增加的区间上的极值问题，而求函数的极值则需涉及到多项式区间上的极值问题，实际应用十分广泛。
然而函数在某一区间上的极值却往往同时具备着在其他各区间上的最值。
例如，设 f (x)是在闭区间[ a，b]上连续可微的函数，若 f (a)≥f (b)，则 f (a)+ f (b)≥f (a)+ f (b)，这里，若 f (a)= f (b)，则 f (a)= f (b)。
显然，当 a> b 时， f (a)≤f (b)，而当 b< a 时， f (a)> f (b)，由此得出 f (a)≥f (b)。
这样，在一般情形下，即使给定了 f (x)的定义域，要找出函数的极值仍然比较困难。
而在有限区间上的极值则不同，只要给定了足够精确的初始条件，通过适当选择变量，再利用函数在有限区间上的性质，便能方便地求出极值。
函数的有界性质是极值概念的基础，而对函数的极值，函数的连续性以及函数的单调性则是建立极值概念的关键。
强极值原理的应用
强极值原理的应用强极值原理简介强极值原理是微积分中的重要概念，也叫强极值原则、强极值定理等。
它是指在连续函数的定义域中，如果函数在内部取得最大值或最小值，那么最大值或最小值要么出现在内部的严格局部极值点上，要么出现在边界上。
强极值原理的应用领域强极值原理在很多领域都有重要的应用，下面我们列举了几个典型的应用领域：1.经济学领域：–金融市场分析，通过对各种金融数据的分析，可以找到最大化利润或最小化风险的策略。
–供需关系分析，通过对市场供需关系的分析，可以找到最优价格和最大化利润的方法。
–生产优化，通过对生产要素的优化安排，可以找到最大化服务效益的方案。
2.工程领域：–结构设计，通过对结构参数的调整和材料的选择，可以找到最优结构以满足强度和稳定性的要求。
–优化控制，通过对控制系统的设计和参数的调整，可以找到最优的控制策略以达到稳定性和效能的要求。
–能源管理，通过对能源的利用和分配的优化，可以实现能源消耗的最小化。
3.物理学领域：–粒子物理学，通过对粒子的轨迹和相互作用的分析，可以找到基本粒子性质的定量描述。
–热力学领域，通过对热力学系统的分析，可以找到最佳能量转换和最大熵原理的应用。
–光学应用，通过对光学系统的分析，可以找到最佳成像和最大光强的方法。
强极值原理的应用案例为了更好地理解强极值原理的应用，下面给出一些具体的应用案例：应用案例一：股票投资中的最优策略假设我们在股票市场中进行投资，通过对历史数据和市场趋势的分析，我们可以使用强极值原理找到最优的投资策略。
具体步骤如下：1.收集和分析历史股票数据，包括股票价格、交易量和市值等信息。
2.根据市场趋势，预测股票的涨跌趋势，并找到可能的极值点（即最大值或最小值点）。
3.通过对极值点周围的股票买卖价格进行分析和对比，找到最优的买入和卖出时机。
4.制定投资策略，包括买入和卖出的具体价格和数量。
5.根据投资策略进行交易，并定期调整策略以适应市场变化。
应用案例二：发电厂的供电优化假设我们拥有一座发电厂，通过对电力系统的分析和优化，我们可以使用强极值原理找到最优的供电策略。
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∂L x* , λ * = 0, g( x ) = 0 ∂x
(
)
最优控制中的极值原理
在利用经典变分法求解最优控制问题中， 泛函求极值的必要条件都是在等式约束（如系 统状态）下，并且控制向量u(t)没有约束及状 态方程对u(t)可微的情况下取得的。它对于不 等式约束的问题，也是先将不等式约束化成等 式约束，然后再用同样的方法去求解最优控制 问题。但是对于多变量系统来说，这种处理不 等式约束的方法，使求解过程相当复杂。
minJ = Φ x(t f ),t f + ∫ L[x(t ),u(t ),t ]dt
tf t0
[
]
(5)
这种最优控制问题与应用变分法求解 最优控制问题，除了控制向量u(t)受到式(4) 的约束条件外，其余条件完全相同。 定理 设n维系统的状态方程为 . x(t ) = f [x(t ),u (t ),t ] 控制向量u(t)是分段连续函数，属于r为 空间中的有界闭集，应满足 g [x(t ),u(t ),t ] ≥ 0 则为把状态x(t)的初态
H x* (t ),u * (t ), λ* (t ),t = min H x* (t ),u (t ),λ* (t ),t
u (t )∈Ru
[
]
[
]
(3)始端边界条件与终端横截条件： x(t 0 ) = x0
N 1 x(t f ),t f = 0
∂Φ ∂N 1T λ (t f ) = + ∂x ∂x v
另外，如果根据物理意义已经判定所 讨论最优控制问题的解存在，而由极小值 原理求出的控制又只有一个，那么显然可 知，此控制是最优控制。实际遇到的问题 往往属于这种情况。 (2)这个例子比较简单，可以直接解出来。 稍复杂一点的情况是，u的取值要决定x和λ， 而x和λ的取值反过来又决定于u，这时要用 试探法求解。在复杂一点的问题往往就不能 用解析法求解了。
t =t f
[
]
(4) 终端时刻tf可变时，用来确定tf的 终端横截条件：
∂Φ T ∂N 1 H + ∂t + v ∂t
t =t f
= 0; t f 可变时使用
以上便是著名的庞特里雅金极小值原理， 也就是本节的极大值原理。 极大值原理表明，是性能指标泛函J为极 小值的控制必定使哈密顿函数H为极小值。即 最优控制u*(t)使哈密顿函数H极小值，“极小 值原理”一词正源于此。
.
式中：x(t)为n维状态向量；u(t)为r维控制向 量；f(.)为n维向量函数。
始端时间和始端状态
x(t 0 ) = x0
N 1 x(t f ),t f = 0
(2)
始端时间和始端状态满足约束方程
[
]
(3)
控制向量取值于
g [x(t ),u (t ),t ] ≥ 0
(4)
满足式(1)-(3)的状态曲线x(t)称为容许曲线。 满足式(4)，并使x(t)成为容许曲线的分段连 续函数u(t)称为容许控制，所有的容许控制 函数构成容许控制集，记为Ru。 极大值原理讨论的问题就是在容许控制 集合中找一个容许控制u(t)，让它与其对应 的容许曲线x(t)一起是下列性能指标泛函J （以下称性能指数）为极小值，即
极大值原理或极小值原理，是由在解最 优控制问题中哈密顿函数是求极大值还是极 小值而异。极大值原理或极小值原理是求出 当控制向量受到约束时的最优控制必要条件， 这是经典变分法求泛函极值的扩充，因为用 经典变分法不能处理这类控制向量受约束的 最优控制问题，所以这种方法又称为现代变 分法。
引言
在实际工程问题中，控制向量u(t)往往 受到一定的限制，如控制元件会饱和、驱动 电机的力矩不可能无穷大、流量的最大值受 到输送管道和阀门的限制等。一般，可用下 面的不等式来表示，即
（定理证明略）
例题 1 设系统方程及初始条件为
x1 (t ) = − x1 (t ) + u (t ), x1 (0 ) = 1
.
x 2 (t ) = x1 (t ), x 2 (0 ) = 0
.
u 其中，(t ) ≤ 1 。若系统终态x(tf)自由，试求 u*(t)使性能指标 J=x2(1)=min
∂H x(t ) = = f [x(t ),u(t ),t ] ∂λ . ∂H λ=− ∂x
式中，哈密顿函数为
H [x(t ),u (t ),λ(t ),t ] = L[x(t ),u (t ),t ] + λT f [x(t ),u (t ),t ]
(2)在最优曲线x*(t)上与最优控制u*(t) 对应的哈密顿函数为极小值的条件，即
连续系统的极大值原理
在实际的控制系统中，有很多问题要 求控制变量或状态变量在某一范围内，不 允许它们超出规定的范围，这就对控制变 量或状态变量构成不等式约束。例如α ≤ u(t ) ≤ β 在这种情况下，连续系统最优控制问题可 描述如下。 设n维系统状态方程 x(t ) = f [x(t ),u (t ),t ] (1)
df ( x ) dx
=0
x = x*
2、等式约束条件极值问题 、 min f(x) 问题描述为： s.t g(x)=0 式中g(x)为p维向量变量x的向量函数，并假定 其连续可微。
Lagrange乘子法解决等式约束条件的函 数极值问题的有效方法，基本方法如下： 先引入Lagrange乘子λ=(λ1 ,λ 2, …,λp)T 定义Lagrange函数L(x, λ)=f(x)+ λTg(x)
tf t0
∂H =0 ∂u
从而使L(x,u,t)关于u不可微，哈密顿函数H关 于u的偏导数不存在，这使得像消耗燃料最 少这类最优控制问题无法用经典变分法解决。 为了克服经典变分法在求解最优控制问 题中所暴露出来的上述问题，苏联数学家庞 特里亚金提出并证明了极大值原理，其结论 与经典变分法的结论有许多类似之处，它能 够应用于控制变量受边界限制的情况，并且 不要求哈密顿函数对控制向量连续可微，因 此获得了广泛应用。
在证明过程中，λ和H的符号恰好与这里的 __ −H 定义相反，即 H = 。因此，有
H x (t ),u (t ), λ (t ),t = min H x* (t ),u (t ),λ* (t ),t
* * * u (t )∈Ru __
[
]
__
[
]
所以在苏联的有关文献中均称“极大值 原理”。本书中沿用“极大值原理”的习惯 叫法，但实质采用的是“极小值转移到满足终端边界条件
N 1 x(t f ),t f = 0
[
]
的终端，其中tf可变或固定，并实性能指标
J = Φ x(t f ),t f + ∫ L[x(t ),u(t ),t ]dt
tf t0
[
]
达到极小值，以实现最优控制的必要条件如 下。
(1)设u*(t)是最优控制，x*(t)为由此产生 的最优曲线，则存在一与u*(t)和x*(t)对应的 最优伴随向量λ*(t)，使u*(t)和x*(t)满足正则 方程： .
H
u O u
*
H
(a)
u
u*
O u0
H
(b)
u
u*
O
(c)
哈密顿函数H与控制向量u的关系
对于(a)图， 仍对应最优解u*；对于 ∂H (b)图， = 0 所对应的解u0不是最优解，最优 ∂u ∂H 解u*在边界上；对于图(c), ∂u = 常数，这个方 程解不出u*来，最优解u*在边界上。 另外，在应用经典变分法求解最优控 制问题时，要求函数f(x,u,t)和L(x,u,t)关于 所有自变量二次连续可微，要求哈密顿函 数H关于控制变量u的偏导数存在。于是， 类似J = ∫ u(t ) dt 这样的性能泛函就被排除在外。 这是因为它的目标函数中出现了 ， u
例题 2 设一阶系统方程
x(t ) = x(t ) − u (t ), x(0 ) = 5
.
其中，控制约束：0.5≤u(t)≤1。试求使性 能指标
J = ∫ [x(t ) + u (t )]dt
1 0
为极小的最优控制u*(t)及最优曲线x*(t)。
该例题说明以下两个问题 (1) 极大值原理给出的条件是最优控制函 数应满足的必要条件，而不是充分条件。因 此，上述得到的结果是否能真正使性能指标 函数取极小值，还需要进一步判定。就这个 例题来说，容易做到这点。因为u(t)=-1是u所 能取值的最小值，而u越小，从状态方程可看 出，x1从初始值x1(0)=1下降的越快，指标函 数J的值就越小。因此选定的u*(t)=-1就是最 优控制函数。
u i (t ) ≤ M i ,i = 1,2 ,L , m
式中：u(t ) = [u (t ),u (t ),L ,u (t )] , 属于一个有界闭集。
T 1 2 m
更一般的情况可用下面的不等式约束 来表示，即
g [x(t ),u (t ),t ] ≥ 0
若u(t)属于有界闭集，当u(t)在边界上取 值时，δu就不是任意的了，因为无法向边界 外取值。由于u(t)受到约束，在其容许取值 ∂H ∂H =0 范围内可能不存在 ∂u 的解。也可能 ∂u = 0 的解并不使哈密顿函数H取最小值，如下图 所示
1、无约束条件极值问题 多元函数极值问题 2、等式约束条件极值问题
3、不等式约束条件极值问题
假定多元函数f(x1,x2,…,xn,)对其所有自变量 都连续，且具有连续的一阶和二阶偏导数。 将所有自变量x1,x2,…,xn记为向量x的形式， 则问题为求x，使x=x*时f(x)达到极值。 1、无约束条件极值问题 、