正余弦定理课件

延伸探究 2 本例条件不变，若 a＝2bcosC，判断△ABC 的形状．
a2＋b2－c2 解 解法一：因为 a＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b· 2ab ， 整理得 b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．
解法二：∵sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0， ∵－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，则此三角形定是等腰三角形．
练习：1.[2016·上海模拟]在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
a2＋b2－c2 解析 由 sin2A＋sin2B<sin2C，得 a2＋b2<c2 所以 cosC＝ 2ab <0，
所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，选 A.
因为 AB<BC，所以 C 为锐角，则 cosC＝ 1－sin2C＝
1－37＝27
7 .
因此 sin2C＝2sinC·cosC＝2×
721×27
7＝47
3 .
练习：
1．已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则 A 等于( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
解析 由正弦定理，得si1nA＝sin425°，得 sinA＝12.
∴sin(B＋C)＝sin2A，即 sinA＝sin2A.又 sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝πFra Baidu bibliotek，故△ABC 为直角三角形．
延伸探究 1 本例条件不变，若ba＝ccoossBA，判断△ABC 的形状．
解 由ba＝ccoossBA，得ssiinnAB＝ccoossBA， ∴sinAcosA＝cosBsinB， ∴sin2A＝sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角 形．
解得 b＝1.
(2)[2015·江苏高考]在△ABC 中，已知 AB＝2，AC＝3，A＝60°. ①求 BC 的长； ②求 sin2C 的值．
[解] ①由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×12＝7，
所以 BC＝ 7.
②由正弦定理知，sAinBC＝sBinCA，所以 sinC＝BACB·sinA＝2sin760°＝ 721.
第7讲 正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
内容 sianA＝sibnB＝sincC
[必备知识]
余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA
＝2R b2＝ a2＋c2－2accosB
c2＝ a2＋b2－2abcosC
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ 2RsinC
变形
②sinA＝2aR，sinB＝
三角 角和其他两条边
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两个
问题 角，求另一边和其他两角 角
三角形中常用的面积公式
1．S＝21ah(h 表示边 a 上的高)． 2．S＝21bcsinA＝ 12acsinB＝12absinC .
3．S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
b 2R
c ，sinC＝ 2R
形式 (其中 R 是△ABC 外接圆半径)
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
asinC＝csinA
cosA＝b2＋2cb2c－a2
a2＋c2－b2 cosB＝ 2ac
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab
解决 ①已知两角和任一边，求另一 ①已知三边，求各角
延伸探究 3 本例条件不变，若bc<cosA，判断△ABC 的形状．
解 依题意得ssiinnCB<cosA，sinC<sinBcosA， 所以 sin(A＋B)<sinBcosA. 即 sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0. 所以 cosBsinA<0.又 sinA>0，于是有 cosB<0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．
2.[2016·锦州模拟]在△ABC 中，cos2B2＝a2＋cc(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，
则△ABC 的形状为( )
A．等边三角形
考向 利用正、余弦定理解三角形 例 1 (1)[2015·广东高考]设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sinB＝12，C＝π6，
则 b＝___1_____.
[解析] 由 sinB＝12解得 B＝6π或 B＝56π. 根据三角形内角和定理，舍去 B＝56π， 所以 B＝π6，A＝23π. 根据正弦定理sianA＝sibnB，得sin233π＝sibnπ6，
又 a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故选 D.
2.[2015·重庆高考]设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，
cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则 c＝_4_______.
解析 由于 3sinA＝2sinB，根据正弦定理可得 3a＝2b，又 a＝2，所以 b＝3. 于是由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcosC＝ 22＋32－2×2×3×－14＝4.
在△ABC 中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；
sinA＋2 B＝cosC2；cosA＋2 B＝sinC2. (5)∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.
考向 利用正、余弦定理判断三角形形状 例 2 [2013·陕西高考]设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
[解析] ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得 sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，