点线圆与圆的位置关系

点、线、圆与圆的位置关系

一：点与圆的位置关系：

1. 点与圆的位置关系的判断

点与圆的位置关系

设O

⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：

点在圆外⇔d r

<.

>；点在圆上⇔d r

=；点在圆内⇔d r

2. 三角形外接圆的圆心与半径

三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

二：直线与圆的位置关系：

1.直线与圆的位置关系

设

2.切线的性质

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

3.切线的判定

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

4. 切线长定理及三角形内切圆

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三：圆与圆的位置关系：

一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断：

例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________

【答案】10或8

【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10． 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8．

⑵【易】已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ． ①以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，则点A 、B 、M 分别与⊙C 有怎样的位置关系？

②若以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内，且至少有一点在圆外，求⊙C 的半径r 的取值范围．

【答案】①∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M

∴AB ，

122

CM AM =

=

， ∵ 以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，

∴AC=4，则A 在圆上，42

CM =

<，则M 在圆内，BC=5＞4，则B 在圆外；

②以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内时，2

r >， 当至少有一点在⊙C 外时，r ＜5，

故⊙C 的半径r 的取值范围为：52

r <<．

测一测1：【易】在△ABC 中，90,45,C AC AB ∠=︒==， 以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.

⑴当r _____时，点A 在⊙C 上，且点B 在⊙C 内部？

⑵当r 取值范围_______时，点A 在⊙C 外部，且点B 在⊙C 的内部？ ⑶是否存在这样的实数，使得点B 在⊙C 上，且点A 在⊙C 内部？ 【答案】在Rt △ABC 中，90,45,C AC AB ∠=︒==，

根据勾股定理得，3BC =

⑴当=4r 时，AC=4=r , 点A 在⊙C 上，BC=3

⑵当34r <<时，AC=4>r , 点A 在⊙C 外部，BC=3

2. 三角形外接圆的圆心与半径

例题2：⑴【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为____________cm ． 【答案】2.5

【解析】∵直角三角形的两直角边分别为3cm 和4cm ，

5=cm ，

∴它的外接圆半径为5÷2=2.5cm ．

⑵【易】在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径_______ 【答案】作AD ⊥BC ，垂足为D ，则O 一定在AD 上，

∴8AD =； 设OA=r ，222

OB OD BD =+，

即222

(8)6r r =-+，

解得254

r =

． 测一测1：【易】若△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，则它的外接圆的直径____________cm 【答案】26

【解析】∵△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=24cm ，

∴26AB =cm

二：直线与圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系判断：

例题3:【易】如图,在矩形ABCD 中， AB=6 , BC=4 , ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是( )

A. 相交 B . 相切 C. 相离 D. 无法确定

【答案】C

【解析】解：∵矩形ABCD 中，BC=4， ∴圆心到CD 的距离为4． ∵AB 为直径，AB=6， ∴半径是3． ∵4＞3

∴直线DC 与⊙O 相离，

测一测1：【中】如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（ ）

A ．8≤A

B ≤10 B ．AB ≥8

C ．8＜AB ≤10

D ．8＜AB ＜10 【答案】Ｃ

【解析】当AB 与小圆相切时，OC ⊥AB ，

则224

8AB AC ===?；

当AB 过圆心时最长即为大圆的直径10． 则弦长AB 的取值范围是8＜AB ≤10

2. 切线的性质： 例题4：⑴【易】如图， AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ．若

18C ??，则∠CDA=______________

【答案】126° 【解析】连接OD

则∠ODC=90°，∠COD=72°； ∵OA=OD ， ∴1

2

ODA A

COD ???， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．

⑵【易】如图，点Ａ,Ｂ在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥ＯB ，连接AB 交Ｏ于点Ｄ. ①AC 与CD 相等吗？为什么？

②若AC=2，AO OD 的长度_______.