第三章.单自由度系统的强迫振动

幅频响应曲线及相 频 响应曲线见右图：
2 . 位移激励：
m cx xs k x xs 0 x m cx kx cxs kxs x xt k jc H F t / K k m 2 jc


0
1 mx 0 x 0


mx 0
0



1 m
速度发生突变位移来不及改变。
1 的自由振动。 m
系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为
单位脉冲响应:
1 0t ht e sin d t md
如果单位脉冲不是作用在t=0,而是t= ， 响应也应滞后 。
3 . 6 任意激励的响应

单位脉冲响应 Duhamel积分

系统传递函数
单位脉冲响应:

动量定理:
m cx kx t x t dt mdx dt m dt x t
0 0 0
x 0


0, x 0
幅频响应曲线及相 频响应曲线见右图
3 . 4 振动的隔离（自由看）
1 主动隔振（积极隔振） 是用隔振器与振动着的机器与地基隔开； 2
.
. 被动隔振（消极隔振）
是将需要保护的设备与振动着的地基隔开。
3.5 周期激励的响应
线性迭加原理
对周期激励的分析，是先对其进行谐波分析， 将它分解为一系列不同频率的周期 激励，然后得 出系统对各个频率的简谐激励的响应，再根据线性 系统的叠加原理，将各个响应进行叠加，既得到系 统对周期激励响应。
3.2
强迫振动的过渡过程
m kx p0 sin t x x0 x0 , x0 x0 全解为： xt x t x t 1 2
2 .有阻尼情况：
两个方程叠加的方程为：


0t
m cx kx p sin t x x0 x 0 , x0 x0
p 1 B k 1 j 2 p 1 e k 1 (2 )
0 2 0 2 2 2
j

P B K
0 1
1 1 2
2 2
2
2 tg 1
Be j t 复数解为： xt Be
3.2
强迫振动的过渡过程
式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随振动 及稳态强迫振动。
其中：
0
k c , , d 0 1 2 m 20 m p0 B
2 2
, 0
1 2
k
, tg 1
2
2 1 2
第三章 单自由系统的强迫振动


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
简谐振动下的强迫振动(稳定阶段) 强迫振动的过渡过程 力激励,位移激励和加速度激励 振动的隔离 周期激励的响应 任意激励的响应
3.1简谐振动下的强迫振动
m cx kx p sin t x p 20 x x e jt x m x 是复数，其特解为： x B e jt
3 . 3 力激励、位移激励和加速度激励
力激励 位移激励 加速度激励

1.力激励：（同前分析）
m cx kx F sin t x
xt 1 H F t / K k m 2 jc 1 1 2 j 2
方程2


为系统对初始条件的响应
m kx p0 sin t x x0 0, x0 0
p0 p0 1 x sin 0t sin t 解为： 2 t 2 2 k 1 k 1
其中：第一项为伴随激励产生的自由振动 第二项为稳态强迫振动。
2
1 2
2
2
当 较小时，忽略 2 及高级小量有：
3.1简谐振动下的强迫振动

2
2 1
2 2 2

2

1 4 8 4 4 1 2 1 1
1
2 2 4 2
4 1 2 2Βιβλιοθήκη 2 41 8
2 2
1 2 2 1 1 0 2 1 0 1 1 2 1 1 2 20 20
3.1简谐振动下的强迫振动
此时品质因素：Q
1 0 2
幅频特性与相频特性图 实频特性与虚频特性图
（即Nyquist 图）
3.2
1 . 无阻尼情况：
强迫振动的过渡过程
响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和：
方程1
m kx 0 x x0 x0 , x0 x0
x0 解为： x1 t x0 cos 0t sin 0t 0

机械阻抗：简谐振动时复数形式的输入与输出之比（位移，速度，加速度） 机械导钠：机械阻抗的复数。 位移导钠和位移阻抗又称为动柔度和动刚度。 复频响应函数（频率响应函数）
xt 1 1 1 H 2 1 2 j 2 pt k m jc K
max
1 2 1 2 1
2
1
2
1 时，共振峰变平坦了。 2
max
n 共振时， n 相位有180度的突变，且
90
2 1 2
1
此时放大因子 Q
1 2 也称为品质因子
3.1简谐振动下的强迫振动
为了说明品质因子的意义，先介绍半频率点和带宽的概念。
2 0

jt
c 2 0 m k 2 0 m
其中；B 为复振幅
( B 20 B j B )e
2 0 2 0
p jt e m
k m
p 1 B 2 m 0 2 j 2 0
令
2 其中: 0

0
定义频率比
3.1简谐振动下的强迫振动
利用分解得到：
xt e
0t
x 0 x0 x0 cos d t sin d t d
0 sin cos sin d t Be sin cos d t d B sin t
X H P
Xf Hf P f
1 0 t ht e sin d t , md
t
Duhamel积分
处于零初始条件的系统受到任意激励力Pt 脉冲响应：
dx p ht d x

t
0
p t d h
脉冲响应与激励的卷积。
系统传递函数:

Q 半频率点：在曲线两侧取 的两点 2
称为系统的带宽。
q 和 q2 ，这两点叫半频率点。 带宽：设 1， 2 是分别对应于 q1 , q2 点的频率，将 1 2
1
Q 1 2 2 2
4 2 2
1
21 2 1 8 0
P K
3.1简谐振动下的强迫振动
1) 2) 3)
1, 0 , 1
振幅类似静位移

很小， 0 ，同向
1, 0 , , , , 1, 0 , 0
d 0 d
当
90
1 j 2 1 2 j 2
幅频响应曲线及相 频响应曲线见右图
3 . 加速度激励（既转子偏心引起的激励）
m cx kx me 2 sin t x
xt 2 H F t me / K k m 2 jc 2 1 2 j 2
j
只要虚部：
xt B sin t
这是响应的通常形式。 为振幅，为相位差。 B
3.1简谐振动下的强迫振动
特点 1 . 系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激振力的简谐振动。 2 . 稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数 （质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统 进入运动的方式（初始条件）无关。 令： B 幅值放大因子：