最新几何体的外接球(附练习题)

几何体的外接球

一、球的性质回顾

如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法 1、三角形：

（1）等边三角形：

等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。 内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点； 外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；

重心：各边中线的交点；

垂心：各边垂线的交点； 中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：

a a r 3

32332=⋅=

（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：

结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。 （3）等腰三角形：

结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。

由图可得：22)2

()(a

r h r +-=

思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。 （4）非特殊三角形：

考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。

2、四边形

B

AD=h ，BD=1

2

a

A B D

常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。

外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。

结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处

以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。

转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。

从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

三、常见几何体的外接球半径的求法

1、 直（正）棱柱 以三棱柱为例

例：在正三棱柱111C B A ABC -中，三角形ABC 是边长为2的正三角形，31=AA ，求该三棱柱的外接球半径.

分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r ，要求R ，只需确定OO’的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O 必位于上下两底面外心连线的中点处，即12

1

'AA OO =

，从而R 可求. 由题可得：2

3

,3321==OO r , 在直角三角形'AOO 中，2

2

2

'OO r R += 从而6

129=

R 2、 棱锥

常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥的外接球。

（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥

A 1

B 1

C 1

A

该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。

例：在三棱锥P-ABC 中，三角形ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA=3，求该三棱锥的外接球半径. 分析：如右图

法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC 切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接球；

法二：先确定底面三角形ABC 的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’ ⊥平面ABC ，同时：OP=OA ，故，过O 作OM ⊥PA 于M ，此时M 必为PA 中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以

2

3

21'==

=PA AM OO ，在直角三角形OO’A 中有：222'OO r R +=. 计算过程略.

（2）正棱锥 以正三棱锥为例

P

A

C

B

在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即ABC PO 面⊥'，故球心O 落在直线PO ’上.

例：在正三棱锥P-ABC 中，三角形ABC 是边长为2的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径.

分析：如图

由底面正三角形边长可得r ，在直角三角形OO’A 中，

222'OO r R +=，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，

OO’=PO’-OP=H-R ，带入上式中即可求解.

P A

M

PO'=H

A

C

B

由题可知：3

69

',33222=-==

A O PA H r 所以2

2

2

)(R H r R -+=

解得：46

699=

R

（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的三棱锥 该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交点处。

例：在三棱锥P-ABC 中，面PAB ⊥面ABC ，三角形ABC 和三角形PAB 均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.

分析：设△ABC 和△PAB 的球心分别为O’,O’’，取AB 中

点M ，球心设为O ，则OO’ ⊥平面ABC ，OO ’’ ⊥平面PAB ，从而四边形OO ’MO ’’是矩形，可得：OO ’=O ’’M ，在三角形OO ’C 中结合沟通定理即可求解.

由题可得：

33

3

,2331'''=====AB r PM M O OO 所以2

15'22=

+=OO r R

C

B