数学建模研究生录取问题(人员调度)

2013年中北大学大学生数学建模竞赛选拔赛题B 研究生录取问题摘要本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1规划问题。

首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，考虑所有可能的师生配对方案，根据总体满意度作为评价研究生复试招生合理性的指标，找到师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。

对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。

在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。

关键词：集对分析层次分析法0-1 规划双向选择一问题重述某校某学科方向招收研究生指标是20人，达到复试线的是31个人，有关学生初试复试成绩见后面表格。

导师中有3位教授(T1,T2,T3)，7位副教授(T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10)，现需要解决以下问题：1. 根据初试和复试成绩，选拔20位学生。

2. 根据学生意愿，对导师和学生进行分配。

其中教授T3今年只招2人，其余每位教授可招收3-4人，每位副教授可招收1-2人。

3. 近几年采用的导师分配办法是：先由每位教授根据学生意愿选择3人，再由每位副教授根据学生意愿选择1人；接下来根据学生意愿教授可以再选择1人，副教授再选择2人。

试提出评价研究生复试招生合理性的指标，并对上述方法予以评价。

4. 学校规定：各学科严格按照下达指标招生，不得超过；如果某学科不能完成今年的招生计划，明年的指标按照今年实际招生数量确定。

但在近几年的招生中发现有以下问题：一是因面试时间短，面试效果不理想，个别不是很优秀的学生被录取；二是确定并录取名单后，有的学生拒绝录取，又到别的学校参加复试；三是有的学生9月份报到的时候，因找到工作，或对导师安排有意见或其它个人原因放弃读研机会，导致指标浪费。

试提出招生录取的改进方案，该方案对上述问题有一定考虑，并对该方案的利弊进行评价。

二模型的假设1、在量化学生对导师的满意度时，学生把导师是否与自己的志愿一致看得最重要，在量化导师对学生的满意度时，导师把自己对学生的一轮选择看得最重要。

2、不考虑两个或多个导师带一个学生的情况。

三符号说明四模型的分析与建立研究生录取问题是通过双向选择更好地优化组织的人员结构，提高组织的整体效能。

但由于在实际操作中尚缺乏科学，可行的方法，往往达不到理想的效果。

我们知道，组织是一个多因素，多层次的人造系统，是由许多相互作用相互依存的要素组成的有机整体，要使它形成一个合理、有效的结构，必须将人员配置的方法建立在对构成组织的相关要素进行综合、系统分析和客观评价的基础上。

考虑到组织的人员结构是不同素质、不同能力的人在组织内各岗位上的分布状态。

我们建模的思路是，以提高组织的整体效能（师生双方总的满意度）为目标，通过对学生、导师进行定量测评和综合分析，建立一个系统优化模型，以此 寻求学生和导师之间的最佳对应，实现招生调剂的优化。

以下就方法和模型的建立分步阐述：（一）用层次分析法对候选研究生进行测评排名。

（1）层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题。

特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法。

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的。

现在便用层次分析法模型来对31名学生的成绩做排序。

设最上层为目标层，即最后的排名；中间层为准则层，有初试的外语、政治、基础课、专业课和复试成绩5个准则；最下层为方案层，有31名学生供选择。

各层联系用相连的直线表示（如图1所示）。

图1 学生综合排名的层次结构通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。

这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。

考虑到待选学生5个评测因素，需要对这5个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用Saaty 提出的AHP 法。

（2）具体计算权重的AHP 法。

AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量W k 。

Step1. 构造成对比较矩阵假设比较某一层k 个因素C 1 , C 2 , C 3 , ... , C ik , C k 对上一层因素o 的影响，每次两个因素C i 和C j ，用C ij 表示C i 和C j 对o 的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵∙C ，也叫正互反矩阵。

∙C = (C ij )k*k C ij > 0 , C ij = 1/ C jiStep2. 计算该矩阵的权重通过解正互反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量 Q k = [q 1k , q 2k , ... , q kk ]' ，其中的q ik 就是C i 对o 的相对权重。

Step3. 一致性检验为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI ：1max --=k kλCI其中λmax 表示矩阵C 的最大特征值，CI 越小，说明权重的可靠性越高。

当 RICI CR == < 0.1时，（CR 称为一致性比率，RI 是通过大量数据测出来的随机一致性指标，可查表找到）可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵。

进入Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵。

转入Step2.Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量。

（3）将计算出来的方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，也即不同学生在排名上的最终权重。

这样一来，我们就可以按权重大小进行学生录取工作了。

假设第一层（目标层）只有一个元素，第二层（规则层）有p 个元素，第三层（方案层）有q 个元素。

假设通过第二层对第一层的正互反矩阵计算得到第二层对第一层的权向量为W 2∈R p ，同样方法构造第三层对第二层的每一项的正互反矩阵，将得到 p 个q * q 的矩阵，求解得到 p 个权向量W r 3∈Rq ，r =1,2,..., p ，将这p 个向量排成一个矩阵Q ∈R q*p ，则Q *W 2为一个q 维的列向量，其中的第i 个元素就代表方案i 对目标的权重，三层以上的情况可以类似得到。

（二）用0-1 规划模型进行学生和导师之间的双向选择。

基于上述论述，由于双向选择需要考虑学生对老师满意程度和老师对学生满意程度的加权和，而学生对老师的满意度体又现在志愿的三个等级上。

老师对学生的满意度体现在选择的先后。

在把学生对老师满意度值SST ij 和老师对学生满意度值STS ij 加权计算出来后，把两者再加权即可得到目标矩阵S 中的元素S ij 。

设：配对导当不安排学生配对导当安排学生01j i j i x ij 师与师与⎩⎨⎧= 则双向选择优化问题的目标函数及约束条件为：其解正是体现双向选择的最优方案。

五 模型的实现及求解Step1. 提出评价研究生复试招生合理性的指标，并对上述方法予以评价 第一步： 结合层次分析法和集对分析法进行学生录取在只考虑学生的初试成绩和复试因素情况下，可以确定20名研究生的录取名单：直接利用层次分析法中的AHP 法，得到初始权值和相应的正互反矩阵，按照最终的权值计算学生每个指标的成绩。

学生成绩汇总如下：学生 外语 政治 基础课 专业课 总分 复试 成绩总评 S01 59 66 79 125 329 60 S02 53 44 114 114 325 74 S0355639612233674S04 58 68 96 98 320 52S05 64 63 99 85 311 38S06 50 61 83 118 312 44S07 58 66 87 106 317 50S08 64 69 82 116 331 62S09 40 50 112 131 333 83S10 49 60 151 107 367 94S11 68 66 83 119 336 72S12 52 76 103 95 326 64S13 60 58 121 130 369 96S14 44 50 122 143 359 92S15 51 60 120 109 340 80S16 63 72 104 92 331 64S17 46 64 113 89 312 42S18 39 62 97 118 316 48S19 53 47 116 120 336 81S20 55 62 110 108 335 78S21 53 61 118 140 372 98S22 58 67 111 119 355 90S23 41 60 124 115 340 85S24 45 57 116 97 315 46S25 51 58 103 128 340 78S26 50 63 115 110 338 76S27 46 58 122 86 312 40S28 51 60 133 106 350 90S29 47 50 100 144 341 84S30 48 63 102 129 342 86S31 65 55 80 128 328 72对学生总评成绩排序，得录取结果：名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学生编号成绩名次11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 学生编号成绩表2：学生通过成绩总评后的排序。

后五个被淘汰Step2. 满意度的计算学生对老师的满意度按下式计算：SST ij = W k×G k=1、2、3我们直接选取W1= 0.6 , W2 = 0.3, W3= 0.1这么选取的原因是由于W1= 0.6 , W2 = 0.3, W3= 0.1能通过一致性检验事实上，满足正互反矩阵的一致性必要条件。

导师对学生的满意度按下式计算：SST ij = W k×G k=1、2、3权值的分配计算与上面类似。

最终计算出来的双向选择的满意度表如下：导师1 导师2 导师3 导师4 导师5 导师6 导师7 导师8 导师9 导师10 学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10学生11学生12学生13学生14学生15学生16学生17学生18学生19学生20问题二、提出招生录取的改进方案六模型的优缺点优点：对于题目中的“体现双向选择”的要求，我们巧妙地借助层次分析法计算验证各类因素间的加权量值，得到老师学生之间双向选择的满意度Sij，进一步利用0-1 规划模型进行配对方案的求解，使得师生双方总满意度达到最大值，符合题目的要求。