实系数一元二次方程

高三总复习——实系数一元二次方程（共4页）

1 实系数一元二次方程的解

【要点整理】

会在复数集内解实系数一元二次方程，会对简单的含实数字母系数的一元二次方程的解的情况进行讨论。会利用复数相等把复数问题转化为实数问题。

【例题分析】

例1．在复数范围内解下列方程：

（1）2210x +=； （2）23650x x ++=．

例2．在复数范围内分解因式：32x x x -+＝_________________________

例3．已知方程20x px q ++=的一个根是1i +，求方程的另一个根以及,p q 的值。

例4．关于x 的方程240()x x m m R ++=∈的两个复数根为,αβ

（1）若2αβ-=，求m 的值。

（2）若2αβ+=，求m 的值。

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例5．设关于x 的方程22230()x ax a a a R ++-=∈至少有一个模为1的根，求a 的值。

例6．已知关于x 的方程0212=+++i zx x 有实数根，求复数z 的模的最小值。

例7．在复数范围内解方程i

i i z z z

+-=++23)(2（i 为虚数单位）。

*例8．已知βα,是实系数一元二次方程02

=++c bx ax 的两根，且α为虚数，R ∈βα2

，求

β

α的值。

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练习 姓名____________

1．在复数范围内：方程2220()x ax a a R ++=∈的解是__________。

2．实系数方程20x ax b ++=的一个根是2i

，则a =_________，b =_________ 3．若12,x x 是一元二次方程270x x -+=的根，则()212x x -=_________

4．若,αβ是一元二次方程2250x x -+=的根，则αβ-＝_________

5．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠在复数集内有两个根,αβ，则下列结论恒成立的是________

（1）,αβ互为共轭复数；（2）a c a b =⋅-

=+βαβα,；（3）042≥-=∆ac b ； （4）

αβ-= 6．关于x 的方程),0(02C x t t x ∈>=+的解集是_____________________。

7．已知方程0422=+-z z 的两根1z 与2z 在坐标平面上的对应点分别是A 与B ，点O 是坐标的原点，则AOB ∆的面积是______________。 8．方程2

0z z -=在复数范围内解的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）1个或2个 （D ）无穷多个

*9．二次方程2250x ix --=的根的情况是（ ）

（A ）有两个不相等的实根 ( B)有1个实根，1个虚根

（C ）有1对共轭复根 （D ）有2个虚根 10．设复数),0(,,)c o s 21()s i n

2(2

πθθθ∈∈++-=R a i a z 。已知z 是方程0522=+-x x 的一个根，且z 在复平面内的对应点位于第一象限，求θ与a 的值。

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4 11．设虚数12,z z 满足2

12z z =，且12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z 。

12．若,αβ是实系数一元二次方程20x x m ++=的两个虚根，且αβ-＝3，求m 的值。

13．已知βα,是方程)(022R a a x x ∈=++的两根，求βα+的值。

14．已知关于x 的实系数方程0322=-++k k kx x 有一个模为1的虚根，求实数k 的值。

15．证明：在复数范围内，方程i i z i z i z

+-=+--+255)1()1(2（i 为虚数单位）无解。

16．已知α是实系数一元二次方程20(0)ax bx c abc ++=≠的一个虚根，且3

R α∈，求证：,,a b c 成等比数列。