数学建模(关于扩散问题的建模)
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②扩散源的位置：( x0 , y0 , z0 )；
③ t0 时刻的观测取样值 ( xi , yi , zi , mi )， mi 为
..
...
t0 时刻 ( xi , yi , zi ) 处物质的浓度，i = 1, …, n。
假设取样时刻为 t0 ，作变量替换 t t0
从而
u
u t
t
t0
u t
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
)dxdydzdt
..
...
由于衰减， Q 内的质量减少为
tt
M2 t
k 2udxdydzdt
其中 k 2 为衰减系数。
其中，在 t 到 t t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于
内的汞质量为 M1 M2
另一方面，在 t 到 t t 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增
..
...
u 由于t
t,
at2,x2u2，的b任2 意y2u性2 得c：2 z2u2
k
2u
上述方程就是汞浓度和时间关系的微分方程。
问题设：汞的u扩(ut散x,源ya在, 2z点,0x2)(u2x0M,by20，(y2xzu20)xc0处)2，由(z2yu于2 扩yk散02)过u 程(z满足z0
Cauchy
模型的提出：
由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由 于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因 此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自 传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸 收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。
...
关于金属汞扩散的问题
引言：
我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人 体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测， 周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大， 汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这 就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过 在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的 浓度呢？
为此我们引入一个函数 u(x, y, z, t)，它表示 t 时刻在（x,y,z） 处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断 出这个函数的表达式。 模型符号的引入：
为了表示汞在想 x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引
..
...
入扩散系数：
a2 ：x 方向上的扩散系数 b2 ：y 方向上的扩散系数
4.该模型由于没有观测数据，以此无法求出其具体表达式. 5.在模型建立过程，因没有考虑到土壤因素，人为因素的影响， 因此具有一定的局限性。 6.该模型的建立，由于没有实际进行数据调查，因此只是从理论 上来分析它的可行性能，在实用方面有待进行实践。
参考文献：
1.《土壤重金属污染评价方法》 2.《有关扩散问题的模型求解》 3.《数学模型（第三版）》
..
..
...
W ln u(x, y, z,1) X Y Z
则有如下关系式：
由于我们获得的观测取样值 ( xi , yi , z, mi ) 可以转化为相应的观测取
样值 ( Xi ,Yi , Zi ,Wi )，于是利用多元回归分析可以求出 , , ,
的估计值，从而得到参数 a，b，c，k 的估计值。 最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z,t)
满足
ln u(x, y, z,1) ln
M 2
2
ln(abc)
(
x
x0 4a2
)2
( y y0 )2 4b2
(z
百度文库
z0 )2 4c2
k
2
其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有
X (x x0 )2 , Y ( y y0 )2 ,
为便于求解，4下面分别令：4
1 b2
,
Z (z z0)2 , 4
c2 ：z 方向上的扩散系数
k 2 ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数
M：扩散源汞的质量
模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x，y，z 三个方向
向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。
模型建立：
u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲
，则有 t / t0 ，
u
t0a2
2u x2
t0b2
2u y 2
t0c2
2u z 2
t0k 2u
u于(x是, y可, z,以1) 令8观ta测Mbc取样t e值xp的取(x样4ax时20 )刻2 为( y 4bty200)2 =
1(z。4于cz20是)2，( kx2i
,
yi
,
zi
, mi )
)
u其(x,中y, zM,t)为扩8散taMb源c 的t质ex量p， (经x4求ax2解t0 )2，得( y如4b下y2t0 )关2 系(z：4cz2t0 )2
k
2t
下面我们将利用观测所得的数据，对参数 a，b，c，k 进行估计，从 而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。 参数估计：
已知条件：①扩散源的质量 M；
加为 M 3 。
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是： tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t t 时刻这段时间
内，通过 S 流入 的质量为 M1
M1
t t t
S
(a2 u cos b2 u cos c2 u cos )dSdt
x
y
z
其中 a2 , b2 , c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。
由高斯公式 ：
M1
的近似表达式。
模型分析： 1 文中 a所12 ,建立的汞扩散模型不仅可 以 c1从2 ,局部进行分析，还可以从
整体2上.本进模行ln型分还析2M可。2以拓ln(展ab到c)其 k他2 有关扩散问题的模型求解。
..
...
3.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方 程和概率统计的数据转换求解方面存在一定的难度。
③ t0 时刻的观测取样值 ( xi , yi , zi , mi )， mi 为
..
...
t0 时刻 ( xi , yi , zi ) 处物质的浓度，i = 1, …, n。
假设取样时刻为 t0 ，作变量替换 t t0
从而
u
u t
t
t0
u t
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
)dxdydzdt
..
...
由于衰减， Q 内的质量减少为
tt
M2 t
k 2udxdydzdt
其中 k 2 为衰减系数。
其中，在 t 到 t t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于
内的汞质量为 M1 M2
另一方面，在 t 到 t t 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增
..
...
u 由于t
t,
at2,x2u2，的b任2 意y2u性2 得c：2 z2u2
k
2u
上述方程就是汞浓度和时间关系的微分方程。
问题设：汞的u扩(ut散x,源ya在, 2z点,0x2)(u2x0M,by20，(y2xzu20)xc0处)2，由(z2yu于2 扩yk散02)过u 程(z满足z0
Cauchy
模型的提出：
由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由 于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因 此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自 传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸 收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。
...
关于金属汞扩散的问题
引言：
我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人 体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测， 周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大， 汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这 就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过 在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的 浓度呢？
为此我们引入一个函数 u(x, y, z, t)，它表示 t 时刻在（x,y,z） 处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断 出这个函数的表达式。 模型符号的引入：
为了表示汞在想 x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引
..
...
入扩散系数：
a2 ：x 方向上的扩散系数 b2 ：y 方向上的扩散系数
4.该模型由于没有观测数据，以此无法求出其具体表达式. 5.在模型建立过程，因没有考虑到土壤因素，人为因素的影响， 因此具有一定的局限性。 6.该模型的建立，由于没有实际进行数据调查，因此只是从理论 上来分析它的可行性能，在实用方面有待进行实践。
参考文献：
1.《土壤重金属污染评价方法》 2.《有关扩散问题的模型求解》 3.《数学模型（第三版）》
..
..
...
W ln u(x, y, z,1) X Y Z
则有如下关系式：
由于我们获得的观测取样值 ( xi , yi , z, mi ) 可以转化为相应的观测取
样值 ( Xi ,Yi , Zi ,Wi )，于是利用多元回归分析可以求出 , , ,
的估计值，从而得到参数 a，b，c，k 的估计值。 最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z,t)
满足
ln u(x, y, z,1) ln
M 2
2
ln(abc)
(
x
x0 4a2
)2
( y y0 )2 4b2
(z
百度文库
z0 )2 4c2
k
2
其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有
X (x x0 )2 , Y ( y y0 )2 ,
为便于求解，4下面分别令：4
1 b2
,
Z (z z0)2 , 4
c2 ：z 方向上的扩散系数
k 2 ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数
M：扩散源汞的质量
模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x，y，z 三个方向
向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。
模型建立：
u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲
，则有 t / t0 ，
u
t0a2
2u x2
t0b2
2u y 2
t0c2
2u z 2
t0k 2u
u于(x是, y可, z,以1) 令8观ta测Mbc取样t e值xp的取(x样4ax时20 )刻2 为( y 4bty200)2 =
1(z。4于cz20是)2，( kx2i
,
yi
,
zi
, mi )
)
u其(x,中y, zM,t)为扩8散taMb源c 的t质ex量p， (经x4求ax2解t0 )2，得( y如4b下y2t0 )关2 系(z：4cz2t0 )2
k
2t
下面我们将利用观测所得的数据，对参数 a，b，c，k 进行估计，从 而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。 参数估计：
已知条件：①扩散源的质量 M；
加为 M 3 。
M3 [u(x, y, z,t t) u(x, y, z)]dxdydz
tt
udxdydzdt
t t
显然有： M3 M1 M 2 ，
也就是： tt u
M3 t
t
dxdydzdt
t t t
(a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
k
2u)dxdydzdt
面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t t 时刻这段时间
内，通过 S 流入 的质量为 M1
M1
t t t
S
(a2 u cos b2 u cos c2 u cos )dSdt
x
y
z
其中 a2 , b2 , c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。
由高斯公式 ：
M1
的近似表达式。
模型分析： 1 文中 a所12 ,建立的汞扩散模型不仅可 以 c1从2 ,局部进行分析，还可以从
整体2上.本进模行ln型分还析2M可。2以拓ln(展ab到c)其 k他2 有关扩散问题的模型求解。
..
...
3.该模型主要运用了微分方程和概率统计的知识,在多维正态方 程和概率统计的数据转换求解方面存在一定的难度。