七年级下册数学课件(华师版)等积变形问题
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华东师大版数学七年级下册《实践与探索——等积变形问题》课件
6.3.1 实践与探索--等积变形问题
华师大版 七年级 下册
学习目标
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.
新知导入
一个关于数学的童话故事
很久很久以前，有一个国王，他有一个非
常漂亮的女儿，一年年，漂亮的公主长大了.为了
给自己的女儿找到一个好的归宿，国王准备在全
边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小
明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理?按照这
种设计，鸡场的面积是多少平方米?
解：设鸡场的宽为x米.
①若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)米.
x+2+2x=35
x=11.
经检验：符合题意
因为11+2=13(米)<墙长14米，
解得：x=18
(2)解：设长为x，则宽为x-4，
由题意得：2(x+x-4)=60
解得：x=17
则x-4=17-4=13
则 = × =
面积=17×13=221(平方厘米)
所以长为18厘米，宽为12厘米.
所以长方形的面积是221平方厘米.
(3)设长方形的面积为x平方厘米，不能找出等量关系， 不能直接
52
62
π×2 ×10×36＝π×2 ×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
课堂总结
图形等长变化
应用一元
一次方程
图形等积变化
审
设
应用一元一次方
程解决实际问题
华师大版 七年级 下册
学习目标
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.
新知导入
一个关于数学的童话故事
很久很久以前，有一个国王，他有一个非
常漂亮的女儿，一年年，漂亮的公主长大了.为了
给自己的女儿找到一个好的归宿，国王准备在全
边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小
明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理?按照这
种设计，鸡场的面积是多少平方米?
解：设鸡场的宽为x米.
①若按小明爸爸的设计，则其长应为(x+2)米.
x+2+2x=35
x=11.
经检验：符合题意
因为11+2=13(米)<墙长14米，
解得：x=18
(2)解：设长为x，则宽为x-4，
由题意得：2(x+x-4)=60
解得：x=17
则x-4=17-4=13
则 = × =
面积=17×13=221(平方厘米)
所以长为18厘米，宽为12厘米.
所以长方形的面积是221平方厘米.
(3)设长方形的面积为x平方厘米，不能找出等量关系， 不能直接
52
62
π×2 ×10×36＝π×2 ×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
课堂总结
图形等长变化
应用一元
一次方程
图形等积变化
审
设
应用一元一次方
程解决实际问题
华师版七年级数学下册作业课件(HS) 第六章 一元一次方程 实践与探索 第1课时 等积变形问题
华师版
第六章 一元一次方程
6．3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
等积变形问题
1．(3分)德鑫轧钢厂要把一种底面直径6 cm，长1 m的圆柱形钢锭轧 制成外径3 cm，内径1 cm的无缝钢管(外径，内径均指直径).若不计加工 过程中的损耗，则这种无缝钢管的长度是( C )
A．2 m B．3 m C．4.5 m D．5 m 2．(3分)从一个底面半径是10 cm的凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面 将下降( C ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
A．π×(82 )2x＝π×(62 )2×(x＋5) B．π×(82 )2x＝π×(62 )2×(x－5) C．π×82x＝π×62×(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
5．(3分)已知长方形的周长为40 cm，长为x cm，宽为8 cm，由题意 列方程为__2_(_x_＋__8_)＝__4_0_______________．
15．(10分)如图所示，长方形纸片的长为15厘米，在这张纸片的长和 宽上各剪去一个宽为3厘米的纸条，剩余部分(阴影部分)的面积是60平 方厘米，求原长方形纸片的宽．
解：设原长方形纸片的宽为 x 厘米，根据题意可得(15－3)(x－3)＝ 60，解得 x＝8，经检验，符合题意． 答：原长方形纸片的宽为 8 厘米
8．(3分)一个三角形的三条边之比为2∶4∶5 ，最长的边比最短的边 长6厘米，则这个三角形的周长为__2_2_厘米．
9．(3 分)用一根铁丝可围成边长为 9 cm 的正方形，若用这根铁丝围成 长比宽多 2 cm 的长方形，则长方形的长是_1_0__cm，面积是_8_0__cm2. 10．(13 分)如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的16 ，
第六章 一元一次方程
6．3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
等积变形问题
1．(3分)德鑫轧钢厂要把一种底面直径6 cm，长1 m的圆柱形钢锭轧 制成外径3 cm，内径1 cm的无缝钢管(外径，内径均指直径).若不计加工 过程中的损耗，则这种无缝钢管的长度是( C )
A．2 m B．3 m C．4.5 m D．5 m 2．(3分)从一个底面半径是10 cm的凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面 将下降( C ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
A．π×(82 )2x＝π×(62 )2×(x＋5) B．π×(82 )2x＝π×(62 )2×(x－5) C．π×82x＝π×62×(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
5．(3分)已知长方形的周长为40 cm，长为x cm，宽为8 cm，由题意 列方程为__2_(_x_＋__8_)＝__4_0_______________．
15．(10分)如图所示，长方形纸片的长为15厘米，在这张纸片的长和 宽上各剪去一个宽为3厘米的纸条，剩余部分(阴影部分)的面积是60平 方厘米，求原长方形纸片的宽．
解：设原长方形纸片的宽为 x 厘米，根据题意可得(15－3)(x－3)＝ 60，解得 x＝8，经检验，符合题意． 答：原长方形纸片的宽为 8 厘米
8．(3分)一个三角形的三条边之比为2∶4∶5 ，最长的边比最短的边 长6厘米，则这个三角形的周长为__2_2_厘米．
9．(3 分)用一根铁丝可围成边长为 9 cm 的正方形，若用这根铁丝围成 长比宽多 2 cm 的长方形，则长方形的长是_1_0__cm，面积是_8_0__cm2. 10．(13 分)如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的16 ，
初一七年级下册数学教学课件之等积变形问题
(x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为 2.9 ×2.1=6.09(平方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
讲授新课
一 图形的等长变化
合作探究 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的
长、宽各是多少米呢？
长方形的周 长(或长与宽 的和#43;1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长 为(x+1.4)米. 根据题意，得
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关 系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通 过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
二 图形的等积变化
合作探究 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆
柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原 有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的 高度将由原先的4 m变为多少米？
挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌
牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还
是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用
多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
5
6
π× 2 2×10×36＝π× 2 2×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为 2.9 ×2.1=6.09(平方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
讲授新课
一 图形的等长变化
合作探究 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的
长、宽各是多少米呢？
长方形的周 长(或长与宽 的和#43;1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长 为(x+1.4)米. 根据题意，得
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关 系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通 过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
二 图形的等积变化
合作探究 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆
柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原 有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的 高度将由原先的4 m变为多少米？
挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌
牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还
是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用
多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
5
6
π× 2 2×10×36＝π× 2 2×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
华东师大版七年级数学下册第6章一元一次方程6.3.2等积变形问题教学课件(17张ppt))
故当小花圃才长为12米，宽为6米时，其面积最大，为72米2
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
《等积变形问题》课件
应用广泛
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索 和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的 关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的 图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活 调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面 在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳 定性。
《等积变形问题》PPT课 件
欢迎来到《等积变形问题》PPT课件！通过本课件，我们将一起探索等积变 形问题的定义、分类、应用以及解决方法。让我们一起开始吧！
等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学 问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不 变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体 积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索 和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的 关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的 图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活 调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面 在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳 定性。
《等积变形问题》PPT课 件
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等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学 问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不 变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体 积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。
七年级数学课件等积变形
1.基本公式 （1）长方体体积= 长×宽×高 （2）正方体体积= 棱长×棱长×棱长
（3）圆柱体体积= 底面积×高
解决此类问题时，常用几何图形的面积、 周长、体积计算公式进行相关运算。
常用的相等关系是：
（1）形变积不变；
（2）形变积也变，但质量不变。
ห้องสมุดไป่ตู้
练习1：一个长、宽、高分别为20cm、10cm、 5cm长方体 ，容器装满水，把容器中的水注 入到长40cm、宽20cm的长方体容器中，问 这个长方体的高至少为多少？
练习2 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的
圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底 面直径6厘米、高厘米的圆柱形玻璃杯中， 能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还 有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的 距离。
练习3： 用一个底面半径为40mm，高为120mm
的圆柱形小玻璃杯向一个底面半径为100mm 的圆柱形大玻璃杯中倒水，倒了满满10小杯 水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm,则 大玻璃杯的高度是多少？
2019年华师大版七年级数学下册6.3 第1课时 等积变形问题课件
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与
(2)中相比，又有什么变化？
xm
解：设正方形的边长为x米. 根据题意，得 (x +x) ×2 =10 解得 x=2.5 同样长的铁 丝可以围更 大的地方
正方形的边长为2.5米 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（平方米）
典例精析 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个
圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两
根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中
的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题
的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为
[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
一 图形的等长变化
合作探究 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的 长、宽各是多少米呢？ 在这个过程 中什么没有 发生变化？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
xm
(x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长 为(x+1.4)米. 根据题意，得 (x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1米.
华师大版七年级数学下册6.3 实践与探索2(形积变化问题)课件
不要漏乘不含分母的项， 分子多项要加括号。 不要漏乘括号中的每一项， 括号前是”-”,去括号后每一 项要改变符号。 1）从左边移到右边,或者 从右边移到左边的项一定 要变号，不移的项不变号 2）注意项较多时不要漏项 1）把系数相加 2）字母和字母的指数不变 解的分子，分母位置 不要颠倒
列一元一次方程解应用题
) 22
2
121 22
答:这个罐头的容积为848立方厘米.
121 22 3.14
848 (立方厘米)
解:设应截取
例5.有一批截面长11厘米、宽10厘米的长方形铁锭, 现要铸造一个42.9千克的零件,应截取多长的铁锭? (铁锭每立方厘米重7.8克) 11
厘米长的铁锭,则 42.9 1000 11 10 x 7.8 110 x 5500
例4.一张覆盖在圆柱形罐头侧面的高标纸,展开是一 个周长为88厘米的正方形(不计接口部分),求这个罐 头的容积.(精确到1立方厘米 , 取3.14,不计罐壁厚) 解: 设圆柱形底面半径为r厘米,则
2r 22
22
22 r , r 11 2
容积= r
2
22Βιβλιοθήκη · r11h (
检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。
注 变形前的体积=变形后的体积
有关圆柱、 圆锥、球等体积变换问题 中,经常给的条件是直径,而公式中的是 半径,不注意这一点就会犯错误。
意
例题1：有一个底面积20×20长方体玻璃杯 （已满水）向一个内底面积16×5，内高是 10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻 璃杯的水的高度下降多少？
例题2：有9×7×3长方体的蜡烛和棱 长为5厘米的正方体蜡烛，现要把这 两块蜡烛融化成直径为2厘米的圆柱 形蜡烛，问此圆柱形蜡烛有多高？ (π≈3.14)
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(x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所 围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为 （x+0.8）米.根据题意，得
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关 系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通 过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
二 图形的等积变化
合作探究 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆
柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原 有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的 高度将由原先的4 m变为多少米？
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为 [r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
合作探究 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的
长、宽各是多少米呢？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
xm
(x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长 为(x+1.4)米. 根据题意，得
思考： 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？ 关键是什么？ 1.审——通过审题找出等量关系. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 6.答——注意单位名称.
做一做 1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形
毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢___1_6__厘米
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻 造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长 方体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
随堂练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 cm
B.7 cmC.8 cm源自D. 9 cm2.
C
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( B )
课堂小结
图形等长变化
应用一元 图形等积变化
审
一次方程
设
{应用一元一次方程解 列
{ 决实际问题的步骤
④解
⑤检
⑥答
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
底面半径/m 高/m 体积/m
旧水箱 2
4 π×2×4
新水箱 1.6 x
π×1.6×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积 3.列出方程并求解.
π×22×4 = π×1.62×x
解得x=5 因此，水箱的高度变成了5 m.
例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（平方米）
典例精析 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个
圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两 根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中 的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题 的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌
牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还
是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用
多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
5
6
π× 2 2×10×36＝π× 2 2×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
（第1课时 等积变形问题）
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和 等量关系.（难点） 2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
导入新课
情境引入 从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
讲授新课
一 图形的等长变化
(x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为 2.9 ×2.1=6.09(平方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与 (2)中相比，又有什么变化？
xm
解：设正方形的边长为x米. 根据题意，得
(x +x) ×2 =10
解得
x=2.5
同样长的铁 丝可以围更 大的地方
正方形的边长为2.5米 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)
此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所 围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为 （x+0.8）米.根据题意，得
归纳总结
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关 系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通 过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
二 图形的等积变化
合作探究 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆
柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原 有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的 高度将由原先的4 m变为多少米？
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为 [r＋2(π－2)]m.根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4. 所以铁丝的长为2πr＝8π(m)． 所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)． 因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2， 所以圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
合作探究 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的
长、宽各是多少米呢？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
xm
(x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为x米，则它的长 为(x+1.4)米. 根据题意，得
思考： 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？ 关键是什么？ 1.审——通过审题找出等量关系. 2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3.列——依据找到的等量关系，列出方程. 4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际问题. 6.答——注意单位名称.
做一做 1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形
毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢___1_6__厘米
2.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻 造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长 方体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
随堂练习
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A.6 cm
B.7 cmC.8 cm源自D. 9 cm2.
C
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( B )
课堂小结
图形等长变化
应用一元 图形等积变化
审
一次方程
设
{应用一元一次方程解 列
{ 决实际问题的步骤
④解
⑤检
⑥答
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
底面半径/m 高/m 体积/m
旧水箱 2
4 π×2×4
新水箱 1.6 x
π×1.6×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积 3.列出方程并求解.
π×22×4 = π×1.62×x
解得x=5 因此，水箱的高度变成了5 m.
例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（平方米）
典例精析 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个
圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两 根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中 的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题 的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌
牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还
是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用
多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
5
6
π× 2 2×10×36＝π× 2 2×10·x.
解这个方程，得 x＝25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
第6章 一元一次方程
6.3 实践与探索
（第1课时 等积变形问题）
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和 等量关系.（难点） 2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
导入新课
情境引入 从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
讲授新课
一 图形的等长变化
(x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为 2.9 ×2.1=6.09(平方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与 (2)中相比，又有什么变化？
xm
解：设正方形的边长为x米. 根据题意，得
(x +x) ×2 =10
解得
x=2.5
同样长的铁 丝可以围更 大的地方
正方形的边长为2.5米 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)