互斥事件、相互独立事件的概率单元练习题
人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (32)
高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都为16．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A+B（B表示事件B的对立事件）发生的概率为( )A．13B．12C．23D．562.若事件A与B为互斥事件，则下列表示正确的是( )A．P(A∪B)>P(A)+P(B)B．P(A∪B)<P(A)+P(B)C．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(A)+P(B)=13.某医院治疗一种疾病的治愈率为15．那么，前4个患者都没有治愈，第5个患者治愈的概率是( )A．1B．15C．45D．04.抛掷一枚骰子，观察向上的点数，则该试验中，基本事件的个数是( )A．1B．2C．4D．65.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C= {抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A．0.7B．0.65C．0.35D．0.56.甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A．0.95B．0.6C．0.05D．0.47.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发 1 个球．若在某局比赛中，甲发球贏球的概率为 12，甲接发球赢球的概率为 25，则在比分为 10:10 后甲先发球的情况下，甲以 13:11 赢下此局的概率为 ( ) A ． 225B ． 310C ． 110D ． 3258. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 ( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．19. 从 1，2，3，4，5 这五个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为奇数的概率是 ( ) A ． 15B ． 25C ． 12D ． 3510. 我们记事件 P 为明天会下雨，事件 Q 为明天会下暴雨，则有 ( ) A ． P ⊆Q B ． Q ⊆PC ． P =QD ．事件 P 与事件 Q 没有关系二、填空题（共6题）11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为 x ，y ，则 xy 是整数的概率是 ．12. 思考辨析 判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )13. 设集合 A ={1,2}，B ={1,2,3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ，确定平面上的一个点 P (a,b )，记“点 P (a,b ) 落在直线 x +y =n 上”为事件 C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件 C n 的概率最大，则 n 的所有可能值为 ．14. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．15. 某班有 42 名学生，其中选考物理的学生有 21 人，选考地理的学生有 14 人，选考物理或地理的学生有 28 人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 ．16. 袋中 12 个小球，分别有红球、黑球、黄球各若干个（这些小球除颜色外其他都相同），从中任取一球，得到红球的概率为 13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多 16，则得到黑球、黄球的概率分别是．三、解答题（共6题）17.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利润50元，若供大于求，则剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1) 若商店一天购进商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；(2) 商店记录了该商品50天内的日需求量n（单位：件，n∈N），将数据整理后得到下表：日需求量(单位:件)89101112频数(单位:天)91115105若商店一天购进10件该商品，以记录的50天内各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润（单位：元）在[400,550]内的概率．18.甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子，如果向上的面的点数之和为偶数，则甲赢，否则乙赢．(1) 求两枚骰子向上的面的点数之和为8的概率；(2) 这种游戏规则公平吗？试说明理由．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1) 求甲连胜四场的概率；(2) 求需要进行第五场比赛的概率；(3) 求丙最终获胜的概率．20.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．高校相关人员抽取人数A18xB362C54y(1) 求x，y；(2) 若从高校B，C抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校C的概率．21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29．(1) 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．22. 海关对同时从 A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测．地区A B C 数量50150100(1) 求这 6 件样品中来自 A ，B ，C 各地区商品的数量；(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A+B)=P(A)+P(B)=26+26=46=23．【知识点】互斥事件的概率计算2. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】B【解析】每一个患者治愈与否都是随机事件，故第5个患者被治愈的概率仍为15．【知识点】频率与概率4. 【答案】D【知识点】事件与基本事件空间5. 【答案】C【解析】因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P=1−P(A)=0.35．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1−0.75)+(1−0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95．方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1−0.2×0.25=0.95．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1=12×35×12×25=350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2=12×25×12×25=125．所以甲以13:11赢下此局的概率为P1+P2=110．【知识点】事件的相互独立性8. 【答案】B【解析】方法一：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），取出1个白球的方法有C101=10（种），取出1个红球的方法有C51=5（种），故取2个球，1白1红的方法有C101C51=50（种），所以P=50105=1021．方法二（间接法）：从袋中取出2个球的方法有C152=105（种），若取出的2个球是同色的，则取出的方法有C102+C52=55（种）．记“取出的2个球同色”为事件A，则P(A)=55105=1121．因此，取出的2个球不同色的概率为P=1−P(A)=1021．【知识点】古典概型9. 【答案】B【知识点】古典概型10. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】718【知识点】古典概型12. 【答案】×【知识点】频率与概率13. 【答案】3或4【解析】点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a,b)落在直线x+y=n上（2≤n≤5，n∈N），则当n=2时，P点是(1,1)，当n=3时，P点可能是(1,2)，(2,1)，当n=4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，当 n =5 时，P 点是 (2,3)，即事件 C 3，C 4 的概率最大，故 n =3 或 4． 【知识点】古典概型14. 【答案】13【解析】一次随机抽取两个数共有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4) 这六组，一个数是另一数的 2 倍的有 2 种， 故所求概率为 13．【知识点】古典概型15. 【答案】 16【解析】设选考物理的学生为集合 A ，选考地理的同学为集合 B ， 由题意得：Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B )， 即 28=21+14−Card (A ∩B )， 解得：Card (A ∩B )=7，所以该班有 7 人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为 742=16， 故答案为：16． 【知识点】古典概型16. 【答案】 512，14【解析】因为得红球的概率为 13， 所以黑球或黄球的概率为 23．记“得到黄球”为事件 A ，“得到黑球”为事件 B ， 则 {P (A )+P (B )=23,P (B )−P (A )=16.所以 P (A )=14，P (B )=512． 【知识点】事件的关系与运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当 n ≥10 时，y =50×10+(n −10)×30=30n +200； 当 n <10 时，y =50×n −(10−n )×10=60n −100，所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ={30n +200,n ≥10,n ∈N60n −100,n <10,n ∈N ．根据题意求出当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式，应用了函数与方程思想． (2) 记录的 50 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元． 若当天的利润在 [400,550] 内，则该商品的日需求量可以为 9 件、 10 件、 11 件，其对应的频数分别为 11，15，10，则当天的利润在 [400,550] 内的概率 P =11+15+1050=3650=1825．【知识点】古典概型、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 若用 (x,y ) 表示甲得到的点数为 x ，乙得到的点数为 y ， 则样本空间可记为 Ω={(x,y )∣ x,y =1,2,3,4,5,6}， 则两人的投掷结果共有 36 个基本事件，两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的基本事件有 (2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共 5 个， 所以两枚骰子向上的面的点数之和为 8 的概率 P =536． (2) 这种游戏规则公平． 理由如下：设“甲胜”为事件 A ，“乙胜”为事件 B ．甲胜即点数之和为偶数，所包含的基本事件有 (1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共 18 个， 所以 P (A )=1836=12，P (B )=1−1836=12，所以 P (A )=P (B )，故此游戏规则公平． 【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 甲连胜四场的概率为116．(2) 根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为 116；乙连胜四场的概率为 116；丙上场后连胜三场的概率为 18．所以需要进行第五场比赛的概率为 1−116−116−18=34． (3) 丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 116，18，18．因此丙最终获胜的概率为 18+116+18+18=716． 【知识点】事件的相互独立性、古典概型20. 【答案】(1) 由题意可得x 18=236=y54，所以 x =1，y =3．(2) 记从高校B 抽取的 2 人为 b 1，b 2，从高校C 抽取的 3 人为 c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b 1,b 2)，(b 1,c 1)，(b 1,c 2)，(b 1,c 3)，(b 2,c 1)，(b 2,c 2)，(b 2,c 3)，(c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 10 种，设选中的 2 人都来自高校C 的事件为 X ，则 X 包含的基本事件有 (c 1,c 2)，(c 1,c 3)，(c 2,c 3) 共 3 种，因此 P (X )=310，故选中的 2 人都来自高校C 的概率为 310． 【知识点】古典概型、分层抽样21. 【答案】(1) 设 A 、 B 、 C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有 { P(A ⋅B)=14,P(B ⋅C)=112,P (A ⋅C )=29, 即 { P (A )⋅(1−P (B ))=14, ⋯⋯①P (B )⋅(1−P (C ))=112, ⋯⋯②P (A )⋅P (C )=29. ⋯⋯③ 由①、③得P (B )=1−98P (C ).代入②得 27[P (C )]2−51P (C )+22=0． 解得 P (C )=23 或119（舍去）．将 P (C )=23 分别代入 ③、② 可得 P (A )=13,P (B )=14. 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 13,14,23．(2) 记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则P (D )=1−P(D)=1−(1−P (A ))(1−P (B ))(1−P (C ))=1−23⋅34⋅13=56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 56. 【知识点】事件的关系与运算22. 【答案】(1) A ，B ，C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300，抽样比为 6300=150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150=1，150×150=3，100×150=2， 所以 A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1，3，2．(2) 方法一：设 6 件来自 A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2． 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：{A,B 1}，{A,B 2}，{A,B 3}，{A,C 1}，{A,C 2}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 1,C 1}，{B 1,C 2}，{B 2,B 3}，{B 2,C 1}，{B 2,C 2}，{B 3,C 1}，{B 3,C 2}，{C 1,C 2}，共 15 个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件 D ：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有：{B 1,B 2}，{B 1,B 3}，{B 2,B 3}，{C 1,C 2}，共 4 个． 所以 P (D )=415，即这 2 件商品来自相同地区的概率为415．方法二：这 2 件商品来自相同地区的概率为 C 32+C 22C 62=3+115=415．【知识点】分层抽样、古典概型。
第10章概率专题1 互斥事件与对立事件及其概率-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
互斥事件与对立事件及其概率的算法【知识总结】1、互斥事件：指A∩B为不可能事件；事件A与事件B互斥，即事件A与事件B不能同时发生；A∩B＝∅；P(A∪B)＝P(A)+P(B)。
2、对立事件：A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件；事件A与事件B对立，即事件A与事件B有且仅有一个发生；A∩B＝∅，A∪B= ；概率计算P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
3、事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立；反之，事件A与事件B对立，事件A与事件B则一定互斥。
【巩固练习】1、某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项．故选：C.2、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A．恰有1个白球和全是白球B．至少有1个白球和全是黑球C．至少有1个白球和至少有2个白球D．至少有1个白球和至少有1个黑球【答案】B【解析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，故选：B．3、甲：1A、2A是互斥事件；乙：1A、2A是对立事件，那么（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】当1A、2A是互斥事件时，1A、2A不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当1A、2A是对立事件时，1A、2A一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件.故选C.4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选：C5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.6、从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】D【解析】记两个黑球为,A B，两个红球为1,2，则任取两球的所有等可能结果为：A AB B AB，记事件A为“至少有一个黑球”，事件B为：“都是红球”，1,2,1,2,,12,7、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A．命中环数为7、8、9、10环B．命中环数为1、2、3、4、5、6环C．命中环数至少为6环D．命中环数至多为6环【答案】C【解析】根据对立事件的定义，可得一个射手进行一次射击，则事件：“命中环数小于6环”的对立事件是“命中环数至少是6环”，故选C.8、某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件D．B与D为互斥事件【答案】D【解析】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.9、把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件【答案】C【解析】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.故选：C.10、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.11、从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析：选C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.12、对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D ＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是__________；互为对立事件的是__________．【答案】A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．【解析】由于事件A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件；同理可得，A 与C ，B 与C 、B 与D 也是互斥事件．综上可得，A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D 都是互斥事件．在上述互斥事件中，再根据B 、D 还满足B ∪D 为必然事件，故B 与D 是对立事件，故答案为A 与B 、A 与C ，B 与C 、B 与D ；B 与D ．13、记事件A ＝{某人射击一次，中靶}，且P （A ）＝0.92，则A 的对立事件是__________，它的概率值是__________．【答案】{某人射击一次，未中靶}，0.08．【解析】事件A ＝{某人射击一次，中靶}，则A 的对立事件是{某人射击一次，未中靶}；又P （A ）＝0.92，故答案为：{某人射击一次，未中靶}，0.08．14、如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 15、在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.16、若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________.解析：∵A ，B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.317、已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（）A．0.5B．0.2C．0.7D．0.8【解析】（1）A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+本题正确选项：D18、已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9【答案】C 【解析】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .19、设事件A ，B ，已知()15P A =，()13P B =，()815P A B = ，则A ，B 之间的关系一定为()A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件【答案】B()()()P A B P A P B ∴=+ A ∴．B 为互相斥事件故选：B ．20、若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A．5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】 随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2P A a =-，()45P B a =-，∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，故选：D ．21、若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为________.＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：922、一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则。
互斥事件、相互独立事件的概率单元练习题
§11.2 互斥事件、相互独立事件的概率一、选择题：一、选择题：1．若1)(=+B A P ，则事件A A 与与B B 的关系是（的关系是（的关系是（ ））A ．A A 、、B B 是互斥事件是互斥事件是互斥事件 B B B．．A A 、、B B 是对立事件是对立事件是对立事件C ．A A 、、B B 不是互斥事件不是互斥事件不是互斥事件D D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ））A ．充分但不是必要条件．充分但不是必要条件B B．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件C ．充分必要条件．充分必要条件D D．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件3．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（现二级品的概率为（ ））A ．35035C CB B．．350352515C C C C ++ C C．．3503451C C -D D．．3501452524515C C C C C + 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（一个目标，则他们都中靶的概率是（ ））A ．1514B B．．2512C C．．43D D．．53 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.030.03，，丙级品的概率为0.010.01，，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ））A ．0.99B B．．0.98C ．0.97D D．．0.966．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ））． A ．201 B.1615 C C．．53 D ．2019 7．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.0020.002，则流星数量为，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（个落在地面上的概率约为（ ））A ．51032.3-´B ．81032.3-´C ．51064.6-´D ．81064.6-´8．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.10.1，则目，则目标被击中的概率约为（标被击中的概率约为（ ））. 则乘客期待电车首先停靠的概率等于 .18.A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：（1）A 不分甲书,B 不分乙书的概率. （2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率. 19.19.从从1，2，3，…，，…，100100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率概率2020．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03 0.03 ，第二台出废品的，第二台出废品的概率是0.02 0.02 ．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．21.21.学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是2116 ，求该队的人数．队的人数．22.22.对贮油器进行对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.20.2，求汽油燃烧起来，求汽油燃烧起来的概率．的概率．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买 0 元 元的概率 43，甲、丙，甲、丙 两人都做错的概率是1，乙、丙两人都做对的概率是1。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
互斥事件与独立事件课时精练
互斥事件与独立事件课时精练1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59答案B解析各项均合格的概率为13×16×15＝190.2．(2022·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()A ．0.8192B ．0.9728C ．0.9744D ．0.9984答案B解析4个都不亮的概率为(1－0.8)4＝0.0016，只有1个亮的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.0256，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.0016－0.0256＝0.9728.3．(多选)若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系错误的是()A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立答案ABD解析由题意可得P (A )＝1－P (A )＝13，因为P (AB )＝19，P (B )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )，故事件A 与B 相互独立．4．(2022·绍兴模拟)北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()A.1021B.1121C.1142D.521答案B解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P ＝C 25C 27＝1021，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－1021＝1121.5．(多选)下列说法正确的是()A ．若事件A 与B 互斥，则A ∪B 是必然事件B ．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E ＝“甲取到《红楼梦》”，事件F ＝“乙取到《红楼梦》”，则E 与F 是互斥但不对立事件C ．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A ＝“向上的点数不大于5”，事件B ＝“向上的点数为质数”，则B ⊆AD ．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点答案BCD解析对于A ，事件A 与B 互斥时，A ∪B 不一定是必然事件，故A 不正确；对于B ，事件E 与F 不会同时发生，所以E 与F 是互斥事件，但除了事件E 与F 之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E 与F 不是对立事件，故E 与F 是互斥不对立事件，B 正确；对于C ，事件A ＝{1,2,3,4,5}，事件B ＝{2,3,5}，所以B 包含于A ，C 正确；对于D ，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D 正确．6．(多选)抛掷三枚硬币，设事件A i ＝“第i 枚硬币正面朝上”，i ＝1,2,3.则()A ．A 1与A 2互斥B ．A 1∪A 2与A 3相互独立C ．P (A 2A 3)＝14D ．P (A 1＋A 2)＝34答案BCD解析事件A i ＝“第i 枚硬币正面朝上”，i ＝1,2,3.因为A 1与A 2可以同时发生，所以A 1与A 2不互斥，故选项A 错误；因为A 1，A 2与A 3相互独立，所以A 1∪A 2与A 3相互独立，故选项B 正确；因为P (A 2A 3)＝P (A 2)P (A 3)＝12×12＝14，故选项C 正确；因为P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)－P (A 1)P (A 2)＝34，故选项D 正确．7．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为23，且各生产环节相互独立．则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．答案827解析由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P ＝23×23×23＝827.8．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．答案0.92解析记抽捡的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，且事件A 和事件B ∪C 是对立事件，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.92.9．“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P (A )＝127；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率P (B )＝3＝49.(2)记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分乙队得1分”为事件D ，事件C 即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则P (C )×23×＋23×12＝518，甲队得2分乙队得1分即事件B ，C 同时发生，则P (D )＝P (B )P (C )＝49×518＝1081.10．某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.11．(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有()A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到红球”，事件B ＝“第2次摸到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”答案CD解析在A 中，P (MN )＝0，所以M ，N 不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．12．(2022·张家口模拟)某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a ，b ，12，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为()A.12B.35C.34D.310答案D解析由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，则ab ＋12a (1－b )＋12b (1－a )＝15，所以12(a ＋b )－12ab ＝15，所以a ＋b －ab ＝25，所以该同学一个社团都不进入的概率P ＝(1－a )(1－b ＝12[1－(a ＋b )＋ab ]＝12{1－[(a ＋b )－ab ]}＝12×＝310.13．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率可能为()A.89B.23C.59D.29答案D解析因为A ，B 是相互独立事件，设A 不发生的概率为x ，B 不发生的概率为y ，则xy ＝19，0<x ，y ≤1，所以x ＋y ＝x ＋19x ≥2x ·19x ＝23，当且仅当x ＝19x ，即x ＝y ＝13时，等号成立，所以P ＝(1－x )(1－y )＝1－(x ＋y )＋xy ≤4914．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.6，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为________．答案0.48解析由题设，同学投篮得2分的概率为P ＝1－0.6×0.6－(1－0.6)(1－0.6)＝1－0.36－0.16＝0.48.15．一项过关游戏规则规定：在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关．甲同学参加了该游戏，他连过前两关的概率是________．答案59解析由于骰子是均匀正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．设事件A n 为“第n 次过关失败”，则对立事件B n 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件A 1所含基本事件数为2(即出现点数1和2两种情况)，所以过此关的概率为1B P ＝1－PA 1＝1－26＝23.第2关：事件A 2所含基本事件数为方程x ＋y ＝a ，x 表示第1次掷出的点数，y 表示第2次掷出的点数，当a 分别取2,3,4时的正整数解组数之和共有6个基本事件，所以过此关的概率为2B P ＝1－PA 2＝1－662＝56.故连过两关的概率为1B P ×2B P ＝59.16．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知每次甲回答正确的概率为34，乙回答正确的概率为23，丙回答正确的概率为12，三个人回答每个问题相互独立．(1)求一轮中三人全部回答正确的概率；(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；(3)记P n 为甲在第n 轮胜出的概率，Q n 为乙在第n 轮胜出的概率，求P n 与Q n ，并比较P n 与Q n 的大小．解(1)设“一轮中三人全部回答正确”为事件M ，则P (M )＝34×23×12＝14.(2)甲在第一轮胜出的概率为34×13＝14.甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，故甲在第二轮胜出的概率为14××12××12＝×12＝132.同理，甲在第三轮胜出的概率为14×14×12×34×13＝×12＝1128.(3)由(2)知P 1＝14，P 2×12＝132，P 3×12＝1128.由题意得P 4×P 1×14＝，P 5×P 2×12，P 6×P 3×12，P 7×P 1，….所以当n ＝3k (k ∈N *)时，P n ×12；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，P n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，P n ×12.同理可得当n ＝3k (k ∈N *)时，Q n ×14；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，Q n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，Q n －1×13.所以当n ＝3k (k ∈N *)时，P n >Q n ；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，P n ＝Q n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，P n <Q n .。
第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率(原卷+解析)-高考数学二轮复习
第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率一、知识与方法1 互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(互斥事件也叫作互不相容事件); 从集合角度来看, ,A B 两个事件互斥,则表示,A B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 2 互圧事件的概率加法公式若事件 ,A B 互斥,则和事件“A B ⋃”发生的概率等于事件,A B 分别发生的概率之和, 即 ()()()P AB P A P B =+. 概率的加法公式可以推广到有限个事件的情形,若事件12,,,nA A A两两互斥,则有公式()()()()1212:.n n P A A A P A P A P A =+++3 相互独立事件事件A 或B 是否发生,它们相互之间没有影响,那么称事件A 和B 相互独立,把这样的两个事件叫作相互独立事件. 4 相互独立事件的概率乘法公式若事件,A B 相互独立,则积事件“A B ⋅” 发生的概率等于事件A B 、分别发生的概率之积, 即 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅.概率的乘法公式也可以推广到有限个事件的情形,若事件 12,,,n A A A 两两相互独立,则有公式:()()()()()123123n n P A A A A P A P A P A P A ⋅=⋅5 条件概率对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫作条件概率,用符号()|P B A 来表示. 6 条件概率公式()()()|P A B P B A P A =, 其中 ()0,P A >AB 称为事件A 与B 的交(或积).7 独立重复试验将只有两种可能性的试验独立地重复n 次, 叫作独立重复试验,独立重复试验中,每次试验的结果与其他各次试验的结果无关, 即事件A 发生的概率()P A 在整个系列试验中一直保持不变.8 独立重复试验的概率如果在一次试验中,事件A 发生的概率为p ,事件A 不发生的概率为1p -, 那么在n 次独立重复试验中事件A 发生r 次的概率为()C (1).rn rn n p r p p -='- 这个概率也称为二项概率, 因为C (1)r n n p p -'-恰好是二项式()[1]n p p +-中含 rp 的项.二、典型例题【例1】 掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率.【例2】设b 和c 分别是先后拋掷一枚骨子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2x bx ++0c =实根的个数(重根按一个计).(1)求方程20x bx c ++=有实根的概率;(2) 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程20x bx c ++=有实根的 概率.n且n∈N)和 5 个白球,一次摸奖从中摸 2 个球,2 【例3】一个口袋中装有n个红球(5个球颜色不同则为中奖.(1) 试用n表示一次摸奖中奖的概率p；n=,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(2) 若5(3) 记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p,当n取多大时, p最大?三、易错警示【例】袋中有4 个球,包括2 个红球,1个黄球和 1 个白球,每次任取1 个球,有放回地取4 次,求无红球或无黄球的概率.四、难题攻略【例】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34, 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1) 求甲射击4 次,至少有1 次未击中目标的概率;(2) 求两人各射击4 次,甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3 次的概率;（3）假设某人连续2 次未击中目标,则终止其射击,问:乙恰好射击5 次后,被终止射击的概率是多少?五、强化训练1 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分, 当某局打成 10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束,甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4, 各球的结果相互独立,在某局双方10:10 平后, 甲先发球, 两人又打了x 个球,该局比赛结束. (1) 求()2P x =;(2) 求事件“4x =且甲获胜”的概率.2 如图 74,EFGH -是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分) 内”, 则 ()|P B A = ____________.图 74-3 A B 、两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和是3的倍数,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数,就由对方接着掷,第一次由A 开始掷,设第n 次由A 掷的概率为n P , 求n P 的表达式(用 n 表示).第48讲 互斥与独立事件的概率、条件概率一、知识与方法1 互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件(互斥事件也叫作互不相容事件); 从集合角度来看, ,A B 两个事件互斥,则表示,A B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 2 互圧事件的概率加法公式若事件 ,A B 互斥,则和事件“A B ⋃”发生的概率等于事件,A B 分别发生的概率之和, 即 ()()()P AB P A P B =+. 概率的加法公式可以推广到有限个事件的情形,若事件12,,,nA A A两两互斥,则有公式()()()()1212:.n n P A A A P A P A P A =+++3 相互独立事件事件A 或B 是否发生,它们相互之间没有影响,那么称事件A 和B 相互独立,把这样的两个事件叫作相互独立事件. 4 相互独立事件的概率乘法公式若事件,A B 相互独立,则积事件“A B ⋅” 发生的概率等于事件A B 、分别发生的概率之积, 即 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅.概率的乘法公式也可以推广到有限个事件的情形,若事件 12,,,n A A A 两两相互独立,则有公式:()()()()()123123n n P A A A A P A P A P A P A ⋅=⋅5 条件概率对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫作条件概率,用符号()|P B A 来表示. 6 条件概率公式()()()|P A B P B A P A =, 其中 ()0,P A >AB 称为事件A 与B 的交(或积).7 独立重复试验将只有两种可能性的试验独立地重复n 次, 叫作独立重复试验,独立重复试验中,每次试验的结果与其他各次试验的结果无关, 即事件A 发生的概率()P A 在整个系列试验中一直保持不变.8 独立重复试验的概率如果在一次试验中,事件A 发生的概率为p ,事件A 不发生的概率为1p -, 那么在n 次独立重复试验中事件A 发生r 次的概率为()C (1).rn rn n p r p p -='- 这个概率也称为二项概率, 因为C (1)r n n p p -'-恰好是二项式()[1]n p p +-中含 rp 的项.二、典型例题【例1】 掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率. 【分析】()P A B +即事件A B 、至少有一个发生的概率.在A 与B 互斥时, ()()()P A B P A P B =+;在A 与B 相互独立时, ()()()()P AB P A P B P A B =+-= ()()()()P A P B P A P B +-.【解析】设事件A 为“红骰子出现偶数点”,事件B 为“蓝骰子出现偶数点”,事件C 为“至少一颗骰子出现偶数点”.显然,事件A 与B 不是互斥的,设事件D 为“两颗骰子同时出现偶数点”,则D A B =.掷两颗骰子出现点数总的结果是1166C C 36.=“红骰子出现偶数点”的结果是1136C C 18=,()1836P A =; “蓝骰子出现偶数点”的结果是1136C C 18=,()1836P B =;“两颗骰子都出现偶数点”的结果是1133C C 9=,()936P D =.“至少一颗骰子出现偶数点”的结果是 ()()()()P C P A P B P A B =+-18189273.363636364=+-==【例2】设b 和c 分别是先后拋掷一枚骨子得到的点数,用随机变量ξ表示方程2x bx ++0c =实根的个数(重根按一个计).(1)求方程20x bx c ++=有实根的概率;(2) 求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程20x bx c ++=有实根的 概率. 【分析】必须注意鉴别概率模型：“点数"为离散型,故原则上是古典概型. 对于第(1)问, 可分解成互斥事件概率;对于第 (2)问, 显然可归结为条件概率模型. 【解析】(1) 由题意知 : 设基本事件空间为Ω, 记“方程 20x bx c ++= 没有实根”为事件A , "方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ,“方程20x bx c ++=有两个相异实根"为事件C , 则(){}Ω,,1,2,,6b c b c ==∣,(){}2,40,,1,2,,6A b c b c b c =-<=∣, (){}2,40,,1,2,,6B b c b c b c =-==∣, (){}2,40,,1,2,,6.C b c b c b c =->=∣Ω∴中的基本事件总数为 36 个, A 中的基本事件总数为17个, B 中的基本事件总数为 2个, C 中的基本事件总数为 17 个.又B ,C 是互斥事件,故所求概率为()()21719363636P P B P C =+=+=. （2）记“先后两次出现的点数中有 5 ”为事件D ,“方程20x bx c ++=有实根”为事件E , 由上面分析得()1136P D =，()736P D E =，()()()7|11P D E P E D P D ∴==. 【例3】一个口袋中装有n 个红球 (5n 且n ∈N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸 2 个球,2 个球颜色不同则为中奖.(1) 试用n 表示一次摸奖中奖的概率 p ；(2) 若5n =,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(3) 记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p ,当n 取多大时, p 最大? 【分析】本例是独立重复试验,注意第(2)、第(3)问中“每次摸奖后放回"的情 况. 第(3)问可考虑运用基本不等式求最值. 【解析】（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个,有25C n +种, 其中两球不同色有115C C n 种.一次摸奖中奖的概率()()11525C C 10.C 54n n np n n +==++(2) 若5n =,一次摸奖中奖的概率5.9p =三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是()1233801C (1)243p p p =-=.（3）设每次摸奖中奖的概率为(01)p p <<, 则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为()()()()()31233211111C (1)211663p p p P P p p p p p ⎡⎤+-+-==-=⨯--⎢⎥⎣⎦. 当且仅当21p p =-，即13p =时，P 取得最大值.又()()101543n p n n ==++时， 解得20n =，即20n =时，max 481P =.三、易错警示【例】袋中有 4 个球,包括 2 个红球,1个黄球和 1 个白球,每次任取 1 个球,有放回地取 4 次,求无红球或无黄球的概率. 【错解】记“有红球"为事件A ,“有黄球”为事件B ,则“无红球或无黄球"为事件AB .()4111216A P ⎫⎛=-= ⎪⎝⎭，()41811.4256P B ⎫⎛=-= ⎪⎝⎭因此, 所求的概率为 ()()()18197:.16256256P AB P A P B =+=+= 【评析与正解】 加法公式()()()P AB P A P B =+成立的条件是A 和B 是两个斥事件,而题设中“无红球”与“无黄球”不是互斥事件, 因为每次任取 1 个球, 有放回地取 4 次, 可能取出的都是白球,这样 A 与 B 同时发生,它们不互斥. 【正确的解法】如下： 在求()P AB 时,还应该减去取出的可能都是白球, 即AB 的情形, 因此,所求概率为:()()()()41811963:1625642568P AB P A P B P AB ⎫⎛=+-=+-== ⎪⎝⎭.四、难题攻略【例】甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34, 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1) 求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率;(2) 求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率;（3）假设某人连续 2 次未击中目标,则终止其射击,问:乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率是多少? 【分析】本例是独立重复试验, n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率求法为C (1)k k n kn p p --. 第(1)问,至少有 1 次末击中，包含情况多,可求其对立事件的概率;第(2)问, 甲恰好击中目标 2 次与乙恰好击中目标 3次相互独立;第(3)问,乙恰好射击 5 次被终止,相当于前 2 次射击,至少有一次击中,第 3 次击中,第 4 次、第 5 次未击中. 【解析】(1）记“甲连续射击 4 次, 至少有 1 次末击中目标”为事件1A . 由题意知,射击 4 次相当于做 4 次独立重复试验故()()41126511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.所以甲连续射击 4 次,至少有一次末击中目标的概率为6581. (2) 记“甲射击 4 次,恰好有 2 次击中目标”为事件2A , “乙射击 4 次,恰好有 3 次击中目标”为事件2B .则 ()24222422813327P A C -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()34332433144P B C -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2764=.由于甲、乙射击相互独立, 故()()()2222827127648P A B P A P B ==⨯=. 所以两人各射击 4 次,甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为18. （3）记“乙恰好射击 5 次后,被终止射击"为事件3A , "乙第 t 次射击未击中"为事件 t D()1,2,3,4,5t =, 则()3543212121A D D D D D D D D D =, 且 ()21.4P D =由于各事件相互独立.故 ()()()()()3543212121P A P D P D P D P D D D D D D =++11311451444441024⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭. 所以乙恰好射击 5 次后,被终止射击的概率为451024. 五、强化训练1 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分, 当某局打成 10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束,甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4, 各球的结果相互独立,在某局双方10:10 平后, 甲先发球, 两人又打了x 个球,该局比赛结束. (1) 求()2P x =;(2) 求事件“4x =且甲获胜”的概率.【解析】(1)2x =就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此(2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5P x ==⨯+-⨯-=(2)要使4x =且甲获胜,则10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5(10.4)(10.5)0.4]0.50.40.1P =⨯-+-⨯⨯⨯=.2 如图 74,EFGH -是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分) 内”, 则 ()|P B A = ____________.图 74-【解析】本题为几何概型,也是条件概率.圆的半径是1,所以圆的面积是π,正方形面积是2,扇形面积是4π. 由几何概型概率计算公式可得2()S P A S ==正圆π由条件概率的计算公式可得21()14(|)2()4P AB P B A P A ππ⨯===.3 A B 、两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和是3的倍数,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数,就由对方接着掷,第一次由A 开始掷,设第n 次由A 掷的概率为n P , 求n P 的表达式(用 n 表示).【解析】第n 次由A 掷骰子有两种情况.一是第1n -次由A 掷,第n 次继续由A 掷,此时概率为11236n P -; 二是第1n -次由B 掷,第n 次由A 掷,此时概率为()1121136n P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由于这两种情况是互斥的,因此()111212113636n n n P P P --⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭即()1112133n n n P P P --=+- (其中)2n ,变形整理得1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又11P =, 所以数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项,以13-为公比的等比数列, 因此易得 n P = ()1111223n n -+⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭N。
第十章 概率 10.2事件的相互独立性专题训练
第十章概率 10.2事件的相互独立性学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1.位于直角坐标系原点的质点P按以下规则移动:①每次移动一个单位,②向左移动的概率为14，向右移动的概率为34.移动5次后落点在(1,0)-的概率为( )A.32351344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.23351344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.32241344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.23241344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为23，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为14，且三个公司是否让其面试是相互独立的.则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为（）A.116B.18C.14D.123.甲、乙两人比赛,平手的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法正确的是( )A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是12C.乙输的概率是23D.乙不输的概率是124.抛掷一枚均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是( )A.“两次得到的点数和是12”B.“第二次得到6点”C.“第二次的点数不超过3点”D.“第二次的点数是奇数”5.在如图所示的电路图中，开关,,a b c闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯灭的概率是 ( )A．18 B．38C．58D．786.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3127.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A. 12 B. 35 C. 23 D. 348.端午节放假,甲、乙、丙回老家过节的概率分別为111,,345.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A. 5960B. 35C. 12D. 1609.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A ,“第二次摸得白球”记为事件B ,那么事件A 与B , A 与B 间的关系是( )A. A 与B , A 与B 均相互独立B. A 与B 相互独立, A 与B 互斥C. A 与B , A 与B 均互斥D. A 与B 互斥，A 与B 相互独立10.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A ={抽到一等品},事件 B ={抽到二等品},事件C ={抽到三等品},且已知()0.65P A =,()0.2P B =,()0.1P C =,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.3二、填空题11.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是________．12.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19, A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同, 则事件A 发生的概率()P A =__________. 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是________.14.如图,系统M 由,,,A B C D 四类不同的元件构成.当元件,3A i 至少有一个正常工作且元件,C D 至少有一个正常工作时,系统M 正常工作.已知元件,,,A B C D 正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8,元件连接成的系统M 正常工作的概率()P M =__________.15.如图 ,已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,则灯亮的概率为_______.三、解答题16.甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：1.2人都射中目标的概率；2.2人中恰有1人射中目标的概率；3.2人至少有1人射中目标的概率。
事件的相互独立性
一、事件的相互独立性的概念
设A，B，为两个事件，若
P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立.
注意: 1、相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 即：事件A发生不会影响事件B发生的概率， 事件B发生不会影响事件A发生的概率. 互斥事件:在任何一次试验中两个事件不会同时发生.
2、不能用P(B|A)=P(B)作为事件A与事件B相互独立的定 义.
作业
练习：设事件A与事件B相互独立，两个事件中 1 只有A发生的概率和只有B发生的概率都是 ， 4 求事件A与事件B同时发生的概率.
请各位老师，专家批评指正 谢谢大家
三 、相互独立事件同时发生的概率：
则有P AB P(A)? P(B) 1.若A、B是相互独立事件， 即：两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。 2.由性质可知：P(AB) P(A) P( B),
P(AB) P(A) P( B), P(AB) P(A) P( B)
②袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 是 事件B：第二次从中任取一个球是白球. .
练2、判断下列各对事件的关系
互斥事件 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； （2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环； 相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P( B) 0.6, P( AB) 0.24
三 、相互独立事件同时发生的概率：
解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B， 则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。 (1)都抽到某一指定号码；
由于两次的抽奖结果是互不影响的, 因此事件A和B相互独立，
两个相互独立事件同时发生的概率(201911整理)
1互斥事件的定义? 2.对立事件的定义? 3.互斥事件有一个发生的概率公式 4.对立事件有一个发生的概率公式
Hale Waihona Puke 解答1.不可能同时发生的事件 2.不可能同时发生,且必有 一事件发生
3. P（A+B）=P(A)+P(B) 4.
Ø
1.甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛 子里有2个白球,2个黑球.若从这两 个坛子里分别摸出1个球,则它们都 是白球的概率是多少? 记“从甲坛子里摸出1个球,得到白球”
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结 ；
结构示意图、动力传动路线图 掌握闭口系统能量方程式、开口系统能量方程式（稳定状态稳定流动能量方程式）的推导和应用， 本部分难点 本部分重点 第五部分 美国的汽车保险。2016.喷头种类及雾化原理。素质目标：通过学习，课程编码： 计算机基本输入输出接口的类型及可靠性设计。研 发并采用多媒体教学方式。能编写简单的汇编语言程序。通过本课程的学习，实验课 文摘分内目录和著录格式；福特 滚动轴承的公差与配合 2 着重对学生的分析问题能力、理论综合能力以及实验研究能力等方面的培养。使用习题集：董晓英.转向系的检测与诊断；本课程是为系统学习机械工程测 试技术、单片机原理及应用、汽车电器与电控等后续课程打下基础。2 包括精细变量施肥机、精细变量喷药机、精细变量播种机和精细变量处方灌溉设备等。2专家系统及其农业应用 为精细农业技术的研究和实施奠定良好基础。本部分难点 教学内容 北京：高等教育出版社,奥氏体的马氏体转变；9 汽车尾气PM2.2 了解模拟装配及仿真运动功能；多元函数的方向导数与梯度 [2] 汽车燃料的种类和性能
高二下数学同步训练：互斥事件与相互独立事件(附答案)
高二数学同步检测十六互斥事件与相互独立事件说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．两个事件对立是两个事件互斥的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由互斥事件、对立事件定义可知．2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，其中： (1)恰有1名男生和恰有2名男生 (2)至少有1名男生与至少有1名女生 (3)至少有1名男生和全是男生 (4)至少有1名男生和全是女生上述各对事件中，互斥事件的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B 解析：由互斥事件的定义可知(1)，(4)正确，故选B. 3．抛掷一枚硬币十次恰好三次正面向上的概率为A ．C 310(12)3B ．C 77(12)3 C ．C 310(12)10D ．3×(12)10 答案：C 解析：由独立重复试验的概率公式可知：P ＝C 310(12)3(1－12)7＝C 310(12)10.故选C. 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率为A.1425B.1225C.34D.35答案：A 解析：设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，则P (A )＝810＝45，P (B )＝710，由题知，P (A ·B )＝45×710＝1425. 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5点的偶数点出现”，事件B 表示“小于5点的数出现”，则在1次试验中，事件A ＋B 发生的概率为A.13B.12C.23D.56答案：C 解析：因为P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，故P (A ＋B )＝P (A )＋1－P (B )＝23.6．甲、乙两人独立解答某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被乙或甲解出的概率为0.92，则该题被乙独立解出的概率为A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．0.9答案：C 解析：设甲独立解出该题为事件A ，乙独立解出该题为事件B ，可知P (A )＝0.6，P (A ·B ＋A ·B ＋A ·B )＝0.92，故P (B )＝0.8.7．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则至少摸到2个黑球的概率等于A.27B.38C.37D.49答案：A 解析：至少摸到2个黑球也就是摸到2黑1白或3黑，故P ＝C 15C 23C 38＋C 33C 38＝27，故选A.8．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次为红球，1，第n 次为白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为A ．C 57(13)2(23)5B ．C 27(23)2(13)5 C ．C 57(23)5(13)2D ．C 57(23)2(23)5答案：B 解析：从口袋中摸出一红球的概率为23，白球的概率为13，由题可知S 7＝3表示从口袋里摸出红球2次，白球5次，又有放回摸取可看作独立重复试验，故由公式可得P＝C 27(23)2(13)5. 9．两个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别为23和12，每人投篮3次，则2人都恰好进两球的概率为A.14B.25C.16D.18答案：C 解析：记“甲运动员罚球3次投中2次”为事件A ，“乙运动员罚球3次中2次”为事件B ，则P ＝P (A )·P (B )＝C 23(23)2(13)·C 23(12)2(12)＝16，故选C. 10．某人参加一次考试，4道题中解对3道题则为及格，他解题的正答率为0.4，则他能及格的概率约是A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.48答案：A 解析：因为他解这4道题之间没有影响且正答率相等，故可看作做4次独立重复试验，又能及格可分为解对3道或4道题，所以P ＝P 4(3)＋P 4(4)＝C 34×0.43×0.6＋C 44×0.44≈0.18.第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．11．花生的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，若每穴播两粒，则此穴缺苗的概率为________；此穴无壮苗的概率为________．答案：0.01 0.16 解析：此穴缺苗即两粒均不发芽，故P ＝(1－0.9)·(1－0.9)＝0.01；此穴无壮苗即两粒均不是壮苗，故P ＝(1－0.6)(1－0.6)＝0.16.12．从男、女生共36名的班级中，任选出两名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于12，则男、女生相差________人．答案：6 解析：设男生x 名，女生36－x 名，由题知C 2xC 236＋C 236－x C 236＝12，解得x ＝15或x ＝21.13．有一道竞赛题，甲解出它的概率为12，乙解出它的概率为13，丙解出它的概率为14，则甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出此题的概率是________．答案：1124解析：设“甲解出该题”为事件A ；“乙解出该题”为事件B ；“丙解出该题”为事件C ，则P (A )＝12；P (B )＝13；P (C )＝14.由题知，只有1人解出此题的概率为P ＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝1124.14．如图电路中a 、b 、c 三个开关，每个开关断开或闭合的概率都是12，且是相互独立的，则在某时刻灯泡甲，乙亮的概率分别是________，________.答案：18 38 解析：因为甲亮须a 、c 闭合，b 开启，所以P 甲＝12×12×12＝18；因为乙亮须a 闭合，b 、c 一个闭合即可，所以P 乙＝12(12×12＋12×12＋12×12)＝38.三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题8分)某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(1)记“射中10环”为事件A ，记“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A ＋B ，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.答：射中10环或7环的概率为0.49.(2)记“不够7环”为事件C，则事件C为“射中7环或8环或9环或10环”．而P(C)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(C)＝1－P(C)＝1－0.97＝0.03.答：不够7环的概率为0.03.16.(本小题8分)甲、乙两人各进行1次体能测试，如果两人通过测试的概率都是0.8，计算：(1)两人都通过测试的概率；(2)其中恰有1人通过测试的概率；(3)至少有1人通过测试的概率．解：(1)记“甲、乙两人各进行1次体能测试甲通过”为事件A ；记“甲、乙两人各进行1次体能测试乙通过”为事件B ，由题可知A 、B 相互独立，则P(A·B)＝P(A)P(B)＝0.8×0.8＝0.64. 答：两人都通过测试的概率为0.64. (2)两人体能测试恰有1人通过，包括：一种为甲通过乙未通过(A·B )，另一种为甲未通过乙通过(A ·B)，知A·B 与A ·B 互斥．故P ＝P(A·B ＋A ·B)＝P(A·B )＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＝0.32.(3)“至少有1人通过体能测试”的对立事件为“两人都不能通过”． 故P ＝1－P(A ·B )＝1－P(A )P(B )＝0.96.17．(本小题8分)甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定，两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)恰有1人签约的概率；(3)恰有2人签约的概率．解：用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知A 、B 、C 相互独立且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P(A ·B ·C )＝1－P(A )P(B )P(C )＝1－(12)3＝78.(2)恰有1人签约即甲签约，需甲面试合格，乙、丙至少有1人面试不合格，故概率P ＝P(A·B ·C )＋P(A·B ·C)＋P(A·B·C )＝P(A)P(B )P(C )＋P(A)P(B )P(C)＋P(A)P(B)P(C )＝38. (3)恰有2人签约即乙、丙签约，需甲面试不合格，乙、丙合格，故概率P ＝P(A ·B·C)＝P(A )P(B)P(C)＝12×12×12＝18.18．(本小题10分)(2009北京高考，文17)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min .(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留时间至多是4 min 的概率． 解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为：P(A)＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 为事件B ，这名学生在上学路上遇到k 次红灯为事件B k (k ＝0,1,2)，则由题意可得P(B 0)＝(23)4＝1681，P(B 1)＝C 14(13)×(23)3＝3281， P(B 2)＝C 24(13)2(23)2＝2481，由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至少遇到2次红灯”，∴事件B 的概率为P(B)＝P(B 0)＋P(B 1)＋P(B 2)＝89.19．(本小题10分)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛，规定先胜三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率是0.6，乙队获胜的概率为0.4，且每局比赛的胜负是相互独立的．求：(1)甲队以3∶2获胜的概率；(2)乙队获胜的概率．解：(1)设甲队以3∶2获胜为事件A ，则第五局甲必胜，前四局各胜两局，∴P(A)＝C 24×0.62×0.42×0.6＝0.207 36.(2)设乙队获胜为事件B ，则B 包括三种情况有：①3∶0乙胜；②3∶1乙胜；③3∶2乙胜，∴P(B)＝0.43＋C 23×0.42×0.6×0.4＋C 24×0.42×0.62×0.4＝0.317 44.。
《概率--随机事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率》
《概率--随机事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率》高考复习要点回顾及练习题一.要点：1. 掌握等可能事件概率的求法；；2.掌握互斥事件有一个发生概率求法以及会利用源于对立事件概率关系的正难(繁)则反的解题思想;3.会求相互独立事件同时发生的概率,以及独立重复试验的判断与求解.二．高考考查形式：一道小题、一道大题三．例题：例1：(2007辽宁) 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．例2:(2004天津)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(1)求所选3人都是男生的概率;(2)求所选3人中恰有1名女生的概率;(3)求所选3人中至少有1名女生的概率.例3:(2006全国) A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该类组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为23,服用B有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.例4:(2006天津)甲,乙两台机床相互没有影响的生产某种产品，甲机床产品的正品率为0.9，乙机床产品的正品率为0.95.(1)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率.(2)从甲,乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件正品的概率.三.练习题:1.(2005山东)10张奖券只有3张有奖,5个人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是( )A.310 B.112 C.12 D.11122.(2004全国)从1,2,3…,9这九个数中,随机的抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率为( )A. 59 B.49 C.1121 D.10213.(2006安徽)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率是( )A. 17 B.27 C.37 D.474.(2007安徽)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率是 .5.(2004辽宁)甲,乙两人独立地解同一道题,甲解决这个问题的概率是1P ,乙解决这个问题的概率是2P ,那么恰好有一人解决这个问题的概率是( ) A.12P P B.1221(1)(1)p p p p -+- C.121P P - D.121(1)(1)p p ---6. (2006湖北)接种某种疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现在5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 .7. (2007浙江)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为”3局2胜制”,即先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( )A. 0.216B. 0.36C. 0.432D. 0.648 8.(2006安徽)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现在芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.(1)求所选的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率; (2)求所选的两种不同添加剂的芳香度之和小于3的概率.9. (2007重庆)设甲,乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立. (1)若甲,乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (2)若甲,乙各射击两次,求两人命中目标次数相等的概率.10.(20006重庆)甲,乙,丙三人在同一个办公室工作,办公室只有一部电话机,设经该机打进的电话是打给甲,乙,丙的概率依次为16,13,12,若在同一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立,求:(1)求这三个电话是打给同一个人的概率;(2)求这三个电话恰有两个是打给甲的概率.11.(2006山东)盒中装有标着数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意抽取3张,每张卡片被抽出的可能性相等,求:(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率;(2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率;(3)抽出的3张卡片上的数字互不相同概率.12.(2007江苏)某气象台天气预报的准确率为0.8,计算:(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次准确的概率.。
两个相互独立事件同时发生的概率
项中，选出最符合作者本意的一项（ ）（2分） A．作者使用客观公正的态度来评价自己这部小说的。 B．《偷书贼》这本书对作者与读者的意义，已经远远超过了作者当初的想象。 C．作者十分在乎别人对《偷书贼》这本书的评价。 D．作者认为《偷书贼》是他生命的全部，是自己最好的一次
创作。 【文本细读】 7．《致中国读者的信》写道“在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。”小说中莉赛尔、汉斯?休伯曼和纳粹士兵的行为充分印代谢了这一点。请概括小说节选内容的相关情节，将下面表格补充完整。（2分） 伟大的人性尊贵
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
；单创:/c/7radcKIT9fA
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本文以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 【点评】本题考查对文本、故事情节的理解分析能力和对句子含义、作者感情的理解分析能力．其中第（2）题是重点题目，学生解答时，在理解文章内容主旨的基础上，结合
方最优秀的撷取文字的人，因为她知道如果没有文字，一个人该是何等脆弱。 （节选自《偷书贼》第八章P301～302，有删改） 答： 代谢：二、现代文阅读（22分） 5．（3分）向中国读者表达善意；介绍《偷书贼》创作缘由，吸引读者；高度评价本书，有推介之意． 6．（2分） D 7．（2分）
①父亲冒险给受尽屈辱，垂死的犹太人送面包．②纳粹士兵鞭打犹太老人和汉斯·休伯曼。 8．（4分）①莉赛尔看着爸爸冒险帮助一个垂死的犹太老人，使老人在绝望中感受到温暖．这种严酷氛围中的温情场景深深触动了善良的莉赛尔，她因此满含泪水。 ②犹太人一路遭受非人的折磨，内心早已
好几次，他都倒了下去。 ? 她的半边脸贴在地面上。 ? 每次都有一个士兵站在他身边。“站起来，”他冲着老人吼道，“站起来。” ? 老人跪着站起身，艰难地向前走去。 ? 每次，他刚刚赶上队伍的尾巴，就会失去动力，再次摔倒在地。他后面还有很多人﹣﹣足足有一卡车的人﹣﹣威胁着要超
互斥事件习题
互斥事件习题篇一：互斥对立事件练习题互斥对立事件练习题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人, 每人分得1张,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张红牌”是(C )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对2．1人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是(C )A．至多有1次中靶B．2次都中靶B． C．2次都不中靶 C．只有1次中靶3．1人在打靶中连续射击2次,事件“2次都中靶”的对立事件是(B )A．2次都不中靶B．至多有1次中靶C．至少有1次中靶 D．只有1次中靶4．产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件次品和全是正品。
4组中互斥事件的组数是 (B)A．1组 B． 2组 C．3组D． 4组5．某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶6．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一白球；③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( A )A．①②B．①③C．②③D．①②③7．一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是( D )A．至多射中一次B．至少射中一次C．第一次射中D．两次都不中8．抛掷一个骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”， B为事件“落地时向上的数是偶数”，事件A与B是 (C ).（A）互斥但不对立事件（B）对立但不互斥事件（C）对立事件（D）不是互斥事件9．在下列结论中,正确的为 ( B)A．若A与B是两互斥事件，则A?B是必然事件.B．若A与B是对立事件，则A?B是必然事件 .C．若A与B是互斥事件，则A?B是不可能事件.D．若A与B是对立事件，则A?B不可能是必然事件.10. 在下列结论中正确的为 (B)①互斥事件一定是对立事件；②对立事件不一定是互斥事件③互斥事件不一定是对立事件；④对立事件一定是互斥事件A．①②B．③④C．②③D．②④11．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( D)A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球12．从装有4个黑球和3个白球的口袋内任取3个球，下列事件①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球；其中互为对立事件的是(B)A．① B．②C．③D．④篇二：互斥对立事件知识点+练习题一、知识点复习1．事件的包含关系如果事件A发生，则事件B______.则称事件B______事件A.2．相等事件若______且______，那么事件A与事件B相等．3．并(和)事件若某事件发生当且仅当___________，则称此事件为事件A与B的并事件(或称和事件)记作：A∪B.4．交(积)事件若某事件发生当且仅当_________，则称此事件为事件A与B的交事件(或称积事件)记作：A∩B.5．互斥事件若A∩B为_________，即A∩B＝______，那么称事件A与事件B________.6．对立事件____________________对立事件．例如：某同学在高考中数学考了150分，与这同学在高考中考得130分，这两个事件是________．7．互斥事件概率加法公式当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)＝________，于是有P(A)＝________.例如：投掷骰子六点向上的概率为1/6，投得向上点数不为六点的概率为：________.8. 如果事件A与事件B互斥，则____________________；如果事件A与事件B对立，则________________________。
事件的相互独立性及频率与概率同步练习
事件的相互独立性及频率与概率同步练习（答题时间：40分钟）一、选择题1. 一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件次品和全是正品，其中互斥事件为（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②2. 某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明 （ ）A. 该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B. 该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C. 合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品D. 该厂生产的产品合格的可能性是99.99%3. 掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为（ ） A. 31 B. 21 C. 32 D. 65 4. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（ ） A.1999 B. 11000 C. 9991000 D. 12二、填空题5. 小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____。
（填“公平”或“不公平”）6. 口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是_________。
三、解答题7. 由经验得知：在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数0 1 2 3 4 5 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 （1）求至多2人排队的概率；（2）求至少2人排队的概率。
8. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
概率统计练习—— 互斥与独立、条件概率
概率统计练习三——互斥与独立、条件概率1. 在一副扑克牌（共52张）中任意抽取一张，记事件A=“抽得老k ”，B=“抽得红牌”，C=“抽得J ”，对于事件①A 与B ，②A 与C ，关于是否互斥、是否独立的如下判断正确的是（ ）A. ①独立不互斥，②互斥不独立B. ①互斥不独立，②独立不互斥C. ①②都是独立不互斥D. ①②都是互斥不独立2. 有5个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。
每次取一个，不放回地取2次，则：第一次取到新球的概率为 ；第二次取到新球的概率为 ；在第一次取到新球的前提下，第二次也取到新球的概率为 。
3. 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组，则1A 被选中的概率为 ；1B 和1C 不全被选中的概率为 ．4．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为 ；甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为 ．5. 某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接听的概率为0.1, 响第二声时被接听的概率为0.3, 响第三声时被接听的概率为0.4, 响第四声时被接听的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接听的概率是 ．6. 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中： （Ⅰ）恰有两道题答对的概率；（Ⅱ）至少答对一道题的概率.7. 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．1N2N1图8. 已知在某段时间内每个元件不出故障的概率都是p，（Ⅰ）试分析以下两个系统21,NN（如图1）的稳定性（即比较它们正常工作的概率）。
互斥事件、独立事件与条件概率(精华版)
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4 ． (2009· 湖北卷 ) 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能 达标的概率分别是 0.8 、 0.6 、 0.5 ，则三人都达标的概率是 ________，三人中至少有一人达标的概率是________． 解析：P1＝0.8×0.6×0.5＝0.24；
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解：记小张能过第一关的事件为A，直接去闯第二关能通过的事件为B，直
接去闯第三关能通过的事件为C.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5.
(1)小张在第二关被淘汰的概率为P(A·B)＝P(A)·(1－P(B))＝0.8×0.25＝0.2.
答：小张在第二关被淘汰的概率为0.2.
(2)小张不能参加决赛的概率为P＝1－P(A·B·C)＝1－0.8×0.75×0.5＝0.7.
1 4 1 ＜x＜1}，则P(B|A)=_____. 2 1 2
}，
3
二 互斥事件与独立事件 3. 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在 各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概 率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首
次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的
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(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛 中，甲再胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5， 由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
高二数学同步测试互斥事件相互独立事件的概率高二数学排列组合概率同步测试题集二[
高二数学同步测试 互斥事件互相HY 事件的概率制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．至少有1个黑球，至少有1个白球B ．恰有一个黑球，恰有2个白球C ．至少有一个黑球，都是黑球D ．至少有1个黑球，都是白球2．设某种产品分两道HY 工序消费，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，消费这种产品只要有一道工序出次品就将消费次品，那么该产品的次品率是 〔 〕．A ． Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．3．一批零件一共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，假设第2次取到合格品的概率是2p ，第3次取到合格品的概率是3p ，那么〔 〕A ． 2p >3pB ． 2p =3pC ． 2p <3pD ．不能确定4．将一颗质地均匀的骰子〔它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具〕先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是〔 〕A ．5/126B ．25/216C ．31/216D ．91/2165．甲、乙、丙三人HY 地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，41，那么此密码能译出的概率是〔 〕A ．1/60B ．2/5C ．3/5D ．59/606．停车场可把12辆车停放在一排上，当有8辆车已停放后，而恰有4个空位连在一起，这样的事件发生的概率为 〔 〕A ．8127/CB ．8128/C C ． 8129/CD ．81210/C7．商场开展促销抽奖活动，HY 器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.假如顾客抽出的六个号码中至少有5个与HY 器摇出的号码一样〔不计顺序〕就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为〔 〕A ．1/42B ．1/30C ．4/35D ．5/428．进入世界前8名的乒乓球女子单打选手中有4名中国选手，抽签后平均分成甲、乙两组进展比赛，那么四名中国选手不都分在同一组的概率为 ( 〕A ．33/35B ．17/18C ．34/35D ． 8/99．对一同目的进展三次射击，第一、二、三次射击命中目的的概率分别为，和，那么三次射击中恰有一次命中目的的概率是 〔 〕A B ． C D10．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，假设从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，那么此人是位女士的概率是〔 〕 A ．1/5B ． 2/5C ． 3/5D ． 4/5 二、填空题11．2个篮球运发动在罚球时命中概率分别是和，每个投篮3次，那么2人都恰好进2球的概率是_____．12．某国际科研工程成员由11个HY 人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，那么此两人不属于同一个国家的概率为 .〔结果用分数表示〕13．一个口袋中一共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，假设第三次摸到红球的概率为54，那么袋中红球有 个. 14．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是 ．三、解答题15． 袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
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§11.2 互斥事件、相互独立事件的概率
一、选择题：
1．若1)(=+B A P ，则事件A 与B 的关系是（ ）
A ．A 、
B 是互斥事件 B ．A 、B 是对立事件
C ．A 、B 不是互斥事件
D ．以上都不对
2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ）
A ．充分但不是必要条件
B ．必要但不是充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ）
A ．35035C C
B ．350352515
C C C C ++ C ．3503451C C -
D ．350
1452524515C C C C C + 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（ ）
A ．1514
B ．2512
C ．43
D ．5
3 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ）
A ．0.99
B ．0.98
C ．0.97
D ．0.96
6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ）．
A ．201 B.1615 C ．53 D ．20
19 7．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（ ）
A ．51032.3-⨯
B ．81032.3-⨯
C ．51064.6-⨯
D ．81064.6-⨯
8．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概率约为（ ）
A ．0.45
B ．0.55
C ．0.65
D ．0.75
9.某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为5
3 ，则他及格的概率是（ ）． A ．3125243 B ．3125810 C ．31251057 D ．3125
1053 二、填空题
10．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26，31四路电车假定各路电车停靠的频率一样，则乘客期待电车首先停靠的概率等于 .
11．今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票价和为70元的概率是____________．
12．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是4
173和 ．则该市足球队夺得全省冠军的概率是_________. 13．从甲、乙、丙三种零件中各取1件组成某产品，所用三零件必须是正品，所得产品才是合格品．已知三种零件的次品率分别为2％，3％，5％，则产品的次品率是______．
14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则有仅有1台雷达发现飞行目标的概率为___________．
15．一袋中有8个白球，4个红球；另一袋中，有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得颜色相同的球的概率是_________．
16．如图10－12，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，求不命中靶的概率为____________．
三、解答题
17.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（1）求这名同学得300分的概率；
（2）求这名同学至少得300分的概率.
18.A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
（1）A 不分甲书,B 不分乙书的概率.
（2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率.
19.从1，2，3，…，100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率
20．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03 ，第二台出废品的概率是0.02 ．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．
21.学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有5人，会跳
舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是21
16 ，求该队的人数．
22.对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.2，求汽油燃烧起来的概率．
23.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是2
1 ，且是互相独立的，求灯亮的概率.
24.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买 根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0 6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元 （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率
25.甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是
43，甲、丙 两人都做错的概率是121，乙、丙两人都做对的概率是4
1。
（1）求乙、丙两人各 自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率。