2020年上海市金山区高考数学二模试卷(有答案解析)

的“偏差数列”，求
的值；
（3）设
，{bn}为数列{an}的“偏差数列”，a1=1，a2n≤a2n-1 且 a2n≤a2n+1，
若|an|≤M 对任意 n∈N*恒成立，求实数 M 的最小值．
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：如图，以 D 为原点，分别以 DA， DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系， 设长方体的长宽高分别为 a，b，c 则 A（a，0，0），B（a，b，0），C（0， b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c）， C1（0，b，c），D1（0，0，c），
9.答案：（-∞，1]
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解析：解：由 P 中 y= ，0＜x＜1，得到 y＞1，即 P=（1，+∞），
∵全集 U=R， ∴∁UP=（-∞，1]． 故答案为：（-∞，1] 求出 P 中 y 的范围确定出 P，根据全集 U=R，求出 P 的补集即可． 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2020 年上海市金山区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列计算结果一定不等于 0 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既
同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的
利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到 的零件不是废品的概率． 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.答案：
解析：解：
的图象为圆心为 O 半径为
π 的圆的上半部分， ∵y=sinx 是奇函数， ∴f（x）在[-π，0]上与 x 轴围成的面积与在[0，π]上 与 x 轴围成面积相同， 则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
6.答案：π
解析：解：函数 y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，
故它的最小正周期等于 =π，
故答案为：π． 利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数 y=1+sin2x，根据最小正周期等于
求出结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求 法，属于基础题．
7. 若关于 x、y 的线性方程组的增广矩阵为
，该方程组的解为
的值是______ 8. 二项式（x+1）7 的展开式中含 x3 项的系数值为______．
9. 已知全集 U=R，集合
，则∁UP=______．
，则 m+n
10. 若 z1=1+i，z2=a-i，其中 i 为虚数单位，且
R，则|z2|=______
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截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体
A、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
3. 设 F1、F2 是双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是 C 上一点，若
|PF1|+|PF2|=6a，∠PF1F2 是△PF1F2 的最小内角，且∠PF1F2=30°，则双曲线 C 的渐近 线方程是（ ）
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲 线的简单性质．
4.答案：D
解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
则=
， 的几何意义为阴影部分中的点（a，b）到原点连线的斜率 k，
由图象可知当点（a，b）位于 B 时，直线的斜率最大，当点（a，b）位于 A 时，直线的 斜率最小，
由
，得 B（ ， ），
∴BO 的斜率为 3，
由
得 A（1，1），
∴OA 的斜率为 1， ∴1≤k≤3，
则=
=（k- ）2- ∈
．
故选：D． 本题主要考查线性规划的应用，是中档题．
=
， 的几何意义为可行域中的点（a，b）到原点连线的斜率 k，数形结合
可得 k 得范围，由此求解即可.
5.答案：{x|x≥4}
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14. 已知函数 f（x）=sinx 和
的定义域都是[-π，π]，则它们的图象围成的
区域面积是______ 15. 若集合 A={x|x2-（a+2）x+2-a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数 a 的取值范
围是______
16. 正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足
则|z2|=
=，
故答案为：
11.答案：y=-x2+2x+2
解析：解：由方程
消去参数 t 可得 y=3-（x-1）2，化简得 y=-x2+2x+2，
故意答案为：y=-x2+2x+2．
由方程
消去参数 t 可得 y=3-（x-1），再化简可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．
12.答案：16
解析：解：Rt△ABC 中，C=90°，AC=4， 则 • =| |•| |•cosA=| |•| |= =16， 故答案为 16． 由题意可得 • =| |•| |•cosA=| |•| |，由此可得结果． 本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过 5 米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？
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20. 已知椭圆 Γ：
，过点 D（-1，0）的直线 l：y=k（x+1）与椭圆 Γ 交于 M、
N 两点（M 点在 N 点的上方），与 y 轴交于点 E． （1）当 m=1 且 k=1 时，求点 M、N 的坐标；
A. x± y=0
B. x±y=0
C. x±2y=0
D. 2x±y=0
4. 若实数 a、b 满足
，则 的取值范围是（ ）
A. [-2，0]
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）
5. 函数
的定义域是______．
6. 函数 y=（sinx+cosx）2 的最小正周期是______．
8.答案：35
解析：解：二项式（x+1）7 的展开式的通项公式为 Tr+1= •x7-r，
令 7-r=3，求得 r=4，可得展开式中含 x3 项的系数值为 =35，
故答案为：35． 先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得含 x3 项的系数值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题．
2.答案：A
解析：【分析】 本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题. 先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解. 【解答】 解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等 “的充分不必要条件， 结合原命题与其逆否命题的真假可得： “两几何体 A、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必 要条件， 故选：A．
，若
，其中 m、n∈R，则 的最大值是______
三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分）
17. 已知△ABC 中，
，
，
．求：
（1）角 C 的大小； （2）△ABC 中最小边的边长．
18. 如图，已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上，AB 为圆 O 的直 径，圆柱 OO1 的侧面积为 16π，OA=2，∠AOP=120°． （1）求三棱锥 A1-APB 的体积； （2）求直线 A1P 与底面 PAB 所成角的大小．
11. 方程
（t 为参数，t∈R）所对应曲线的普通方程为______
12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，则
=______．
13. 若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品 的概率是______（结果用小数表示）
10.答案：
解析：【分析】 本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键． 根据复数的运算法则结合复数为实数求出 a 的值，结合复数模长的公式进行计算即可．
解析： 解： =a+i，
则 z1• =（1+i）（a+i）=a-1+（a+1）i，
若
R，则 a+1=0，即 a=-1，则 z2=a-i=-1-i，
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同时除以 a2，化简 e2-2 e+3=0， 解得 e= ，∴c= ，
∴b=
=，
∴双曲线 C： =1 的渐近线方程为 y= =± ，
即
=0．
故选：B．
设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=
，进而求出 b=
，由此能求
出双曲线 C： =1 的渐近线方程．
3.答案：B
解析：解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a， 又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a． 则∠PF1F2 是△PF1F2 的最小内角为 30°， ∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|•|F1F2|cos30°，
∴（2a）2=（4a）2+（2c）2-2×4a×2c× ，
∴ =（-a，0，c）， =（-a，0，-c）， =
（-a，-b，c）， =（-a，b，0）， =（0，b，0）， =（-a，0，0），
∴ • =a2-c2，当 a=c 时， • =0，
• =a2-b2，当 a=b 时， • =0， • =0，
• =a2≠0，
故选：D． 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，根据 向量的运算和向量的数量积的关系即可判断 本题考查了向量的数量积，建立坐标系是关键，属于基础题
19. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然-可持续性》杂志上发表的论文中指出：地 球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某 种树木的高度 f（t）（单位：米）与生长年限 t（单位：年，t∈ ）满足如下的逻
辑斯蒂函数：
，其中 e 为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为 0．
（2）当 m=2 时，设
，
，求证：λ+μ 为定值，并求出该值；
（3）当 m=3 时，点 D 和点 F 关于坐标原点对称，若△MNF 的内切圆面积等于 ， 求直线 l 的方程．
21. 若数列{an}、{bn}满足|an+1-an|=bn（n∈N*），则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”． （1）若{bn}为常数列，且为{an}的“偏差数列”，试判断{an}是否一定为等差数列， 并说明理由； （2）若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列，且 a3-a2=6，{bn}为数列{an}
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解析：解：∵函数
，
∴x-4≥0，可得 x≥4，
∴函数
的定义域为：{x|x≥4}，
故答案为：{x|x≥4}；
函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，进行求解；
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
13.答案：0.9702
解析：解：生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分 别 0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立， 则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率： p=（1-0.01）（1-0.02）=0.9702． 故答案为：0.9702．
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分的面积 S=
=，
故答案为：
作出 f（x）与 g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可． 本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法 是解决本题的关键．比较基础．
7.答案：10
解析：解：由题意，可根据增广矩阵的定义还原成线性方程组为： ．
∵方程组的解为
，
∴m=-2，n=12． ∴m+n=10． 故答案为：10．
本题可先根据增广矩阵的定义还原成线性方程组，然后将方程组的解为
代入方
程组得到 m、n 的值，即可得到 m+n 的值． 本题主要考查增广矩阵的定义，根据方程组的解得出参数的值．本题属基础题．