2020年上海市金山区高考数学二模试卷(有答案解析)

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2020年上海市金山区高考数学二模试卷

2020年上海市金山区高考数学二模试卷

2020年上海市金山区高考数学二模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.(4分)集合{|03}A x x =<<,{|||2}B x x =<,则A B =I . 2.(4分)函数12y x -=的定义域是 .3.(4分)i 是虚数单位,则||1ii-的值为 . 4.(4分)已知线性方程组的增广矩阵为113()02a ,若该线性方程组的解为1()2,则实数a = .5.(4分)已知函数21()||11x f x =,则1(0)f -= . 6.(4分)已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=,则实数a = .7.(5分)已知函数1()sin 11xf x lg x x-=+++.若()4f m =,则()f m -= .8.(5分)数列{}n a 通的项公式*11,2132n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎩…,前n 项和为n S ,则lim n n S →∞= . 9.(5分)甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人,职业分别为医生、护士与化验师,现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍,则他们的单位与职业都不相同的概率是 .(结果用最简分数表示)10.(5分)若点集22{(,)|1}A x y x y =+„,{(,)|22B x y x =-剟,11}y -剟,则点集12{(,)|Q x y x x x ==+,12y y y =+,1(x ,1)y A ∈,2(x ,2)}y B ∈所表示的区域的面积是 .11.(5分)我们把一系列向量(1i a i =u u r ,2,⋯,)n 按次序排成一列,称之为向量列,记作{}i a u u r,已知向量列{}i a u u r 满足1(1,1)a =u u r ,11111(,)(,)(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+u u r …,设n θ表示向量n a uu r 与1n a -u u u r 的夹角,若2n n n b θπ=对任意正整数n ,log (12)a a ⋯+>-恒成立,则实数a 的取值范围是 .12.(5分)设*n N ∈,n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和,16,2m t t R =-+∈,1222[][][]([]333n n n na a ab x =++⋯+表示不超过实数x 的最大整数),则22()()n n t b m -+-的最小值为 .2x二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑13.(5分)已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111:0l a x b y c ++=,2222:0l a x b y c ++=,那么“11220a b a b =是“两直线1l ,2l 平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件14.(5分)如图,若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是( )A 22+ B 12+ C .22D .12+15.(5分)在正方体1111ABCD A B C D -中,下列结论错误的是( )A .221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u rB .1111()0AC A B A A -=u u u u r u u u u r u u u rgC .向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是120︒D .正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD u u u r u u u r u u u rg g16.(5分)函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且(1)f x -为偶函数,当[0x ∈,1]时,()f x x =,若函数()()g x f x x m =--有三个零点,则实数m 的取值范围是( ) A .11(,)44-B .(12,21)-C .11(4,4)()44k k k Z -+∈D .(412,421)()k k k Z ++∈三、解答题(本大满分76分)本天题共有5题,下列必频在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤,17.(14分)已知四棱锥P ABCD -,PA ⊥底面ABCD ,1PA =,底面ABCD 是正方形,E是PD 的中点,PD 与底面ABCD所成角的大小为6π. (1)求四棱锥P ABCD -的体积;(2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18.(14分)已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =. (1)求函数()f x 在区间[0,]π上的单调增区间; (2)当11()5f α=,且236ππα-<<,求sin(2)3πα+的值. 19.(14分)随着疫情的有效控制,人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复,位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计研究,近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型*:n N ∈ 以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+⎧⎪⎪=+⎨⎪-⎪⎩g剟剟剟表示第n 个时刻进入园区的人数; 以0115()4005000162882002936n g n n n n ⎧⎪=-⎨⎪⎩剟剟剟表示第n 个时刻离开园区的人数; 设定每15分钟为一个计算单位,上午8点15分作为第1个计算人数单位,即1n =;8点30分作为第2个计算单位,即2n =;依此类推,把一天内从上年8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四含五入,精确到整数).(1)试分别计算当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的人数(19)(20)(21)(22)f f f f +++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++;(2)请问,从12点(即16)n =开始,园区内游客总人数何时达到最多?并说明理由.20.(16分)已知动直线l 与与椭圆22:12y C x +=交于1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y 两不同点,且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=O 为坐标原点. (1)若动直线l 垂直于x 轴.求直线l 的方程;。

2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案

2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案

解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1),则此直线的倾斜角为 【答案:4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直,则实数a 的值为 【答案: 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=,2222:0l a x b y c ++=,那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( ). (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件 【答案:B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量,则实数a 的值为 .【答案:11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点,是直线上的动点,则的最小值为( ) (A)(B)(C)(D)【答案:B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ,n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和,162m t =-+,,1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([x ]表示不超过实数x 的最大整数),则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案:95解析:赋值法,令1x =,∴32nnn a =-,∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅, 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围,可知2()(0,1)3n n ⋅∈,∴[]13n n na n =-,∴(1)2n n n b -=,22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方,如图所示, 当3n =时,点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小, ∴min 22512d ==+,即2min95d =。

2020 金山 高三二模

2020 金山 高三二模

2020 金山 高三二模一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1. 集合{|03}A x x =<<,{|||2}B x x =<,则A B =I 2. 函数12y x-=的定义域是3. i 是虚数单位,则i||1i-的值为 4. 已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭,若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭,则实数a =5. 已知函数21()11x f x =,则1(0)f -=6. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=,则实数a =7. 已知函数1()lgsin 11xf x x x-=+++,若()4f m =,则()f m -= 8. 数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,n ∈*N ,前n 项和为n S ,则lim n n S →∞=9. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人,职业分别为医生、护士与化验师,现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍,则他们的单位与职业都不相同的概率是 (结果用最简分数表示) 10. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤,{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤,则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是11. 我们把一系列向量i a u r (1,2,,)i n =⋅⋅⋅按次序排成一列,称为向量列,记作{}i a u r ,已知向量列{}i a u r满足1(1,1)a =u u r ,11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+u u r (2)n ≥,设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 夹角,若2n n n b θπ=,对任意正整数nlog (12)a a ⋅⋅⋅>-恒成立,则实数a 的取值范围是 12. 设n ∈*N ,n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和,162m t =-+,t ∈R ,1222[][][]333n n n na a ab =++⋅⋅⋅+([]x 表示不超过实数x 的最大整数),则22()()n t b m -+-的最小值为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=,2222:l a x b y c ++0=,那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( ) A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件14. 如图,若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是( ) A .22+ B . 12+ C . 22+ D . 12+ 15. 在正方体1111ABCD A B C D -中,下列结论错误的是( )A. 221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r B . 1111()0A C A B A A ⋅-=u u u r u u u u r u u u r 、C .向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是0120D .正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD ⋅⋅u u u r u u u r u u u r16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且(1)f x -为偶函数,当[0,1]x ∈时,()f x x =,若函数()()g x f x x m =--有三个零点,则实数m 的取值范围是( )A . 11(,)44- B . (12,21)--C . 11(4,4)44k k -+(Z k ∈) D . (412,421)k k +-+-(Z k ∈)三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 已知四棱锥P ABCD -,PA ⊥底面ABCD ,1PA =,底面ABCD 是正方形,E 是PD 的中点,PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π. (1)求四棱锥P ABCD -的体积; (2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18. 已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =+.(1)求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间; (2)当11()5f α=,且236ππα-<<,求sin(2)3πα+的值.19. 随着疫情的有效控制,人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复,位于我区的某著名赏花园区重新开放,据统计研究,近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型(*N n ∈):以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数,以0115()4005000162882002936n g n n n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位,上午8点15分作为第1个计算人数单位,即1n =,8点30分作为第2个计算单位,即2n =,依次类推,把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).(1)试分别计算当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的游客人数(19)(20)f f +(21)(22)f f ++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++;(2)请问,从12点(即16n =)开始,园区内游客总人数何时达到最多?并说明理由.20. 已知动直线l 与椭圆22:12y C x +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且△OPQ的面积2OPQ S =V ,其中O 为坐标原点.(1)若动直线l 垂直于x 轴,求直线l 的方程;(2)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(3)椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ,使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ?若存在,判断△DEG 的形状,若不存在,请说明理由.21. 若无穷数列{}n a 满足:存在*N k ∈,对任意的0n n ≥(*N n ∈),都有n k n a a d +-=(d 为常数),则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .(1)若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ,且11a =,22a =,33a =,求234a a a ++的值;(2)若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+,判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ,并说明理由;(3)设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ,又具有性质2(,2,)Q j d ,其中*,N i j ∈,i j <,i 、j 互质,求证:数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i--.金山区2019学年第二学期质量监控高三数学试卷评分参考答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1–6题每题4分,第7–12题每题5分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.02(,) ;2.0+∞(,);3.2 ; 4.2;5.0;6.127.-2;8.74;9.114;10.20+π;11.10,3();12.95 二、选择题(本大题共4小题,满分20分,每小题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.B ;14.C ;15.D ;16.C.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)解:(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PD 与底面ABCD 所成角为PDA ∠, …………………3分由=6PDA π∠,得AD = ……………………………………………………4分所以2113V AD PD =⨯=; ……………………………………………………………………7分 (2)解法一:取CD 中点F ,连接,EF AF ,因为//EF PC ,所以AEF ∠就是所求角(或其补角) 10分由计算得1,AE AF EF ===,222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅所以,异面直线所成角为其补角,大小为. ………………………………………14分解法二:如图建系(图略),得())10,0,1,,0,22P CE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, …………………10分设异面直线所成角为θ ,则cos 7||||AE PC AE PC θ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r所以,异面直线所成角大小为arccos7. ………………………………………14分 18.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)解:(1)()1cos 2sin 16f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, ……………………………3分 22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,22233k x k ππππ-+≤≤+, ………5分所以,当[0,]x π∈ 时,函数单调递增区间是[0,]3π; ……………………7分(2)1132sin 1,sin ,6565ππαα⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………9分 因为,36263πππππαα2-<<-<+< ,所以cos 06πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭,4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, …11分因而3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………14分 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 解:(1)进入园区人数为(19)(20)(21)(22)f f f f +++1314151611111111300[3333]24004=⨯++++⨯14738≈(人), …………………3分离开园区的人数(19)(20)(21)(22)=12800g g g g +++(人); ………………6分 (2)当时,园内游客人数递增;当时,园内游客人数递减, …8分 ①当1628n ≤≤时,661111()()30032400(4005000)30034007400n n f n g n n n ---=⋅+--=⋅-+,由计算器计算可得:当1622n ≤≤时,()()0f n g n ->,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多; 当2328n ≤≤时,()()0f n g n -<,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少;…10分()()()()222282.9130,2323161.30f g f g -=>-=-< ………………11分②当2936n ≤≤时,由()()65015200f n g n n -=-+递减,且其值恒为负数.进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少. ………………13分综上,当天下午13:30时(22n =)园区内的游客人数最多人. ………………14分20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)解:(1)直线l 垂直于x 轴时,,P Q 两点关于x轴对称,由111|||2y |22S x =⋅=与2211=12y x +,…2分 可得2112x =,所以,直线l的方程为2x =± ; ……………………………………4分(2) 若直线l 垂直于x 轴时,由(1)知,22121x x +=,22122y y +=均为定值 ……………5分若直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y kx m =+ ,0)()(≥-n g n f 0)()(<-n g n f联立2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得:222(2)220k x kmx m +++-=, 则12221222222km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,由∆>0 得222m k <+, …………………6分由122|||2PQ x x k=-=+,d =21|||222m S PQ d k ===+V得()()242222244220,22m mkk m k -+++==+ 满足∆>0, ……………8分()()()()()22222222212121222222242222122k m m k m k x x x x x x k k -++++=+-===++, ………9分()()2222121222222y y x x +=-+-=,综上,2212=1x x + 和2212=2y y + 均为定值; ……………10分(3) 椭圆C 上不存在点,,D E G,使得三角形面积ODE ODG OEG S S S ===V V V ,………11分 假设存在()()()112233,,,,,,D x y E x y G x y 由(2)得2222221223311,1,1x x x x x x +=+=+= ,得22212312x x x ===同理,2221231y y y ===, ………13分 所以,,D E G只能在12⎛⎫±± ⎪ ⎪⎝⎭这4个点中任取3个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,不构成三角形,所以产生矛盾,假设不成立.所以,椭圆C 上不在点,,D E G . …………16分21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)解:(1) 由30,1n n a a n +-=≥ …………1分 知411a a ==,所以2346a a a ++=; …………………4分(2) 设等差数列{}n b 公差为d , 等比数列{}n c 的公比为q ,则由题意,411111481b c q b d c ⎧==⎨+==⎩解得11811,,1203c b d q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩52019,3nn n b n c -=-=, …………………7分532019n n a n -=+-,对任意0n n ≥,()520331n k n k n a a k --+-=+-不恒为0,所以,不具有性质()0,,0Q k n .…………………………………………10分(解法二:说明从第二项起单调递增) (3) 由题意得12(1)2(2)n i n n j n a a d n a a d ++-=⎧≥⎨-=⎩,,, …………………………………………12分由(1)得1n ji n a a jd +=+ (3) 由(2)得2n ij n a a id +=+ (4)(3)(4)- 得21,2,jd d n i=≥ …………………………………………15分 由(1)得()1+,2n j n j i a a d n +--=≥ (5), 由(2)(5)- 得211,2n j i n j ia a d d d n i+---=-=≥ 即数列{}n a 具有性质1,2,j i Q j i d i -⎛⎫- ⎪⎝⎭.{}n a {}n a。

上海金山区高考数学二模试卷

上海金山区高考数学二模试卷

上海金山区高考数学二模试卷Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202018年上海市金山区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题(本大题共4小题,共分)1.若向量a⃗=(2, 0),b⃗ =(1, 1),则下列结论中正确的是( ).A. a⃗b⃗ =1B. |a⃗|=|b⃗ |C. (a⃗b⃗ )⊥b⃗D. a⃗ ∥b⃗2.椭圆的参数方程为{x=5cosθy=3sinθ(θ为参数),则它的两个焦点坐标是( ).A. (±4, 0)B. (0, ±4)C. (±5, 0)D. (0, ±3)3.如图几何体是由五个相同正方体叠成的,其三视图中的左视图是( ).4.A.B.C.D.5.若对任意x∈(12,1),都有x1+x2x2=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…,则a2+a3的值等于( ).A. 3B. 2C. 1D. -1二、填空题(本大题共12小题,共分)6.函数y=3sin(2x+π3)的最小正周期T=___________.7.函数y=lg x的反函数是_____.8.已知集合P={x| (x+1)(x–3)<0},Q={x| |x| > 2},则P∩Q=______.9.函数y=x+9x,x∈(0,+∞)的最小值是________.10.计算:limn→∞[12+14+18+⋯+(12)n]=________.11.记球O1和O2的半径、体积分别为r1、V1和r2、V2,若V1V2=827,则r1r2=________.12.若某线性方程组对应的增广矩阵是(m421m m),且此方程组有唯一一组解,则实数m的取值范围是________.13.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球,从中任取两个球,则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是_______.14.(1+2x)n的二项展开式中,含x3项的系数等于含x项的系数的8倍,则正整数n=_______.15.平面上三条直线x–2y+1=0,x–1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六个部分,则实数k的取值组成的集合A= .16.已知双曲线C:x29y28=1,左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点,使得∠F1PQ=90°,则△F1PQ的内切圆的半径r =________.17.若sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α),则sin(α+β2)=__________.三、解答题(本大题共5小题,共分)18.在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是边长为6的正方形,PD⊥平面ABCD,PD=8.19.20.21.22.(1) 求PB与平面ABCD所成角的大小;23.24.(2) 求异面直线PB与DC所成角的大小.25.26.27.28.29.30.31.复数z=(12√32i)2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根.32.33.(1) 求m和n的值;(2) 若(m+ni)u+u=z(u∈C),求u.35.已知椭圆Γ:x24+y23=1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点(点A在x轴上方),点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA、PB分别交直线l:x=4于M、N两点,记M、N两点的纵坐标分别为y M、y N.36.37.38.39.(1) 求直线PB的斜率(用k表示);40.41.(2) 求点M、N的纵坐标y M、y N (用x1, y1表示) ,并判断y M×y N是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.42.43.44.45.47.48.49. 已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=12a n +2.50. (1) 证明:数列{a n –4}是等比数列;51. (2) 求使不等式a n ma n+1m<23成立的所有正整数m 、n 的值; 52. (3) 如果常数0 < t < 3,对于任意的正整数k ,都有a k+1ta k t <2成立,求t 的取值范围.53.54.55.56.57.58. 59. 若函数y =f (x )对定义域内的每一个值x 1,在其定义域内都存在唯一的x 2,使f (x 1)f (x 2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.60. (1) 判断函数g (x )=2x 是否为“依赖函数”,并说明理由;61. (2) 若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ,n ](m >1)上为“依赖函数”,求实数m 、n 乘积mn 的取值范围;62. (3) 已知函数f (x )=(x –a )2 (a <43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”.若存在实数x ∈[43,4],使得对任意的t ∈R ,有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立,求实数s 的最大值.63.64.65.66.67.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件,对各项逐个加以判别,即可得到本题答案.本题给出两个向量的坐标,判断几个式子的正确性,着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识,属于基础题.【解答】解:对于B因为||==,||=,所以||与||不相等,故B项不正确;对于A,=2,得A项不正确;对于C,-=(1,-1),则()=0,所以(+),因此C项正确;对于D,不存在实数λ,使=λ成立,得D项不正确.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化,考查椭圆的简单几何性质,属于基础题.将参数方程化成普通方程,写出焦点坐标即可.【解答】解:椭圆的参数方程为(θ为参数),所以椭圆的标准方程为半焦距故焦点坐标为(±4,0).故选A.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图,难度一般.【解答】解:下面两个正方形,上面一个正方形.根据几何体的三视图,它的左视图应该是下面两个正方形,上面一个正方形.故选A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据多项式相乘原理求出某项的系数,是基础题目.根据题意,=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…化为,利用系数相等,列出方程,求出,,,,,的值计算即可.【解答】解:对任意时,都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…,即,,且,解得,,,,,,故答案为-2.5.【答案】π【解析】【分析】本题考查给出三角函数表达式求函数的最小正周期,着重考查了函y=Asin (ωx+φ)的周期公式的知识,属于基础题.将题中的函数表达式与函数y=Asin (ωx+φ)进行对照,可得ω=2,由此结合三角函数的周期公式加以计算,即可得到函数的最小正周期.【解答】解:∵函数表达式为y=3sin(2x+),∴ω=2,可得最小正周期T=||=||=π.故答案为π.6.【答案】y=10x【解析】【分析】本题考查反函数,属于基础题.同底的对数函数和指数函数互为反函数.【解答】解:函数y=lgx的反函数是.故答案为.7.【答案】(2,3)【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【解答】解:所以故答案为(2,3).8.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值, 利用基本不等式,注意当a=b时,等号成立,从而求得最小值.【解答】解:因为x∈(0,+∞),由基本不等式得:,即,所以当x=3时,y的最小值为6,故答案为6.9.【答案】1【解析】【分析】本题zhuy主要考查等比数列的求和,考查极限的求法,属于基础题.【解答】解:===1.故答案为1.10.【答案】23【解析】【分析】本题考查球的体积.【解答】解:由已知得:,又,所以,所以,故答案为.11.【答案】m≠±2【解析】【分析】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型.根据题意得到二元线性方程组的表达式,此方程组有唯一一组解,则两直线不平行也不重合,求解即可.【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵为,可得到二元线性方程组的表达式,因为此方程组有唯一一组解,所以两直线不平行也不重合,故∴m≠±2?,故答案为m≠±2.12.【答案】35【解析】【分析】此题考查的知识点是古典概型,其中计算出所有取法的基本事件总数,及两个球中恰有一个白球的基本事件个数,是解答本题的关键.根据已知中口袋中装有大小相同的3个黑球,2个白球,从中任取两个球,我们易计算出所有取法的基本事件总数,及两个球中恰有一个白球的基本事件个数,代入古典概型公式,即可得到答案.【解答】解:∵口袋中装有大小相同的3个黑球,2个白球,分别计为A,B,C,1,2,则任取两个球共有:(A,B),(A,C),(A,1),(A,2)、(B,C),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),(1,2)共10种,其中恰有一个白球共有(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),共种,故取出的两个球中至少有一个白球的概率P=.故答案为.13.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项,解题的关键是熟练掌握通项,属于基础试题.由题意可得T r+1=C n r(2x)r=2r C n r x r分别令r=3,r=1可得含x3,x项的系数,从而可求.【解答】解:由题意可得二项展开式的通项,T r+1=C n r(2x)r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为:8C n3,令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为5.14.【答案】{–1,0,–2}【解析】【分析】三条直线将平面划分为六部分,则直线x+ky=0过另外两条直线的交点,或这条直线与另外两条直线平行,由此求出k的值.【解答】解:若是三条直线两两相交,且交点不重合,则这三条直线把平面分成7部分;如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立,①是x+ky=0过另外两条直线的交点,由x?2y+1=0和x?1=0的交点是(1,1),解得k=?1;②是这条直线与另外两条直线平行,此时k=0或2,综上,k的取值集合是{0,1,2}.故答案为{1,0,2}.15.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的概念和标准方程,涉及直角三角形的内切圆,属中高档题. 设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,在Rt△F1PF2中,利用勾股定理求得s的值,即可算出内切圆半径【解答】解:双曲线C:,,设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,所以,即,所以,解得或s=-2,∴内切圆半径,故答案为2. 16.【答案】±1 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换,三角函数的有界性等知识点,属于基础题, 首先通过化简处理,再利用三角函数的有界性,将不等式化为等式处 理. 【解答】 解:由已知得,∵左边,右边,∴, ∴,∴,, ∴,,∴,∴.故答案为±1.17.【答案】解:(1)连BD ,因为PD ⊥平面ABCD ,则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角, 在△PBD 中,tan ∠PBD =?2√23,所以∠ PBD =arctan 2√23, 所以PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan2√23; (2)因为AB ∥DC ,所以∠PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角, 因为PD ⊥平面ABCD ,所以AB ⊥PD ,又AB ⊥AD ,所以AB ⊥PA , 在Rt △PAB 中,PA =10,AB =6, 所以tan ∠PBA =53,∠PBA =arctan 53,异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan 53.【解析】本题考查四棱锥的知识,考查线面成角和异面直线所成角的大小的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.(1)由PD⊥平面ABCD,则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角即可求出;(2)由AB∥DC,得∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角,由此能求出异面直线PB与DC所成角的大小.18.【答案】解:(1)因为z=(12√32i)2=12√32i,所以z=12+√32i,由题意知:z、zˉ是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根,由{nm =(12√32i)+(12+√32i)1 m =(12√32i)(12+√32i),解之得:{m=1 n=1,(2)设u=c+di(c,d∈R),则(1+i)(c–di)+(c+di)=12√32i,2c+d+ci=12√32 i,则有{2c+d=12c=√32,解得{c=√32d=12+√3,所以u=√32+(√312)i.【解析】(1)化简可得,则,根据z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根,利用根与系数的关系求解;(2)设u=c+di(c,d∈R),则,,利用复数相等的充要条件则有,求解即可.19.【答案】解:(1)设直线AB方程为y=k(x1),联立{y =k(x1)x 24+y 23=1,消去y ,得(4k 2+3)x 28k 2x +4k 212=0, 因为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),且{x 1+x 2=8k 24k 2+3x 1x 2=4k 2124k 2+3, 又P(x 1,y 1),所以k PB =y 1+y 2x1+x 2=k(x 11)+k(x 21)x 1+x 2=34k ,;(2)又直线PA 的方程为y =y1x 1x ,则y M =4y 1x 1,由题意可知,k =y1x 11,直线PB 的方程为y +y 1=3(x 11)4y 1(x +x 1),则y N =3(x 11)(4+x 1)4y 1y 1,x 124+y 123=1,y M ×y N =3(x 11)(4+x 1)x 14y 12x 1=3x 12+4y 12+9x 112x 1=–9,综上,乘积y M ×y N 为定值–9. 【解析】本题主要考查了椭圆与直线的关系,(1)设直线AB 方程为,联立,消去,得,再由韦达定理即可k PB ;(2)又直线的方程为,则,由题意可知,,直线的方程为y+y 1=(x+x 1),则,,即可求出y M ×y N 为定值–9.20.【答案】(1)证明:由a n +1=12a n +2, 所以a n +1–4 =12(a n –4 ),且a 1–4=–2,故数列{a n –4}是以–2为首项,12为公比的等比数列; (2)解:由(1)题,得a n –4=–2(12)n1,得a n =4(12)n2, 于是4(12)n2m 4(12)n1m <23,当m ≥4时,4(12)n2m 4(12)n1m >1,无解,因此,满足题意的解为{m =1n =1或{m =2n =1或{m =3n =2;(3)解:①当k =1时,由3t2t <2,解得0<t <1或2<t <3, ②当k ≥2时,a n =4(12)n23,故分母a n t >0恒成立, 从而,只需a k +1–t <2(a k –t )对k ≥2,k ∈N *恒成立,即t <2a k –a k +1对k ≥2,k ∈N *恒成立, 故t <(2a k –a k +1)min , 又2a k a k +1=43(12)k1,故当k =2时,(2a k a k +1)min =52,所以t <52, 综上所述,t 的取值范围是(0,1)∪(2,52). 【解析】本题考查了数列的函数特征和等比数列的判定与证明,是中档题. (1)由a n+1=a n +2,所以a n+1–4 =(a n –4 ),即可得证等比数列;(2)由(1)题,得,于是,求解即可;(3)分k=1和k≥2两种情况分别由数列的函数特征求解即可.21.【答案】解:(1) 对于函数g (x )=2x 的定义域R 内任意的x 1,取x 2= –x 1, 则g (x 1)g (x 2)=1,且由g (x )=2x 在R 上单调递增,可知x 2的取值唯一, 故g (x )=2x 是“依赖函数”;(2) 因为m >1,f (x )=(x –1)2在[m ,n ]递增, 故f (m )f (n )=1,即(m –1)2(n –1)2=1, 由n >m >1,得(m –1) (n –1) =1,故n =mm1, 由n >m >1,得1<m <2,从而mn =m 2m1=m1+1m1+2在m ∈(1,2)上单调递减,故mn ∈(4,+∞);(3) 因a <43,故f(x)=(xa)2在[43,4]上单调递增, 从而f(43)f(4)=1,即(43a)2(4a)2=1, 进而(43a)(4a)=1, 解得a =1或a =133(舍),从而,存在x ∈[43,4],使得对任意的t ∈R ,不等式(x1)2t 2+(st)x +4都成立,即t 2+xt +x 2(s +2)x30恒成立,由Δ=x 24[x 2(s +2)x3]0,得4(s +2)x3x 212,由x ∈[43,4],可得4(s +2)3x 12x,又y =3x12x在x ∈[43,4]单调递增, 故当x =4时,(3x12x )max=9,从而4(s +2)9,解得s 14, 故实数s 的最大值为14. 【解析】(1) 取x 2= –x 1,则g(x 1)g(x 2)=1,且由g(x)=2x 在R 上单调递增,可知x 2的取值唯一,根据新定义可得g(x)=2x 是“依赖函数”;(2) m>1,f(x)=(x –1)2在[m ,n]递增,故f(m)f(n)=1,即(m –1)2(n –1)2=1,从而在上单调递减,故可得;(3) 因,故在上单调递增,从而解得,原不等式即即恒成立,由,且在单调递增,故当时,,从而,求解即可.。

2020上海金山高三二模数学

2020上海金山高三二模数学

上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.集合{|03}A x x ,{|||2}B x x ,则A B 2.函数12y x的定义域是3.i 是虚数单位,则i||1i的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ,若该线性方程组的解为12,则实数a 5.已知函数21()11x f x ,则1(0)f6.已知双曲线2221x y a(0)a 的一条渐近线方程为20x y ,则实数a7.已知函数1()lg sin 11xf x x x,若()4f m ,则()f m8.数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n,n *N ,前n 项和为n S ,则lim n n S9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人,职业分别为医生、护士与化验师,现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍,则他们的单位与职业都不相同的概率是 (结果用最简分数表示)10.若点集22{(,)|1}A x y x y ,{(,)|22,11}B x y x y ,则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量i a (1,2,,)i n 按次序排成一列,称为向量列,记作{}i a,已知向量列{}i a 满足1(1,1)a ,11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y (2)n ,设n 表示向量1n a 与n a 夹角,若2n n n b,对任意正整数n ,log (12)a a恒成立,则实数a 的取值范围是12.设n *N ,n a 为(2)(1)n n x x 的展开式的各项系数之和,162m t ,t R ,1222[][][]333n n n na a ab ([]x 表示不超过实数x 的最大整数),则22()()n t b m 的最小值为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ,2222:l a x b y c 0 ,那么“11220a b a b ”是“两直线1l 、2l 平行”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14.如图,若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的 面积是( )A.22B.12C. 2D. 115.在正方体1111ABCD A B C D 中,下列结论错误的是()A. 221111111()3A A A D A B A B B. 1111()0A C A B A AC. 向量1AD 与1A B的夹角是120°D. 正方体1111ABCD A B C D 的体积为1||AB AA AD16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且(1)f x 为偶函数,当[0,1]x 时,()f x 若函数()()g x f x x m 有三个零点,则实数m 的取值范围是()A. 11(,)44B. (11)C. 11(4,4)44k k (Z k )D. (411)k k (Z k )三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.已知四棱锥P ABCD ,PA 底面ABCD ,1PA ,底面ABCD 是正方形,E 是PD 的中点,PD 与底面ABCD 所成角的大小为6.(1)求四棱锥P ABCD 的体积; (2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18.已知函数2()2cos 2xf x x . (1)求函数()f x 在区间[0,] 上的单调递增区间; (2)当11()5f,且236 ,求sin(23的值. 19.随着疫情的有效控制,人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复,位于我区的某著名赏花园区重新开放,据统计研究,近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型(*N n ):以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n表示第n 个时刻进入园区的人数,以0115()4005000162882002936n g n n n n表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位,上午8点15分作为第1个计算人数单位,即1n ,8点30分作为第2个计算单位,即2n ,依次类推,把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).(1)试分别计算当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的游客人数(19)(20)f f(21)(22)f f 和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g ;(2)请问,从12点(即16n )开始,园区内游客总人数何时达到最多?并说明理由.20.已知动直线l 与椭圆22:12y C x 交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点,且△OPQ 的面积2OPQ S ,其中O 为坐标原点.(1)若动直线l 垂直于x 轴,求直线l 的方程;(2)证明2212x x 和2212y y 均为定值;(3)椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ,使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ? 若存在,判断△DEG 的形状,若不存在,请说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足:存在*N k ,对任意的0n n (*N n ),都有n k n a a d (d 为常数),则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .(1)若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ,且11a ,22a ,33a ,求234a a a 的值; (2)若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ,5181b c ,n n n a b c ,判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ,并说明理由;(3)设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ,又具有性质2(,2,)Q j d ,其中*,N i j ,i j ,i 、j 互质,求证:数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i.参考答案一. 填空题1.(0,2)2.(0,)3.24.25.06.127.28.749.11410.20 11. 1(0,)312.95二. 选择题 13.B 14.C15.D16.C三. 解答题17.(1)1;(2)arccos7. 18.(1)[0,3 ;(2)2425.19.(1)14738,12800;(2)13点30分.20.(1)2x;(2)1,2;(3)不存在. 21.(1)6;(2)不具有;(3)略.。

上海市金山区高考数学二模试卷

上海市金山区高考数学二模试卷

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题(本大题共4小题,共20.0分)1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定不等于0的是( )A. B. C. D.2.在我国南北朝时期,数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.其意思是,用一组平行平面截两个几何体,若在任意等高处的截面面积都对应相等,则两个几何体的体积必然相等.根据祖暅原理,“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3.设F1、F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,且∠PF1F2=30°,则双曲线C的渐近线方程是( )A. x±y=0B. x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.若实数a、b满足,则的取值范围是( )A. [-2,0]B.C.D.二、填空题(本大题共12小题,共54.0分)5.函数的定义域是______.6.函数y=(sin x+cos x)2的最小正周期是______.7.若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为,该方程组的解为,则m+n的值是______8.二项式(x+1)7的展开式中含x3项的系数值为______.9.已知全集U=R,集合,则∁U P=______.10.若z1=1+i,z2=a-i,其中i为虚数单位,且R,则|z2|=______11.方程(t为参数,t∈R)所对应曲线的普通方程为______12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则=______.13.若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是______(结果用小数表示)14.已知函数f(x)=sin x和的定义域都是[-π,π],则它们的图象围成的区域面积是______15.若集合A={x|x2-(a+2)x+2-a<0,x∈Z}中有且只有一个元素,则正实数a的取值范围是______16.正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,动点P满足,若,其中m、n∈R,则的最大值是______三、解答题(本大题共5小题,共76.0分)17.已知△ABC中,,,.求:(1)角C的大小;(2)△ABC中最小边的边长.18.如图,已知点P在圆柱OO1的底面圆O上,AB为圆O的直径,圆柱OO1的侧面积为16π,OA=2,∠AOP=120°.(1)求三棱锥A1-APB的体积;(2)求直线A1P与底面PAB所成角的大小.19.从金山区走出去的陈驰博士,在《自然-可持续性》杂志上发表的论文中指出:地球正在变绿,中国通过植树造林和提高农业效率,在其中起到了主导地位.已知某种树木的高度f(t)(单位:米)与生长年限t(单位:年,t∈)满足如下的逻辑斯蒂函数:,其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.(1)需要经过多少年,该树的高度才能超过5米?(精确到个位)(2)在第几年内,该树长高最快?20.已知椭圆Γ:,过点D(-1,0)的直线l:y=k(x+1)与椭圆Γ交于M、N两点(M点在N点的上方),与y轴交于点E.(1)当m=1且k=1时,求点M、N的坐标;(2)当m=2时,设,,求证:λ+μ为定值,并求出该值;(3)当m=3时,点D和点F关于坐标原点对称,若△MNF的内切圆面积等于,求直线l的方程.21.若数列{a n}、{b n}满足|a n+1-a n|=b n(n∈N*),则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”.(1)若{b n}为常数列,且为{a n}的“偏差数列”,试判断{a n}是否一定为等差数列,并说明理由;(2)若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列,且a3-a2=6,{b n}为数列{a n}的“偏差数列”,求的值;(3)设,{b n}为数列{a n}的“偏差数列”,a1=1,a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1,若|a n|≤M对任意n∈N*恒成立,求实数M的最小值.答案和解析1.【答案】D【解析】解:如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设长方体的长宽高分别为a,b,c则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),∴=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,b,0),=(0,b,0),=(-a,0,0),∴•=a2-c2,当a=c时,•=0,•=a2-b2,当a=b时,•=0,•=0,•=a2≠0,故选:D.以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,根据向量的运算和向量的数量积的关系即可判断本题考查了向量的数量积,建立坐标系是关键,属于基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件,属中档题.先阅读题意,再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解.【解答】解:由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件,结合原命题与其逆否命题的真假可得:“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件,故选:A.3.【答案】B【解析】解:设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|•|F1F2|cos30°,∴(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×,同时除以a2,化简e2-2e+3=0,解得e=,∴c=,∴b==,∴双曲线C:=1的渐近线方程为y==±,即=0.故选:B.设|PF1|>|PF2|,由已知条件求出|PF1|=4a,|PF2|=2a,e=,进而求出b=,由此能求出双曲线C:=1的渐近线方程.本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握双曲线的简单性质.4.【答案】D【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分):则=,的几何意义为阴影部分的动点(a,b)到定点原点连线的斜率的取值范围.由图象可知当点位于B时,直线的斜率最大,当点位于A时,直线的斜率最小,由,解得B(,),∴BO的斜率k=3,由可得A(1,1),OA的斜率k=1,∴1≤z≤3,则==(k-)2-∈.故选:D.作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用的几何意义即可求出的取值范围.本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义是解决本题的关键,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.5.【答案】{x|x≥4}【解析】解:∵函数,∴x-4≥0,可得x≥4,∴函数的定义域为:{x|x≥4},故答案为:{x|x≥4};函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数,进行求解;函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.6.【答案】π【解析】解:函数y=(sin x+cos x)2=1+2sin x cosx=1+sin2x,故它的最小正周期等于=π,故答案为:π.利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式可得函数y=1+sin2x,根据最小正周期等于求出结果.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,正弦函数的周期性及其求法,属于基础题.7.【答案】10【解析】解:由题意,可根据增广矩阵的定义还原成线性方程组为:.∵方程组的解为,∴m=-2,n=12.∴m+n=10.故答案为:10.本题可先根据增广矩阵的定义还原成线性方程组,然后将方程组的解为代入方程组得到m、n的值,即可得到m+n的值.本题主要考查增广矩阵的定义,根据方程组的解得出参数的值.本题属基础题.8.【答案】35【解析】解:二项式(x+1)7的展开式的通项公式为T r+1=•x7-r,令7-r=3,求得r=4,可得展开式中含x3项的系数值为=35,故答案为:35.先求得二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于3,求得r的值,即可求得含x3项的系数值.本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.9.【答案】(-∞,1]【解析】解:由P中y=,0<x<1,得到y>1,即P=(1,+∞),∵全集U=R,∴∁U P=(-∞,1].故答案为:(-∞,1]求出P中y的范围确定出P,根据全集U=R,求出P的补集即可.此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.10.【答案】【解析】解:=a+i,则z1•=(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,若R,则a+1=0,即a=-1,则z2=a-i=-1-i,则|z2|==,故答案为:根据复数的运算法则结合复数为实数求出a的值,结合复数模长的公式进行计算即可.本题主要考查复数模长的计算,结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.11.【答案】y=-x2+2x+2【解析】解:由方程消去参数t可得y=3-(x-1)2,化简得y=-x2+2x+2,故意答案为:y=-x2+2x+2.由方程消去参数t可得y=3-(x-1),再化简可得.本题考查了参数方程化成普通方程,属基础题.12.【答案】16【解析】解:Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则•=||•||•cos A=||•||==16,故答案为16.由题意可得•=||•||•cos A=||•||,由此可得结果.本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的投影,属于中档题.13.【答案】0.9702【解析】解:生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率:p=(1-0.01)(1-0.02)=0.9702.故答案为:0.9702.利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率.本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【答案】【解析】解:的图象为圆心为O半径为π的圆的上半部分,∵y=sin x是奇函数,∴f(x)在[-π,0]上与x轴围成的面积与在[0,π]上与x轴围成面积相同,则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积S==,故答案为:作出f(x)与g(x)的图象,结合图象的对称性进行求解即可.本题主要考查区域面积的计算,作出两个函数的图象,利用图象的对称性,利用割补法是解决本题的关键.比较基础.15.【答案】【解析】解:∵x2-(a+2)x+2-a<0 且a>0∴x2-2x+2<a(x+1)令f(x)=x2-2x+2;g(x)=a(x+1)∴A={x|f(x)<g(x),x∈Z}∴y=f(x)是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;而y=g(x)一次函数,图象是过一定点(-1,0)的动直线.又∵x∈Z,a>0.数形结合,可得:.故答案为:(,]因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为f(x)<g(x)的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数.此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用,利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题.16.【答案】1【解析】解:建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,-1),B(1,-1),D(-1,1),P(,),所以=(+1,sinθ+1),=(2,0),=(0,2),又,所以,则=,其几何意义为过点E(-3,-2)与点P(cosθ,sinθ)的直线的斜率,设直线方程为y+2=k(x+3),点P的轨迹方程为x2+y2=1,由直线与圆的位置关系有:,解得:,即的最大值是1,故答案为:1由平面向量的坐标运算得:则A(-1,-1),B(1,-1),D(-1,1),P(,),所以=(+1,sinθ+1),=(2,0),=(0,2),又,所以,则=,其几何意义为过点E(-3,-2)与点P(cosθ,sinθ)的直线的斜率,由点到直线的距离得:设直线方程为y+2=k(x+3),点P的轨迹方程为x2+y2=1,由点到直线的距离有:,解得:,即的最大值是1,得解本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离,属难度较大的题型17.【答案】解:(1)∵C=π-(A+B),tan A=,tan B=,∴tan C=-tan(A+B)=-=-1,又∵0<C<π,∴C=;(2)由tan A==,sin2A+cos2A=1且A∈(0,),得sin A=.∵,∴BC=AB•=.即最小边的边长为.【解析】(1)利用tan C=-tan(A+B)=-,求出内角C的大小;(2)先求出sin A=,再利用,求出最小边的边长.本题考查正弦定理的应用,考查和角的正切公式,考查学生的计算能力,比较基础.18.【答案】解:(1)由题意,S侧=2π•2•AA1=16π,解得AA1=4,在△AOP中,OA=OP=2,∠AOP=120°,所以,在△BOP中,OB=OP=2,∠BOP=60°,所以BP=2,∵AB是圆O的直径,∴AP⊥BP.∴.(2)因为AA1⊥底面PAB,所以∠APA1是直线A1P与底面PAB所成的角,在Rt△APA1中,,,即直线A1P与底面PAB所成角的大小为.【解析】(1)根据侧面积公式计算圆柱的高,在底面中,根据等腰三角形知识求出AP ,BP,带入棱锥的体积公式计算体积;(2)在Rt△AA1P中计算∠A1PA.本题考查了棱锥的体积计算,直线与平面所成角的计算,属于中档题.19.【答案】解:(1)令≥5,解得t≥4+2ln5≈7.2,即需要经过8年,该树的高度才能超过5米;(2)当t∈时,=,设e-0.5t+2=u,则u∈(0,e2],.令,则.上式当且仅当时,g(u)取得最大值.此时,u=e-0.25,即e-0.5t+2=e-0.25,解得t=4.5.由于要求t为正整数,故树木长高最快的t可能值为4或5,又,,所以,该树在第四年内或第五年内长高最快.【解析】本题主要考查函数的应用问题,利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键.考查学生的计算能力.属于中档题.(1)解不等式f(t)≥5即可;(2)利用作差法求出f(t)-f(t-1)的表达式,判断函数的单调性和最值即可.20.【答案】解:(1)当m=k=1时,联立,解之得:或,即M(0,1),N(,);证明:(2)当m=2时联立,消去y得:(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,由,,且点E的横坐标为0,得x1=λ(x1+1)、x2=μ(x2+1).从而,则==,即λ+μ为定值3;解:(3)当m=3时,椭圆Γ:,假设存在直线l:y=k(x+1)满足题意,则△MNF的内切圆的半径为,又D(-1,0)、F(1,0)为椭圆Γ的焦点,故△MNF的周长为8,从而,消去y,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,设M(x1,y1)、N(x2,y2),则.故,即.由(2),得,化简,得17k4+k2-18=0,解得k=±1,故存在直线l:y=±(x+1)满足题意.【解析】(1)代值联立方程组.解得即可求出,(2)联立方程,利用韦达定理,以及向量的知识可得从而,化简整理即可证明,(3)假设存在直线l:y=k(x+1)满足题意,则△MNF的内切圆的半径为,根据韦达定理,弦长公式,三角形的面积公式,即可求出k的值本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.【答案】解:(1){a n}不一定为等差数列,如,则b n=2为常数列,但{a n}不是等差数列,(2)设数列{a n}的公比为q,则由题意,a1、q均为正整数,因为a3-a2=6,所以a1q(q-1)=6=1×2×3,解得或,故或(n∈N*),①当时,,,==;②当时,,,==;综上,的值为或;(3)由a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1得,=故有:,,……,累加得:==,又a1=1,所以,当n为奇数时,{a n}单调递增,a n>0,,当n为偶数时,{a n}单调递减,a n<0,,从而|a n|≤,所以M≥,即M的最小值为.【解析】(1){a n}不一定为等差数列,如;(2)设数列{a n}的公比为q,解方程可得首项和公比,由等比数列的通项公式和求和公式,计算可得所求值;(3)由累加法可得数列{a n}的通项公式,讨论n为奇数或偶数,求得极限,由不等式恒成立思想可得M的最小值.本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,考查分类讨论思想方法,化简运算能力,属于难题.。

金山区2020届高三数学二模考试试题含解析

金山区2020届高三数学二模考试试题含解析
【答案】
【解析】
【分析】
由题意 ,根据复数模的计算即可得解.
【详解】由题意 ,所以 。
故答案为: .
【点睛】本题考查了复数的运算及模的求解,属于基础题.
4。已知线性方程组的增广矩阵为 ,若该线性方程组的解为 ,则实数 __________
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意可得 , 是方程 的解,即可得解.
上海市金山区2020届高三数学二模考试试题(含解析)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1.集合 , ,则 __________
【答案】
【解析】
【分析】
计算出 ,由交集概念即可得解。
【详解】由题意 ,
则 。
故答案为: 。
【答案】
【解析】
【分析】
由题意求出所有选法的个数及符合要求的选法个数,根据古典概型概率公式即可得解。
【详解】由题意,从9人中随机抽取3人,共有 种选法;
要求从中抽取3人中的单位与职业都不相同,共有 种选法;
则所求概率 。
故答案为: 。
【点睛】本题考查了计算原理的应用及古典概型概率的求解,属于基础题。
【答案】
【解析】
【分析】
令 ,可得 为奇函数,求得 后,即可得 ,即可得解。
【详解】令 ,则 ,
,
为奇函数,
又 , , ,
.பைடு நூலகம்
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用,考查了构造新函数的能力和运算求解能力,属于中档题。
8。已知数列 的通项公式为 , ,其前n项和为 ,则 ________。

上海市金山区2020年第二学期高三质量测试数学试题(文理合卷)

上海市金山区2020年第二学期高三质量测试数学试题(文理合卷)

上海市金山区2020年第二学期高三质量测试数学试卷(文理合卷)(满分:150分,完卷时间:120分钟)一、填空题(本大题有12小题,每小题5分,共计60分) 1、函数y = sin2x 的最小正周期是 。

2、(理)函数y=lg(x 2–2x +4)的单调递减区间是 。

(文)不等式:|x –4|≤6的解是 。

3、函数f (x )=2x +1(x ≥1)的反函数f –1(x )= 。

4、(理)已知f (x )为奇函数,且当x >0时f (x )=x (x –1),则f (–3)= 。

(文)下面3个关于算法的叙述:(1)一个程序的算法步骤是可逆的;(2)完成一件事情的算法不止一种;(3)设计算法要本着简单方便的原则。

其中叙述正确..的序号是 。

5、关于x 的不等式:x x x 1<2的解是 。

6、(理)计算:11131)1(913112141211lim ---∞→-+++-++++n n n n ΛΛ= 。

(文)计算:]31)1(2719131[lim 1n n n -∞→-+++-Λ= 。

7、(理)如果(x +x1)n (n ∈N *)展开式中各项系数的和等于32,则展开式中第3项是 。

(文)如果(x +1)n (n ∈N *)展开式中各项系数的和等于32,则展开式中第3项是 。

8、(理)已知直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 232211(t 为参数),则直线l 的倾斜角的大小为 。

(文)圆柱侧面展开图是一个边长为2的正方形,则其体积为 。

9、(理)设地球的半径约为6371千米,在赤道圈上有两点A 、B ,这两点的经度差为120o ,则A 、B 两点的球面距离是 (千米)。

(计算结果精确到1千米)(文)已知目标函数k =3x+y ,且x 、y 满足以下条件:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-0304y x y y x ,则k 的最大值为 。

10、(理)有一种叫做“天天彩”的彩票,每注售价2元,中奖的概率为1%,如果每注奖的奖金为50元,那么购买一注彩票的期望收益是 (元)。

上海市金山区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷含解析

上海市金山区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷含解析

上海市金山区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.复数()()2a i i --的实部与虚部相等,其中i 为虚部单位,则实数a =( ) A .3B .13-C .12-D .1-2.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出的v 值为( )A .10922⨯-B .10922⨯+C .11922⨯+D .11922⨯-3.正方形ABCD 的边长为2,E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且2AE AC ⋅=,则()2AE AC +的最小值为( ) A .232B .12C .252D .134.如图,正四面体P ABC -的体积为V ,底面积为S ,O 是高PH 的中点,过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ,设三棱锥P DEF -的体积为0V ,截面三角形DEF 的面积为0S ,则( )A .08V V ≤,04S S ≤B .08V V ≤,04S S ≥C .08V V ≥,04S S ≤D .08V V ≥,04S S ≥5.已知正四面体的内切球体积为v ,外接球的体积为V ,则Vv=( ) A .4B .8C .9D .276.已知平面向量,,a b c ,满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=,若对每一个确定的向量a ,记||c 的最小值为m ,则当a 变化时,m 的最大值为( ) A .14B .13C .12D .17.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:422=+,633=+,835=+,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为( ) A .121B .221C .115D .2158.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是( )A .甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B .甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C .甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D .甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上,AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=,2AD =,若球O 的表面积为20π,则三棱锥A BCD -的体积的最大值为( ) A .33B .33C 3D .310.已知集合{}2|2150A x x x =-->,{}|07B x x =<<,则()R A B 等于( )A .[)5,7-B .[)3,7-C .()3,7-D .()5,7-11.复数z 的共轭复数记作z ,已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--,复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于( )A .2B .2C .10D .1012.已知()32z i i =-,则z z ⋅=( ) A .5B .5C .13D .13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020届上海市金山区高三二模数学试题(解析版)

2020届上海市金山区高三二模数学试题(解析版)
(1)试分别计算当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的人数 和离开园区的游客人数 .
(2)请问,从12点(即 )开始,园区内总人数何时达到最多?并说明理由
【答案】(1)14738,12800;(2)13点30分,详见解析
【解析】(1)由分段函数的性质,直接代入计算即可得解;
(2)由题意可得 ,然后构造函数 ,利用导数研究 时,n的最大值即可得解.
【解析】令 ,可得 为奇函数,求得 后,即可得 ,即可得解奇函数,
又 , , ,
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用,考查了构造新函数的能力和运算求解能力,属于中档题.
12.已知数列 的通项公式为 , ,其前n项和为 ,则 ________.
(1)求四棱锥 的体积
(2)求异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
【答案】(1)1;(2) .
【解析】
(1)由题意可得 ,由 即可得解;
(2)取 的中点 ,连接 、 、 ,由题意可得 即为异面直线 与 所成角,分别计算出 、 、 后,利用余弦定理即可得解.
【详解】
(1) 底面 , 即为 与底面 所成的角, ,
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示建立坐标系,计算面积得到答案.
【详解】
如图所示建立坐标系,
根据题意:图2中 为直角梯形, , , .
故 .
故选: .
【点睛】
本题考查了斜二测画法求面积,意在考查学生的计算能力.
3.在正方体 中,下列结论错误的是()
A.
B.
C.向量 与 的夹角是
D.正方体 的体积为
【答案】

2020年上海市金山区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年上海市金山区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年上海市金山区高考数学二模试卷一、选择题(本大题共4小题,共20.0分)1. 已知直角坐标平面上两条直线方程分别为:,:,那么“是“两直线,平行”的A. 充分不必要条件必要不充分条件充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件既不充分也不必要条件充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为且腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是A. B. C. D.3. 在正方体中,下列结论错误的是A.B.C. 向量与的夹角是D. 正方体的体积为4. 函数是定义在R上的奇函数,且为偶函数,当时,,若函数有三个零点,则实数m的取值范围是A.B.C.D.二、填空题(本大题共12小题,共54.0分)5. 集合,,则______.6. 函数的定义域是______.7. i是虚数单位,则的值为______.8. 已知线性方程组的增广矩阵为,若该线性方程组的解为,则实数______.9. 已知函数,则______.10. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则实数______.11. 已知函数若,则______.12. 已知数列的通项公式为,,其前n项和为,则______.13. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人,职业分别为医生、护士与化验师,现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍,则他们的单位与职业都不相同的概率是______结果用最简分数表示14. 若点集,,,则点集,,,所表示的区域的面积是______.15. 我们把一系列向量2,,按次序排成一列,称之为向量列,记作,已知向量列满足,,设表示向量与的夹角,若对任意正整数n,不等式恒成立,则实数a的取值范围是______. 16. 设,为的展开式的各项系数之和,,表示不超过实数x的最大整数,则的最小值为______三、解答题(本大题共5小题,共76.0分)17. 已知四棱锥,底面ABCD,,底面ABCD是正方形,E是PD的中点,PD与底面ABCD所成角的大小为.的体积;求四棱锥的体积;求异面直线AE与PC所成角的大小结果用反三角函数值表示.18. 已知函数.求函数在区间上的单调增区间;上的单调增区间;当,且,求的值.的值.19. 随着疫情的有效控制,人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复,位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计研究,近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型:以表示第n 个时刻进入园区的人数;个时刻进入园区的人数;以表示第n 个时刻离开园区的人数;个时刻离开园区的人数;设定每15分钟为一个计算单位,上午8点15分作为第1个计算人数单位,即;8点30分作为第2个计算单位,即;依此类推,把一天内从上年8点到下午5点分成36个计算单位最后结果四含五入,精确到整数.试分别计算当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的人数和离开园区的游客人数;请问,从12点即开始,园区内游客总人数何时达到最多?并说明理由.开始,园区内游客总人数何时达到最多?并说明理由.20. 已知动直线l 与与椭圆C :交于,两不同点,且的面积,其中O 为坐标原点.为坐标原点.若动直线l 垂直于x 轴.求直线l 的方程;的方程;证明:和均为定值;均为定值; 椭圆C 上是否存在点D ,E ,G ,使得三角形面积?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.的形状;若不存在,请说明理由.21. 若无穷数列满足:存在,对任意的,都有为常数,则称具有性质.若无穷数列具有性质1,,且,,,求的值;若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,并说明理由;,,判断是否具有性质,并说明理由;设无穷数列既具有性质2,,又具有性质2,,其中i,,,i,j互质,求证:数列具有性质2,-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:若“则,若,则不平行于,若“”,则,,故“是“两直线,平行的必要不充分条件,平行的必要不充分条件,故选:B .两条直线平行时,一定可以得到成立,反过来不一定成立,由此确定两者之间的关系本题重点考查四种条件的判定,解题的关键是理解行列式的定义,掌握两条直线平行的条件. 2.答案:C解析:解:水平放置的图形为一直角梯形,由题意可知上底为1,高为2,下底为,.故选:C .水平放置的图形为直角梯形,求出上底,高,下底,利用梯形面积公式求解即可.水平放置的图形为直角梯形,求出上底,高,下底,利用梯形面积公式求解即可.本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,也可利用原图和直观图的面积关系求解.属基础知识的考查.础知识的考查. 3.答案:D解析:解:正方体如图所示,如图所示,选项A ,,故A 正确;正确;选项B ,, 在平面内的投影为,且,,,故B 正确;正确;选项C ,为等边三角形,,,向量与的夹角是,故C 正确;正确; 选项D ,,,故D 显然错误.显然错误.故选:D .选项A ,通过空间向量的加法运算得到,而,故可判断A 正确;正确; 选项B ,,再通过三垂线定理证明,故可判断B 正确;正确; 选项C ,借助平移的思想,将向量与的夹角转化为向量与的夹角,再结合为等边三角形即可得解;为等边三角形即可得解;选项D ,由于,所以,显然正方体的体积不可能为0,故D 错误.错误.本题考查空间向量的运算,涉及加法、减法、数量积和异面直线的夹角,考查学生的空间立体感和运算能力,属于基础题.运算能力,属于基础题. 4.答案:C解析:解:因为函数是定义在R 上的奇函数,且为偶函数,为偶函数, 当时,,故当时,,所以函数的图象如图.的图象如图.有三个零点,有三个零点,即函数与函数有三个交点,有三个交点,当直线与函数图象在上相切时,上相切时, 即有2个相等的实数根,个相等的实数根,即有2个相等的实数根.个相等的实数根. 由求得,数形结合可得有三个零点时,实数b 满足,故此式要求的b 的集合为再根据函数的周期为4,可得要求的b 的集合为,,故选:C .由题意,画出函数的图象,利用数形结合的方法找出与函数有三个零点时b 的求值求值本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用,函数的零点和方程的根的关系,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题合的数学思想,属于中档题5.答案:解析:解:集合, ,. 故答案为:.求出集合A ,B ,由此能求出.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.答案:解析:解:,要使函数有意义,则, 即函数的定义域是.故答案为:.把已知函数解析式变形,再由分母中根式内部的代数式大于0求解.求解. 本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.7.答案:解析:解:,.故答案为:.先化简,再直接求模即可.,再直接求模即可.本题考查复数的运算以及复数模的求解,考查计算能力,属于基础题.本题考查复数的运算以及复数模的求解,考查计算能力,属于基础题.8.答案:2解析:解:由线性方程组的增广矩阵为,可知,,可知,该线性方程组为, 该线性方程组的解为,即,,即. 故答案为:2.本题的关键是根据增广矩阵写出相应的线性方程组,然后将解代入即可计算出参数a 的值.的值. 本题主要考查线性方程组与矩阵结合的问题.考查了转化思想,对应思想,以及方程的计算能力,本题属基础题.本题属基础题.9.答案:0解析:解:函数,由,解得.则.故答案为:0. 根据题意,求,即使得,计算即可.,计算即可.本题考查反函数的求法及其性质,行列式的运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题.10.答案:解析:解:令,则双曲线的渐近线方程为,双曲线有一条渐近线为,,故答案为:. 令,求出双曲线的渐近线方程,再与题中的已知条件对比,即可得到a 的值.的值.本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,属于基础题.本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,属于基础题.11.答案:解析:解:令,即故答案为:.令,运用函数奇偶性的定义可得,从而可得,即,从而求出的值,即可求出的值.的值.本题首先利用构造方法构造新的函数,然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性,用整体思想求解出为一定值,解题时要注意整体思想的运用.为一定值,解题时要注意整体思想的运用.12.答案:解析:解:由题可知, 故答案为:.通过等比数列的求和公式可知当时,进而取极限可得结论.,进而取极限可得结论.本题考查考查数列的通项及前n 项和,考查等比数列的求和公式,涉及极限思想,注意解题方法的积累,属于中档题.积累,属于中档题.13.答案:解析:解:甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人,职业分别为医生、护士与化验师,人,职业分别为医生、护士与化验师, 现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍,人组建一支志愿者队伍, 基本事件总数,他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数, 则他们的单位与职业都不相同的概率是.故答案为:.基本事件总数,他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数,他们的单位与职业都不相同的概率.他们的单位与职业都不相同的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.答案:解析:解:由题意,,又,,,又,,点表示以集合B 表示的长方形内的点为圆心,半径为1的圆面.的圆面.如图所示,点集Q 是由四段圆弧以及连接它们的四条切线段围成的区域,围成的区域, 其面积为. 故答案为:. 由题意,,结合,,可得,画出图形,即可求得点集Q 所表示的区域的面积.所表示的区域的面积.本题考查二元二次不等式组与平面区域的关系问题,考查转化数学思想,作图能力,是中档题.15.答案:解析:解:由题意,计算,代入,把代入,可求得,所以;所以;记;则;所以;所以数列是单调递增数列,且;由于,解得,所以,解得,所以a的取值范围是故答案为:计算,求出的值,得出;令,得出数列是单调递的取值范围.增数列,且,由此列不等式组求出a的取值范围.本题考查了不等式恒成立问题、数列得单调性,也考查了平面向量的夹角计算问题,是综合题. 16.答案:解析:解:易知,表示的是到直线的距离的平方.的距离的平方.因为,的值依次为:0,1,2,3,,,,因为对于,当时,,所以所以表示不超过实数x 的最大整数,对应的点依次为,,,,,,这些点与直线的距离先接近,再离得越来越远.的距离先接近,再离得越来越远.所以这些点到直线的距离为:,,易知时,,.故答案为:.表示的是点到直线的距离的平方,研究点的变化规律可求解.律可求解.本题考查二项式系数的求法等知识,同时还考查学生运用转化思想,函数思想解决问题的能力.同时考查学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.17.答案:解:如图,如图,底面ABCD ,为PD 在底面上的射影,可得为PD 与底面ABCD 所成角,大小为.又,,底面ABCD 是正方形,.;取CD 中点G ,连接EG ,AG ,则, 为异面直线AE 与PC 所成角或其补角. 由得,,则,, ,则,.在三角形AEG 中,由余弦定理可得:.异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为,角的大小为.解析:由已知求解三角形可得底面边长,再由体积公式求体积;由已知求解三角形可得底面边长,再由体积公式求体积;取CD 中点G ,连接EG ,AG ,则,可得为异面直线AE 与PC 所成角或其补角,求解三角形得异面直线AE 与PC 所成角的余弦值,则答案可求.所成角的余弦值,则答案可求. 本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系,几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,是中档题.识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,是中档题.18.答案:解:函数,由,,解得:,令得,,所以函数在区间上的单调增区间为:;,, ,又,,,.解析:先利用三角函数公式化简函数的解析式,再利用三角函数的图象和性质即可求出函数在区间上的单调增区间;上的单调增区间;由可得,又,得,可求,再利用二倍角公式即可求出的值.的值.本题主要考查三角函数的公式,以及三角函数的图象和性质,是中档题.本题主要考查三角函数的公式,以及三角函数的图象和性质,是中档题. 19.答案:解:当天12:30至13:30这一小时内,进入园区的人数,离开园区的游客人数;由题意可知,当时,园内游客数增加;当时,园内游客数减少,园内游客数减少,当时,,,,当时,,进入园内游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多,多,当时,,进入园内游客人数少于离开园区游客人数,总人数越来越少,总人数越来越少,当时,,递减,且值恒为负数,进入园内游客人数少于离开园区游客人数,总人数越来越少,进入园内游客人数少于离开园区游客人数,总人数越来越少, 综上所述,当天下午13:30时园区内游客总人数达到最多.园区内游客总人数达到最多.解析:根据条件利用代入法即可求得和的值;的值;根据分段函数的不等式,结合函数的单调性进行求解.根据分段函数的不等式,结合函数的单调性进行求解.本题主要考查了分段函数的实际运用,以及函数的单调性,是中档题.本题主要考查了分段函数的实际运用,以及函数的单调性,是中档题.20.答案:解:设直线l 的方程为:, ,,点,代入椭圆C 的方程得:,解得:,, 直线l 的方程为:;当直线l 的斜率不存在时,点P ,Q 两点关于x 轴对称,所以,,因为点在椭圆上,因此, 又因为,所以,由、得:,,此时,;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为:,依题意,联立方程,消去y 得:,,即,且,,,又原点O 到直线l 的距离为,, 整理得:,符合式,式,此时,,,综上所述,,;椭圆C 上不存在点D ,E ,G ,使得三角形面积,证明:假设存在,,,满足,由得:,,,,,,解得:,, ,,只能从中选取,v ,,只能从中选取,中选取,点D ,E ,G 只能在这四个点中选取三个不同的点,而这三个点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾,矛盾,椭圆C 上不存在点D ,E ,G ,使得三角形面积.解析:设直线l 的方程为:,由,可得点,代入椭圆C 的方程即可求出m 的值,从而得到直线l 的方程;的方程;当直线l 的斜率不存在时,易求,,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为:,与椭圆方程联立,利用弦长公式以及点到直线距离公式,根据三角形的面积,可得到,代入,化简即可得到,;假设存在,,,满足,由得:,,,,,,从而求出点D ,E ,G 的坐标,可以得到直线DE ,DG ,EG 的方程,从而得到结论.的方程,从而得到结论.本题主要考查了点到直线距离公式,考查了直线与椭圆的位置关系,以及三角形面积公式,是中档题.题.21.答案:解:无穷数列具有性质1,, 可得任意的,都有,则,又,,可得;由,,可得的公差,则;又的公比q ,满足,可得,则,则,若具有性质, 则存在,对任意的,都有,下证在时,单调递增.时,单调递增.事实上,,所以时,,恒成立.,恒成立.所以不具有性质;对任意,,,所以,,,,累加可得, 同理可得,所以,即有, 下证.事实上,.故.数列具有性质2,成立.成立.解析:由题意可得任意的,都有,可得,可得所求和;,可得所求和;由题意可得的公差,以及通项公式;同时可得的公比和通项公式,进而得到,若具有性质,由新定义,结合单调性,即可判断;,由新定义,结合单调性,即可判断;由题意可得对任意,,,运用累加法可得,同理可得,可得,的关系,证即可得证.即可得证.本题考查数列的新定义的理解和运用,以及等差数列和等比数列的定义和通项公式,考查化简运算求解能力,以及推理能力,属于难题.求解能力,以及推理能力,属于难题.。

上海市金山区达标名校2020年高考二月适应性考试数学试题含解析

上海市金山区达标名校2020年高考二月适应性考试数学试题含解析

上海市金山区达标名校2020年高考二月适应性考试数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,12a =,且139,,a a a 成等比数列,则8S =( ) A .56B .72C .88D .402.已知双曲线C :2222x y a b-=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为( )A B C .2D 3.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为()01p p <<,发球次数为X ,若X 的数学期望() 1.75E X >,则p 的取值范围为( ) A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D .7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭4.两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切,且0ab ≠,则2222a b a b+的最大值为( ) A .94B .9C .13D .15.已知点P 在椭圆τ:2222x y a b+=1(a>b>0)上,点P 在第一象限,点P 关于原点O 的对称点为A ,点P 关于x 轴的对称点为Q ,设34PD PQ =,直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ,若PA ⊥PB ,则椭圆τ的离心率e=( )A .12B .2C .2D .36.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且21()()(1)2x f x g x x ++=+-,则(1)(1)f g -=( ) A .1- B .0C .1D .37.已知复数21iz i=+,则z =( )A .1i +B .1i -CD .28.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A .若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC .若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 9.如图,圆锥底面半径为2,体积为223π,AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点,已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于( )A .12B .1C .10 D .5 10.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数),则不等式(34)5f x +>-的解集为( )A .(,1)-∞-B .(1,)-+∞C .(,2)-∞-D .(2,)-+∞11.若21i iz =-+,则z 的虚部是A .3B .3-C .3iD .3i -12.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( )A .203π B .6πC .103π D .163π 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

上海市金山区2020-2021年高三数学二模试卷含答案

上海市金山区2020-2021年高三数学二模试卷含答案

金山区2020学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分:150分,完卷时间:120分钟)(答题请写在答题纸上)一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1–6题每题4分,第7–12题每题5分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1.已知集合{}1,2,3,4A =,集合{}2,3,B m =,若{}2,3,4AB =,则m = .2.若关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫ ⎪⎝⎭,则x y -= .3.不等式xx-1≥0的解集为 . 4.若直线l 的参数方程为224x ty t=⎧⎨=-+⎩ (t 为参数,t ∈R ),则l 在y 轴上的截距为 .5.若i ii2+=+b a (a 、b ∈R ,i 为虚数单位),则a +b = . 6.某圆锥的底面积为π4,侧面积为π8,则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 . 7.若正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则23a b c +-= .8.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同),经充分混合后,从袋中随机摸出3个球,则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______(结果用最简分数表示). 9.若首项为1、公比为13的无穷等比数列的各项和为S ,n S 表示该数列的前n 项和,则12lim()n n S S S nS →∞+++-的值为 .10.函数1)3(log -+=x y a (a >1且a ≠1)的图像恒过点A ,若点A 在直线mx+ny +1=0,其中m >0,n >0,则nm 21+的最小值为 .11.若函数20212021()(1sin )(1sin )f x x x =++-,其中6π≤x ≤32π,则()f x 的最大值为 .12.已知向量与的夹角为60º,且2||2||==a b ,若b a c μ+λ=,其中22=μ+λ,则向量在上的投影的取值范围为 .二、选择题(本大题共4小题,满分20分,每小题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.函数x y 2cos 2=(∈x R )的最小正周期为( ). (A)2π(B)π (C)π2 (D)π4 14.下列命题为真命题的是( ).(A) 若直线l 与平面α上的两条直线垂直,则直线l 与平面α垂直 (B) 若两条直线同时垂直于一个平面,则这两条直线平行 (C) 若两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面垂直(D) 若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等,则直线l 与平面α平行15.设A 、B 为圆221x y +=上的两动点,且∠AOB=120º,P 为直线l :3x – 4y – 15=0上一动点,则||PA PB +的最小值为( ).(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 616.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足1(1)2f x +=+,则(0)(2021)f f +的最大值为( ).(A)12 (B) 32(C) 12- (D) 1+2三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分5分,第2小题满分9分) 随着生活水平的不断提高,人们更加关注健康,重视锻炼.通过“小步道”,走出“大健康”,健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图,A - B - C - A 为某区的一条健康步道,AB 、AC 为线段,BC 是以BC 为直径的半圆,AB =32km ,AC =4km ,6π=∠BAC . (1) 求BC 的长度;(2) 为满足市民健康生活需要,提升城市品位,改善人居环境,现计划新建健康步道A - D - C (B ,D 在AC 两侧),其中AD ,CD 为线段. 若3π=∠ADC ,求新建的健康步道A - D - C 的路程最多可比原有健康步道A - B - C 的路程增加多少长度?(精确到0.01km )18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体111ABCD AC D -,且这个几何体的体积为10.(1) 求棱1A A 的长;(2) 求点D 到平面11A BC 的距离.19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知抛物线2:8y x Γ=的焦点为F ,半径为1的圆M 的圆心位于x 轴的正半轴上,过圆心M 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,如图所示.ABCD 1A 1C 1D(1) 若圆M 经过抛物线Γ的焦点F ,且圆心位于焦点的右侧,求圆M 的方程; (2) 是否存在定点M ,使得11||||MA MB +为定值,若存在,试求出该定点M 的坐标,若不存在,则说明理由.20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)在数列{}n a 中,已知12a =,112n n n n a a a a ++=-(*n ∈N ).(1) 证明:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; (2) 记12n n n na ab +=,数列{}n b 的前n 项和为n S . 求使得 1.999n S >的整数n 的最小值;(3) 是否存在正整数m 、n 、k ,且m n k <<,使得m a 、n a 、k a 成等差数列?若存在,求出m 、n 、k 的值;若不存在,请说明理由.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分) 设m 为给定的实常数,若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ,使得00()()()f x m f x f m +=+成立,则称函数()f x 为“()G m 函数”.(1) 若函数()2xf x =为“(2)G 函数”,求实数0x 的值; (2) 若函数2()lg1af x x =+为“(1)G 函数”,求实数a 的取值范围; (3) 已知()f x x b =+(b ∈R )为“(0)G 函数”,设()|4|g x x x =-.若对任意的12,[0,]x x t ∈,当12x x ≠时,都有2211()()2()()g x g x f x f x ->-成立,求实数t 的最大值.\金山区2020学年第二学期期中考试高三数学试卷评分参考答案(满分:150分,完卷时间:120分钟)一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1–6题每题4分,第7–12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.4; 2.0; 3.{x |0≤x <1} {或)1,0[}; 4.–2; 5.1; 6.3π; 7.5; 8.2120; 9.43-; 10.8; 11.22021; 12.]1,21(-. 二、选择题(本大题共4小题,满分20分,每小题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.B ; 14.B ; 15.C ; 16.D .三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分5分,第2小题满分9分) 解:(1) 联结BC ,在△ABC 中,由余弦定理可得,2BC ===,…………………………3分所以BC =π=⨯π⨯⨯1221,即BC 的长度为π(km);…………………………………………………5分(2) 记AD=a ,CD=b ,则在△ACD 中,由余弦定理可得:163cos 222=π-+ab b a ,即2216a b ab +-=,……………………………………………………7分从而221()166323a b ab a b +⎛⎫≤++ ⎝=⎪⎭+,所以21()164a b ≤+,8a b +≤,当且仅当4a b ==时,等号成立; (11)分新建健康步道A D C --的最长路程为8(km),又39.1328≈-π-(km),………13分故新建的健康步道A -D -C 的路程最多可比原有健康步道A -B -C 的路程增加1.39(km).……14分18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)解:(1)设1A A h =,由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=,……………2分得1111103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=,即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=,解得3h =.………………………5分故1A A 的长为3;………………………………………………6分(2)以点D 为坐标原点,射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.由已知及(1),可知(0,0,0)D ,1(2,0,3)A ,(2,2,0)B ,1(0,2,3)C ,……………………………………9分设(,,)n u v w =是平面11A BC 的法向量,则1n A B ⊥,1n C B ⊥,其中1(0,2,3)A B =-,1(2,0,3)C B =-,则由110,0,n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230.v w u w -=⎧⎨-=⎩解得32v w =,32u w =,取2w =,得平面11A BC 的一个法向量(3,3,2)n =,且||22n =;………………………………………12分在平面A 1BC 1上取点C 1,可得向量1(0,2,3)DC =,于是点D 到平面11A BC 的距离1||62211||n DC d n ⋅==.………………………………………14分 注:若利用体积等积法来解,则相应给分.19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)解:(1) 抛物线Γ的焦点为(2,0)F ,则圆心M 为(3,0),…………………4分 故圆M 的方程为22(3)1x y -+=,……………………………………………6分(2) 假设存在定点(,0)M m (0m >)满足题意,设直线:l x m ty -=,联立28x x m tyy =-=⎧⎨⎩,消去x ,得2880y ty m --=,………………………9分设11(,)A x y 、22(,)D x y ,则121288y y ty y m+=⎧⎨=-⎩, ………………………………10分11||||MA MB +=+=====当且仅当6432m =,即2m =时,111||||2MA MB +=为定值,…………………13分故存在(2,0)M ,使得11||||MA MB +为定值.…………………………………14分20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分) (1) 证明:由112n n n n a a a a ++=-,得121n n n a a a +=+,从而11111222n n n n a a a a ++==+, 11111111222n n n a a a +⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭,又021111≠-=-a ,故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; ……………………4分 (2) 解:由(1)得,111111222n n n a -⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,故221n n na =-, 所以11112222(21)(21)2121n n n n n n n n n a a b ++++===-----,……………………6分 1223112222222221212121212121n n n n S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 令122 1.99921n +->-,则122001n +>,解得2log 200119.97n >-≈,故使得 1.999n S >的整数n 的最小值为10;………………………9分(3) 解:假设存在正整数m 、n 、k 满足题意,则2n m k a a a =+,即2222212121n m kn m k ⋅=+---, 即12(21)(21)(21)(21)2(21)(21)n m m k n k k m n m -+---=--+-- (1)…………12分由m n k <<得,2k m -≥,21n m -+≥; 所以(21)(21)nk--为奇数,而12(21)(21)n m m k -+--、2(21)(21)k m n m ---均为偶数,故(1)式不能成立;即不存在正整数m 、n 、k ,且m <n <k ,使得m a 、n a 、k a 成等差数列.…………………………16分21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分)解:(1) 由()2xf x =为“(2)G 函数”,得00(2)()(2)f x f x f +=+即0022222x x +=+,解得024log 3x =,故实数0x 的值为24log 3;………………………4分 (2) 由函数2()lg 1af x x =+为“G(1)函数”可知,存在实数0x ,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),2200lglg lg (1)112a a ax x =++++,即22200(1)12(1)a a x x =+++;……………6分 由201a x >+,得0a >, 整理得20(2)2220a x ax a -++-=. ① 当2a =时,012x =-,符合题意;② 当2a ≠时,由244(2)(22)0a a a ∆=---≥,即2640a a -+≤,解得33a -≤≤且2≠a ;………………………………………8分 综上,实数a的取值范围是[3-+;…………………………………9分 (3) 由()f x x b =+为“(0)G 函数”,得00(0)()(0)f x f x f +=+, 即(0)0f =,从而0b =,()f x x =,…………………………………10分不妨设12x x >,则由2211()()2()()g x g x f x f x ->-,即2112()()2g x g x x x ->-,…………………………………12分得1122()2()2g x x g x x ->-,令()()2F x g x x =-,则()F x 在区间[0,]t 上单调递增,………………14分又22426,()|4|,24x x x x x F x x x x x ≥⎧-⎪=---<=⎨⎪⎩,…………………………16分如图,可知01t <≤,故实数t 的最大值为1.…………………………18分坚持希望一天,一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果,他们一直走呀走,途中他们翻山越岭。

2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)

2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)

2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷(2)考生注意:1.本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分3.答卷前,务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号. 一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1题至第6题每个空格填对得4分,第7题至第12题每个空格填对得5分,否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈,{}|1,B x x x R =≤∈,则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ,求出B 中不等式的解集确定出B ,找出两集合的交集即可.【详解】解:由A 中y =10x -…, 解得:1x …,即{|1}A x x =…, 由B 中不等式变形得:11x -剟,即{|11}B x x =-剟, 则{1}A B ⋂=, 故答案为:{1}.【点睛】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键,属于基础题.2.若函数()1f x =,()g x =,则()()f x g x +=__________.【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域,取交集得到()()f x g x +的定义域,将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为:{}0x x ≥;()g x 定义域为:{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解,易错点是忽略了函数定义域的要求,造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角,则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角,及sin α的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值,进而确定出tan α的值,利用二倍角的正切函数公式化简,求出tan 2α的值,将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,把tan2α的值代入计算,即可求出值.【详解】解:αQ 是第二象限角,且3sin 5α=,4cos 5α∴=-,3tan 4α=-,22tan32tan 412tan ααα∴==--,即23tan8tan 3022αα--=, 解得:1tan23α=-或tan 32α=, 因为α是第二象限角,2α是第一象限或第三象限角,tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+.则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. 故答案为:2.【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式,二倍角的正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键,属于中档题.4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数,直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数,不等式的解,属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上单调递减,且(1)0f =,则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意,得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增,(1)(1)0f f -==;再由函数单调性,即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上单调递减, 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增; 又(1)0f =,所以(1)(1)0f f -==, 所以当0x >时,由()0f x <得:01x <<;当0x ≤时,因为函数单调递减,由()0f x <可得:10x -<≤; 综上,使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式,熟记函数奇偶性与单调性即可,属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数)上的一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹的普通方程为_____. 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ=1,可得曲线的方程为2x 2﹣y 2=1,设P (x 0,y 0),M (x ,y ),运用中点坐标公式,代入曲线方程,化简整理即可得到所求轨迹方程. 【详解】曲线(θ为参数),即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 由sec 2θ﹣tan 2θ=1,可得曲线的方程为2x 2﹣y 2=1, 设P (x 0,y 0),M (x ,y ), 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩,代入曲线方程,可得2x 02﹣y 02=1,即为2(2x )2﹣(2y )2=1, 即为8x 2﹣4y 2=1. 故答案为8x 2﹣4y 2=1.【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法,注意运用代入法和中点坐标公式,考查参数方程和普通方程的互化,注意运用同角的平方关系,考查运算能力,属于中档题.8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条,利用组合数确定基本事件总数,再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数,利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点,异面直线,古典概型,属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++,利用对勾函数求值域,分类讨论t 与值域中点的大小,即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用,同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想,属于难题.10.如图所示,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ,记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v(1,2,,10i =L ),则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点,1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,可得2B,3B ,3(6,0)C ,求出直线33B C 的方程,可设(i i P x ,)i yi i y += 【详解】解:以A 为坐标原点,1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,可得2B,3B ,3(6,0)C , 直线33B C的方程为6)y x =-, 可设(i i P x ,)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=,则12101810180M M M ++⋯+=⨯=. 故答案为:180.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,注意运用直线方程,考查化简整理的运算能力,属于中档题.11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数,结合指数函数的单调性,推出不等式,求解即可得到答案.【详解】0a >,且1a ≠,设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,若不等式()3f x …的解集是(-∞,3],当1x …时,2|2|3x x -…,可得2323x x --剟,解得13x 剟; 当1x <,即(,1)x ∈-∞时,3x a …,不等式恒成立可得13a <…. 综上可得13a <….∴实数a 的取值范围为:(1,3].故答案为:(1,3].【点睛】本题考查分段函数的应用,函数的单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题. 12.已知*n N ∈,从集合{}1,2,3,,n L 中选出k (k ∈N ,2k ≥)个数12,,,k j j j L ,使之同时满足下面两个条件:①121k j j j n ≤<<≤L ; ②1i i j j m +-≥(1,2,,1i k =-L ),则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合,其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合,即可得出结论.【详解】解:由题意得(3,2)7C 即从定集{1,2,3,4,5,6,7}中选出3个元素且限距为2的组合.于是若从{1,3,5,7}中任选3个均符合要求则有344C =个,若选{2,4,6}也满足条件;另外还有{1,3,7},{1,3,6},{1,4,7},{1,5,7},{2,5,7}均满足条件,故(3,2)741510C =++=, 故答案为:10.【点睛】本题考查进行简单的合情推理,考查学生的计算能力,正确转化是关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱,底面为半径为1的半圆,高为2,因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,且这两点的横坐标之和为9,则满足条件的直线( ) A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程,联立方程组消元,根据根与系数的关系列方程判断解得个数. 【详解】解:抛物线的焦点坐标为(2,0), 若l 无斜率,则l 方程为2x =,显然不符合题意.若l 有斜率,设直线l 的方程为:(2)y k x =-,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消元得:2222(48)40k x k x k -++=,∴2122489k x x k ++==,∴k =故选:B .【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,属于中档题.15.若z C ∈,则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的( )条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+,由||1x …,||1y …,可得||z …,充分性不成立;反之成立.【详解】解:设z x yi =+,由||1x …,||1y …,则||z =由||1z ,则221x y +…,所以||1x …,||1y …,即必要性成立. 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选:B .【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-,从而求得.【详解】解:对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选:C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中,2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-.(1)求角A 的值;(2)若12AB AC ⋅=u u u r u u u r,求△ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=;(2)【解析】试题分析:(1)将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后,再利用同角三角函数之间的关系可得定值12,进而得6A π=;(2)由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r,可得AB AC =u u u r u u u r,进而可得△ABC 的面积.试题解析:(1)在△ABC 中,2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角,∴6A π=.(2)cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴AB AC =u u u r u u u r,∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点:1、利用两角和与差的正弦公式;2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24cm π,高为30cm ,圆锥的母线长为20cm .(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.13cm );(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元? 【答案】(1)11158.9;(2)110425π【解析】 【分析】(1)根据“笼具”的构造,可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积,即可求出; (2)求出“笼具”的表面积,即可求出50个“笼具”的总造价.【详解】设圆柱的底面半径为r ,高为h ;圆锥的母线长为l ,高为1h , 根据题意可知:(1)224r ππ=,12r =cm ,116h ==cm ,所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3.(2)圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2,圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2,圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2,所以“笼具”的表面积为1104π cm 2,故造50个“笼具”的总造价:4110450811041025ππ⨯⨯=元. 答:这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3,生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人,平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要,从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0a >),A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x(1)若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作?(2)在(1)的条件下,当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时,才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)500;(2)(0,5.1]. 【解析】 【分析】(1)根据题意,列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯,求解即可; (2)求出x 的范围,得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+,整理可得210001500x a x ≤++恒成立,根据x 的范围,可知函数在定义域内为减函数,当400x =时,函数取得最小值. 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 (1)由题意得:10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯,即25000x x -≤,又0x >,所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. (2)由题知,0400x <≤,从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元, 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元, 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+, 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ,的所以221000500x ax x ≤++,即210001500x a x≤++恒成立, 因为0400x <≤, 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=, 所以 5.1a ≤,又0a >,所以0 5.1a <≤, 即a 的取值范围为(0,5.1].【点睛】考查了利用不等式解决实际问题,难点是建立不等式关系,利用函数单调性求出最值.20.教材曾有介绍:圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广:椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=,在解本题时可以直接应用.已知,直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.(1)求a 的值;(2)设O 为坐标原点,过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ,且1l 与2l 交于点()2,M m .当m 变化时,求OAB ∆面积的最大值;(3)在(2)条件下,经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点,在线段CD 上存在点N ,使CN MCND MD=成立,试问:点N 是否在直线AB 上,请说明理由.【答案】(1)a =2)2(3)见解析 【解析】 【分析】(1)将直线y =x x 的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得a 的值;(2)设切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =,再将M 代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,AB 的方程为x+my =1,将直线与椭圆方程联立,运用韦达定理,求得△OAB 的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;(3)点N 在直线AB 上,因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ,且CM λMD u u u u v u u u u v =-,于是CD0x λx x 1λ+=+,向量坐标化,得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=,将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程,结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上,整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,即N 在直线AB 上.【详解】(1)联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭,整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=,即()11A x ,y (2)设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>,由1y ,2y 是该方程的两个实根,有1222my y m 2+=+,ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时,“=”成立,S取得最大值2(3)点N 在直线AB 上,因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ,且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+,即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭,C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=, ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ,即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断,考查直线和椭圆相切的条件:判别式为0,以及切线的方程的运用,同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法,注意运用基本不等式,属于中档题. 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,112n n n S a a +=⋅(*n N ∈) (1)求证:数列{}n a 是等差数列; (2)设数列{}n b 满足:122n n a a n b +-=,且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ,求正整数k 的值; (3)若m 、k 均为正整数,且2m ≥,k m <,在数列{}k c 中,11c =,11k k k c k mc a ++-=,求12m c c c +++L . 【答案】(1)见解析(2)2(3)1m【解析】 【分析】(1)通过112n n n S a a +=,利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=,进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列;(2)通过(1)可知212n n b +=,进而可知151124n n nb b +=g ,进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论; (3)通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式,进而累乘化简,利用二项式定理计算即得结论.【详解】(1)证明:112n n n S a a +=Q ,111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-,整理得:22n n a a +-=,又11a =Q ,12122S a a ==, ∴数列{}n a 的通项公式n a n =,即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列;(2)解:由(1)可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===,123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅, 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-, 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=,即3211132384k +⋅=, 解得:2k =; (3)解:11c =Q ,11k k k c k mc a ++-=,n a n =, ∴11k k c k m c k +-=+,1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…, 2211(1)2c m c c -∴==-, 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯, 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯, ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅, 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=. 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和,考查累乘法,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.。

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19. 从金山区走出去的陈驰博士,在《自然-可持续性》杂志上发表的论文中指出:地 球正在变绿,中国通过植树造林和提高农业效率,在其中起到了主导地位.已知某 种树木的高度 f(t)(单位:米)与生长年限 t(单位:年,t∈ )满足如下的逻
辑斯蒂函数:
,其中 e 为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为 0.
8.答案:35
解析:解:二项式(x+1)7 的展开式的通项公式为 Tr+1= •x7-r,
令 7-r=3,求得 r=4,可得展开式中含 x3 项的系数值为 =35,
故答案为:35. 先求得二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 3,求得 r 的值,即可求得含 x3 项的系数值. 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 属于中档题.
本题考查双曲线的渐近线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握双曲 线的简单性质.
4.答案:D
解析:解:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):
则=
, 的几何意义为阴影部分中的点(a,b)到原点连线的斜率 k,
由图象可知当点(a,b)位于 B 时,直线的斜率最大,当点(a,b)位于 A 时,直线的 斜率最小,
第 4 页,共 12 页来自同时除以 a2,化简 e2-2 e+3=0, 解得 e= ,∴c= ,
∴b=
=,
∴双曲线 C: =1 的渐近线方程为 y= =± ,

=0.
故选:B.
设|PF1|>|PF2|,由已知条件求出|PF1|=4a,|PF2|=2a,e=
,进而求出 b=
,由此能求
出双曲线 C: =1 的渐近线方程.
(1)需要经过多少年,该树的高度才能超过 5 米?(精确到个位) (2)在第几年内,该树长高最快?
第 2 页,共 12 页
20. 已知椭圆 Γ:
,过点 D(-1,0)的直线 l:y=k(x+1)与椭圆 Γ 交于 M、
N 两点(M 点在 N 点的上方),与 y 轴交于点 E. (1)当 m=1 且 k=1 时,求点 M、N 的坐标;
13.答案:0.9702
解析:解:生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分 别 0.01、0.02, 每道工序生产废品相互独立, 则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率: p=(1-0.01)(1-0.02)=0.9702. 故答案为:0.9702.
第 7 页,共 12 页
∴ =(-a,0,c), =(-a,0,-c), =
(-a,-b,c), =(-a,b,0), =(0,b,0), =(-a,0,0),
∴ • =a2-c2,当 a=c 时, • =0,
• =a2-b2,当 a=b 时, • =0, • =0,
• =a2≠0,
故选:D. 以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,根据 向量的运算和向量的数量积的关系即可判断 本题考查了向量的数量积,建立坐标系是关键,属于基础题
10.答案:
解析:【分析】 本题主要考查复数模长的计算,结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键. 根据复数的运算法则结合复数为实数求出 a 的值,结合复数模长的公式进行计算即可.
解析: 解: =a+i,
则 z1• =(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,

R,则 a+1=0,即 a=-1,则 z2=a-i=-1-i,
2020 年上海市金山区高考数学二模试卷
一、选择题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 1. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列计算结果一定不等于 0 的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 在我国南北朝时期,数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既
同,则积不容异”.其意思是,用一组平行平面截两个几何体,若在任意等高处的
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.
6.答案:π
解析:解:函数 y=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+sin2x,
故它的最小正周期等于 =π,
故答案为:π. 利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式可得函数 y=1+sin2x,根据最小正周期等于
求出结果.
本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,正弦函数的周期性及其求 法,属于基础题.
分的面积 S=
=,
故答案为:
作出 f(x)与 g(x)的图象,结合图象的对称性进行求解即可. 本题主要考查区域面积的计算,作出两个函数的图象,利用图象的对称性,利用割补法 是解决本题的关键.比较基础.
A. x± y=0
B. x±y=0
C. x±2y=0
D. 2x±y=0
4. 若实数 a、b 满足
,则 的取值范围是( )
A. [-2,0]
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共 12 小题,共 54.0 分)
5. 函数
的定义域是______.
6. 函数 y=(sinx+cosx)2 的最小正周期是______.
2.答案:A
解析:【分析】 本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件,属中档题. 先阅读题意,再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解. 【解答】 解:由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等 “的充分不必要条件, 结合原命题与其逆否命题的真假可得: “两几何体 A、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必 要条件, 故选:A.

,得 B( , ),
∴BO 的斜率为 3,

得 A(1,1),
∴OA 的斜率为 1, ∴1≤k≤3,
则=
=(k- )2- ∈

故选:D. 本题主要考查线性规划的应用,是中档题.
=
, 的几何意义为可行域中的点(a,b)到原点连线的斜率 k,数形结合
可得 k 得范围,由此求解即可.
5.答案:{x|x≥4}
11. 方程
(t 为参数,t∈R)所对应曲线的普通方程为______
12. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则
=______.
13. 若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品 的概率是______(结果用小数表示)
(2)当 m=2 时,设

,求证:λ+μ 为定值,并求出该值;
(3)当 m=3 时,点 D 和点 F 关于坐标原点对称,若△MNF 的内切圆面积等于 , 求直线 l 的方程.
21. 若数列{an}、{bn}满足|an+1-an|=bn(n∈N*),则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”. (1)若{bn}为常数列,且为{an}的“偏差数列”,试判断{an}是否一定为等差数列, 并说明理由; (2)若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列,且 a3-a2=6,{bn}为数列{an}
则|z2|=
=,
故答案为:
11.答案:y=-x2+2x+2
解析:解:由方程
消去参数 t 可得 y=3-(x-1)2,化简得 y=-x2+2x+2,
故意答案为:y=-x2+2x+2.
由方程
消去参数 t 可得 y=3-(x-1),再化简可得.
本题考查了参数方程化成普通方程,属基础题.
12.答案:16
解析:解:Rt△ABC 中,C=90°,AC=4, 则 • =| |•| |•cosA=| |•| |= =16, 故答案为 16. 由题意可得 • =| |•| |•cosA=| |•| |,由此可得结果. 本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的投影,属于中档题.
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14. 已知函数 f(x)=sinx 和
的定义域都是[-π,π],则它们的图象围成的
区域面积是______ 15. 若集合 A={x|x2-(a+2)x+2-a<0,x∈Z}中有且只有一个元素,则正实数 a 的取值范
围是______
16. 正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC、BD 相交于点 O,动点 P 满足
利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到 的零件不是废品的概率. 本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.答案:
解析:解:
的图象为圆心为 O 半径为
π 的圆的上半部分, ∵y=sinx 是奇函数, ∴f(x)在[-π,0]上与 x 轴围成的面积与在[0,π]上 与 x 轴围成面积相同, 则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部
9.答案:(-∞,1]
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解析:解:由 P 中 y= ,0<x<1,得到 y>1,即 P=(1,+∞),
∵全集 U=R, ∴∁UP=(-∞,1]. 故答案为:(-∞,1] 求出 P 中 y 的范围确定出 P,根据全集 U=R,求出 P 的补集即可. 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
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解析:解:∵函数

∴x-4≥0,可得 x≥4,
∴函数
的定义域为:{x|x≥4},
故答案为:{x|x≥4};
函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数,进行求解;
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