斜置惯性测量单元的一体化标定技术
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收稿日期：2006-10-27；修回日期：2007-04-28 基金项目：航空科学基金项目（05D51004） 作者简介：郭鹏飞（1979—），男，博士研究生，从事组合导航与精确制导研究。E-mail：guopengfei2000@sohu.com 联 系 人：任章（1957—），男，教授，博士生导师。 E-mail：Renzhang@buaa.edu.cn
（北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京 100083）
摘要：针对陀螺和加速度计均倾斜安装的低精度惯性测量单元，将三个 MEMS 加速度计组件和三个光纤陀螺组
件分别考虑为一个整体，提出了一体化标定技术，将传统的零位、比例因子、安装误差等参数等效考虑为一个
转换矩阵。根据实验得到的低精度斜置惯性测量单元的温度特性和非线性的经验公式，提出了补偿温度特性和
⎢ ⎢
Kgy
M
y
⎥ − bgy ⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎣ωz ⎥⎦
⎢ ⎣
Kgz
M
z
− bgz
⎥ ⎦
(2) 图 1 斜置惯性测量单元外形
Fig.1 Appearance of the Skewed IMU
采用式（2）进行补偿时，(Ι + (∆Cgb )T )−1 的计算一般有一个简化，即认为安装误差角为小角度，被简化为 (Ι − (∆Cgb )T ) ， 其实是忽略了安装误差角二次项的影响[5-7]。对于斜置IMU，存在着大安装误差角，这种处理会使补偿时损失精度，而如
Abstract: The low-cost inertial measurement unit (IMU) includes three skewed fiber-optics gyroscopes (FOG) and three skewed MEMS accelerometers. Considering three FOGs and three accelerometers respectively as a whole, an integrated calibrating technique was advanced in which an equivalent transfer matrix replaced the traditional bias, the scale factor and the misalignment errors. Based on the experimental formulas for the low-cost skewed IMU’s temperature dependency and non-linearity, a new integrated calibrating model was developed which could compensate its temperature dependency and non-linearity. After testing in different temperature with rate table and marble plat, two applied models of angular velocity and acceleration were got via multiple linear regressions. The real-time compensation shows that the skewed IMU’s angular velocity error is less than 0.02 (°)/s with operating range of ±60 (°)/s, and its acceleration error is less than 0.003g for the temperature range(0℃to 24℃). Key words: fiber-optics gyroscope; non-linearity; multiple linear regression; temperature compensation
Fig. 2 The reference frame
其中， Nx , N y , Nz 为三个加速度计的输出电压， ax , a y , az 为安装基准坐标系的三轴加
速度， A3×4 、 B3×4 分别为一体化标定得到的从陀螺和加速度计输出电压到安装基准坐标系的角速度和加速度的转换矩阵。 一体化标定技术认为从传感器坐标系实际测量向量到安装基准坐标系角速度或加速度向量的变化为一个确定的关
果不忽略二次项，则会在补偿时增加运算量。 另一方面，对于斜置IMU，需要采用经纬仪和双轴转台首先标定出台体到安装基
准的坐标转换关系 Cpb ，才能接着标定出传感器的零位，标度因数和相对于台体的小安
装误差[1]。这种方法给斜置IMU的标定实验和补偿使用两方面都增加了复杂度。 改变公式(2)形式，可得角速度的一体化输入输出模型：
Tg2x
M
2 x
Tg2x
M
3 x
Tg3x M x
Tg3x
M
2 x
Tg3x
M
3 x
]T
同理，可得 Rgy 、Rgz 。采用一体化标定技术，由式（3）可得：
⎡⎣ωx ωy ωz ⎤⎦T = A3×46 ⎡⎣1 Rgx Rgy Rgz ⎤⎦T
(8)
其中安装基准坐标系的每轴角速度是具有45个因素的多元回归模型，这些因素由三轴陀螺的输出电压和各自的温度构成。
系 A3×4 、 B3×4 ，没有安装误差等这样物理意义明显的物理量，但也省略了矩阵求逆的步骤，对于斜置IMU，补偿时不会 像现有方法由于求逆简化而损失精度或因求逆而增加运算量，标定时也不需要另外借助经纬仪等设备测出台体到安装基
准的坐标转换关系 Cpb ，使得斜置IMU的标定和补偿均简单可行。
379
非线性的一体化标定模型。利用速率转台和大理石平板在不同温度下进行测试，采用多元线性回归，得到了实
用的角速度模型与加速度模型。实时补偿效果表明，当温度从 0℃到 24℃变化时，在±60(°)/s 转速内角速度
误差小于 0.02 (°)/s，加速度误差小于 0.003g。
关 键 词：光纤陀螺；非线性；多元线性回归；温度补偿
如图2所示， oxb yb zb 为IMU的安装基准坐标系， oxp yp zp 为用于安装陀螺和加速度计的台体坐标系， oxg yg zg 为陀 螺坐标系， oxa ya za 为加速度计坐标系。对于非斜置安装的IMU， oxb yb zb 与 oxp yp zp 重合。
现有标定方法一般考虑传感器的零位，标度因数和安装误差等参数，每个参数都具有明显的物理意义，有利于系统 分析。对于非斜置系统的陀螺组件，标度因数为 [Kgx Kgy Kgz ]T ，零位为 [bgx bgy bgz ]T ，陀螺组件相对于安装基准的 安装误差角反对称阵为 ∆Cgb ，如果对于给定输入角速度 [ωx ωy ωz ]T ，三个陀螺的输出电压为 [M x M y M z ]T ，则三 个陀螺敏感的角速度可写为：
1 一体化标定技术
斜置式低精度惯性测量单元采用 ARM 处理器，主要包括三个单轴光纤陀螺，三个单轴 MEMS 加速度计以及各自的 温度传感器，陀螺和加速度计采用 6 路 24 位 A/D 采样，6 路温度传感器采用 ARM 自带的 10 位 A/D 采样处理器，通过 RS232 输出，具有很强的数据处理能力和系统扩展能力。光纤陀螺和加速度计组件均近似正交安装在台体上，台体相对于 IMU 的安装采用了斜置技术，台体每轴相对于安装基准底面的倾角约为 55°（图 1）。
3.1 陀螺组件一体化标定 每轴光纤陀螺敏感的角速度为陀螺输出电压和温度的函数，即两输入单输出的多项式回归，转化为多因素回归问题，
每轴光纤陀螺的多因素回归模型有15个参数[3]，写成向量形式：
Rgx = [Tgx
Tg2x
Tg3x
Mx
M
2 x
M
3 x
Tgx M x
Tgx
M
2 x
Tgx
M
3 x
Tg2x M x
3.2 加速度计组件一体化标定
每轴加速度计敏感的加速度为加速度计输出电压和温度的多项式回归，温度取三阶，加速度计输出电压取二阶，每
轴加速度计的多因素回归模型有11个参数[4]，写成向量形式：
Байду номын сангаас
Rax = [Tax
⎡ ⎢
Kgx
M
x
−
bgx
⎤ ⎥
⎡⎢ωx
⎤ ⎥
⎢ ⎢Kgy M y
⎥ − bgy ⎥
= (Ι
+
(∆Cgb
)T
)
⎢⎢ω
y
⎥ ⎥
(1)
⎢
⎥
⎢⎥
⎢ ⎣
Kgz
M
z
− bgz
⎥ ⎦
⎢⎣ωz ⎥⎦
安装基准坐标系的三轴角速度为：
⎡⎢ωx
⎤ ⎥
⎡ ⎢
Kgx
M
x
− bgx
⎤ ⎥
⎢⎢ωy
⎥ ⎥
=
(Ι
+
(∆Cgb
)T
)−1
⎡⎣ωx ωy ωz ⎤⎦T = A3×4 ⎡⎣1 M x M y M z ⎤⎦T
(3)
同理可得加速度的一体化输入输出模型：
zp zg
zb
za
az ωz
o
ωx
ax
xb
xg
xa
xp
ya y p yg
ωy ay yb
⎡⎣ax ay az ⎤⎦T = B3×4 ⎡⎣1 Nx N y Nz ⎤⎦T
(4)
图 2 坐标系定义
纤陀螺输入输出特性的正弦函数关系引起的：
ω = b0 + b1M + b2M 2 + b3M 3
(6)
2.3 MEMS加速度计的温度特性
当输入加速度 a 一定时，加速度计的输出电压N与温度T的关系可以在不同的温度段建模为三阶多项式：
N = c0 + c1T + c2T 2 + c3T 3
(7)
3 低精度斜置IMU的一体化标定
捷联惯导系统通常采用余度技术来提高系统的可靠性和精度，惯性敏感元件多采用倾斜配置。而对于非冗余的惯性 测量单元，其敏感元件也可以采用斜置技术，其优点在于可扩大载体三轴方向的角速度和加速度测量范围，减小系统慢 变误差带来的影响，节省传感器安装空间，并有利于提高传感器在一个台体上的整体减振效果。
这种斜置技术给现有的惯性测量单元标定方法带来了挑战。文献[1]将台体到安装基准的坐标转换关系单独考虑，利 用经纬仪进行测量，然后标定了陀螺和加速度计的零位、标度因数和相对于台体的小安装误差，实际补偿时，不但要利 用零位、标度因数和安装误差，还需要一个从台体到安装基准的坐标转换关系。这种标定方法需要采用经纬仪和双轴转 台等设备，对于低精度的 IMU 来说，实现起来成本较高。同时，对于由低精度光纤陀螺和 MEMS 加速度计组成的斜置 IMU，温度特性是标定时必须考虑的问题，而开环式光纤陀螺的非线性也严重影响着其动态精度[2-4]。
中图分类号：U666.1
文献标识码：A
IMU integrated calibrating technique with skewed sensor axes
GUO Peng-fei, REN Zhang
(School of Automation Science and Electrical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China)
郭鹏飞等：斜置惯性测量单元的一体化标定技术
2 低精度斜置IMU的温度特性和非线性
第3期
2.1 光纤陀螺的温度特性
当输入角速率 ω 一定时，陀螺的输出电压M与温度T的关系可以在不同的温度段建模为三阶多项式：
M = a0 + a1T + a2T 2 + a3T 3
(5)
2.2 光纤陀螺的非线性
当温度T一定时，输入角速率 ω 与陀螺输出电压M的关系可以用一个三阶多项式来描述，这是由于开环式干涉型光
2007 年 6 月
中国惯性技术学报
378
本文提出了将陀螺组件和加速度组件分别考虑为一个整体的一体化标定技术，分析了它同现有标定技术的等效性，
以及针对斜置系统时的优越性，并把其应用到本文所研究的斜置惯测量单元中，得到了本系统的一体化标定模型，并同
时补偿了温度特性和非线性，最后通过不同温度下的速率实验和位置实验验证了此方法的有效性。
第 15 卷第 3 期 2007 年 6 月
·测试技术与设备·
文章编号：1005-6734(2007)03-0377-05
中国惯性技术学报 Journal of Chinese Inertial Technology
斜置惯性测量单元的一体化标定技术
Vol.15 No.3 Jun. 2007
郭鹏飞，任 章
（北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京 100083）
摘要：针对陀螺和加速度计均倾斜安装的低精度惯性测量单元，将三个 MEMS 加速度计组件和三个光纤陀螺组
件分别考虑为一个整体，提出了一体化标定技术，将传统的零位、比例因子、安装误差等参数等效考虑为一个
转换矩阵。根据实验得到的低精度斜置惯性测量单元的温度特性和非线性的经验公式，提出了补偿温度特性和
⎢ ⎢
Kgy
M
y
⎥ − bgy ⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎣ωz ⎥⎦
⎢ ⎣
Kgz
M
z
− bgz
⎥ ⎦
(2) 图 1 斜置惯性测量单元外形
Fig.1 Appearance of the Skewed IMU
采用式（2）进行补偿时，(Ι + (∆Cgb )T )−1 的计算一般有一个简化，即认为安装误差角为小角度，被简化为 (Ι − (∆Cgb )T ) ， 其实是忽略了安装误差角二次项的影响[5-7]。对于斜置IMU，存在着大安装误差角，这种处理会使补偿时损失精度，而如
Abstract: The low-cost inertial measurement unit (IMU) includes three skewed fiber-optics gyroscopes (FOG) and three skewed MEMS accelerometers. Considering three FOGs and three accelerometers respectively as a whole, an integrated calibrating technique was advanced in which an equivalent transfer matrix replaced the traditional bias, the scale factor and the misalignment errors. Based on the experimental formulas for the low-cost skewed IMU’s temperature dependency and non-linearity, a new integrated calibrating model was developed which could compensate its temperature dependency and non-linearity. After testing in different temperature with rate table and marble plat, two applied models of angular velocity and acceleration were got via multiple linear regressions. The real-time compensation shows that the skewed IMU’s angular velocity error is less than 0.02 (°)/s with operating range of ±60 (°)/s, and its acceleration error is less than 0.003g for the temperature range(0℃to 24℃). Key words: fiber-optics gyroscope; non-linearity; multiple linear regression; temperature compensation
Fig. 2 The reference frame
其中， Nx , N y , Nz 为三个加速度计的输出电压， ax , a y , az 为安装基准坐标系的三轴加
速度， A3×4 、 B3×4 分别为一体化标定得到的从陀螺和加速度计输出电压到安装基准坐标系的角速度和加速度的转换矩阵。 一体化标定技术认为从传感器坐标系实际测量向量到安装基准坐标系角速度或加速度向量的变化为一个确定的关
果不忽略二次项，则会在补偿时增加运算量。 另一方面，对于斜置IMU，需要采用经纬仪和双轴转台首先标定出台体到安装基
准的坐标转换关系 Cpb ，才能接着标定出传感器的零位，标度因数和相对于台体的小安
装误差[1]。这种方法给斜置IMU的标定实验和补偿使用两方面都增加了复杂度。 改变公式(2)形式，可得角速度的一体化输入输出模型：
Tg2x
M
2 x
Tg2x
M
3 x
Tg3x M x
Tg3x
M
2 x
Tg3x
M
3 x
]T
同理，可得 Rgy 、Rgz 。采用一体化标定技术，由式（3）可得：
⎡⎣ωx ωy ωz ⎤⎦T = A3×46 ⎡⎣1 Rgx Rgy Rgz ⎤⎦T
(8)
其中安装基准坐标系的每轴角速度是具有45个因素的多元回归模型，这些因素由三轴陀螺的输出电压和各自的温度构成。
系 A3×4 、 B3×4 ，没有安装误差等这样物理意义明显的物理量，但也省略了矩阵求逆的步骤，对于斜置IMU，补偿时不会 像现有方法由于求逆简化而损失精度或因求逆而增加运算量，标定时也不需要另外借助经纬仪等设备测出台体到安装基
准的坐标转换关系 Cpb ，使得斜置IMU的标定和补偿均简单可行。
379
非线性的一体化标定模型。利用速率转台和大理石平板在不同温度下进行测试，采用多元线性回归，得到了实
用的角速度模型与加速度模型。实时补偿效果表明，当温度从 0℃到 24℃变化时，在±60(°)/s 转速内角速度
误差小于 0.02 (°)/s，加速度误差小于 0.003g。
关 键 词：光纤陀螺；非线性；多元线性回归；温度补偿
如图2所示， oxb yb zb 为IMU的安装基准坐标系， oxp yp zp 为用于安装陀螺和加速度计的台体坐标系， oxg yg zg 为陀 螺坐标系， oxa ya za 为加速度计坐标系。对于非斜置安装的IMU， oxb yb zb 与 oxp yp zp 重合。
现有标定方法一般考虑传感器的零位，标度因数和安装误差等参数，每个参数都具有明显的物理意义，有利于系统 分析。对于非斜置系统的陀螺组件，标度因数为 [Kgx Kgy Kgz ]T ，零位为 [bgx bgy bgz ]T ，陀螺组件相对于安装基准的 安装误差角反对称阵为 ∆Cgb ，如果对于给定输入角速度 [ωx ωy ωz ]T ，三个陀螺的输出电压为 [M x M y M z ]T ，则三 个陀螺敏感的角速度可写为：
1 一体化标定技术
斜置式低精度惯性测量单元采用 ARM 处理器，主要包括三个单轴光纤陀螺，三个单轴 MEMS 加速度计以及各自的 温度传感器，陀螺和加速度计采用 6 路 24 位 A/D 采样，6 路温度传感器采用 ARM 自带的 10 位 A/D 采样处理器，通过 RS232 输出，具有很强的数据处理能力和系统扩展能力。光纤陀螺和加速度计组件均近似正交安装在台体上，台体相对于 IMU 的安装采用了斜置技术，台体每轴相对于安装基准底面的倾角约为 55°（图 1）。
3.1 陀螺组件一体化标定 每轴光纤陀螺敏感的角速度为陀螺输出电压和温度的函数，即两输入单输出的多项式回归，转化为多因素回归问题，
每轴光纤陀螺的多因素回归模型有15个参数[3]，写成向量形式：
Rgx = [Tgx
Tg2x
Tg3x
Mx
M
2 x
M
3 x
Tgx M x
Tgx
M
2 x
Tgx
M
3 x
Tg2x M x
3.2 加速度计组件一体化标定
每轴加速度计敏感的加速度为加速度计输出电压和温度的多项式回归，温度取三阶，加速度计输出电压取二阶，每
轴加速度计的多因素回归模型有11个参数[4]，写成向量形式：
Байду номын сангаас
Rax = [Tax
⎡ ⎢
Kgx
M
x
−
bgx
⎤ ⎥
⎡⎢ωx
⎤ ⎥
⎢ ⎢Kgy M y
⎥ − bgy ⎥
= (Ι
+
(∆Cgb
)T
)
⎢⎢ω
y
⎥ ⎥
(1)
⎢
⎥
⎢⎥
⎢ ⎣
Kgz
M
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− bgz
⎥ ⎦
⎢⎣ωz ⎥⎦
安装基准坐标系的三轴角速度为：
⎡⎢ωx
⎤ ⎥
⎡ ⎢
Kgx
M
x
− bgx
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⎢⎢ωy
⎥ ⎥
=
(Ι
+
(∆Cgb
)T
)−1
⎡⎣ωx ωy ωz ⎤⎦T = A3×4 ⎡⎣1 M x M y M z ⎤⎦T
(3)
同理可得加速度的一体化输入输出模型：
zp zg
zb
za
az ωz
o
ωx
ax
xb
xg
xa
xp
ya y p yg
ωy ay yb
⎡⎣ax ay az ⎤⎦T = B3×4 ⎡⎣1 Nx N y Nz ⎤⎦T
(4)
图 2 坐标系定义
纤陀螺输入输出特性的正弦函数关系引起的：
ω = b0 + b1M + b2M 2 + b3M 3
(6)
2.3 MEMS加速度计的温度特性
当输入加速度 a 一定时，加速度计的输出电压N与温度T的关系可以在不同的温度段建模为三阶多项式：
N = c0 + c1T + c2T 2 + c3T 3
(7)
3 低精度斜置IMU的一体化标定
捷联惯导系统通常采用余度技术来提高系统的可靠性和精度，惯性敏感元件多采用倾斜配置。而对于非冗余的惯性 测量单元，其敏感元件也可以采用斜置技术，其优点在于可扩大载体三轴方向的角速度和加速度测量范围，减小系统慢 变误差带来的影响，节省传感器安装空间，并有利于提高传感器在一个台体上的整体减振效果。
这种斜置技术给现有的惯性测量单元标定方法带来了挑战。文献[1]将台体到安装基准的坐标转换关系单独考虑，利 用经纬仪进行测量，然后标定了陀螺和加速度计的零位、标度因数和相对于台体的小安装误差，实际补偿时，不但要利 用零位、标度因数和安装误差，还需要一个从台体到安装基准的坐标转换关系。这种标定方法需要采用经纬仪和双轴转 台等设备，对于低精度的 IMU 来说，实现起来成本较高。同时，对于由低精度光纤陀螺和 MEMS 加速度计组成的斜置 IMU，温度特性是标定时必须考虑的问题，而开环式光纤陀螺的非线性也严重影响着其动态精度[2-4]。
中图分类号：U666.1
文献标识码：A
IMU integrated calibrating technique with skewed sensor axes
GUO Peng-fei, REN Zhang
(School of Automation Science and Electrical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China)
郭鹏飞等：斜置惯性测量单元的一体化标定技术
2 低精度斜置IMU的温度特性和非线性
第3期
2.1 光纤陀螺的温度特性
当输入角速率 ω 一定时，陀螺的输出电压M与温度T的关系可以在不同的温度段建模为三阶多项式：
M = a0 + a1T + a2T 2 + a3T 3
(5)
2.2 光纤陀螺的非线性
当温度T一定时，输入角速率 ω 与陀螺输出电压M的关系可以用一个三阶多项式来描述，这是由于开环式干涉型光
2007 年 6 月
中国惯性技术学报
378
本文提出了将陀螺组件和加速度组件分别考虑为一个整体的一体化标定技术，分析了它同现有标定技术的等效性，
以及针对斜置系统时的优越性，并把其应用到本文所研究的斜置惯测量单元中，得到了本系统的一体化标定模型，并同
时补偿了温度特性和非线性，最后通过不同温度下的速率实验和位置实验验证了此方法的有效性。
第 15 卷第 3 期 2007 年 6 月
·测试技术与设备·
文章编号：1005-6734(2007)03-0377-05
中国惯性技术学报 Journal of Chinese Inertial Technology
斜置惯性测量单元的一体化标定技术
Vol.15 No.3 Jun. 2007
郭鹏飞，任 章