九年级下册数学二次函数单元测试(含答案)
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版(含答案)
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版（含答案）一、单选题1．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-12．将二次函数 2(1)y x =- 的图象向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位后， 所得图象 的函数解析式是（ ）A ．2(2)2y x =-+B ．2(2)2y x =--C ．22y x =-D ．22y x =+3．抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（ ） A ．直线 1x =- B ．直线 1x = C ．直线 2x = D ．直线 2x =- 4．已知二次函数 223y x x =-++ ，当x≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y≥3B ．y≤3C ．y ＞3D ．y ＜35．如果抛物线 ()22y a x =+ 开口向下，那么 a 的取值范围为（ ）A ．2a >B ．2a <C ．2a >-D ．2a <-6．二次函数y=x 2-2x+2的图象顶点在第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四7．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是（ ）A ．y=2xB ．y=﹣3x+1C ．y=x 2D ．y= 1x8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()20A -，和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c->；②241b ac -=；③14a =；④21cb =-．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数 2y ax 3ax 1(a 0)=++> 的图象上有三个点分别为 ()1A 3y -， ， ()2B 1y -， ，31C y 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系为( ) A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．1y ， 2y ， 3y 的大小不确定10．已知a ，b 是抛物线y ＝（x ﹣c ）（x ﹣c ﹣d ）﹣3与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则|a ﹣c|+|c ﹣b|化简的结果是（ ）A ．b ﹣aB ．a ﹣bC ．a+b ﹣2cD ．2c ﹣a ﹣b二、填空题11．二次函数 ()2223y x =-+- 的对称轴是直线 ．12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 ()m y 与水平距离 ()m x 之间的关系为 ()215312y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离是 m ． 13．二次函数()223y mx mx m =+--的图象如图所示，则m 的取值范围是 ．14．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，△ADE=△B=α，DE 交AC 于点E ，且cosα= 45.下列结论： ①△ADE△△ACD ； ②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8； ④0<CE≤6.4.其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题15．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t （s ）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．16．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积，17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。
(完整)九年级下数学第二章二次函数测试题及答案,推荐文档
y
1
A O
B
1
x
16 题图
三、解答题： 1. 已知函数 y x 2 bx 1 的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式； （2）当 x 0 时，求使 y≥2 的 x 的取值范围.
3
2. 如右图，抛物线 y x 2 5x n 经过点 A(1, 0) ，与 y 轴交于点 B.
4. 5. 6.
4
7. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面 1:11000 的比例图上去，跨度 AB=5cm，拱高 OC=0.9cm，线段 DE 表示大桥拱 内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物 线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标 系，如图（2）. （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函 数定义域； （2）如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长
（1）求抛物线的解析式； （2）P 是 y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，
试求点 P 的坐标.
y
OA
1
x
-1
B
3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从 亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初 以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月 的利润总和 s 与 t 之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多 少万元？
九年级 数学二次函数单元测试题及答案
九年级数学二次函数单元测试题及答案二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是()A。
y=2x+1B。
y=3x-2C。
y=x2-4x+3D。
y=1/x2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A。
(1，-4)B。
(-1，2)C。
(1，2)D。
(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A。
第一象限B。
第二象限C。
x轴上D。
y轴上4.抛物线的对称轴是()A。
x=-2B。
x=2C。
x=-4D。
x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A。
ab>0，c>0B。
ab>0，c<0C。
ab0D。
ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第二象限()7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A。
4+mB。
mC。
2m-8D。
8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()无法确定9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()B。
y2<y3<y110.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()C。
y=(x+2)2+3二、填空题(每题4分，共32分)11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=1.12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=(x-1)2+2.13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4.选B.3.考点：二次函数解析式的确定.选C.4.考点：二次函数图象的性质.选D.5.考点：二次函数解析式的确定.选B.6.考点：二次函数图象的性质.选A.7.考点：二次函数图象的性质.选C.8.考点：二次函数图象的性质.选B.9.考点：二次函数图象的性质.选D.10.考点：二次函数图象的性质.选C.二、填空题14.抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0)，解析式为y=x^2+1.15.解析式为y=-3x^2+18x-9.16.最高点距地面20m.17.解析式为y=-(x-2)^2+3.18.点为(-1,b^2).三、解答题19.(1)对称轴方程为x=0，点A关于对称轴对称的点A'为A'(0,4)，点B(4,0)关于对称轴对称的点B'为B'(-4,0).2)解析式为y=-x^2-4.20.(1)解得x1=-1,x2=-7，代入二次函数解析式得y=x^2-3x+2.2)平移后的顶点为P(2,-2)，交点为C(4,0)，△POC的面积为4.21.(1)解析式为y=-x^2+6x+5.2)△MCB的面积为12.22.设单价为x元，销售量为y件，根据题意得到方程组：x=2.5+(13.5-x)/200x=2.5+((13.5-x-1)*700)/200解得x=11.5，销售量为900件，获利为(11.5-2.5)*900=8100元，故销售单价为11.5元时可以获利最大。
(典型题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知二次函数()222y mx m x =+-，它的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．3．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ）A ．当2x =时，y 有最小值0.B ．当2x =时，y 有最大值0．C ．当1x =时，y 有最小值1D ．当1x =时，y 有最大值14．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<； ②13a c =-； ③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1) 6．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝0 7．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小 8．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ﹣4＜0B ．a ﹣4＝0C ．a ﹣4＞0D ．a 与4的大小关系不能确定9．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点位于第二象限，对称轴是直线1x =-，且抛物线经过点(1,0)．下面给出了五个结论：①0abc >；②240a b c -+>；③40a c +<；④13a b c -=；⑤326320a b c --<．其中结论正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．如图1，在等腰直角BAC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AB 的中点，点M 为BC 边上一动点，作45PMN ∠=︒，射线MN 交AC 边于点N ．设BM x =，CN y =，y 与x 的函数图象如图2，其顶点为(),m n ，则m n +的值为（ ）A ．4B ．33C ．222+D ．25+ 11．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 12．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <-D ．31m -<<或134m > 二、填空题13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________． 14．将二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y ＝2x +1上，则k 的值为_____．15．已知二次函数2(0)y ax bx ca =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系： x 01 2 3 y7 5 7 13 则代数式的值为．16．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，则抛物线3C 的表达式为____．17．抛物线212133y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，则ABC 的面积为 _______．18．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②30a c +>；③420a b c ++>；④20a b +=；⑤24b ac >．其中正确的结论的有__________________(填正确的序号)19．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，过点E 作AE 的垂线交CD 边于点F ，设BE x =，FD y =，y 关于x 的函数关系图像如图所示，则m =________．20．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为()21184105y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．三、解答题21．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．22．当自变量4x =时，二次函数的值最小，最小值为3-，且这个函数的图像与x 轴的一个交点的横坐标为1．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个函数的图像与y 轴交点的坐标．23．某商店将标价为100元/台的品牌学习机在网上直播间销售，两次降价后，价格为81元/台，并且两次降价的百分率相同．（1）求该品牌学习机每次降价的百分率；（2）从第二次降价后的第1天算起，第x 天的销量及网上直播间销售支出劳务费用的相关信息如表所示： 时间（天）x 销量（台）150﹣x 网上直播间售支出劳务费用（元） 3x 2﹣50x +600x （天）的利润为y （元），求y 与x 之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？ 24．如图1，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点A （2，0）B （6，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求ACB ∠的正切值；（3）如图2，过点C 的直线交抛物线于点D ，若45ACD ∠=︒，求点D 的坐标．25．如图，有四张背面完全相同的卡片A ，B ，C ，D ，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y 随x 的增大而减小的概率是______；（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．26．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键． 2．B解析：B【分析】分m ＞0，m ＜0两种情形，判断对称轴与x=14的位置关系即可. 【详解】∵()222y mx m x =+-， ∴抛物线一定经过原点，∴选项A 排除；∵()222y mx m x =+- ， ∴对称轴为直线x=22224m m m m ---=⨯， ∵24m m --14=24m m m --=24m-， 当m ＞0时，抛物线开口向上，24m -＜0， ∴对称轴在直线x=14的左边，B 选项的图像符合；C 选项的图像不符合；当m ＜0时，抛物线开口向下，24m-＞0， ∴对称轴在直线x=14的右边， D 选项的图像不符合；故选B.【点睛】 本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键.3．D解析：D【分析】先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解．【详解】解：()()2221221y x x x x x =-+=----+=， 二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． 4．D解析：D【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，∴对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c ＝0，又∵b ＝﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴13a c =-∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ， ，要使△ABD 是等腰直角三角形，则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0， 解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ，Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c 7=-，∴a 73c =-=．Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 3c =-= Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ． 结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．5．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 6．D解析：D【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；B ．∵抛物线开口向上，∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．7．D解析：D【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．【详解】 该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m -=-=-+， 若0m >，对于22m x m -=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下，∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．8．A解析：A【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】解：∵抛物线的对称轴为422x -=-=， 抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，124x x +=，2121x x m =+，∴()()()22212121241641x x x x x x m -=+-=-+， ∵210m +>，∴()212x x -的最小值为16， ∴AB ＜4，∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0，∴可知a 表示的点在A 、B 之间，∴40a -<，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 9．A解析：A【分析】由二次函数的图象即可判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；由对称轴和与x 轴交点坐标即可求出c=-3a 和b=2a ，即可判断②③④；把()()()2232332632632236126=61a b c a a a a a a a a --=-⨯-⨯-=-+-变形之后即可判断⑤；【详解】∵由图象可知开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为x=-1，∴ b ＜0，抛物线与y 轴的交点在原点上方，∴ c ＞0，∴ abc ＞0，故①正确；∵ 抛物线经过点(1，0)，对称轴为x=-1，∴ 抛物线与x 轴的另一交点时是(-3，0)，∴ a+b+c=0，∵对称轴为x=-1，∴ b=2a ，∴ a+2a+c=0，即c=-3a ， ()24443150a b c a a a a -+=-+⨯-=-＞ ，故②正确；4430a c a a a +=-=＜ ，故③正确；123a b a a a c -=-=-= ，故④正确； ()()()2232332632632236126=61a b c a a a a a a a a --=-⨯-⨯-=-+- ，∵ ()21a -≥0，由图象得：1a ≠ ， ∴32632a b c --＜0，故⑤正确；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、对称轴以及函数值的求法，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．10．C解析：C【分析】首先由函数图象可直接得出4BC =，然后当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时即为AC 的长，从而在等腰直角三角形中分别计算即可．【详解】根据函数图象知，当4x =时，0y =，即：4BC =，当M 运动至BC 中点时，y 的值最大，此时y 的值即为AC 的长，∵△ABC 为等腰直角三角形，M 为BC 的中点，∴△AMC 为等腰直角三角形，且122AM MC BC ===， ∴AC ==，即：函数图象中，222，m n ==，∴222m n +=+，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用之动态几何问题，理解二次函数的基本性质以及等腰直角三角形的性质是解题关键．11．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．12．D解析：D【分析】作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=， 解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．14．0【分析】先求出二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象平移后的顶点坐标再将它代入y＝2x+1即可求出k的值【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（kk+1）∴将y＝﹣（x﹣k解析：0【分析】先求出二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象平移后的顶点坐标，再将它代入y＝2x+1，即可求出k的值．【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（k，k+1），∴将y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k+1，k+3）．根据题意，得k+3＝2（k+1）+1，解得k＝0．故答案是：0．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数y＝−（x−k）2＋k＋1的图象平移后的顶点坐标是解题的关键．15．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．【分析】根据抛物线的解析式得到顶点坐标根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等横坐标互为相反数由此可得到抛物线所对应的函数表达式【详解 解析：22y x =+【分析】根据抛物线1C 的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线 2C 的顶点坐标，而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可得到抛物线3C 所对应的函数表达式．【详解】抛物线1C ：2223=(1)2y x x x =-+-+， ∴抛物线1C 的顶点为（1,2），向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，∴抛物线2C 的顶点为（0,2），抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，∴抛物线3C 的开口方向相同，顶点为（0,2），∴抛物线3C 的解析式为22y x =+．故答案为22y x =+．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，难度适中． 17．2【分析】由与x 轴交于点AB 即y=0求出x 即得到图象与x 轴的交点坐标与y 轴交于点C 即x=0求出y 得到与y 轴的交点坐标得出ABAC 的长度从而得出△ABC 的面积；【详解】∵与x 轴交于点AB 则解得：即交点解析：2【分析】由212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，即y=0，求出x ，即得到图象与x 轴的交点坐标，与y 轴交于点C ，即x=0，求出y ，得到与y 轴的交点坐标，得出AB 、AC 的长度，从而得出△ABC 的面积；【详解】 ∵212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ， 则2121=033x x -++， 解得：11x =- ，23x = ，即交点坐标分别为(-1，0)，(3，0)； ∵212133y x x =-++与y 轴交于点C ， 将x=0代入得y=1，∴ 点C(0，1)，∴ △ABC 的面积为：1141222AB OC ⨯⨯=⨯⨯= ， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求法，进而得出有关三角形的面积，正确得出有关坐标是解题的关键． 18．①③④⑤【分析】根据函数图象开口向下可以得a ＜0顶点在y 轴右侧得到b ＞0与y 轴交于正半轴得c ＞0从而可以判断①是否正确再根据二次函数图象具有对称性和二次函数的性质可以判断其他各小题是否正确本题得以解 解析：①③④⑤【分析】根据函数图象开口向下可以得a ＜0，顶点在y 轴右侧得到b ＞0，与y 轴交于正半轴得c ＞0，从而可以判断①是否正确，再根据二次函数图象具有对称性和二次函数的性质可以判断其他各小题是否正确，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为1x =，即12b a-=， ∴2b a =-，∴20a b +=，故④正确；当1x =-时，0y a b c =-+<，则30a c +<，故②错误；∵抛物线的对称轴为1x =，则2x =和0x =时的函数值相等，故2x =时，420y a b c =++>，故③正确；∵此抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，∴24b ac >，故⑤正确，故答案为：①③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．19．2【分析】设正方形的边长为a 则CFEC 均可用a 表示证明△ABE ∽△ECF 写出比例式找到y 与x 之间的函数式根据二次函数的最值求法结合所给函数图象求出a 值而后可求m 值【详解】设正方形的边长为a 则CF=a解析：2【分析】设正方形的边长为a ，则CF 、EC 均可用a 表示，证明△ABE ∽△ECF ，写出比例式找到y 与x 之间的函数式，根据二次函数的最值求法，结合所给函数图象，求出a 值，而后可求m 值．【详解】设正方形的边长为a ，则CF=a-y ．∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF ．又∠B=∠C ，∴△ABE ∽ECF ， ∴BE FC AB EC =，x a y a a x-=-， 整理得：21y x x a a =-+， 当2a x =时，y 有最小值34a ， 从所给函数图象上看，当x m =时，y 有最小值3， ∴334a =， 解得：4a =， ∴22a x m ===． 故答案为：2．【点睛】 本题主要考查了动点问题产生的函数图象、相似三角形的判定和性质，解题的关键是动中找静，会阅读图象信息．20．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次解析：10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】 解：令函数式()21184105y y x ==--+中，y=0， 0=()21184105x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．三、解答题21．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．22．（1）()21433y x =--；（2）70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据题意可设二次函数顶点式，再将()1,0代入求解即可；（2）令0x =即可得到结果；【详解】（1）∵当自变量4x =时，二次函数的值最小，最小值为3-， ∴顶点坐标为()4,3-， 可设顶点式为()243y a x =--， 将()1,0代入得：930a -=， 解得：13a =， ∴这个二次函数的表达式为()21433y x =--； （2）∵()21433y x =--， ∴令0x =时，1716333y =⨯-=， ∴与y 轴的交点坐标为70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，准确计算是解题的关键．23．（1）10%；（2）y=2330+2400x x -+，第5天销售利润最大，最大利润是2475元． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y 与x 之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设该品牌学习机每次降价的百分率为x ，根据题意得2100(1)81x -=解得，10.110%x ==，2 1.9x =（舍去） 答：该品牌学习机每次降价的百分率为10%； （2）结合表格数据，根据题意得，()()28115061150350600y x x x x ⎡⎤=---+-+⎣⎦=()2201503+50600x x x ---=23000600330x x --+ =2330+2400x x -+ =23(5)2475x --+∴当x=5时，y 有最大值，最大值是2475 答：第5天销售利润最大，最大利润是2475元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 24．（1）21462y x x =-+；（2）12；（3）D 57,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接将点A 、B 的坐标代入26y ax bx =++ 中求得a 、b 的值即可；（2）过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ，证出EF BF =．设EF BF x ==，则4AF x =-，证出AOC EFA ∽△△．求出1x =．即可求出12AE EF AC OA ==． （3）过点A 作AM AC ⊥于点A ，交CD 于点M ，过点M 做MN x ⊥轴于点N ．证出AOC MNA ≌△△，求出点M (8，2)直线MC 的解析式162y x =-+，列方程组求出点D 坐标(7，52) 【详解】（1）∵点A(2，0)和点B(6，0)在26y ax bx =++，∴ 将点A(2，0)和点B(6，0)代入26y ax bx =++得：426036660a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ， 解得：124a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴21462y x x =-+； （2）解：过点A 作AE AC ⊥点A ，交BC 于点E ，过点E 做EF x ⊥轴于点F ， ∵AE ⊥AC ，EF ⊥AB ， ∴∠EFB=90°， ∵B(6，0)，C(0，6)， ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∴△BEF 为等腰直角三角形， ∴EF=BF ，设EF BF x ==，则4AF x =-， ∵∠CAO+∠EAF=90°，∠AEF+∠EAF=90°， ∴∠CAO=∠AEF ， ∴AOC EFA ∽△△， ∴AF EFOC AO= ，即462x x-=，解得：1x=．∴tan ACB∠=12AE EFAC OA==．（3）解：过点A作AM AC⊥于点A，交CD于点M，过点M做MN x⊥轴于点N．∵∠ACD=45°，∠CAM=90°，∴△CAM为等腰直角三角形，∴CA=AM，又∵∠CAO+∠MAB=90°，∠AMN+∠MAB=90°，∴∠CAO=∠AMN，在△AOC和△MNA中⎧⎪⎨⎪⎩∠COA=∠ANM∠CAO=∠AMNCA=AM，∴AOC MNA≌△△（AAS），∴ MN=OA=2，AN=OC=6，∴ M(8，2)，∴设直线MC的解析式为：y kx b=+，将C(0，6)，M(8，2)，代入得：682bk b=⎧⎨+=⎩，解得：126kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线MC的解析式162y x=-+，∴2146 2162y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得：6xy=⎧⎨=⎩（舍去）752xy=⎧⎪⎨=⎪⎩∴D(7，52)；【点睛】本题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定，二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质；熟练掌握知识点是解题的关键；25．（1）12；（2）不公平，见解析【分析】（1）先判断出A、B、C、D四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解（2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可【详解】（1）卡片A上的函数为12y x=-，为减函数，y随x的增大而减小；卡片B上的函数为()1y xx=-<，为增函数，y随x的增大而增大；卡片C上的函数为()230y x x=->，为增函数，y随x的增大而增大；卡片D上的函数为5y x=-，为减函数，y随x的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率为2142=（2）不公平．理由如下，根据题意列表得：卡片A卡片B卡片C卡片D 卡片A AB AC AD卡片B AB BC BD卡片由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为41123= ；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是82123=， 2133>， ∴不公平． 【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键． 26．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大． 【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得； （2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值． 【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得321276m m =-，解得12m =-，当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =， 故答案为：12m =-，25n =． （2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +． 当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+， ∵280>，∴W 随x 的增大而增大， ∴当30x =时，952W =最大． ∵968952>，∴当18x =时，968W =最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。
答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。
答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程，必然存在实数解。
第二章 二次函数 单元测试卷 2022-2023学年 北师大版数学九年级下册(含答案)
第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。
苏科新版九年级下学期第5章《二次函数》单元测试卷(解析版)
苏科新版九年级下学期第5章《二次函数》单元测试卷一．选择题1.下列函数是二次函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的定义，二次函数的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A. y=x是一次函数，故本选项错误；B. y=是反比例函数，故本选项错误；C.y=x-2+x2是二次函数，故本选项正确；D.y=右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误.故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.2.将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式为（）A. y=（x﹣1）2+1B. y=（x﹣1）2+2C. y=（x﹣2）2﹣3D. y=（x﹣2）2﹣1【答案】B【解析】【分析】根据配方法求解可得．【详解】y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤．3.对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A. 当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B. 当x＝2时，y的最小值是﹣3C. 当x＝2时，y的最大值是﹣3D. 当x＝﹣2时，y的最小值是﹣3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=-1得到图象开口向下，据此根据二次函数的性质解答可得．【详解】解：对于二次函数y=-（x-2）2-3，由于-1＜0，所以，当x=2时，y取得最大值，最大值为-3.故选：C．【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．4.同一坐标系中，一次函数y=ax＋1与二次函数y=x2＋a的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题解析：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．5.已知二次函数y＝x2﹣6x+m（m是实数），当自变量任取x1，x2时，分别与之对应的函数值y1，y2满足y1＞y2，则x1，x2应满足的关系式是（）A. x1﹣3＜x2﹣3B. x1﹣3＞x2﹣3C. |x1﹣3|＜|x2﹣3|D. |x1﹣3|＞|x2﹣3|【答案】D【解析】【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得到|x1-3|＞|x2-3|．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=-=3,∵y1＞y2，∴点（x1，y1）比点（x2，y2）到直线x=3的距离要大，∴|x1-3|＞|x2-3|．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．6.如表中列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c的x、y的一些对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x1的范围是( )A. －3＜x1＜－2B. －2＜x1＜－1C. －1＜x1＜0D. 0＜x1＜1．【答案】C【解析】【分析】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【详解】当x=﹣1时，y=﹣1，x=1时，y=1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0．故选C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．7.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线的顶点坐标是（2，3）.故选A.点睛：在抛物线中，顶点坐标为.8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＜0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c ＜0；⑤（a﹣2b+c）＜0，其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可得出答案.【详解】由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线的对称轴可知：＞1，∴b＞﹣2a，∴2a+b＞0，故①错误；由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，∵b＞﹣2a＞0，∴abc＞0，故②错误；由于抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确；令x=1，此时y＞0，即a+b+c＞0，故④错误；令x=﹣1，此时y＜0，即a﹣b+c＜0，∵b＞0，∴a﹣b+c＜b，∴a﹣2b+c＜0，故⑤正确；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜-2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2-4ac ＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=-＞1，∴b＜0，b＜-2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9.5s 时落地：④足球被踢出7.5s时，距离地面的高度是11.25m，其中不正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据和题意设出抛物线解析式h=at2+bt+c，再将（0,0）、（1,8）、（2,14）代入，可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：设该抛物线的解析式为h=at2+bt+c，（0,0）、（1,8）、（2,14）代入，解得，所以可以得到h=-t2+9t=-（t-4.5）2+20.25（1）当t=4.5时，足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，（2）抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，（3）当h=0，时t=0或t=9，足球被踢出9s时落地，故③错误，（4）t=7.5时，h=11.25，故④正确．∴正确的有②④，不正确的有①③，不正确的个数为2故选：B．【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．二．填空题11.若函数是关于x的二次函数，则k=_____．【答案】-3【解析】【分析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【详解】∵是关于x的二次函数，∴∴解得：k=−3.故答案为：−3.【点睛】考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.12.用配方法把二次函数y＝﹣x2﹣2x+4化为y＝a(x﹣h)2+k的形式为______．【答案】y＝﹣（x+1）2+5．【解析】【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可．【详解】解：∵y=-x2-2x+4=-（x2+2x）+4=-（x+1）2+5．故答案为：y=-（x+1）2+5．【点睛】此题主要考查二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．13.已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____．【答案】a≥1【解析】【分析】结合函数y=-x2+2x+1的图象和性质，及已知中当-1≤x≤a时函数的最大值是2，可得实数a的取值范围．【详解】解：函数y=-（x-1）2+2的图象是开口朝下且以x=1为对称轴的抛物线，当且仅当x=1时，函数取最大值2，∵函数y=-x2+2x+1，当-1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴a≥1，故答案为：a≥1【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．14.如图，将函数y＝ (x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′，若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是__________.【答案】y＝(x－2)2＋4【解析】【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4-1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【详解】∵函数y=（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1-2）2+1=1，n=（4-2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4-1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x-2）2+4．故答案是：y=（x-2）2+4.【点睛】考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．15.二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：①抛物线的顶点坐标为(1，﹣9)；②与y轴的交点坐标为(0，﹣8)；③与x轴的交点坐标为(﹣2，0)和(2，0)；④当x＝﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是______．【答案】①②④【解析】【分析】由上表得与y轴的交点坐标为（0，-8）；与x轴的一个交点坐标为（-2，0）；函数图象有最低点（1，-9）；有抛物线的对称性可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=-1时，对应的函数值y为-5．从而可得出答案．【详解】由上表得与y轴的交点坐标为（0，-8）；函数图象有最低点（1，-9）；由列表可得：与x轴的一个交点坐标为（-2，0），由有抛物线的对称性可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=-1时，对应的函数值y为-5，所以：①抛物线的顶点坐标为（1，-9）；②与y轴的交点坐标为（0，-8）；③与x轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）；④当x=-1时，对应的函数值y为-5．故答案是：①②④．【点睛】考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，体现了数形结合的思想方法．16.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集_____．【答案】1＜x＜3【解析】【分析】直接写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3．故答案为1＜x＜3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．17.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．【答案】【解析】【分析】根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．【详解】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（10﹣2x）米，根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x．故答案为：S=﹣2x2+10x．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解答本题的关键．18.已知，二次函数的部分对应值如下表，则____.【答案】12.【解析】【分析】根据二次函数的对称性结合表格数据可知，x=-3时的函数值与x=5时的函数值相同．【详解】由表格可知，f（-3）=f（5）=12．故答案是：12．【点睛】考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．三．解答题19.画函数y＝的图象．【答案】见解析.【解析】【分析】二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．【详解】列表：描点、连线：【点睛】本题考查二次函数图象，注意利用描点法画函数图象要用平滑曲线．20.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC 交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为.【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（1，4）；（3）P（2，3）【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的解析式；（2）C点是抛物线与y轴的交点，令x=0，可得C点坐标，D点是顶点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点D的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得P点坐标．【详解】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×，∴y＝3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝2，∴P（2，3）．【点睛】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．21.求函数的最值．【答案】①|b|＞1，y极大值＝，y极小值＝；②|b|＜1，y极大值＝；y极小值＝，③当ab＞1时，y极大值＝；ab＜1时，y极小值＝．【解析】【分析】将函数y＝化为关于x的一元二次方程：（1-y）x2+2（a-by）x+（1-y）=0，从而得出△≥0，将本题视为在△≥0的情况下求y的最值，然后讨论b的范围，在b不同范围内求出y的最值．【详解】把y＝化为关于x的二次方程（1﹣y）x2+2（a﹣by）x+（1﹣y）＝0，∵△＝（b2﹣1）y2﹣2（ab﹣1）y+a2﹣1≥0，①b2﹣1＞0，即|b|＞1，∴y=，可得y≤或y≥，∴y极大值＝，y极小值＝；②b2﹣1＜0，即|b|＜1，则有≤y≤，∴y极大值＝；y极小值＝，③b2﹣1＝0，即|b|＝1，得（ab-1）y≤，当ab＞1时，y≤，∴y极大值＝；ab＜1时，y≥，∴y极小值＝．【点睛】本题考查二次函数的最值，难度较大，主要在做题时要分不同情况讨论b的取值，再根据b的值最后求y的值．22.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．【解析】【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【详解】（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质等，有一定的难度，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】y=﹣4t2+24t（0＜t＜6）【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出BP以及BQ的长；然后根据所求三角形的面积与时间的关系，得出S与t的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间，求出t的取值范围即可.【详解】△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，∴BP=12﹣2t，BQ=4t，∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y=(12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．【点睛】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题，用含t的代数式表示出BP以及BQ的长是解答本题的关键.24.如图，直线AB和抛物线的交点是A(0，-3)，B(5，9)，已知抛物线的顶点D的横坐标是2.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值.【答案】（1），顶点D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx ﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；（3）由S△PAB•PH•x B，即可求解．【详解】（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a，b，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y x2x﹣3．当x=2时，y，即顶点D的坐标为（2，）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0）；③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=，则点C坐标为（，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k，故函数的表达式为：y x﹣3，设点P坐标为（m，m2m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB•PH•x B（m2+12m）=－6m2+30m=，当m=时，S△PAB取得最大值为：．答：△PAB的面积最大值为．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25.某大型超市将进价为40 元的某种服装按50 元售出时，每天可以售出300 套，据市场调查发现，这种服装每提高1 元，销售量就减少5 套，如果超市将售价定为x 元，请你求出每天销售利润y 元与售价x 元的函数表达式．【答案】﹣5x2+750x﹣22000．【解析】【分析】根据每天销售利润=每一套的利润×每天销售的套数列式整理得出答案．【详解】根据题意可得：y=（x﹣40）[300﹣5（x﹣50）]=（x﹣40）（550﹣5x）=﹣5x2+750x﹣22000．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式是解题关键．26.张大叔要围成一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的篱笆恰好围成的鸡场，如图所示，设边的长为，长方形的面积为，求与关系式及的取值范围．【答案】．【解析】【分析】利用矩形的面积公式列等量关系即可（注意自变量的取值范围）.【详解】解：∵，∴．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题，需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定.27.如图，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y＝x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y＝ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？．（本小题只需直接写出答案）【答案】（1）正方形边长为；（2）m＝1，y＝；（3）D坐标为（﹣1，3）；y＝x2+ ；所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【解析】【分析】此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x 轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．【详解】（1）∵正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个伴侣正方形．当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，∴AO＝1，BO＝1，∴正方形ABCD的边长为当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形ABCD的边长为a，得3a＝∴a=,所以正方形边长为；（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，知△ADE≌△BAO≌△CBF，此时，m＜2，DE＝OA＝BF＝m，OB＝CF＝AE＝2﹣m∴OF＝BF+OB＝2∴C点坐标为（2﹣m，2）∴2m＝2（2﹣m）解得m＝1，∴反比例函数的解析式为y＝；（3）根据题意画出图形，如图所示：过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，∵C（3，4），即CF＝4，OF＝3，∴EG＝3，DE＝4，故DG＝DE﹣GE＝DE﹣OF＝4﹣3＝1，则D坐标为（﹣1，3）；设过D与C的抛物线的解析式为：y＝ax2+b，把D和C的坐标代入得：，解得，∴满足题意的抛物线的解析式为y＝x2+；同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），对应的抛物线分别为y=x2+；y=x2+；y= x2+，所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【点睛】此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．28.如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且经过点，与轴交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）经过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，试求出点的坐标.【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）点P的坐标为、、或【解析】分析：（1）利用待定系数法，联立方程组即可解得；（2）利用解析式，可得B（0,2），C（1,3），再由A（3，-1），求出AB,AC,BC ，利用勾股定理的逆定理即可得出结果；（3）分两种情况讨论：当点Q 在线段AP上时，当点Q在PA延长线上时，可得点P的坐标.本题解析：(1)由题意得：，解得：∴抛物线的解析式为（2）由得：当时，y=2.，∴，由得，∵A(3,－1)，∴,∴∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D∵,∴P A=2AQ，∴PQ=AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,∴,∴PE=AD=1由得：∴P或②如图，当点Q在P A延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D∵,∴P A=2AQ，∴PQ=3AQ∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,∴,∴PE=3AD=3由得：，∴P或.综上可知：点P的坐标为、、或点睛：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，三角形相似的判定与性质，能正确的作出辅助线是解答本题的关键.。
九年级数学下册第五章《二次函数》单元测试题-苏科版(含答案)
九年级数学下册第五章《二次函数》单元测试题-苏科版（含答案）一、单选题1．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）2．下列二次函数的图象经过原点的是（ ）A ．y=x 2+1B ．y=x 2+xC ．y=（x+1）2D ．y=x 2-2x+13．用绳子围成周长为10（m ）的矩形，记矩形的一边长为x （m ），面积为S （m 2）．当x 在一定范围内变化时，S 随x 的变化而变化，则S 与x 满足的函数关系是（ ） A ．一次函数关系 B ．二次函数关系 C ．反比例函数关系D ．正比例函数关系4．把抛物线y=2x 2向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．y=2x 2 + 1B ．y=2x 2-1C ．y= ()22x 1+D ．y= ()22x 1-5．若A （﹣3，y 1）， 21B ,y 2⎛⎫⎪⎝⎭，C （2，y 3）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1y x=-；④y=x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线 2(3)y x =+ ，则下列平移方法中，正确的是（ ）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．一次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y 1)，(4，y 2)在抛物线上，则y 1<y 2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②④9．已知：抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线y 2=x 2-2ax-1（a>0）与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（ ） A ．0<a≤34B ．a≥34C ．34≤a ＜43D ．34<a≤4310．对于函数y= =ax 2-（a+1）x+1，甲和乙分别得出一个结论：甲：若该函数图象与x 轴只有一个交点，则a=1； 乙：方程ax 2- （a+1）x+1=0至少有一个整数根． 甲和乙所得结论的正确性应是（ ） A ．只有甲正确 B ．只有乙正确 C ．甲乙都正确D ．甲乙都不正确二、填空题11．校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y （米）与水平距离x （米）满足关系式21251233y x x =-++，则小林这次铅球推出的距离是 米. 12．在二次函数y=-x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表．x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y-14-7-22mn-7-14的值为 ．13．如图，已知二次函数 21(0)y ax bx c a =++≠ 与一次函数 2(0)y kx m k =+≠ 的图象相交于点A （－2，6）和B （8，3），则能使 y 1 ＜y2成立的 x 的取值范围 ．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21:2C y x =-+ 和抛物线 22:2C y x x =+ 相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），P 是抛物线 22:2C y x x =+ 上 AB 段的一点（点P 不与A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交抛物线 21:2C y x =-+ 于点Q ，以 PQ 为边向右侧作正方形PQMN ．设点P 的横坐标为m ，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m 的取值范围是．三、计算题15．已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．16．求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．四、作图题17．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．五、解答题18．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．19．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．20．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4.求该二次函数的表达式.21．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．六、综合题22．据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171千米，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．23．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件.（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件.（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？参考答案1．【答案】C【解析】【解答】解：由抛物线的顶点式y=-2（x-3）2-4可得：该抛物线的顶点坐标为（3，-4），故答案为：C.【分析】二次函数y=a(x-k)2+h（a≠0）的图象的顶点是（k，h），依此解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=x2+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，A不符合题意；B、当x=0时，y=x2+x=0，则此二次函数的图象经过原点，B符合题意；C、当x=0时，y=（x+1）2=1，则此二次函数的图象不经过原点，C不符合题意；D、当x=0时，y=x2-2x+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，D不符合题意.故答案为：B.【分析】二次函数图象过原点，即（0，0）在函数图象上，因此把x=0代入选项四个解析式求出对应的函数值，若y=0，则可判断这个二次函数图象经过原点.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），∴S=x（5-x）=-x2+5x.故答案为：B.【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2向下平移1个单位，∴y=2x2-1.故答案为：B.【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k，根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.5．【答案】A【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝﹣221＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y 2＜y 1＜y 3． 故答案为：A ．【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ∵反比例函数 1y x＝ 中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图象在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确. 故答案为：B.【分析】一次函数的比例系数k ＜0的时候，y 随x 的增大而减小，当比例系数k ＞0的时候，y 随x 的增大而增大，从而即可判断①、②；反比例函数的比例系数k ＜0的时候，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，比例系数k ＞0的时候，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；函数 y=x 2的二次项系数大于0对称轴是y 轴，图象开口向上，在对称轴左侧，即当x<0时 y 随x 的增大而减小，从而即可一一判断得出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0）， 所以把抛物线y=x 2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2. 故答案为：A.【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况.8．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0， ∴abc ＞0，故①符合题意；②∵（-3，y 1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4， （4，y 2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，∴点（-3，y 1）离对称轴要比点（4，y 2）离对称轴要远，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3， ∴y 1＞y 2，故②不符合题意；③观察图象，抛物线与x 轴的一个交点为−1<x<0， ∴当−1<x<3时，y 不一定小于0；故③不符合题意； ④当x=-2时，y ＞0，则4a-2b+c ＞0， ∵b=-2a ，∴8a+c ＞0，所以④符合题意； 综上，正确的有①④， 故答案为：B ．【分析】①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，对称轴为x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0，可得abc ＞0，故正确；②由抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故②错误；③根据抛物线的对称性及与x 轴的一个交点为−1<x<0，可知当−1<x<3时，y 不一定小于0；④当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0，由b=-2a 可得8a+c ＞0，故正确.9．【答案】C【解析】【解答】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）可知当10y >时可求得31x x -或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即{22−4a −1≤09−6a −1>0 求得解集为：3443x ≤< 故答案为：C【分析】利用抛物线y 2=x 2-2ax-1可求出其对称轴为直线x=a ，利用a 的取值范围可知对称轴再y 轴的右侧；同时可知当x ＜-3和x ＞1时y 1＞0；再根据y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数，可得到x=2时y 2≤0，当x=3时y 2＞0，分别将其代入y 2的函数解析式，可得到关于a 的不等式组，然后求出不等式组的解集.10．【答案】B【解析】【解答】解：甲：当a=0时，y=-x+1，∴当y=0时，x=1，即函数图象与x 轴交于点（1，0），∴甲结论不正确，乙：当a=0时，-x+1=0， ∴x=1；当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0， 解得x=1或x=1a， ∴方程ax 2-（a+1）x+1=0至少有一个整数根. 故答案为：B.【分析】甲：当a=0时，函数y=-x+1，此时函数图象与x 轴只有一个交点为（1，0），即可判断甲的结论；乙：当a=0时，-x+1=0，解得根为1，当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0，解得根为1或1a，据此即可判断乙结论. 11．【答案】10【解析】【解答】解：令y=0∴21251233x x -++=0 ∴x 2−8x−20=0解得：x 1=10，x 2=−2(舍去)∴小林这次铅球推出的距离是10米. 故答案为：10.【分析】令y=0，求出x 的值，进而可得小林这次铅球推出的距离.12．【答案】3【解析】【解答】解：由表可得，（-1，-2）和（1，2）在二次函数y=-x 2+bx+c 图象上，∴1212b c b c --+=-⎧⎨-++=⎩， 整理，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为y=-x 2+2x+1， ∴当x=2时，m=-4+4+1，解得m=1， 当x=3时，n=-9+6+1，解得n=-2， ∴m-n=1-（-2）=3. 故答案为：3.【分析】由表可得，（-1，-2）和（1，2）在函数图象上，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2和x=3分别代入即可计算出m 和n 的值，从而求出m-n 的值.13．【答案】−2＜x ＜8<8< p=""> <8<>【解析】【解答】解：∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）与一次函数y 2＝kx ＋m （k≠0）的图象相交于点A （−2，6），B （8，3），∴ 结合图象，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是：−2＜x ＜8， 故答案为：−2＜x ＜8，【分析】根据两函数交点坐标得出，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围即是图象y 2在图象y 1上面是x 的取值范围，即可得出答案．14．【答案】1170m +<< 【解析】【解答】解：若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，∵点P 的横坐标为m ，P 是抛物线 22:2C y x x =+ 上 AB 段的一点∴2(,2)P m m m + ， 0m < ， 由题意可知Q 点和P 点横坐标相同， ∴2(,2)Q m m -+ ，若Q 在Q 点在第二象限，则 220m -+> ， 解得 02m <<，或 02m <<（舍），∴()22222222PQ m m m m m =-+-+=--+ ，即 2222QM PN PQ m m ===--+ ， ∴M 、N 的横坐标都为 ()2222222m m m m m +--+=--+ ，∵M 点在第一象限，N 点在第四象限， ∴2220m m --+> ，当 2220m m --+= 时，解得 1117m -= ， 2117m +=， 因此 117117m +-<< 时 2220m m --+> ， 又∵0m < ， ∴1170m +<< ， 故答案为： 11704m +-<< ． 【分析】若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，由点P 的横坐标为m ， 通过解析式可表示点P 、Q 的坐标，即可表示PQ 的长，通过正方形的边长相等可表示N 点的横坐标，通过象限内点的坐标特点求解即可．15．【答案】解:令 0y = , 则 ()()2121=0m x m x -+--解关于 x 的方程得 11x =- ， 211x m =- 设 ()10A -， , 1(01B m -，） ∵2AB =∴(10B ，） 或 (30B -，） ∴111m =- 或 131m =-- 解得 12m = , 223m = ,经检验 12m = , 223m = 是分式方程的根. ∴m 的值为2或23. 【解析】【分析】令y=0，求关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+（m-2）x-1=0的解，即为点A 、B 的横坐标，再根据AB=2求得m 的值即可．16．【答案】解：y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，则二次函数y=x 2+4x ﹣5的最小值为﹣9【解析】【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，进而得出二次函数最值． 17．【答案】解：列表得：x ﹣2 -1 0 1 2 y=2x 2 8 2 0 2 8 y=2x 2+193139【解析】【分析】利用二次函数的对称性先列表，再描点，然后用圆滑的曲线连接即可。
第1章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A.c＞0B.2a+b=0C.b 2﹣4ac＞0D.a﹣b+c＞02、已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A.当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）B.当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点C.若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a ＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大3、抛物线与y轴的交点坐标为（）A.（7，0）B.（-7，0）C.（0，7）D.（0，-7）4、抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.直线D.直线5、直角坐标平面上将二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A.（0，0）B.（1，-1）C.（0，-1）D.（-1，-1）6、已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C.D.7、二次函数图像的顶点坐标是（）A. B. C. D.8、二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A.（1，﹣2）B.（1，2）C.（﹣1，2）D.（﹣1，﹣2）9、已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图像如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1， y1），P2（x2， y2）是抛物线上的点，P3（x3， y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1， y2， y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y1＜y2D.y2＜y1＜y310、已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. 或B. 或C.D.11、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b则（）A.M＞0，N＞0，P＞0B.M＞0，N＜0，P＞0C.M＜0，N＞0，P＞0 D.M＜0，N＞0，P＜012、若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（）A.24B.36C.48D.9613、下列函数关系中，满足二次函数关系的是（）A.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系C.等边三角形的周长与边长之间的关系D.圆心角为100°的扇形面积与半径之间的关系14、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a＋c ＜b；④b2－4ac＞0，其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.415、将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（）A.1个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位二、填空题(共10题，共计30分)16、已知函数y= (m+3)x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________.17、如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为________．18、抛物线y=2（x﹣1）2﹣1与y轴的交点坐标是________19、二次函数y=x2+（k+4）x+k的图象与x轴两个交点间的最短距离为________。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
第1章 二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)
第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y＝ax2＋b x＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A.ac>0B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.2a＋b＝1 D.方程a x2＋bx＋c＝0有一个根是x＝32、抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为（）A. B.1 C.0 D.3、二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m ＜n，则a，b，m，n的大小关系是（）A.a＜m＜n＜bB.a＜m＜b＜nC.m＜a＜b＜nD.m＜a＜n＜b4、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A. B. C. D.5、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②b＜0；③y随x的增大而减小；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，上述4个判断中，正确的是（）A.①②④B.①④C.①③④D.②③④6、将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A.y=2（x﹣2）2﹣3B.y=2（x﹣2）2+3C.y=2（x+2）2﹣3 D.y=2（x+2）2+37、将函数y=﹣x2+2的图象向右平移3个单位后再向上平移1个单位，得到的图象的函数表达式是（）A.y=﹣（x﹣3）2+3B.y=﹣（x+3）2+3C.y=﹣（x+3）2+1 D.y=﹣（x﹣3）2+18、若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是．A. B. C. D.9、把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A.y=-2（x+1）2+2B.y=-2（x+1）2-2C.y=-2（x-1）2+2 D.y=-2（x-1）2-210、下列图形中，阴影部分的面积为2的有（）个A.4个B.3个C.2个D.1个11、二次函数y＝（x﹣4）2+3 的最小值是（）A.2B.3C.4D.512、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（）A.-1≤x≤3B.-3≤x≤1C.x≥-3D.x≤-1或x≥313、在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A. B. C. D.14、描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：①图象经过；②当时，有最小值；③随的增大而增大；④该函数图象关于直线对称；正确的是（）A.①②B.①②④C.①②③④D.②③④15、将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是________.17、如图，直线y= x＋4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x 轴交于点C．动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿C－B－A向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．若当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，第二象限内存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形, 则点N的坐标为________18、将抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为________．19、把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________ .20、当m＝________时，函数是二次函数．21、把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是________．22、函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是________ ．23、抛物线上有两点，，若, 则与的大小关系是________.24、二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是________．25、抛物线过点，且，则抛物线的对称轴是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC.（1）求∠PCB的度数（2）若P，A两点在抛物线y=x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.28、已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．29、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．30、已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（－2，－5），求此二次函数的解析式。
(典型题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（ ） x … 0 1 3 … y…131…A ．a ＞0B ．x ＞1时y 随x 的增大而减小C ．y 的最大值是3D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，x 2=22．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27A ．1B ．-1C ．2D ．-24．如图，抛物线与x 轴交于()2,0A -，()4,0B 两点，点()P m n ,从点A 出发，沿抛物线向点B 匀速运动，到达点B 停止，设运动时间为t 秒，当3t =和9t =时，n 的值相等．有下列结论：①6t =时，n 的值最大；②10t =时，点P 停止运动；③当5t =和7t =时，n 的值不相等；④4t =时，0m =．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③5．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小 6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =-+-与反比例函数a b cy x-+=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1的对称轴是（ ） A ．直线x ＝﹣2B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝28．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（ ） A ．2B ．4C ．-4D ．9．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）A ．0c >B ．0ab >C ．0a b c ++>D ．0a b +>10．已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．311．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①0c >；②240b ac -<；③0a b c -+>；④当1x >时，y 随x 的增大而减小A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．已知将抛物线2y ax c =+向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线经过点(0,5)，则1234a c +-的值为______．14．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____． ①4a +b ＝0； ②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．15．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()3,0A ，()1,0B -．若42P a b =+，Q a b =+，则P ，Q 的大小关系是__________（填“＞”或“＜”或“＝”）．16．抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点，则关于x 的一元二次方程()()2110a x b x c -+-+=的解是______．17．已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠），函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表： x… 1-0 1 2 3 4 … y …101y2125…当1时，自变量的取值范围是______．18．将抛物线22()1y x =-+向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为______．19．一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a ，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b ，则a ，b 的值使得抛物线y ＝ax 2+bx +3的对称轴在y 轴右侧的概率为_____． 20．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y =x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____．（用“＜”符号连接）三、解答题21．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过点(0,3)A -和点(3,0)B ，该抛物线的顶点为C ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）连结,AC BC ，求CAB △的面积．23．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．（1）假设设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?24．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y （间）与每间房的日租金x （元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间． （1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y （间）与每间房的日租金x （元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）设客房的日租金总收入为W （元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？25．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． （1）若点A 的坐标为（4，0）、点B 的坐标为（﹣1，0），求a +b 的值；（2）若图像经过P （1，y 1），Q （m ，n ），M （3，y 2），N （3﹣m ，n ），试比较y 1、y 2的大小关系；（3）若y ＝ax 2+bx ﹣2的图像的顶点在第四象限，且点B 的坐标为（﹣1，0），当a +b 为整数时，求a 的值．26．如图，已知一次函数2y kx =-的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数2y x bx c =++经过点B ，且与一次函数2y kx =-的图象交于点()6,4C ．（1）求一次函数与二次函数的解析式．（2）在y 轴上是否存在点M ，使得以点B ，M ，C 为顶点的三角形与BAO 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A 进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B 、C 进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对D 进行判断． 【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下，a ＜0，故A 错误； ∵抛物线过点(0，1)和(3，1)，∴抛物线的对称轴为直线x=32， ∴x=32对应的y 的值最大，故C 错误； ∵抛物线开口向下，∴x ＞32时y 随x 的增大而减小，故B 错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=32，且抛物线经过点(1，3)， ∴点(1，3)关于对称轴的对称点为(2，3)，∴关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，x 2=2，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键．2．A解析：A 【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解． 【详解】 解：2(0)y ax bx a =+≠，0c，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误；A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴bx 02a=->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交， 所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得c 的值；将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨+-=-⎩∴1a =，2b =-∴221y x x =--当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．4．A解析：A 【分析】根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答． 【详解】解：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=422- =1．设点Q 的运动速度是每秒v 个单位长度，则∵当t=3和t=9时，n 的值相等， ∴x=12[(9v−2)+(3v−2)] =1， ∴v=12． ①当t=6时，AQ=6×12=3，此时点P 是抛物线顶点坐标，即n 的值最大，故结论正确； ②当t=10时，AQ=10×12=5，此时点Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误；③当t=5时，AQ=52，此P 时点的坐标是（12，0）； 当t=7时，AQ=72，此时点P 的坐标是（32，0）． 因为点（12，0）与点（32，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n 的值一定相等，故结论错误；④t=4时，AQ=4×12=2，此时点Q 与原点重合，则m=0，故结论正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点Q 的运动速度是解题的关键．5．D解析：D 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论． 【详解】该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m-=-=-+， 若0m >，对于22m x m-=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．6．B解析：B 【分析】先根据二次函数2y ax bx c =++的图象判断出a 、b 、c 、a b c -+的符号，再用排除法对四个答案进行逐一检验． 【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知，0a >，因为图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以0c <，对称轴位于y 轴右侧，可知02ba->，所以0b <， ∵0a >，0b <，0c <，0ac <， ∴b 2−4ac ＞0，-b ＞0，∴二次函数24y bx b ac =-+-的图象过一、二、四象限，故可排除A 、C ； 由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>， ∴反比例函数a b cy x-+=的图象在一、三象限，可排除D 选项， 故选：B ． 【点睛】此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法．7．C解析：C 【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1＝x 2﹣2x +1﹣2＝(x ﹣1)2﹣2， 所以对称轴是直线x ＝1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能将抛物线化为顶点式．8．D解析：D 【分析】抛物线的顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解． 【详解】解：抛物线24y x bx =++的顶点纵坐标为241441b ⨯⨯-⨯，∵顶点在x 轴上，∴241441b ⨯⨯-⨯=0，解得b 2=16， b=±4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．9．A解析：A【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图像与y 轴交于正半轴，则0c >，A 正确；B 、图象的开口向下，则0a <；对称轴在y 轴右边且0a <，根据对称轴=0b a->，得 0b >； a 、b 异号，B 错误；C 、将（1，0）代入函数表达式，得0a b c ++=，C 错误；D 、A 中结论0c >，C 中结论0a b c ++=，所以 0a b +<，D 错误；故选A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键． 10．D解析：D【分析】函数的对称轴为：x=-22b a =，一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（3，0），即可求解．【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+m 中a=1，b=-4，∴函数的对称轴为：x=-22b a=， ∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），即另一个交点的横坐标为3．故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 11．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．12．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与y 轴的交点判断c 的正负；根据二次函数的图象与x 轴交点个数，判断②的正确性；根据1x =-时，y 取值的正负，判断③的正确性；根据图象中函数的增减性判断④的正确性．【详解】解：∵二次函数的图象与y 轴的交点在正半轴，∴0c >，故①正确；∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相同的实数根，∴240b ac ->，故②错误；当1x =-时，0y >，即0a b c -+>，故③正确；根据图象，当1x >时，y 随x 的增大而减小，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是根据二次函数的图象分析解析式中系数的关系．二、填空题13．【分析】首先求出平移后的抛物线的解析式把点（05）代入解析式得变形为再把变形为代入求值即可【详解】解：抛物线向右平移2个单位解析式为再向上平移3个单位后得到的抛物线解析式为∵抛物线经过点∴∴∴=故答 解析：【分析】首先求出平移后的抛物线的解析式2(2)3y a x c =-++，把点（0，5）代入解析式得435a c ++=，变形为42a c +=，再把1234a c +-变形为3(4)4a c +-代入求值即可．【详解】解：抛物线2y ax c =+向右平移2个单位，解析式为2(2)y a x c =-+，再向上平移3个单位后得到的抛物线解析式为2(2)3y a x c =-++∵抛物线经过点(0,5)，∴435a c ++=∴42a c +=∴1234a c +-=3(4)4a c +-324=⨯-64=-2=故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握旋转及平移的规律是解题的关键． 14．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．15．【分析】把AB 坐标代入求出代入PQ 进行判断即可【详解】解：将代入∴∴∴∴∵二次函数的图象开口向下∴∴∴故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质求出是解答此题的关键解析：Q P >【分析】把A 、B 坐标代入2y ax bx c =++求出2b a =-，代入P ，Q 进行判断即可．【详解】解：将()3,0A ，()1,0B -代入2y ax bx c =++， ∴0930a b c a b c =++⎧⎨=-+⎩∴93a b a b +=-∴2b a =-∴42=440P a b a a =+-=，=2Q a b a a a =+-=-∵二次函数的图象开口向下∴0a <∴0a ->∴Q P >故答案为：Q P >【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，求出2b a =-是解答此题的关键．16．【分析】抛物线经过两点则方程的解为x=-3或x=4根据方程可得x-1=-3或4求解即可；【详解】∵抛物线经过两点∴方程的解为x=-3或x=4∵∴x-1=-3或x-1=4解得=-2或5故答案为：=-2解析：12x =-，25x =【分析】抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点，则方程2=0ax bx c ++的解为x=-3或x=4，根据方程()()2110a x b x c -+-+=可得x-1=-3或4，求解即可；【详解】 ∵抛物线2y ax bx c =++经过()30A -,，()4,0B 两点， ∴方程2=0ax bx c ++的解为x=-3或x=4，∵()()2110a x b x c -+-+=， ∴ x-1=-3或x-1=4，解得1x =-2或2x =5，故答案为：1x =-2，2x = 5．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键；17．【分析】根据表格中的数据可知抛物线的开口方向对称轴及顶点坐标结合表格及抛物线特征可得当时自变量的取值范围【详解】解：由表格知：抛物线开口向上顶尖坐标为（21）故当x=0时与x=4时函数值相同∴=5当解析：04x <<．【分析】根据表格中的数据可知抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合表格及抛物线特征可得当1y y <时，自变量x 的取值范围．【详解】解：由表格知：抛物线开口向上，顶尖坐标为（2，1），故当x=0时与x=4时函数值相同，∴1y =5，当1y y <时，即当y ＜5时，由表格得04x <<．故答案为：04x <<．【点睛】本题考查了二次函数数的特征，解题关键是根据表格得出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．18．【分析】根据左加右减上加下减的方法计算即可；【详解】由题可知向左平移2个单位长度可得：向下平移1个单位长度得；故答案为【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移准确计算是解题的关键解析：2y x【分析】根据左加右减，上加下减的方法计算即可；【详解】由题可知，向左平移2个单位长度可得：22()2211=-++=+y x x ，向下平移1个单位长度得2211=+-=y x x ；故答案为2y x ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键． 19．【分析】根据题意画出树状图然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧找出满足条件的结果数即可求解【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果二次函数y ＝ax2+bx+3的对称轴为要保证对称轴在y 轴的右侧 解析：23【分析】根据题意画出树状图，然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧，找出满足条件的结果数即可求解．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果，二次函数y ＝ax 2+bx +3的对称轴为2b x a =-， 要保证对称轴在y 轴的右侧，即b x 02a=->， 则满足条件的结果有(1，-4)、(2，-4)、(-4，1)、(-4，2)，∴概率为4263P ==， 故答案为：23． 【点睛】本题考查利用树状图求概率、抛物线的对称轴，解题的关键是根据题意画出树状图． 20．y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上对称轴是直线x=根据x ＞时y 随x 的增大而增大即可得出答案【详解】解：∵y=x2﹣3x ∴图象的开口向上对称轴是直线x=∵A （0y1）B （1解析：y 2＜y 1＜y 3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=32，根据x ＞32时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y=x 2﹣3x ，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=32． ∵A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y=x 2﹣3x 上的三点，且0＜1＜32＜4， ∴y 2＜y 1＜y 3．故答案为：y 2＜y 1＜y 3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．三、解答题21．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m+1=0，∴m=-1；（3）由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，∵（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线的图象上的两点，∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，∴y2-y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]-[a2+2a+m2+2m+2]=4（a+2）当a+2≥0，即a≥-2时，y2-y1≥0，即y2≥y1，当a+2＜0，即a＜-2时，y2-y1＜0，即y2<y1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b，用m表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．22．（1）y=x2-2x-3；y=x-3；（2）3【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线AB的解析式；（2）过C点作CD∥y轴交AB于D，如图，把一般式配成顶点式得到C（1，-4），再确定D点坐标，然后利用三角形面积公式计算．【详解】解：（1）把A（0，-3）和B（3，0）代入y=ax2-2x+c得3960 ca c=-⎧⎨-+=⎩，解得：13 ac=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；把A（0，-3）和B（3，0）代入y=kx+b得330 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：13 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为y=x-3；（2）过C点作CD∥y轴交AB于D，如图，∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴C（1，-4），当x=1时，y=x-3=-2，则D（1，-2），∴△CAB的面积=12×3×（-2+4）=3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23．（1）2101002000(020)y x x x =-++≤<；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）(6050)(20010)y x x =-+-2(10)(20010)101002000(020)x x x x x =+-=-++≤<．（2）2210100200010(52250y x x x =-++=--+)所以，当5x =时，y 取得最大值为2250．答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润⨯销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．24．（1）32165y x =-+，160210x ≤≤；（2）每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元【分析】（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．【详解】解：(1)设客房每天的出租数量y （间)与每间房的日租金x （元)之间的函数关系式(0)y kx b k =+≠．把(160,120)，(170,114)代入得160120170114k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得35216k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴ 32165y x =-+， 由题意得：321690532161205x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ∴160210x ≤≤∴自变量x 的取值范围是160210x ≤≤（2）由题意得：()2332161801944055W y x x x x ⎛⎫=⋅=-+⋅=--+ ⎪⎝⎭∵305-＜，160210x ≤≤ ∴当180x =时，19440w =最大．答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数是解题关键． 25．（1）-1；（2）若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2；（3）32a =【分析】（1）把A （4，0），B （-1，0）代入二次函数关系式求出a ，b 的值即可得到结果； （2）由点Q ，点N 的纵坐标相同，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，确定点P 距对称轴更近，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论即可；（3）分别求出a +b =1，a-b-2=0，联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a≠0）的图像过A （4，0），B （-1，0） ∴1642020a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，1=23=2a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴13122a b +=-=- （2）∵Q （m ，n ），N （3﹣m ，n ），∴二次函数图象的对称轴为3322m m +-= ∵P （1，y 1），M （3，y 2），∴点P 距离对称轴更近若a ＞0，则y 1＜y 2；若a ＜0，则y 1＞y 2； （3）由题意知，∵图像的顶点在第四象限，∴对称轴2b x a=-＞0 ∵B （﹣1，0），∴A 点横坐标大于1当x=1时，y=a+b-2＜0∴0＜a+b ＜2∵a +b 为整数∴a +b =1又∵B （﹣1，0），∴a-b-2=0 联立120a b a b +=⎧⎨--=⎩ 解得，32a =【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质． 26．（1）一次函数解析式为2y x =-，二次函数解析式为：252y x x =--；（2）存在，点M 的坐标为（0，4）或（0，10）．【分析】（1）由一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，可求B （0，-2），由一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，可求1k =，一次函数解析式为2y x =-，由2y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩，解方程组求出52b c =-⎧⎨=-⎩即可；（2）存在，先求出OA=2,OB=2,∠AOB=90°，由勾股定理=M 为直角顶点时，当点C 为直角顶点时，利用相似三角形及其性质，可求BM=6或12，即可求出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，∴当x=0时，y=-2，B （0，-2），∵一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，∴462k =-，∴1k =，∴一次函数解析式为2y x =-，∵2y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解方程组得52b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为：252y x x =--；（2）存在，理由如下，∵已知一次函数2y x =-的图象与x 轴交于点A ，∴y=0，x=2，∴A(2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，在Rt △AOB 中，由勾股定理由勾股定理= ①当点M 为直角顶点时，CM ⊥y 轴，CM ∥OA ，∴∠MCB=∠OAB ，∠MBC=∠OBA ， ∴△CMB ∽△AOB ，∴BM BC =BO BA 即BM 2， ∴BM=6，∴OM=MB-OB=6-2=4，∴M （0，4），②当点C 为直角顶点时，∴CM ⊥BC ，∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO ，∴△MCB∽△AOB，∴BC BM=BO BA 即62=222，∴BM=12，∴OM=MB-OB=12-2=10，∴M（0，10），∴以点B，M，C为顶点的三角形与BAO相似点M的坐标为M（0，4）或（0，10）．【点睛】本题考查一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题关键是分类考虑以点C与点M为直角时的相似三角形．。
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)单元测试卷(含答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )A．(－2，5) B．(－2，－5) C．(2，5) D．(2，－5)2．抛物线y＝x2－6x＋9与x轴的交点情况是( )A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．无法确定3．如图，抛物线的顶点是P(1，2)，当函数y的值随自变量x的增大而减小时，x的取值范围是( )A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜14．已知a＜－1，且点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( ) A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y35．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根6．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大7．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝－3．4，则方程的另一个近似根为(精确到0．1)( )A ．4．4B ．3．4C ．2．4D ．1．48． 已知，抛物线y ＝12x 2－x ＋2与直线y ＝x －2的图象如图所示，点P 是抛物线上的一个动点，则点P 到直线y ＝x －2的最短距离为( )A ．5 24B ．3 24C ．2D ．2二．填空题（共6小题，4*6=24）9． 抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 将抛物线y ＝2x 2＋16x －1绕顶点旋转180°后所得抛物线为__ __．11． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴、y 轴分别相交于A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．则该抛物线的表达式是______________．12． 出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x)个，则当x ＝ 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．13． 某涵洞的截面是抛物线形，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为y ＝－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12 m 时，水面到桥拱顶点O 的距离为________m ．14． 如图，抛物线y ＝－2x 2＋2与x 轴交于点A ，B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，C 2的顶点为F ，连接EF ．则图中阴影部分图形的面积为________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6．(1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标；(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？(3)当x在什么范围内时，y≤6?16．(8分) 施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道，其高度为6 m，宽度OM＝12 m，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果现有一辆宽4 m，高4 m的卡车准备要通过这个隧道，问它能顺利通过吗？17．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．18．(10分) 如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问将此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?19．(12分) 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C．P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．(1)求抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．参考答案1-4CACC 5-8DDDD9．高；(0，15)10．y ＝－2x 2－16x ＋111．y ＝－x 2＋2x ＋312．313．914．415．解：(1)∵y ＝－2x 2＋4x ＋6＝－2(x －1)2＋8，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1,8)．令y ＝0，则－2x 2＋4x ＋6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴图象与x 轴交点坐标是(－1,0)，(3,0)．(2)∵抛物线对称轴为直线x ＝1，开口向下，∴当x≤1时，y 随x 的增大而增大．(3)令y ＝－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x ＝0或x ＝2．∵抛物线开口向下，∴当x≤0或x≥2时，y≤6．16．解：(1)根据题意可知，抛物线顶点P 的坐标为(6，6)，∴可设这个抛物线的表达式为y＝a(x －6)2＋6．又∵这条抛物线过原点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，解得a ＝－16．∴这条抛物线的表达式为y ＝－16(x －6)2＋6．(2)当x ＝4时，y ＝－16×(4－6)2＋6＝513，∵4<513，∴这辆卡车能顺利通过．17．(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(－1，8)与点B(3，0)，∴{1－b ＋c ＝8，9＋3b ＋c ＝0，解得{b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴P(2，－1)，C(0，3)．过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y 轴交直线BM 于点N ，如图所示，S △CPB ＝S 矩形CHMN －S △CHP －S △PMB －S △CNB ＝3×4－12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△CPB 的面积为3 18．解：(1)由题意，得此二次函数为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．(2)①特征数为[4，－1]的函数为y ＝x 2＋4x －1，即y ＝(x ＋2)2－5．将此函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的图象表示的函数的表达式为y ＝(x ＋2－1)2－5＋1，即y ＝x 2＋2x －3．∴函数的特征数为[2，－3]．②特征数为[2，3]的函数为y ＝x 2＋2x ＋3，即y ＝(x ＋1)2＋2；特征数为[3，4]的函数为y ＝x 2＋3x ＋4，即y ＝(x ＋32)2＋74．∴平移过程为先向左平移12个单位，再向下平移14个单位．注意：符合题意的其他平移过程也正确．19．解：(1)把点A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得{－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得{b ＝2，c ＝3，所以抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)当t ＝2时，存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形．连接CP 交对称轴于点G ．当t ＝2时，点C ，P 关于x 轴对称．因为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，所以抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0，3)，对称轴为直线x ＝1，所以OC ＝3，故点M 的坐标为(1，6)时，四边形CDPM 是平行四边形．当t ＝2时，不存在这样的点M ．理由：当四边形CDPM 是平行四边形，CG ＝PG ，所以点P 的横坐标t ＝2，矛盾．故不存在这样的点A ．(3)①如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ．则OH ＝t ，PH ＝－t 2＋2t ＋3，BH ＝3－t ，所以S ＝S 梯形OHPC ＋S 三角形PHB －S 三角形COB ＝12(OC ＋PH)×OH ＋12PH×BH －12OC×OB ＝12(3－t 2＋2t ＋3)×t ＋12(－t 2＋2t ＋3)(3－t)－12×3×3＝－32t 2＋92t(0<t<3)．②因为S ＝－32t 2＋92t ，－32＜0，所以S 有最大值．因为S ＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278，当t ＝32时，点P 在第一象限，故当t ＝32时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为(32，154)．由于BC ＝3 2为定值，所以此时点P 到直线BC 的距离最大．设最大距离为n ，所以12×3 2×n ＝278，解得n ＝9 28．故点P 到直线BC 的距离的最大值为9 28．。
(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴，则下列说法中正确的是（ ）A ．该函数图象的对称轴是直线2x =B ．该函数图象与y 轴有可能交于点()0,2C ．若点()11,A c y -，()2,B c y 是该函数图象上的两点，则12y y <D ．该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧3．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列六个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>；⑥240b ac -<．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<； ②13a c =-；③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ） A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)6．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝0 8．抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1的对称轴是（ ）A ．直线x ＝﹣2B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝29．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④11．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线243y x x =-+沿y 轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为_____．14．如图，已知在边长为6的正方形FCDE 中，A 为EF 的中点，点B 在边FC 上，且2BF =，连接AB ，P 是AB 上的一动点，过点P 作PM DE ⊥，PN DC ⊥，垂足分别为M ，N ，则矩形PNDM 面积的最大值是______．15．如图，二次函数2y ax bx c =++与反比例函数ky x=的图象相交于点()()()1231,1,3,A y B y C y -、、三个点，则不等式2k ax bx c x++>的解是____．16．用一根长为24cm 的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm 2．17．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．18．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，则抛物线3C 的表达式为____．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩． （1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2283y x x =-+-．①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值． 22．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．23．商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售_________件商品，商场每天可盈利______元；（2）设销售价定为x 元时，商品每天可销售________件，每件．．盈利_______元； （3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元； （4）这次活动中，1500元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高盈利．24．如图，抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点D 是抛物线上第一象限内的一动点，设点D 的横坐标为m ，连接,,,CD BD BC AC ，当BCD ∆的面积等于AOC ∆面积的2倍时，求m 的值．25．已知直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 和B ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．（1）抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为 ； （2）试确定抛物线的解析式；（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围 ． 26．某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%,在销售期间发现销售数量y (件）与销售单价x (元）的关系如下表：x32 33 3435y420 410400390()1请你根据表格直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ()2当每本纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利3400元?()3将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w （元)最大?最大利润是多少元?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，∵-2ba -=-1， ∴b=2a ，∴3b+2c ＜0，∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0， ∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．2．D解析：D 【分析】根据二次函数的对称轴公式可判断A ，根据函数图像与x 轴的交点求出c 的取值范围，可判断B ，根据c 的取值范围，结合函数的增减性可判断C ，根据函数的开口方向，对称轴，以及与y 轴交于正半轴可判断D ． 【详解】解：在二次函数22y x x c =-+中， 对称轴为直线x =221--⨯=1，开口向上， ∵二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点， 则对应方程220x x c -+=中， △=()224c --＞0，∴c ＜1，∵与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，即0＜c ＜1，∴该函数图象与y 轴不可能交于点()0,2， ∴-1＜c -1＜0， ∵函数开口向上， ∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴点()11,A c y -，()2,B c y 都在对称轴左侧， ∴12y y >，∵对称轴为直线x =221--⨯=1，与y 轴交于正半轴，开口向上， ∴该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，图像性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，结合图像回答问题．3．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象判断1，-1，2所对应的y 的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴12b a ->-，故12b a<， ∵a ＜0，∴b ＞2a ，∴2a -b ＜0，①正确；②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故abc ＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确； ④当x=-1时，y=a -b+c ＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误； ⑥∵图象与x 轴无交点， ∴b 2-4ac ＜0，⑥正确；故正确的有①②③⑥，共4个． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．4．D解析：D 【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0， ∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3， ∴对称轴x ＝1， ∴当x ＝1时，y ＜0， ∴a +b +c ＜0； 故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c ＝0， 又∵b ＝﹣2a ， ∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0， ∴c ＝﹣3a ， ∴13a c =- ∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ，，要使△ABD 是等腰直角三角形，则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∵DE ⊥x 轴，∴点E 是AB 的中点，∴DE ＝BE ，即|244ac b a -|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0， 解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确 ④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ，Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时，在Rt △OBC 中，∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7，即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c 7=-，∴a 73c =-=． Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时，在Rt △OAC 中，∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15，即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0，c=，∴a 33c =-=． Ⅲ、当AC ＝BC 时，∵OC ⊥AB ，∴点O 是AB 的中点，∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾，∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ． 结论④正确．故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．5．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答． 6．D解析：D【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1，整理得：m2﹣2m﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n＝0时，m（﹣m+2）＝0，解得：m＝0或2，即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n＝1时，m（﹣m+2）＝1，整理得：m2﹣2m+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n＝2时，m（﹣m+2）＝2，整理得：m2﹣2m+2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．7．D解析：D【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可对A进行判断；由抛物线开口向上得m＞0，由抛物线与y 轴的交点在x轴下方得k＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n＋k＝0，则可对D选项进行判断．【详解】解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，∴n2﹣4mk＞0，所以A选项错误；B．∵抛物线开口向上，∴m＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴k＜0，∴mk＜0，所以B选项错误；C．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．8．C解析：C【分析】先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．【详解】解：因为抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1＝x 2﹣2x +1﹣2＝(x ﹣1)2﹣2，所以对称轴是直线x ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能将抛物线化为顶点式．9．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵a ＜0，2b a-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴，∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确；③∵该函数图象的开口向下，∴a ＜0；又∵对称轴-1＜x=2b a-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确； ④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0， ∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确．综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断；②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．【详解】解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴C （0，m ），D （1，m-1），∴，故①正确；②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1），∴，∴△ABD 是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，则1-x 1＜x 2-1∴y 1＜y 2．故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．11．D解析：D【分析】 作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=，解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点，综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式可得顶点坐标再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1∴顶点坐标为（2-1）∵将抛物线y=x2-4x+3解析：（2，-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式，可得顶点坐标，再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可．【详解】∵y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），∵将抛物线y=x 2-4x+3沿y 轴向下平移3个单位，∴平移后得抛物线得顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移．14．24【分析】以FE 为x 轴以FC 为y 轴先建立平面直角坐标系求出AB 的解析式为设P （a ）用含a 的式子表示出PMPN 根据矩形面积公式列式根据二次函数的性质即可求解【详解】解：以FE 为x 轴以FC 为y 轴建立平解析：24【分析】以FE 为x 轴，以FC 为y 轴，先建立平面直角坐标系，求出A B 的解析式为223AB y x =--，设P （a ，223a --），用含a 的式子表示出PM ，PN ，根据矩形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：以FE 为x 轴，以FC 为y 轴，建立平面直角坐标系，∵边长为6的正方形FCDE 中，A 为EF 的中点，2BF =，∴A （-3，0），B （0，-2），C （0，-6），E （-6，0），设A B 的解析式为AB y kx b =+，则032k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴223AB y x =--（30x -≤≤）， 设P （a ，223a --）（30a -≤≤），则PM=6+a ，PN=()2226433a a ----=-， ∴()2PNDM 22=642433S a a a ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭矩形， ∴当a =0时，矩形PNDM 面积的最大值是24．故答案为：24．【点睛】本题考查了二次函数的应用问题，用待定系数法求一次函数的解析式，矩形的面积，正方形的性质等知识点，能灵活运用知识点是解此题的关键．15．或【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分找出x 的范围即可【详解】解：不等式的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分∴不等式的解为或故答案为：或【点睛】本 解析：10x -<<或13x <<【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，找出x 的范围即可．【详解】 解：不等式2k ax bx c x++>的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，∴不等式2k ax bx c x++>的解为10x -<<或13x <<， 故答案为：10x -<<或13x <<．【点睛】本题考查利用函数图象解不等式，即比较图象的高低．16．36【分析】设围成矩形的长为xcm 则宽为＝（12﹣x ）cm 设围成矩形的面积为Scm2根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数将其写成顶点式根据二次函数的性质可得答案【详解】解：设围成矩形的长为xcm解析：36【分析】设围成矩形的长为xcm ，则宽为2422x -＝（12﹣x ） cm ，设围成矩形的面积为Scm 2，根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：设围成矩形的长为xcm ，则宽为2422x - ＝（12﹣x ） cm ， 设围成矩形的面积为Scm 2，由题意得：S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x＝﹣（x ﹣6）2+36，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x ＝6cm 时，S 有最大值，最大值为36cm 2．故答案为：36．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 17．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一解析：4x <-或2x >【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．故答案为：x ＜-4或x ＞2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．18．【分析】根据抛物线的解析式得到顶点坐标根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等横坐标互为相反数由此可得到抛物线所对应的函数表达式【详解 解析：22y x =+【分析】根据抛物线1C 的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线 2C 的顶点坐标，而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可得到抛物线3C 所对应的函数表达式．【详解】抛物线1C ：2223=(1)2y x x x =-+-+， ∴抛物线1C 的顶点为（1,2），向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，∴抛物线2C 的顶点为（0,2），抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，∴抛物线3C 的开口方向相同，顶点为（0,2），∴抛物线3C 的解析式为22y x =+．故答案为22y x =+．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，难度适中． 19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y 轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y 轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x ，y 轴的交点坐标等． 20．【分析】当BCP 三点共线且C 在BP 之间时BP 最大连接PB 此时△OAQ ∽△BAP 且相似比为1:3由此即可求得求出BP 的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP 当BCP 三点共线且C 在BP 之间时BP 最 解析：73【分析】当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，连接PB ，此时△OAQ ∽△BAP ，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP ，求出BP 的最大值即可求解． 【详解】 解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大， 此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73．本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．（1）-5；（2）①m =22-，m =2+m =2-②最大值为3，最小值为-27【分析】（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算； ②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．【详解】解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩， 将(1,3)A -代入2y ax =-，得5a =-； （2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩， 当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，得：m =22+（舍去）或m =22-， 当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，得：m =22+m =22-，∴m =22-或m =2+m =2- ②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，此时y 随x 的增大而增大，∴此时273y -≤<-，当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．【点睛】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．22．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】 （1）由题意得：x... -3 -2 -1 0 1 ... y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．23．（1）60，1200；（2）200-x ，x -120；（3）150元或170元；（4）不是，最高盈利为1600元【分析】（1）根据当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，即可求得每天的销量，然后根据盈利=销量×（售价-进价）求出每天的盈利；（2）根据销量=70-（销售价-130）可求出每天的销量，根据盈利=售价-进价可求出每件盈利；（3）设每天盈利为y ，销售价定为x 元，根据盈利=销量×（售价-进价）列出函数关系式，求出当y =1500时x 的值即可；（4）根据（3）求出的函数关系式，利用配方法求出最大值，并求出此时x 的值．【详解】解：（1）由题意得，每天可销售：70-（140-130）=60（件），商场可盈利为：60×（140-120）=1200（元），（2）设销售价定为x 元，则销售量为：70-（x -130）=200-x ，每件盈利为：x -120，（3）设每天盈利为y ，销售价定为x 元，由题意得，y =（200-x ）（x -120）=-x 2+320x -24000，当y =1500时，解得：x 1=150，x 2=170，答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利可达到1500元． （4）不是．y =-x 2+320x -24000=-（x -160）2+1600，∵-1＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当售价160元时，每天盈利最大，每天最大盈利为1600元．故答案为：60，1200；：（200-x ），（x -120）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意得到每天的销量及每件的利润，得出函数表达式，要求熟练掌握配方法求最值的运用．24．（1）224233y x x =-++；（2）1或2． 【分析】（1）利用待定系数法，转化为二元一次方程组求解即可；（2）利用抛物线的解析式，用含有m 的代数式表示BCD ∆的面积，建立数量关系等式求解即可．【详解】.解：（1）把()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++中，得209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的表达式为224233y x x =-++；（2）过点D 作y 轴平行线交BC 于点E ，把0x =代入224233y x x =-++中， 得2y =，∴()0,2C ，又∵()3,0B ，∴直线BC 的表达式为223y x =-+． ∵224,233⎛⎫-++ ⎪⎝⎭D m m m ， ∴2,23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭E m m ， ∴2224222223333DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由2BCD AOC S S ∆∆=得：11222DE OB OA OC =， ∴212123212232m m ⎛⎫⨯-+⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2320m m -+=，解得121,2m m ==，∵03m <<，∴m 的值为1或2.【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，用二次函数的解析式表示三角形的面积，熟练利用二次函数的解析式表示指定三角形的面积是解题的关键．25．（1）（﹣1，0）；（2）y ＝x 2+4x +3；（3）﹣3＜x ＜0．【分析】（1）先求出点B ，点A 坐标，由对称性可求点C 坐标；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）由图象可求解．【详解】。
九年级数学《二次函数》单元测试卷及答案
九年级数学《二次函数》单元测试卷一、选择题1、二次函数y ＝(x －1) 2+2的最小值是（ ）A.－2 B.2 C.－1 D.12、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A(－2,1) B(2，1) C(2，－1)D(1，2) 3、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ） A.28米 B.48米 C.68米 D.88米5、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .C. ①④D. ①②③6、二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M ＝4a+2b+c ，N ＝a －b+c ，P＝4a+2b ，则（ ） A.M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P＞0 D. M ＜0，N ＞0，P ＜07、如果反比例函数y＝k x的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8、用列表法画二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是 ( ) A. 506 B.380 C.274 D.189、二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2 C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x+2)210、如图6，小敏在跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃图1时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s11．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图8所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 12．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 313、当k 取任意实数时，抛物线 的顶点所在曲线是 （ ）A ．y=x 2B ．y=-x 2C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)14、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2-3x+5，则有（ ）A ，3=b ，7=c B ，9-=b ，15-=c C ，3=b ，3=c D ，9-=b ，21=c 15、已知函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( )A ．012b a <-< B ．022b a <-< C ．122b a <-< D ．12b a -= 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 二、填空题17，形如y ＝ (其中a ，b 、c 是 )的函数，叫做二次函数. 18，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .19，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 20，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 21，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个).22，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿.23，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .图8图6Oyx图722)(54k k x y +-=x15题16题图24,若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 。
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二次函数单元测试一、选择题。
1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x －1)(x+2)B.y=(x+1)2 C. y=1－x 2 D. y=2(x+3)2－2x 22132. 函数y=－x 2－4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，－1）B.（－2，1）C.（－2，－1）D.（2， 1）3. 抛物线的顶点坐标是（ ）()12212++=x y A ．（2，1） B ．（－2，1） C ．（2，－1） D ．（－2，－1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=15．已知二次函数的图象经过原点，则的值为 （）)2(2-++=m m x mx y m A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2－3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－x 2＋3.5的一部分，若命中篮15圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．二、填空题。
11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x2.5m3.05mlxyO12．若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为 。
13．抛物线的顶点坐标是 ． 222y x x =-+14．二次函数的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .21(4)52y x =-+15．抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线 ． 2y ax bx c =++(10)A ，(30)B ，x =16．二次函数的部分对应值如下表：2y ax bx c =++x (3)-2-0135…y…708-9-5-7…二次函数图象的对称轴为x= ，x=2对应的函数值．2y ax bx c =++y =17、二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则函数有最____值，且a c 的值____0（填“＞”或“＜” ）。
18．如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系t 式是，那么小球运动中的最大高度．29.8 4.9h t t =-h =最大19．如图所示,在同一坐标系中,作出①②③的图23x y =221x y =2x y =象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (三、解答题。
20．一个二次函数,它的对称轴是y 轴,顶点是原点,且经过点(1,－3)。
(1)写出这个二次函数的解析式；(2)图象在对称轴右侧部分,y 随x 的增大怎样变化?(3)指出这个函数有最大值还是最小值,并求出这个值。
21．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥231x y -=顶的高度为m 时，水面的宽度为多少米？32522．已知二次函数的顶点坐标为(4，－2)，且其图象经过点(5，1)，求此二次函数的解析式。
23.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2。
(1)求出y与x的函数关系式。
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？24．在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图5所示.已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为(－3，1)。
（1）求点B的坐标；（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B l，求△AB1 B的面积。
25．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=0.01v2确定；雨天行驶时，这一公式为s=0.02v2。
(1)如果汽车行驶速度是70 km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？(2)如果汽车行驶速度分别是60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？26.已知二次函数y ＝（m 2－2）x 2－4mx ＋n 的图象的对称轴是x ＝2，且最高点在直线y ＝x ＋1上，求这个二次函数的解析式。
2127．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A(1，m)。
（1）求抛物线的解析式；（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象？28．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2+2x+，请你寻求：54（1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多（4）少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
(1)二次函数参考答案1－10、DABBCDBCBB 11、y= (x+4)2 12、±6 13、y=－x 2+2x+3 14、①③②15．解：(1) y=－3x 2 ； (2) y 随x 的增大而减小；(3)∵a=－3<0，∴函数有最大值。
当x=0时，函数最大值为0。
16、10m 。
17． 设此二次函数的解析式为。
2)4(2--=x a y ∵其图象经过点(5，1)，∴，12)45(2=--a ∴，3=a ∴。
462432)4(322+-=--=x x x y 18.（1）；210x x y -= （2），所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm 2。
25)5(2+--=x y 19．（1）如图，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO ＝∠ODB ＝90°.所以∠AOC+∠OAC ＝90°.又∠AOB ＝90°，所以∠AOC+∠BOD ＝90°。
所以∠OAC ＝∠BOD.又AO ＝BO ，所以△ACO ≌△ODB.所以OD ＝AC ＝1，DB ＝OC ＝3。
所以点B 的坐标为(1，3)。
（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx.将A(－3，1)，B(1，3)代入，得，解得 故所931,3.a b a b -=⎧⎨+=⎩5,613.6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求抛物线的解析式为y ＝x 2+x 。
5613620．(1)v=70 km/h,s 晴=0.01v 2=0.01×702=49(m), s 雨=0.02v 2=0.02×702=98(m),s 雨－s 晴=98－49=49(m)。
(2)v 1=80 km/h,v 2=60 km/h 。
s 1=0.02v 12=0.02×802=128(m)，s 2=0.02v 22=0.02×602=72(m)。
(3)在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离。
在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大。
请司机师傅一定要注意天气情况与车速。
21. 当x ＝2时， y ＝x ＋1=2，抛物线的顶点坐标为（2，2），这个二次函数的解析式为21。
242y x x =-+-22．解：（1）∵点A(1,m)在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3。
把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8，求得a ＝－1。
∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8。
（2）y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1．∴顶点坐标为(3,1)。
∴把抛物线y ＝－x 2＋6x －8向左平移3个单位长度得到y ＝－x 2＋1的图象，再把y ＝－x 2＋1的图象向下平移1个单位长度(或向下平移1个单位再向左平移3个单位)得到y ＝－x 2的图象。
23．(1)当x ＝0时，y ＝，故OA 的高度为1.25米。
54(2)∵y ＝－x 2+2x+＝－(x －1)2+2.25，54∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。
(3)解方程－x 2+2x+＝0,得.∴B 点坐标为。
541215,22x x =-=5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OB ＝。
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出52的水流不至于落在水池外。