分式的概念与性质
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
分式概念及意义知识讲解
分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的意义和性质
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------分式的意义和性质分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3、（1）分式：，当 B=0 时，分式无意义。
（2）分式：，当 B0 时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为 1。
（5）分式：1 / 10，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
二、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
三、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
分式的概念讲解
分式的概念讲解分式是数学中一个重要的概念，它是有理数的一种特殊表达形式。
分式由分子和分母组成，分子是一个整数或一个多项式，分母是一个非零的整数或一个多项式。
分式的形式通常为a/b，其中a为分子，b为分母。
分式有以下几个重要的概念和性质：1. 分子和分母：分式的分子和分母分别表示表达式中的被除数和除数。
例如，在分式3/4中，3是分子，4是分母。
2. 分式的值：分式表示一个有理数，可以通过计算分子除以分母的商得到。
例如，分式3/4的值为0.75，因为3除以4等于0.75。
3. 约分：分式可以进行约分，即将分子和分母的公因子约去，使分式的值保持不变。
例如，分式6/8可以约分为3/4，因为6和8都能被2整除。
4. 扩分：分式可以进行扩分，即将分子和分母同时乘以一个数，使分式的值保持不变。
例如，分式2/3可以扩分为4/6，因为2除以3等于4除以6。
5. 逆分数：逆分数是指分子大于分母的分式，可以通过将逆分数的分子和分母对调得到原分式。
例如，逆分数5/3可以对调得到3/5。
6. 真分数与假分数：当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于或等于分母时，分式称为假分数。
7. 混合数：混合数是真分数和整数的组合，它由一个整数和一个真分数组成，可以通过分数的加法和整数的相加得到。
例如，混合数3 1/2可以表示为整数部分3加上真分数1/2。
8. 分式的运算：分式可以进行加、减、乘、除的运算。
加减分式的运算首先要找到它们的公共分母，然后对分子进行加减运算，分母保持不变；乘除分式的运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。
分式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数中。
分式能够表达有理数的比例关系，可以用于解决许多实际问题，如物体的比例、速度的比例、百分比等。
分式还可以用于代数式的运算和方程的求解等数学问题。
总之，分式是数学中重要的概念，它能够准确地表达有理数的比例关系，进行各种运算和解决实际问题。
熟练掌握分式的概念和性质，对于数学学习和实际生活都有很大的帮助。
分式及基本性质
分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使B A=0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：AB=A·MB·M=A÷MB÷M，其中M（M≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
分式概念及性质
分式概念及性质分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+例题精讲知识点睛【例2】 代数式22221131321223xx x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ）A.1个B.1个C.1个D.1个二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x + ⑶2a b a b+-- ⑷21n m + ⑸22x y x y++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例4】 要使分式23x x -有意义，则x 须满足的条件为 ．【例5】 ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义？⑵要使分式241312a a a-++没有意义，求a 的值.【例6】 x 为何值时，分式1122x++有意义？【例7】 x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？【例8】 若分式25011250x x -++有意义，则x ；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例9】 若33a a-有意义，则33a a-( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例10】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例11】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ; ⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例12】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x-+【巩固】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288x x +⑹2225(5)x x --⑺(8)(1)1x x x -+-【例13】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若22x x a-+的值为0，则x = .【巩固】若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【巩固】若分式221x x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例14】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【巩固】若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例15】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【巩固】x 为何值时，分式23455x x x x ++-+值为零？【巩固】若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .四、分式的基本性质【例16】 填空：（1）()2ab ba=（2）()32xx xy x y=++（3）()2x y x xyxy++=（4）()222x y x yx xy y+=--+【例17】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y+- ⑵xy x y- ⑶22x y x y-+【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y++ （2）22923x x y+【例18】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．⑴1.030.023.20.5x y x y+-⑵32431532x yx y-+【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的定义和基本性质
分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。
一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。
其中a称为分子，b称为分母。
分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。
分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。
在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。
二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。
例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。
例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。
例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。
例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。
例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。
三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。
将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。
分式概念及意义
分式概念及意义分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
一、分式概念及性质
a b c 拓展1、已知 abc 1, 求 的值 ab a 1 bc b 1 ac c 1
bc ca ab abc 拓展2、已知 ，求 的值 a b c (a b)(b c)(c a)
练习：
2x 6 x2 x 6 1.化简求值：已知x 1 1， 2 x 3 x 4x 4 x3
（5）将下列三个不为0的式子中，任选两个构成一个分式， 并化简该分式。
x 2 4xy 4 y 2 , x 2 4 y 2 , x 2 y
三、分式的运算 考点3、混合运算
例、计算： x2 x 1 4x （ 1）（ 2 2 ） x 2x x 4x 4 x 1 1 a b 2a 2 2ab (2) ( ) 2a a b 2a 2a a2 (3)a 2 a2 a a 6a (4)( ) . a 3 a 3 3a
分
式
主要内容：
一、分式概念 二、分式的性质 三、分式的约分、通分
四、分式求值问题
一、分式概念
考点： 1、分子可含字母也可以不含字母，但分母必须含字母； 2、当分子分母有公因式时，千万不能先约分。
2 3 x 1100 ， s ， s ， s ， , a b a b x 15 x
x2 1 2x , x 1 π 1
2.已知代数式b 2 8b 16的值与a 3的值互为相反数， a 2 ab a 2 b 2 求 2 的值。 2 b ab
3.新定义 已知f x 1 1 1 1 , 则f 1 , f 2 xx 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 14 , ,已知f 1 f 2 f n n为正整数，求n. 23 15
分式的概念及基本性质 分式的运算
分式的概念及根本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析〔一〕知识梳理1. 分式的概念形如AB〔A、B是整式，且B中含有字母，B≠0〕的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的分母。
注：〔1〕分式的分母中必须含有字母〔2〕分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类3. 分式的根本性质分式的分子与分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A BA MB M=⨯⨯，ABA MB M=÷÷〔M为整式，且M≠0〕4. 分式的约分与通分〔1〕约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时〔2〕通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定根底。
通分的关键是精确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母全部因式的X次幂的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算〔1〕乘除运算〔2〕分式的乘方〔3〕分式的加减运算〔4〕分式的混合运算【典型例题】例1. 以下有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
ab a 2，1x，a3，--xx y，x+1π，14()x y-，1ya b()+，12a-例2. 以下分式何时有意义〔1〕xx-+12〔2〕11||x-〔3〕412xx-〔4〕xx x22+例3. 以下分式何时值为零以下各式中x为何值时，分式的值为零？〔1〕433xx+〔2〕xx-12〔3〕212--+||()()xx x1. 填空。
〔1〕x x xy y +=≠10()() 〔2〕3222xy x xx -=-()〔3〕x y x y x y x y -+=--≠()()22〔4〕a ab ab a b2-=-()2. 不改变分式的值，将以下分式的分子、分母中的系数化为整数。
〔1〕0300205...x yx y+-〔2〕13141223x yx y -+ 例5. 约分〔1〕-215635210a b ca b d〔2〕31263ab a b a b a ()()-- 〔3〕x x x 22444-+-〔4〕()()()()32322532222a a a a a a a a ---+-+ 例6. 通分：〔1〕345612222a b b c ac ，，- 〔2〕x x x x x x++---22223842，，例7. 分式运算1. 计算：〔1〕-⨯-a b c cd ab 22365()； 〔2〕a a a a a a 2327844324+--⨯-+ 〔3〕x xy y xy y xy y x xy y 22222222++-÷+-+ 〔4〕()ab b a b a b -÷-+2222. 计算：〔1〕()()()-⋅-⋅-a b a b 8761； 〔2〕()()()-⋅-÷--x yy x y x 22234 3. 计算：1111212x x x --+-+ 4. 计算：111a a +-- 5. 计算：()a a a aa a a +-+-÷+-+141233222 6. 计算：14413212222-++÷-⋅++-x x x x x x x () 7. 计算：11122x yx y x y -÷++-() 例8. 能力提高题1. 已知x x 2310-+=，求x x221+的值。
分式的概念和性质
分式的概念和性质分式是初中数学的重点之一，它的概念和性质在数学学习中都非常重要。
在学习分式前，我们需要先了解一下什么是分数。
分数是用以表示整体中一部分的数，通常用两个数之间的横线表示。
其中，分数的上面的数叫做分子，下面的数叫做分母。
分数的基本性质是不变性，即分数的分子和分母乘或除以一个数，得到的新分数仍与原来的分数相等。
分数中分数线上下有约定，使分数具有良好的可读性和利于计算。
分式是一种特殊的分数，其中分数线上下分别由两个代数式代替。
其中，分式的分子和分母都可以是整式、分式和带有根式的式子。
分式的性质如下：1.分式的基本性质：两分式整理后可以加减乘除，其中，加减分式的条件是分式的分母相同，乘除分式则相对灵活。
2.分式的转化：①分式的拆分：可以通过因式分解，把分式化为几个分式的和差形式，然后再进行化简。
②通分：通分是把不同分式的分母化为相同的分母，再进行分式的加减运算。
3.分式的简化：①约分：约分是将分式的分子和分母都除以它们的公因数，使分子和分母的最大公约数为1。
②化简：化简是将分式中的分子和分母都除以一个代数式，使它们互质或分子和分母的最大公约数为1。
4.分式的值域：值域是指对于一个分式来说，分母不能为0，分子也不能使式子无解。
因此，我们需要注意分式的值域问题，在分式的运算时，要避免出现分母为0、分式无解等情况。
5.分式的定义域：定义域是指分式中所有的实数值，使得分式的值存在，也就是说，它不存在0为分母的情况。
定义域可以通过化简分式、判断根式、不等式等方法进行确定。
以上就是关于分式的概念和性质的详细解释。
在数学学习中，分式是一个重要的知识点，它不仅广泛应用于代数、数学中，也是日常生活中普遍使用的数学概念之一。
在学习分式时，我们需要搞清楚分式的概念和性质，掌握它们的相关计算方法，这样才能够在数学学习中做好分式的运算和推导。
七年级上分式的概念及性质
第一节 分式的概念、性质及运算一、基础知识 1、分式的概念分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式（其中B ≠0），A ÷B 就可以表示为BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA叫做分式。
A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式有意义、无意义，分式的值为零的条件： ① 分式有意义的条件是分式的分母不为0；② 分式无意义的条件是分式的分母为0； ③ 分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．2、分式性质：若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；即A A M A N B B MB N ∙÷==∙÷,其中M 、N 为整式，且0,0,0B M N ≠≠≠.例：()()339315535x x x x ==分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程叫约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式（1除外），这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算式 （1）分式的乘除法法则：两个分式相乘，将两个分式的分子的乘积作为分子，分母相乘的积作为分母。
即：.BDAC D C B A =⋅ 两个分式相除时，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
即：BCAD C D B A D C B A =⋅=÷.注：计算结果要化为最简分式。
分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.例：22()x y（2）分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
即;cba cbc a ±=±异分母分数相加减，先将它们化为同分母分式，然后再相加减。
bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。
将几个异分母分式化为与原分式值相等的同分母分式的过程叫通分。
分式的概念和性质(知识导学)
当x取什么数时Βιβλιοθήκη 下列分式的值为零？4.、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.
5.下列分式变形正确的是（）
6.（1）约分：
（2）通分：
分式章
分式的概念和性质
知识要点：
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做
分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
说明：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是
分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、
分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所
四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的
值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
根据分式的基本性质有
根据有理数除法的符号法则有
分式 与 互为相反数.
分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不
不能看化简的结果.
二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这
个性质叫做分式的基本性质，
用式子表示是：
（其中M是不等于零的整式）.
改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分
分式的概念和性质
分式的概念和性质知识点一：分式的概念1、分式的概念：BA （注明：A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母） 说明：分式比分数更具有一般性，如分式BA 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。
例1、下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5随堂练习1、下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123x-；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xyx y +.2、下列式子，哪些是分式？5a-； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b-+.知识点二：分式有意义的条件1、分式的表示：B A（注明： B ≠0才有意义）（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12+x ≠0）例1、当x 时，分式51-x 有意义；例2、分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3、x ，y 满足关系 时，分式x yx y -+无意义；例4、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25xx - 随堂练习 1、使分式2+x x 有意义的x 的取值范围为（ ） A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x2、要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.33、当x 时，分式112-x 有意义。
4、当x 时，分式12+x x 有意义 5、当x 取什么数时，下列分式有意义？22461;(2);(3)512x x x x m-++知识点三：分式的值使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
分式概念知识点总结
分式概念知识点总结一、分式的概念分式是指一个整体被分成若干个相等的部分，其中每个部分被称为分子，整体被称为分母。
分式通常以 a/b 的形式表示，其中 a 和 b 都为整数，b 不为0。
分数的分母表示被分成的份数，分子表示取了多少份。
例如，2/3 表示整体被分成了3份，取了其中的2份。
二、分式的基本形式1. 真分式：分数的分子小于分母，即 |a| < b。
2. 假分式：分数的分子大于或等于分母，即|a| ≥ b。
3. 显分式：分式中的分子和分母都是已知的数。
4. 隐分式：未知数出现在分子或分母中。
三、分式的性质1. 两个分式相乘：a/b * c/d = ac/bd2. 两个分式相除：a/b ÷ c/d = ad/bc3. 两个分式相加：a/b + c/d = (ad + bc)/bd4. 两个分式相减：a/b - c/d = (ad - bc)/bd四、分式的化简1. 将分子和分母约分到最简形式。
2. 若分数中含有开平方，可将分子或分母的平方根提出来。
3. 若分数中含有负号，可将负号移到分子或分母。
五、分式的运算1. 分式的四则运算：包括加、减、乘、除。
2. 分式的化简：将分数化成最简形式。
3. 分式的混合运算：结合整数和分数进行运算。
六、分式方程1. 单分式方程：方程中只有一个分式。
2. 复分式方程：方程中含有多个分式。
七、分式的应用1. 比例问题：利用分式来描述两个量的比值，解决比例问题。
2. 百分比问题：将百分数化成分式，进行计算和比较。
3. 复利问题：利用复利的计算公式，将利率和时间表示成分式，求解复利问题。
八、分式的图形表示1. 分式在直角坐标系中的图形表示：分数可以表示成长度或面积的比值，可以在直角坐标系中用直线或曲线表示。
2. 分式在统计图中的表示：在统计图中，分数可以表示成比例的形式，用图形表示出来。
九、分式的应用领域1. 数学：在代数、几何、概率等方面，分式的概念和运算都有广泛的应用，是数学中重要的基础知识。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
分式的意义和性质
分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。
分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。
分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。
一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。
例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。
2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。
例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。
3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。
例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。
这种表示方法在计算中特别有用。
4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。
例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。
例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。
对于正的分式，分母越大，分数越小。
例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。
例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。
约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。
5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。
例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。
倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。
总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。
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5 、因式分解 (1 ) 4 x 2 4 y 2 3 z 2 4 xz 8 yz ( 2 ) a 2 2 b 2 2 c 2 4 ac 4 bc
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2020/11/26
世界触手可及
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分式的基本性质
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不变 。 即：A A C , A A C (其中C是不等于 0的整式 )
B BC B BC
注意： （1）C 0在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，
必须重点强调C 0这个前提条件； （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，
即：① b b , ② b b ， ③ b b b
a a
a a
a a a
分式的变号法则
例6、不改变分式的值，使 下列分式的分子和分母 不含“”号
（1） 2a (2) 4x (3) 3x
b
5y
y
(4) 3x 10 y
分式的约分、通分
分式的约分： 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样 的分式变形叫做分式的约分. 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
分式的通分： 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式 的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
分式的约分、通分
例 7、将下列各式约分
（1）
4 ax 12 x
2 3
(
2
)
15 x n 2 3xn y
y
3
4
a 1 (3) a 2 1
分式的意义
分式的意义： 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
注意: （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论 分 母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本题中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等 于 零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式（ 3）(
xy
)
x 2 xy x2y
x3
(
)
(2 ) x 2 xy x y
(4) (
x y
)
x2
x y 2 xy
y2
分式的变号法则
分式的变号法则： 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任 何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
分式的约分、通分
例 8、求下列各组分式的最
简公分母
（ 1） 2 7 7a
,
1
3a 2a
a
2
（ 2） 1
,3
x2 4x 5 x2 3x 2
分式的约分、通分
例 9 、通分
（ 1） b , 3 a 4 ac 2 b 2 c
（ 2） 1 x2
4x 2 , x2 4 , x 2
1 、因式分解 (1 ) 4 x 2 y 2 2 y 1 ( 2 ) a 2 2 ab 4 c 2 b 2
2 、因式分解 ( 1 ) ac bc a 2 b 2 (2 )2 x 3 4 x 2 4 x 8
3 、因式分解 （ 1）( m 2 3 m 3 )( m 2 3 m 1 ) 5 （ 2 ）( 4 x 2 3 x 5 )( 1 3 x 4 x 2 ) 10
4 、因式分解 ( 1 ) 4 a 2 4 ab b 2 6 a 3 b 4 ( 2 ) 5 a 2 10 ab 5 b 2 2 a 2 b 3
分式的概念
例1、在下列代数式中，哪 些是分式？哪些是整式 ？
1 , x (x 2), x2 2x 1 , 2x 4 , 5x ,3b, x 1 , 3 x , b3 b
a3
x 1
x 2 3x2 2x 1 2b
分式的概念 注意：分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式 。
③ m2 m2 4
分式的意义
例 3 、下列判断错误的是（
）
A .当 x 2 时，分式 3
x 1 有意义 3x 2
B .当 a b 时，分式
ab 有意义 a2 b2
C . 当 x 1 时，分式 2
2 x 1 的值为 0 3x
D .当 x y 时，分式
x 2 y 2 有意义 x y
但分式中字母的取值范围有可能发生变化。 例如：x2 1 x 1,在变形前后字母x的取值范围变大了
x2 x x
分式的基本性质
例4、不改变分式的值，将下 列分式的分子、分母中 的系数化为整数。
1x1 y
（1）
3 1
4 x1
y
23
（2） 0.2x y 0.01x 0.5 y
分式的基本性质
例 5、填空
分式的意义
例 2、（ 1）下列各式， ①a a2
a 取何值时，分式有意义 ②1 a 2
？ ③ 3a a2 9
( 2 ) 在什么情况下，下列分 ① 3x
x(x 2)
式没有意义？ ② x1
x2
③ x3 x2 9
( 3 )当 m 为何值时，，下列分式
的值为 0？
① 2m 1 3m 3
② m2m m2 1
分式的概念与性质
2020/11/26
1
分式的概念
一般地，如果 A, B表示两个整式，并且 B中含有字母， 那么式子 A 叫做分式，其中 A叫分子， B叫分母。
B
分式注意以下三点： （1）分式的分母必然含有 （2）分式的分母的值不能 （3）分式必然是写成两式
字母； 为 0； 相除的形式，中间以分
数线隔开。