2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案

第2讲 数列求和及数列的综合应用

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为

A.100101

B.99101

C.99100

D.101100 解析 利用裂项相消法求和．

设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5＝5，S 5＝15，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，， ∴⎩⎪⎨

⎪⎧ a 1＝1d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1

a n a n ＋1＝1n

n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴数列{

1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101

. 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋.

(1)求a n ，b n ；

(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .

解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得

当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.

所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋.

由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋.

(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋，

所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1，

2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ，

所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5.

故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N ＋.

考题分析

数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．

网络构建

高频考点突破

考点一：裂项相消法求数列的前n 项和

【例1】(2012·门头沟一模)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1

(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . [审题导引] (1)运用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n ，注意n ＝1时通项公式a n ；

(2)裂项法求和．

[规范解答] (1)由已知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2， n ＝1，2n －1， n ≥2.

(2)由(1)知，

b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 16， n ＝1，12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， n ≥2，

当n ＝1时，T 1＝b 1＝16

， 当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17

＋…＋12n －1－12n ＋1＝13－14n ＋2， ∴{b n }的前n 项和T n ＝13－14n ＋2

.

【规律总结】

常用的裂项技巧和方法

用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：

(1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋k ； (2)1

n ＋k ＋n ＝1k (n ＋k －n )； (3)C m －1n ＝C m n ＋1－C m n ；

(4)n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！等．

[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：

(1)裂项过程中易忽视常数，如1n n ＋2容易误裂为1n －1n ＋2，漏掉前面的系数12

； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．

【变式训练】

1．(2012·大连模拟)已知函数f (x )＝

x x ＋3，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)若数列{b n }满足b n ＝12

a n a n ＋1·3n ，S n ＝

b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n . 解析 (1)由已知，a n ＋1＝

a n

a n ＋3，∴1a n ＋1＝3a n

＋1. ∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，并且1a 1＋12＝32

， ∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n ＋12为以32为首项，3为公比的等比数列， ∴1a n ＋12＝32·3n －1，∴a n ＝23n －1

. (2)b n ＝2·3n 3n －13n ＋1－1＝13n －1－13n ＋1－1，