数学培优讲义(均值不等式)

数学培优讲义

均值不等式

均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。

定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+

推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤b a ab

推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3

3⎪⎭

⎫

⎝⎛++≤c b a abc

推论3、

),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n

a a a n n

n n

（等号成立的条件是n a a a =⋅⋅⋅==21）

例 题 分 析

例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1

求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥

练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1

求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥

练习2、设a >b >0，那么a 2+)

(1

b a b -的最小值是_____

例2、（1）的最大值；

求函数设)cos 1(2

sin

,0αα

πα+=<

练习1、的最小值，求若b

b a a b a )(1

0-+>>

练习2、设a >b >c ，证明4≥--+--c

b c

a b a c a

练习3、设X 1, X 2…X n +

∈R ，求证≥++++-1

221

32

2221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n

练习4、的最小值，求设xz

y z x y z x z y x ++--->>)(27

2

例3、（1）证明：对任意实数a >1,b >1， 有

81

12

2≥-+-a b b a

()()()()()()43111111,

1,,,)2(333≥

++++++++=∈+b a c a c b c b a abc R c b a 求证：且、已知

（3）的最大值求且设2

32132

21321,1,0x x x x x x x x x x i +=++>

练习1、的最大值求且已知232323,1,,,+++++=++∈+c b a c b a R c b a

练习2、当a >1,b >1,c >1时，

121

112

22≥-+-+-a c c b b a

练习3、)(3

1

,1,,,222333c b a c b a c b a R c b a ++≥++=++∈+求证且已知

练习4、,1,,,=++∈+

c b a R c b a 且已知 ()()()

81

1112

42424≥-+-+-a

a c c c

b b b a 求证：

练习5 、+∈R c b a ,,，且,2

3

≥++ca bc ab 求证：423333≥++c b a

练习6、1,0,,=>abc c b a ，求证：2

3

)(1)(1)(13

33≥+++++b a c a c b c b a