数学培优讲义(均值不等式)
均值不等式讲义
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134xy +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
高一数学辅导讲义11---均值不等式
高一数学辅导讲义----均值不等式【高考导航】历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题．利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”．需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．均值不等式作为求最值的工具，渗透在许多方面，应用非常广泛【知识要点】1、主要公式：（1）重要不等式若a b R ∈、,则222a b ab +≥22(2||2)a b ab ab +≥≥或（当且仅当a b =时取等号）。
（2）均值不等式如果a b 、都是正数，那么 2a b +≥（当仅当a b =时取等号）。
（其中2a b +叫做a b 、a b 、的几何平均数） （3）变形：①ab ≤222a b +，②ab ≤2()2a b +；222a b +≥2()2a b + 2、最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：①如果P 是定值, 那么当x y =时，S 的值最小；②如果S 是定值, 那么当x y =时，P 的值最大.注意：使用均值不等式求最值时要注意以下几点：①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件；还要注意选择恰当的公式；②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
【思维方法】1、用均值不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用公式求出最值；2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件：一正二定三相等，三者缺一不可。
如均值不等式法无效，一般可改用单调性法求解。
【基础自测】1.已知0,x ≠当x 为何值时，2281x x +有最小值？最小值为多少？ 2、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A 、222a b ab +>B 、a b +≥、11a b +>、2b a a b +≥ 3、下列函数中，最小值为22的是（ ）A 、x x y 2+=B 、)0(sin 2sin π<<+=x x x yC 、x x e e y -+=2D 、2log 2log 2x x y +=【应用举例】 例1、已知0,x >则423x x --是否存在最大最小值？若存在，则求出其最值。
均值不等式优秀课件1
2 2 a +b ≥2ab
a=b
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号）
公式两边具有何种运算结构？
数的角度:平方和不小于积的2倍
a2+b2
2ab
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，取“=”号）
2
基础训练
4 3．试判断 x 3 x( x 3) 与 7的
大小关系？
3 , x 3 0 解： x
4 4 x ( x 3 ) 3 x 3 x 3 4 2 ( x 3 ) 3 2 2 3 7 x 3
基础训练
4. 求函数的值域：ห้องสมุดไป่ตู้
( 1 )f (x) x
2
1
x 2 (2)f (x ) f(x) [ 2 , ) 2 x 1
x
fx () ( ,2 ] [ 2 , )
( 3 ) () l g l g 1 0 , ( 1 ) x
f x x
x
f(x) [ 2 , )
能力训练
课后作业 1.已知 a 0 ，求函数 y
的最小值。
1 x ( 1 x ;( x 0 ,x 0 ) 2.试判断 ( 1) 2) 与 4 xx 12 1 2 的大小关系？并说明什么时候取到等 号？
x a 1
2
x2 a
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有
均值不等式讲义
一元二次不等式讲义
一目标：
1．利用均值定理求极值.
2.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用
3.ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实
数，而后者要求a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是等价
二、例题讲解
（1)已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2+
281x 的值最小，最小值是多少？
（2）已知x>1,求y=x+
11-x 的最小值
（3）已知x ∈R ，求y=
1222++x x 的最小值
（4）已知x>1,求y=x+
x 1+1
162+x x 的最小值
（5）求y=x 21x -的最大值
（6）要建一个底面积为12m 2，深为3m 的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？
（7）一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（8）、若+
∈R c b a ,,，则c b a a c c b b a ++≥++2
22
（9）、已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++。
《均值不等式》课件
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
均值不等式课件
利用二次函数的性质证明
二次函数具有一些重要的性质，如开口方向、判别 式等。
将二次函数配方，得到一个常数项，从而证明不等 式。
在利用二次函数的性质证明均值不等式时，需要 注意到配方的技巧和判别式的正负号。
利用基本不等式证明
基本不等式是指在加法和乘法运算中，一些项之间存在 的不等关系。
均值不等式课件
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 均值不等式的证明 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的练习题 • 结论与总结
01
引言
均值不等式的定义
均值不等式的数学表达
a1^2+a2^2+...+an^2 >= (a1+a2+...+an)^2/n
均值不等式的几何解释
均值不等式的形式
均值不等式有多种形式，如基本形式、推广形式等。这些形式在应用上有所不同，但它们 都是由基本形式推导出来的。
均值不等式的应用前景
在数学中的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，如在分析、代数、几何等领域都有它的身 影。特别是在解决一些优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具。
在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中也有着广泛的应用，如在经济、工程、物理等领域都有 它的身影。特别是在解决一些最优化问题时，均值不等式往往是一个重要的工具 。
均值不等式的学习方法建议
01
掌握基本概念
要学好均值不等式，首先需要掌握它的基本概念，包括算术平均数和
几何平均数的概念、柯西不等式等。
02
多做习题
学习均值不等式最好的方法是多做习题，通过做习题可以加深对定理
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
课件3：§3.2均值不等式
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，
作出长度为 a b 和
2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
OC a b 2
【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常 数，求长与宽的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求 长与宽的乘积的最大值.
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题
意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以
x y≥ 2
xy
，
因此，即2(x+y)≥40.
§3.2 均值不等式
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a b) 2
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a,b R ab
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
3.我们把不等式
ab 2
ab (a≥0,b≥0)
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b
的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
均值不等式优质课件
栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
研一研·问题探究、课堂更高效
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
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§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
§3.2
研一研·问题探究、课堂更高效
∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
均值不等式课件
要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y，它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k，使 得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4，得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$，即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中，均值不等式常常被 用作一种重要的分析工具。例如，在研究 经济增长、通货膨胀、就业等问题时，可 以通过运用均值不等式来分析这些问题的 内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中，均值不等式被广泛应用于风 险型决策、不确定型决策以及多目标决策等 问题中。通过运用均值不等式，可以获得各 种决策问题的最优解，从而实现决策的科学 化和最优化。
THANKS
感谢观看
应用
柯西不等式在数学多个领域有着广 泛的应用，如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式 ，它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域 有着广泛的应用。
在投资组合理论中，CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期 收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式，资产的预期收益越高，其风险也越高 ，投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。
培优材料之五均值不等式教案
培优材料之五 均值不等式均值不等式22b a +≥ab 2,,(R b a ∈当且仅当b a =时取“=”)与2b a +≥ab b a ,( +∈R ，当且仅当b a =时取“=”运用均值不等式求最值，是中学数学中求最值的基本方法之一．众所周知用均值不等式求最值时，必须满足三个条件：①表达式中含变量的项是正的；②表达式中含变量的项之和(积)是定值；③表达式中含变量的项能够相等．以上三个条件通常简称为“一正二定三相等”．对于不满足“三个条件”的函数，如何通过变形使之满足“三个条件”是用均值不等式求最值的难点．1 化正——如果含变量的项是负的，通过添负号，将其化为正的，以便于使用均值不等式． 例1: 求函数()01633<+=x x x y 的最大值。
解： ()()()()8162163333-=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x x x y 由333416-=⇒-=-x xx ， 所以当34-=x 时，8max -=y 练习：（1）求函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+=)0,2cot tan πx x x y 时的最大值。
2．代换——三角函数代换例2:求函数()10191<<-+=x xx y 的最小值。
解： ∴<<,10x 设,sin 2θ=x 其中20πθ<<，于是16tan 9cot 210tan cot 10cos 9sin 1191222222=•+≥++=+=-+=θθθθθθx x y 由620tan 9cot 22πθπθθθ=<<=得及 所以当41=x 时，.16min =y 练习：（1）为已知422=+y x ，则y x 32+的取值范围是[]132132，-。
（2）已知0,0>>b a 且1222=+b a ，求21b a +的最大值243. 3．恰当配凑——如果积或和不是定值，则需要通过添拆项或配凑项构造常数。
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数学培优讲义
均值不等式
均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。
本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。
主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。
定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+
推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤b a ab
推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3
3⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤c b a abc
推论3、
),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n
a a a n n
n n
（等号成立的条件是n a a a =⋅⋅⋅==21）
例 题 分 析
例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1
求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥
练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1
求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥
练习2、设a >b >0，那么a 2+)
(1
b a b -的最小值是_____
例2、（1）的最大值；
求函数设)cos 1(2
sin
,0αα
πα+=<<y （2）的最小值。
求（且已知))(,1)(,,,z y y x z y x xyz R z y x ++=++∈+
练习1、的最小值，求若b
b a a b a )(1
0-+>>
练习2、设a >b >c ，证明4≥--+--c
b c
a b a c a
练习3、设X 1, X 2…X n +
∈R ，求证≥++++-1
221
32
2221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n
练习4、的最小值，求设xz
y z x y z x z y x ++--->>)(27
2
例3、（1）证明：对任意实数a >1,b >1， 有
81
12
2≥-+-a b b a
()()()()()()43111111,
1,,,)2(333≥
++++++++=∈+b a c a c b c b a abc R c b a 求证：且、已知
（3）的最大值求且设2
32132
21321,1,0x x x x x x x x x x i +=++>
练习1、的最大值求且已知232323,1,,,+++++=++∈+c b a c b a R c b a
练习2、当a >1,b >1,c >1时，
121
112
22≥-+-+-a c c b b a
练习3、)(3
1
,1,,,222333c b a c b a c b a R c b a ++≥++=++∈+求证且已知
练习4、,1,,,=++∈+
c b a R c b a 且已知 ()()()
81
1112
42424≥-+-+-a
a c c c
b b b a 求证：
练习5 、+∈R c b a ,,，且,2
3
≥++ca bc ab 求证：423333≥++c b a
练习6、1,0,,=>abc c b a ，求证：2
3
)(1)(1)(13
33≥+++++b a c a c b c b a。