11、可测集合及其测度(1)
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
可数集合的测度
可数集合的测度
测度是一个定义在特定空间上的数值，用来量化该空间中各个元素的“大小”或“长度”。
在数学和物理学中，测度常被用于测量长度、面积、体积等。
对于可数集合，其测度取决于所选择的测度定义。
例如，在实数轴上，常用的测度有勒贝格测度和计数测度。
勒贝格测度是将所有不间断的区间（即开区间）赋予相同的测度，使得每个开区间的测度等于其长度。
对于可数集合，如果将其中的每个元素看作长度为。
的线段，那么这个可数集合的勒贝格测度就是0。
这是由于勒贝格测度的可数可加性，即任意多个长度为0的线段的总长度仍为Oo
另一方面，计数测度是另一种定义在可数集合上的测度。
在这种测度下，每个集合的测度等于它包含的元素个数。
因此，对于包含X的可数集，其测度就是1。
总结来说，可数集合的测度取决于所选择的测度定义。
不同的测度可以用来描述集合的不同方面，比如大小、元素数量等。
在具体的应用中，应根据问题的需求选择合适的测度定义。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
12、可测集及测度(2)
,则称E可测
（2）定义 设E ⊂ R n , 若∀ T ⊂ R n , 都有 m∗T = m∗ (T ∩ E ) + m∗ (T ∩ E c )，则E可测
3、勒贝格可测集关于测度的性质：
结论：（1）L测度满足L外测度的所有性质
——非负性、单调性、准可数可加性、平移旋转不变性； （2）L测度满足可加性——有限可加性,可数可加性
k →∞ k →∞
证明：若∃n0 , 使mAn0 = ∞，定理自然成立
现在假定对一切k，有mAk < ∞, Ak −1与Ak − Ak −1互不相交，m （Ak − Ak −1）=mAk − mAk −1，
令A0 = Φ， lim Ak = (∪ Ak ) = ∪ ( Ak − Ak −1 )
k →∞ k =1 k =1 ∞ ∞
由测度具有可数可加性 m lim Ak = m(∪ ( Ak −Ak −1 )) = ∑ (mAk − mAk −1 )
k →∞ k =1 k =1 ∞ ∞
= lim ∑ (mAi − mAi −1 ) = lim mAk
k →∞ i =1 k →∞
k
（4）单减可测集列极限集的测度等于其测度列的极限
C C i =1 i =1
∞
∞
∴m∗(T ∩I) +m∗(T ∩IC ) ≤ m∗(∪(Ii ∩I)) +m∗(∪(Ii ∩IC ))
i=1 i=1
准可加 ∞
∞
∞
≤
∑ m (I
∗ i =1
i
∩ I ) + ∑ m ( Ii ∩ I ) =
∗ C i =1
∞
C ∗ ∗ ( m ( I ∩ I ) + m ( I ∩ I )) ∑ i i i=1
实变函数试题库参考答案 (2)
《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||infi i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
《实变函数》第三章_测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
可测集
浅谈可测集的结构摘要 实变函数论是普通微积分的继续,其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立微积分学所存在的缺点,使得微积分的运算更对称更完美.可测集是实变函数中基本而重要的概念之一.内外测度相等的有界点集E 称为勒贝格可测集（简称可测集）.本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出开集可以从外部逼近可测集,闭集可以从内部逼近可测集,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集等于可测集.关键词 可测集 开集 闭集 博雷尔集1 引言可测集是实变函数中基本而重要的概念之一,本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出任何可测集可以由开集从外部逼近,闭集从内部逼近,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集.2 可测集的有关定义、性质以及实例 2.1 可测集的有关定义定义 1 (点集E 的L 外测度) 设E 为n R 中任一点集,对于每一列覆盖E 的开区间1ii IE ∞=⊃U ,作出它的体积总和1i i I μ∞==∑ ,(μ可以是+∞.今后把+∞、-∞看成广义实数).所有一切的μ组个下方有界的数集,它的下确界称为E 的L 外测度,并记为 *m E ,有*11inf :E i i i i i m E I I I ∞∞==⎧⎫=⊂⎨⎬⎩⎭∑U 为开集，定义2 （可测集）若,n T R ∀⊂有*()()c m T m T E m T E **=+I I （Caratheodory 条件）,则称E 为Lebesgue 可测集,此时E 的外测度称为E 的测度,记作mE . Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法.定义3（G δ型集）设集合G 可以表示为一列开集{}i G 的交集：i G G =I , 则称G 是G δ型集. 定义4(F σ型集) 集合F 可以表示为一列闭集{}i F 的并集: i F F =U ,则称F 是F σ型集. 定义5 (Borol 集) 从开集出发,经过至多可数次交、并或补运算得到的集合称为Borol 集.2.2 可测集的性质定理 1 若,,i A B A 可测,则下述集合也可测即11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==-U I I U 可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭； 若A B =∅I 则n T R ∀⊂,有*(())()()m T A B m T A m T B **=+I U I I注 上式由前面可测集的等价刻画立刻可得. 证明 1）由于A 可测,则nR T I ∀⊂有*()(A)(A )c m T m T m T **=+I I*=(A )(A )cc cm T m T *+I I （）A c 所以可测2）只要证nT R ∀⊂有[]()()+()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥⎣⎦I U I U由于A 可测,B 可测,则nT R ∀⊂*****()(A)(A )(A)(A )(A )(A)(A )()c c c c c cm T m T m T m T m T B m T B m T m T B m T A B ****=+=++⎡⎤=++⎣⎦I I I I I I I I I I I U而[][]*()(())(())(A)(A )(A)(A )ccc m T A B m T A B A m T A B A m T T B m T m T B *****=-⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦≤+I U I U I U I I U I I I I I所以[]()()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥+⎣⎦I U I U即A B U 可测.3）A B I =(A )cc cB U 则A B I 可测. 4）A B - =A c B I 则A B -可测.定理2 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）1nn i i A ==U ,SnI T R ∀⊂则有**1(=()nn i i m T m T A =∑I I S ）证明 用数学归纳法1）当1n =时显然成立;2）假设n k =时命题成立则当1n k =+时令S 1(1,2,1)kk i i A k n ===-LU 则11k k k A ++=U S S于是***111()()()c k k k k k m T m T m T +++=+I I I I I S S S S S=**1()()k k m T m T A ++I I S=**11()()kik i m T A m T A +=+∑I I=1*1()k i i m T A +=∑I所以结论成立.定理3 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()()n ni i i i m A m A ===∑U证明 在上性质的证明中令nT IR =即得.定理4 若,A B 可测,,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明 ()()B A B A A B A =--=∅U I 且,B ()+A m A mm B -（））则=（有又mA <+∞所以()B B A A m m m -=-（）（）定理5 设i A 可测,则1i i A ∞=U 可测,1i i A ∞=I可测.证明 只要证nT R ∀⊂***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U,n z +∀∈有,令***11()()()c n n i i i i m T m T A m T A ==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U**11()()c n i i i i m T A m T A ∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U令n →+∞***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U所以1i i A ∞=U 可测又1i i A ∞=I=1()c c i i A ∞=U可测.定理6 设i A 可测（1,2,i n =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （） 则,nT R ∀⊂,有*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U =*1()i i m T A ∞=∑I证明 n z +∀∈令11n n i i i i A A ∞===⊂U U S于是nT IR ∀⊂,*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U *()n m T S ≥I=*1()nii m T A =∑I令n →+∞有**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦∑I I U反之**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I I U U *1()i i m T A ∞=≤∑I则结论得证.定理7 设i A 可测（1,2,i =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()i i i i m A mA ∞∞===∑U证明 nT R ∀⊂，有*11(()(())n n ci i i i m T m T A m T A **===+I I U U *11(()(())n c i i i i m T A m T A ∞*==≥+I I U U*11()(())n c i i i i m T A m T A ∞*===+∑I I U从而*11()(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==+∑II U*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥+∞I I U U （*）另外显然有*11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤+I I U U从而1ii A ∞=U 可测,并用1ii T A ∞==U 代入（*）式,即得结论.例1设[0,1]中可测集12,,,n A A A L 满足条件11nii mAn =>-∑,则1i i A ∞=I 必有正测度.证明111()((()))([0,1]())n n nc cc i i i i i i m A m A m A =====-I I I11([0,1])([0,1])()n ncc i i i i m A m m A ===-=-U U11([0,1])ni i m A =≥--∑111(1)(1)0n ni i i i mA mA n ===--=-->∑∑2.3 可测集的实例例2 零集一定是可测集.证明 设*0n E IR m E ⊂=，且,则任意,,ncT IR T E E T E T ⊂⊂⊂I I ,于是*()()c m T E m T E *+I I **()()c m T E m T =≤I例3 开集和闭集都是可测集.证明 因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.而区间是可测的,开集既是可测的,则闭集作为开集的余集自然可测.例4 G δ型集与F σ型集是可测集. 例5 Borol 集是可测集. 例6 Cantor 集是可测集.3 可测集的结构引理 nR 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的并.引理的意义在于当我们讨论无界可测集的性质时,可将其分解而转化为有界可测集的情形来讨论.证明 设E 为nR 中任一可测集.令(){}|,1,0,1,2,n n S x x R n d x n n =∈-≤<=L其中0表示nR 中的坐标原点,则(1,2,)n S n =L 可测.令n n E E S =I ,则n E 是有界可测集且彼此互不相交,而且1nn E E∞==U .3.1开集逼近定理8 点集E 可测的充要条件是对任意0ε>,恒有开集G E ⊃,使()*\m G E ε<.证明 必要性设E 可测,有引理可设,1nii E E==U ,1212=i i E E i i ∅∀≠I （）,nE（1,2,i =L ）可测且n mE <+∞,对任意的0ε>及每个n E ,由测度定义,有一开区间列(){}n i I ,使得()1nn i i E I ∞=⊂U ,且()1,(1,2,)2n i n ni I mE n ε∞=<+=∑L令()1n n i i G I ∞==U ,则nG为开集,n n G E ⊃,且()12n n n i n ni mE mG I mE ε∞=≤≤<+∑因此()\2n n nm G E ε<（注意,这里用到了n mE <+∞）令 1nn G G∞==U ,则 G 为开集且G E ⊃,又因为1111\\cn n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭I U U U U=()()1111\c cn n n n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⊂= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I U I U U于是,注意到 \G E 为可测集,我们有()()()*1\\\n n n m G E m G E m G E ∞=⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦U()1\nn n m GE ∞=≤∑12nn εε∞=<=∑充分性 由条件知,对任意自然数 n ,有开集 n G E ⊃,使得()*1\(1,2,)n m G E n n<=L令G 1n n G ∞==I,则 G E ⊃, G 可测集,且()()**10\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤≤<=L由10n>的任意性得 ()*\0m G E =,从而 \G E 可测. 又因 G E ⊃,所以\(\)E G G E =因此E 为可测集.推论1 对任一可测集 E ,恒有 G δ型集 G E ⊃,使得(\)0m G E =. 证明 对1(1,2,)n n n ε==L ,由定理1知,存在开集n G E ⊃,使得()1\n m G E n<. 令G 1n n G ∞==I,则G 为G δ型集,G E ⊃,并且()()1\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤<=L由10n>的任意性得 ()\0m G E =3.2 闭集逼近定理9 点集E 可测的充要条件是对任意 0ε>,恒有闭集F E ⊂,使()*\m E F ε<. 证明 利用定理1的结果即可得到此定理的结论.事实上,因为 E 可测的充要条件是cE 可测,再由定理1知,cE 可测的充要条件是对任意 0ε>,存在开集cG E ⊃,使()*c m G E ε⊃<但 \\ccG E E G =,只要令cF G =,则显然F 为闭集且F E ⊂,()*\m E F ε<,这就证明了此定理.以上两个定理揭示了可测集与开集、闭集间的内在联系. 定理1说明开集可以从外部逼近可测集,定理2说明闭集可以从内部逼近可测集.推论2 对任一可测集E ,恒有F σ型集F E ⊂,便得(\)0m E F =.证明 因E 可测,故cE 可测. 由定理3可知,存在G δ型集c G E ⊃,使(\)0cm G E =.令cF G =,则F 为F σ型集且F E ⊂,并且(\)(\)0c m E F m G E ==定理3和定理4的结论蕴含着mG mE =与mF mE =. 事实上,在定理3中,由(\)G E G E =⋃,得(\)mG mE m G E =+,而(\)0m G E =,因此mG mE =. 在定理4中,由(\)E F E F =⋃,得(\)mE mF m E F =+,而(\)0m E F =,因此mE mF =.3.3 可测集同Borol 集的关系任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集并集；同时也必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的差集.证明 设E 是可测集,由定理3和定理4知,分别有G δ型集G ,F σ型集F ,使得G E F ⊃⊃且(\)(\)0m G E m E F ==.令12\,\N G E N E F ==,则120mN mN ==且12\,E G N E F N ==U这里的,G F 显然是波雷尔集.定理得证.上述定理指出了可测集同Borol 集的关系,可测集等于Borol 集并上一个零集也等于Borol 集与零集的差 .例7 设E 为[]0,1 中的有理数全体, 试各写出一个与E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集111111,22i i i i n i n n O r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭I U F σ型集 空集注 上面的交与并不可交换次序.例8 设*E 为[0,1]中的无理数全体,试各写出一个与*E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集 (0,1) F σ型集111111[0,1],22i i i i n i n n H r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I U类似可证 若n E R ⊂，则存在G δ型集O 使得E O ⊂且mO m E *=（称O 为E 的等测包）证明 由外测度定义知1,n ∀∃{}ni I ,使得1ni i E I ∞=⊂U 且**11||ni i m E I m E n∞=≤≤+∑ 令1n nii G I∞==U 则n G 为开集,n E G ⊂且**111||n ni ni i i m E mG mI I m E n∞∞==≤≤≤<+∑∑ 令1n n O G ∞==I,则O 为G δ型集,且*,O E mO m E ⊂=最后,我们指出,nR 中的点集并不都是可测集. 而且,每一具有正测度的点集均含有不可测子集. 当然,我们要构造这样的不可测集是不容易的,因为通常构造集合往往从区间出发经过一系列并、交、差等运算而得出的,而这样得到的集都是波雷尔集,当然是可测的. 因此要构造不可测集必须从别的途径入手,关于不可测集例子,这里就不介绍了.结 束 语本论文主要讨论两个问题. 第一个问题是哪样一些常见的集合是可测的,我们得到任何区间、开集、闭集、G δ型集、 F σ型集以及所有的波雷尔集合都是可测的.第二个问题是可测集的结构,主要讨论了可测集同开集、闭集之间的关系以及可测集同 G δ型集、 F σ型集之间的关系以及可测集同Borol 集的关系. 可测集可以由开集从外部逼近由闭集从内部逼近,可测集可以由Borol 集并上一个零集或者挖掉一个零集得到.参考书目[1] 程其襄等,实变函数与泛函分析基础（第二版）[M],北京;高等教育出版社,2003. [2] 江泽坚、吴志泉,实变函数（第二版）[M],北京;高等教育出版社,1994.[3] 吴炯圻、周戈,实变与泛函——基本原理与思想方法[M],厦门;厦门大学出版社,2004.[4] 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌,实变函数与泛函分析（上册）[M],北京;人民教育出版社,1987.[5] 周民强,实变函数论[M],北京;北京大学出版社,1992.[6] W.Rudin,Real and Complex Analysis[M], New York:McGraw-Hill,1966.Discusses the Measurable Set Shallowly the StructureAuthor : GONG Aili Supervisor : HU YongmoAbstract The theory of functs are ordinary calculus continuation, its goal is wants to overcome Newton and lai the Nepali tribulus establishes the shortcoming which the calculus study exist, causes the calculus the operation to be more symmetrical is more perfect. The measurable set is in the real variable function basic and one of important concepts. The inside and outside measures equal have volume of E to be called force the Begg measurable set (i.e. measurable set). The present paper is through the introduction measurable set definition, the nature as well as the measurable set and the open set, the closed set, theBorell collection relations, portrays the open set with them to be possible to approach the measurable set from exterior, the closed set may approach the measurable set from the interior, the Borell collection exhausts a null set or and on a null set is equal to the measurable set.Key words Measurable set Open set Closed set Borell collection。
§3.2 可测集合
U ⊆ E n ⊆ ，...令 E＝ ∞ E n ＝ lim E n ， 则对任意 T 有
n=1
n→∞
m * (T∩E)＝ lim m * (T∩E n ) n→∞
证明 令 S n ＝E n -E n−1 (这里 E 0 ＝ф)，则 S n 可测且互不相交，由定理３.１.
U ∑ ５得 m * [T∩ ∞
对任意的 T 有
U ∑ m * [T∩ ∞
∞
S n ]＝
m * (T∩S n )
n=1
n=1
特别地
∞
∞
m[ U S n ]＝ ∑ mS n
n=1
n=1
证明 1)假定 S1 ， S 2 ，...，S n ，...互不相交，要证 S 可测，只须证对 任意的 T 有
U U m * T≥m * [T∩ ∞ S i ]＋m * {T∩[ ∞ S i ] c }
定理３.２.４ 若 S1 ，S 2 均为可测集，则交集 S1 ∩S 2 也是可测集。
证明 只须证[S 1 ∩S 2 ] c 是可测集，而[S 1 ∩S 2 ] c ＝ S 1 c ∪S 2 c ，由定理３. ２.２知：S 1 c 和 S 2 c 均为可测集，由定理３.１.３知：S1 c ∪S 2 c 可测。证毕
∞
∞
U U S＝ S n ＝ [S n -S n−1 -...-S 1 ]，而[S n -S n−1 -...-S1 ]互不相交，
n=1
n=1
由 1)知 S 可测。证毕
注３.２.２ 由本定理可以看出， 区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立，否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为 0”的荒谬结果。
E 可测<＝>m * T＝m * [T∩E]＋m * [T∩(CE)]
测度的概念和相关
数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。
传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现。
目录[隐藏]• 1 定义• 2 性质o 2.1 单调性o 2.2 可数个可测集的并集的测度o 2.3 可数个可测集的交集的测度• 3 σ有限测度• 4 完备性• 5 例子• 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论•7 相关条目•8 参考文献[编辑]定义形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。
设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：•空集的测度为零：。
•可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：。
这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
[编辑]性质下面的一些性质可从测度的定义导出：[编辑]单调性测度的单调性：若和为可测集，而且，则。
[编辑]可数个可测集的并集的测度若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：以及如下极限：[编辑]可数个可测集的交集的测度若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。
进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。
例如对于每一个，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
[编辑]σ有限测度详见σ有限测度如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。
如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。
11、可测集合及其测度(1)
C 交 、 并 分 配 律 m ∗ (T ∩ ( S1 ∪ ( S1C ∩ S 2 ))) + m ∗ (T ∩ （ S1 ∪ S 2） )
C 并、交分配律 m∗ (T ∩ ((S1 ∪ S1C ) ∩ (S1 ∪ S2 ))) + m∗ (T ∩ （S1 ∪ S2） )
j =1 j =1
∞
∞
为E的Lebesgue外测度。
S ( f ) − s ( f ) ≤ ∑ ( yi − yi −1 )m Ei ≤
* i =1
k
ε
I
* m ∑ Ei = ε i =1
k
∑m E
* i =1
k
i
= I
一定成立吗？ 怎么才能满足呢？
任意的开区间I ⊂ R n , 都有m∗ I = m∗ ( I ∩ E ) + m∗ ( I ∩ E c )
j =1 j =1 ∞ ∞
m∗ (T ∩ E ) + m∗ (T ∩ E c ) ≤ m ((∪ I j ) ∩ E ) + m ((∪ I j ) ∩ E c )
∗ ∗ j =1 j =1 ∞ ∞
= m∗ (∪ ( I j ∩ E )) + m∗ (∪ ( I j ∩ E c ))
j =1
∗
∞
∞jΒιβλιοθήκη =1m T ≤ m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
C
∗
∗
∗
(1)
又
T∩E
C
⊂T
T ∩ E ⊂ E, 0 ≤ m∗ (T ∩ E) ≤ m∗E = 0
第三章_测度论
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度 设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 做出它的体积总和 | I i （ 可以等于
i 1 i 1
S 也可测。
i i 1
n
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。 （6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则 Si ， Si 也是可测集。
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任 意集合T总有 m T S1 S 2 m (T S1 ) m (T S 2 )
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si也可测，并且当 Si S j ,
i 1 n
3、勒贝格测度性质 （1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理： 设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（ ）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（ ）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（ ）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
可测集及其测度
3.3可测集及其测度前面我们介绍了外测度的概念，也讨论了它的一些简单性质，但是外测度还不是“长度”的推广，这一节我们介绍测度的概念。
一 可测集及其测度概念定义1 设nR E ⊂, 若对任何点集nR T ⊂, 均有()()c E T m E T m T m ⋂+⋂=*** (1)则称E 为Lebesgue 可测集, 简称为可测集, 或称E 可测. 称可测集E 的外测度为E 的Lebesgue 测度, 简称为测度, 记为mE .可测集的全体称为可测集族, 记为M . 条件(1)称为Caratheodory 条件. 注11. 由于()()c E T E T T ⋂⋂= ，所以E 的可测性就表现为：E 可把任意的集合T 分解为其外测度满足可加性的两部分：E T ⋂和cE T ⋂(这二者之间的距离未必大于零).同时, 由外测度的次可加性, 要证明集合E 可测, 则只需证明()()c E T m E T m T m ⋂+⋂≥***. (2)2. 按定义, 测度是定义在可测集族M 的非负广义实函数, 具有单调性、次（可数）可加性等性质 例1. 由定义知道 空集φ和nR 都是可测的.例2.外测度为零的集合E 是可测的, 这是因为()0=*E m , 所以由单调性和次可加性得()()()T m E T m E T m E T m T m c c *****≤⋂=⋂+⋂≤自然的有如下的结论: 可列集是可测的, 至多可列个可数集的并也是可测的, 至多可列个外测度为零的集合的并是可测的.称测度为零的集合为零测集, 当然, 零测集的子集也是零测集.定理1 E 可测当且仅当对cE B E A ⊂∀⊂∀,, 有()B m A m B A m ***+= . (3)证明 一方面取B A T =, 由假设条件得到()()()()()B m A m E B A m E B A m B A m c *****+=+= ;另一方面, 对任意的T , 有E E T ⊂⋂,cc E E T ⊂⋂, 所以由(3)自然得到E 的可测性.定理2 E 可测当且仅当cE 可测.定理3 若21,E E 均可测, 则21E E 也可测, 且当φ=21E E 时, 对于任何的集合T 总有()()()(),2121E T m E T m E E T m ***+= (4)特别的取()21E E T =, 则有()2121mE mE E E m += . (5)证明 首先, 对任意集合nR T ⊂, 成立()()()()()()()()()()()()()()()(){}()()()(){}c cc cccE E T E E T E E T E E T E E T E E T E E T E E T E E T E E T T 21212121211221212121\\ ===所以由21,E E 的可测性和外测度的次可加性得到()()()()()()()()()()()()()()Tm E T m E T m E E T m E E T m E E T m E E T m E E T m E E T m T m cccccc **********=+=+++≤+≤11212121212121从而 ()()()()cE E T m E E T m T m 2121 ***+=, 也即21E E 可测.其次, 因为φ=21E E , 所以对任意集合n R T ⊂, 有,,1211cE E T E E T ⊂⊂ 由1E 的可测性和定理1得到()()()(){}()()212121E T m E T m E T E T m E E T m ****+==.推论 1. 若n E E E ,,,21 都可测, 则 ni iE1=也可测, 且当n E E E ,,,21 两两不交时, 对于任何的集合T 总有()∑=*=*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i E T m E T m 11∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i mE E m 11 .定理4. 若n E E E ,,,21 都可测, 则ni iE1=也可测.证明 因为()c n i c i ccn i i ni i E E E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==== 111, 所以由定理2和推论1就得到结果. 定理5 若21,E E 均可测, 则21\E E 也可测, 并且当∞<⊃221,mE E E 时,()2121\mE mE E E m -=.证明 因cE E E E 2121\ =, 所以由定理2, 4得到21\E E 是可测的.而21E E ⊃, 所以()2121\E E E E =, 且()φ=212\E E E , 由定理3就得到()1221\mE mE E E m =+, 又∞<2mE , 所以可以移项.定理6 若{}i E 是一列两两不交的可测集, 则∞=1i iE也可测, 且对于任何的集合T 总有()∑∞=*∞=*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i E T m E T m ,∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mE E m . 证明 (1) 证对任何的集合T 总有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∞=*∞=**c i i i i E T m E T m T m 11. 由推论1, 对任何n ,ni iE1=可测, 所以由集合的两两不交性和推论1得到()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞=*=*=*=*=*=**∑∑c i i n i i c n i i ni i c n i i n i i E T m E T m E T m E T m E T m E T m T m 111111令∞→n , 并利用外测度的次可加性得到()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥∞=*∞=*∞=*∞=*∞=*∞=**∑c i i i i c i i i i c i i i i E T m E T m E T m E T m E T m E T m T m 111111这就得到∞=1i iE是可测的.(2) 而由外测度的单调性和推论1知道()∑=*=*∞=*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i i i E T m E T m E T m 111令∞→n , 就有()∑∞=*∞=*≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i E T m E T m , 而反向的不等式是显然的, 故有()∑∞=*∞=*=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i E T m E T m在上面的等式中取 ∞==1i iET , 并注意到这时外测度就是测度就得到结论.定理7 若{}i E 是一列可测集, 则∞=1i iE也可测.证明 因为∞=1i iE可以表示为不交的集合的并()()() ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∞=112121211\\\n i i n i i E E E E E E E E E 由定理3,5,7及其推论即得证. 用对偶定理和前面的定理容易得到 定理8 若{}i E 是一列可测集, 则∞=1i iE也可测.这几个定理实际上说明了这样一个结果: 可测集族M 是一个-σ代数, 且保持可列可加性(在不交并时).定理9 若{}i E 是一列单增可测集, 则()n n i imE E m∞→∞==lim1.证明 因为() ∞=-∞==111\i i i i i E E E (∅=0E ), 且右端是两两不交的可测集的并, 所以()()()()()()()nn ni i i n ni i i n i i i i i i i i mE E E m E E m E E m E E m E m ∞→=-∞→=-∞→∞=-∞=-∞======∑∑lim \lim \lim \\111111111 定理10. 若{}i E 是一列单减可测集, 且∞<1mE , 则()n n i imE E m∞→∞==lim1.证明 因为{}i E 是一列单减集且∞<1mE , 所以对任意的n , 有∞<n mE . 此时集列{}i E E \1是单增的可测列, 对它用定理9, 就有()()() ∞=∞→=111\\lim i in n E E mE E m , 左端等于nn mE mE ∞→-lim 1, 右端()()() ∞=∞=-==1111\i ii iE m mE E E m , 这就得到结果.注 定理10中的有界性不可去掉, 如),(∞+=i E i 则∞=i mE , 01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞= i i E m一些简单的结论:命题1 设E 为可测集, )(x f 为定义在E 上的实函数, 则以下几条等价1.1R a ∈∀, ][a f E >可测 2. 1R a ∈∀, ][a f E ≤可测 3. 1R a ∈∀, ][a f E ≥可测 4. 1R a ∈∀, ][a f E <可测 命题2. 设{}i E 是一列可测集, 若∞<∑∞=1i imE , 则()0lim =iE m .命题3. Cantor 集的测度为零。
可测集
§2 可测集在§1中，我们在假定满足勒贝格测度公里的集合函数m 存在的前提下找到了()m E 的一个上界，即E 的外测度*m E .外侧度的一个优点是任何集合都有外侧度，但是外侧度只具有次可数可加性，不具有可数可加性.事实上，在nR 中的确存在互不相交的一列集合{}i E （例如用本章§4中介绍的不可测集来构造），使得**11i i i i m E m E ∞∞==⎛⎫< ⎪⎝⎭∑ . 这意味着，如果把外侧度当作测度看，使得任何集合都有测度，那是办不到的.这就启发我们能否对外侧度*m 的定义域加以限制，即设法在nR 中找出某一类集合μ，在μ上能够满足测度公里呢？这就是本节要研究的问题.这一限制条件便是下面要介绍的定义 1.为了理解定义1的合理性，我们先对μ作一粗略的考察.首先，μ对某些集合运算应该封闭，例如对μ中的集合作可数并（当然对有限并也成立，只要添加可数个空集）、作交及作差的运算后仍在μ中，而且对μ中一列互补相交的集合{}i E ，有**11i i i i m E m E ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ . （1） 其次，由测度公里3，自然应该要求μ包含n R 中的所有有限开区间.又由于nR 是一列有限开区间的可列并，所以μ也应该包括nR .如何从nR 中挑出集合类μ呢？这只要附加一个判断nR 中集合E 属于μ的条件即可.我们试从（1）式的可加性条件来加以思考.设nE R ⊂.如果E μ∈，由于nR 中任何开区间I 都属于μ，由μ的运算封闭性，则,c I E I E 都应该属于μ.但由()()c I E I E =∅ ，()()c I I E I E = ，所以由（1）式，应该有()()***c m I m I E m I E =+ ①. （2）反之，如果存在某个开区间I ，使（2）式不成立，则E 自然不应该属于μ.由上可见，对于n R 中点集E 是否属于μ，我们可以用（2）式是否对nR 中任何开区间成立来判断.事实上，我们还可以进一步得到如下结论.引理 设n E R ⊂，则（2）式对n R 中任何开区间都成立的充要条件是对nR 中任何点集T 都有()()***cm I m I E m I E =+ . （3）证明 充分性显然成立.下证必要性.设T 为nR 中任意集合，则由外侧度的定义，对于任何0ε>，有一列开区间{}i I ，使得1i i T I ∞=⊂ ，且*1i i I m T ε∞=≤+∑.但由于()1i i T E I E ∞=⊂ ，()1cci i T E I E∞=⊂ ，故()()**1ii m T E m IE ∞=≤∑ ，()()**1ccii m T Em I E ∞=≤∑ .从而()()()()****11cciii i mI E mI E m I E m I E ∞∞==+≤+∑∑()()**1ci m I E m I E ∞=⎡⎤=+⎣⎦∑ *1ii Im T ε∞==≤+∑.由于ε的任意性，即得()()***c mI E m I E m T +≤ . 另一方面，显然有()()***c mI E m I E m T +≥ ，故()()***cm I m I E m I E =+ .证毕.由上述引理，我们现在可以给出nR 中集合属于μ的定义.这个定义是由卡拉泰奥多里给出的.定义 设E 为nR 中的点集，如果对任意点集T 都有()()***c m T m T E m T E =+ ，则称E 是L 可测的.这是E 的L 外侧度*m E 即称为E 的L 测度，记为mE .L 可测集全体记为μ.以下便根据定义1来推导L 测度的性质，包括验证它确实满足我们的要求. 定理1 集合E 可测的充要条件是对于任意,cA EB E ⊂⊂，总有()***m A B m A m B =+ .证明 必要性.取T A B = ，则,cT E A T E B == ，所以()()()******c mA B m T m T E m T E m A m B ==+=+ .充分性.对于任意T ，令,c A T E B T E == ，则,c A E B E ⊂⊂且T A B = ，因此()()()******cm T m A B m A m B m T E m T E ==+=+ .定理2 S 可测的充要条件是cS 可测. 证明 事实上，对于任意的T ，有()()()()()*****ccc cm T m T S m T Sm T S m T S =+=+ 由可测集合的定义知c S 可测.定理3 设12,S S 都可测，则12S S 也可测，并且当12S S =∅ 时，对于任意集合T总有()()()***1212m T S S m T S m T S =+⎡⎤⎣⎦ . 特例，取12T S S = ，则有()***1212m S S m S m S =+ .证明 首先证明12S S 的可测性，根据可测集的定义即要证明对任何T 有()()***1212c m T m T S S m T S S ⎡⎤=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . （4） 事实上，因为1S 可测，故对任何T 有，()()***11cm T m T S m T S =+ . （5）又因为2S 可测，故（5）式右边第二项可以写成()()()***11212c cc c m T S m T S S m T S S ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦代入（5）式得 ()()()****11212c c cm T m T S m T S S m T S S ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦ . （6） 由德摩根公式，（6）式右边第三项可以写为()*12c m T S S ⎡⎤⎣⎦，又因为1S 可测，且()11121,c c T S S T S S S ⊂⊂ ，故由定理1，（6）式右边第一、二项可以合并为()()()()()()****11211212cc m T S m T S S m T S S S m T S S ⎡⎤⎡⎤+==⎣⎦⎣⎦. 所以最后得（4）式：()()***1212c m T m T S S m T S S ⎡⎤=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 其次，当12S S =∅ 时，因1S 可测，且11221,cT S S T S S S ⊂⊂⊂ ，故由定理1有()()()***1212m T S S m T S m T S =+⎡⎤⎣⎦. 推论 1 设()1,2,,i S i n = 都可测，则1ni i S = 也可测，并且当()i j S S i j ≠ 时，对于任意集合T 总有()**11n ni i i i m T S m T S ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ .定理4 设12,S S 都可测，则12S S 也可测.证明 因有()121212ccc c cS S S S S S ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦ ，故由定理2与定理3即得结论成立. 推论2 设()1,2,,i S i n = 都可测，则1ni i S = 也可测.定理5 设12,S S 都可测，则12S S -也可测.证明 因为1212c S S S S -= ，故由定理2及定理4即得. 定理6 设{}i S 是一列互不相交可测集，则1i i S ∞= 也是可测集，且**11i i i i m S m S ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （7） 证明 首先证明1i i S ∞= 的可测性.因由推论1，对任何1,ni i n S = 可测，故对任意T 总有***11cn n i i i i m T m T S m T S ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦**11cn i i i i m T S m T S ∞==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ （外侧度的性质（2）单调性）()**11cni i i i m T S m T S ∞==⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ （推论1）.令n →∞得()***11c i i i i m T m T S m T S ∞∞==⎡⎤⎛⎫≥+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ . （8）由外测度的性质（3），故有***11ci i i i m T m T S m T S ∞∞==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ .另一方面，由于11cn n i i i i T T S T S ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，又有***11ci i i i m T m T S m T S ∞∞==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ .因此***11c i i i i m T m T S m T S ∞∞==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 这就证明了1i i S ∞= 的可测性.在（8）式中，令1i i T S ∞== ，这时由于1i i i i S S S ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭，便得**11i i i i m S m S ∞∞==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑ .另一方面，由外测度的性质（3）有**11i i i i m S m S ∞∞==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故**11i i i i m S m S ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ，即（7）式成立. 推论3 设{}i S 是一列可测集合，则1i i S ∞= 也是可测集合.证明 因1i i S ∞= 可表示为被加项互不相交的和：()()()12131241231i i S S S S S S S S S S S ∞==---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，故应用定理3,5,6即得.由定理3,4，5,6及推论1,2,3便知，L 可测集对于作可数和及作交，作差的运算是封闭的，由定理6的公式（7）更告诉我们L 测度是具有可数可加性的测度.定理7 设{}i S 是一列可测集合，则1i i S ∞= 也是可测集合.证明 因有11cc i i i i S S ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，应用定理2与推论3即得. 定理8 设{}i S 是一列递增的可测集合：12n S S S ⊂⊂⊂⊂ . 令1lim i n n i S S S ∞→∞=== 则lim n n mS mS →∞=.证明 因有()()()1213211i n n i S S S S S S S S S ∞-===--- ，其中各被加项都可测且互不相交，故应用定理6公式（7），即得（令0S =∅）()()()111111lim lim lim nn i i i i i i n n n n i i i mS m S S m S S m S S mS ∞---→∞→∞→∞===⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎣⎦∑∑ .定理9 设{}i S 是一列递降的可测集合：12n S S S ⊃⊃⊃⊃ . 令1lim i n n i S S S ∞→∞=== 则当1mS <∞时，lim n n mS mS →∞=.证明 由于n S 可测，由定理7可知S 可测.又因为n S 递降，从而{}1n S S -递增.故由定理8有[]()()111lim n n n n m S S m S S m S S ∞→∞=⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦. （这是因为()()111111111ccc n n n n n n n n S S S S S S S S S S ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫-====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）因1mS <∞及()()111,n n n n S S S S S S S -=-=∅ . 所以由定理3的特例得：()11n n m S S mS mS -+=，从而有()()111lim lim n n n n m S S m S S mS mS →∞→∞-=-=-.由于()11m S S mS mS -=-（这是因为()()111,S S S S S S S -=-=∅ ，所以()11m S S mS mS -+=移项得到）. 故lim n n mS mS →∞=.注意，定理9中1mS <∞的条件是重要的，下面是一反例.设()(),1,2,n S n n =+∞= .显然12n S S S ⊃⊃⊃⊃ ，()1,n S n ∞==∞=∅ ，所以0mS =.而(),n mS m n =+∞=∞，故0lim n n mS mS →∞=≠∞=.。
实变函数题库
《实变函数》试题题库一、计算题1、设⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x x f x ,,)(1 ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x e x e x f x x ,,)(2，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
3、设⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x x x f ,sin ,cos )(，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
4、设0P 为Cantor 集，⎩⎨⎧-∈∈=时当时当002]1,0[,,)(P x x P x x x f ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
5、设0P 为Cantor 集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=时当时当00]1,0[,,)(2P x e P x e x f x x ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
6、设0P 为Cantor 集，⎩⎨⎧-∈∈=时当时当00]1,0[,sin ,cos )(P x x P x x x f ，计算⎰]1,0[)(dx x f 。
7、求⎰+∞→1051sin )(lim 22nxdx R xn nxn 。
8、求⎰+∞→101sin )(lim 222/1nxdx R xn nx n 。
9、求⎰+∞→121cos )(lim 22nxdx R x n nx n 。
10、求⎰+∞→101cos )(lim 223/2nxdx R xn nx n 。
11、求⎰++∞→1021)cos (sin )(lim 242dx nx nx R xn x n n 。
12、求⎰+∞→101242/33)(lim dx R xn x n n 。
二、简答题1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射.2、构造(0, 1)到R 的一一映射.3、构造(0, 1)到 [0, ∞] 的一一映射.4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、构造(0,1)到(0, 1)⋃(2, 3) 的一一映射.6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射.7、（请说明：在),0(+∞=E 上的函数列nxx x f n +=)(， ,2,1=n ，不测度收敛于x x f =)( 8、请叙述L 测度的可列可加性。
第三章可测集合
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
13、可测集及测度(3)
∞
∞
单调性
∞
准可加 ∞
∑ m(Gn − En ) ≤ ∑
n =1 n =1
∞
ε
2
nHale Waihona Puke =ε⇐ 由已知，对ε n =
∞
1 1 , 存在开集Gn ⊃ E , 使得m∗ (Gn − E ) < , n n
n=1,2,…
令∩ Gn = G , 则G ⊃ E , m∗ (G − E ) = 0, E = G − (G − E ),
n =1
G是Gδ 型集必可测，G -E是零集，可测， ∴ E可测
再证明闭集的情况
⇒ ∵ E可测 ∴ CE可测,则∀ε > 0, ∃开集G ⊃ CE使得m∗ (G − CE ) < ε , 令CG = F ,
则F闭,并且E ⊃ F
m( E − F ) = m( E − CG ) = m( E ∩ G ) = m(G ∩ C (CE )) = m(G − CE ) < ε
练习:(判断) 江版(13).doc
要区别三类不同的概念： 1、有限集与无限集； 2、有界集与无界集； 3、测度有限集与测度无限集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一零 测度集的开集和闭集。
E = {r1 , r2 , r3 , }
ε , r + ) i 2i+1 2i+1 ε
总有E =
∞
∪
En,
mEn < +∞
ε
2n ,
n =1
由(1) 对于每个 E n , ∀ε > 0,∃ 开集 Gn ⊃ E n , 使得 m (Gn − E n ) <
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小结
• 集合E是勒贝格(L)可测的定义
• 有理数集、可数集、康托集等均可测 • 可测集的有限并（交）、可数并（交）、 余、差、上（下）极限集、极限集等 仍为可测集 • L测度满足L外测度的所有性质，且 满足完全可加性
并最重要。故只证并情况。即
“ ≤” 可证 "≥"且 自练
n ∗ 或证： ∀T ⊂ R , 有m T
S1可测 m∗ (T ∩ S1) + m∗ (T ∩ S1C )
后 者 作 为 T， 因 S2可 测 m∗(T ∩S1) +m∗((T ∩S1C) ∩S2) +m∗((T ∩S1C) ∩S2C)
C 后者用狄摩根公式 m∗ (T ∩ S ) + m∗ ((T ∩ S C ) ∩ S ) + m∗ (T ∩ （ S ∪ S ） 1 1 2 1 2 )
若∀ T ⊂ Rn, 都有
m ∗T = m ∗ (T ∩ E ) + m ∗ (T ∩ E c )
则称集合E是勒贝格(L)可测的，或称E是有测度的 称E的L外测度为E的L测度，记为mE
即 mE = m E
∗
例 证明：若 m * E = 0 ，则集合 E 可测
证：∀T ⊂ R
n
零测 度集
∵ T =(T ∩ E )∪(T ∩ E C )∴由外测度的准可数可加性，有
由已知有 m ∗T = m ∗ ( A ∪ B ) = m ∗ (T ∩ E ) + m ∗ (T ∩ E C ) E可测
2、 L可测集的（运算）性质
结论：——可测集的有限并（交）、可数并（交）、
余、差、上（下）极限集、极限集等仍为可测集
定理 设集合S1、S2均可测，则S1 ∪ S2也可测
n ∗ ∗ ∗ C ∀ T ⊂ R 有 m T = m T ∩ S ∪ S + m T ∩ S ∪ S 分析：要证： , ( ( )) ( ( ) ) 1 2 1 2
实变函数论
第三章 §3、可测集合及测度（1） ------集合可测的定义与性质
外测度的定义
(1)定义设
E ⊂ R n ，记 m∗ E = inf{ G ; G ⊃ E , G是开集}
称之为 E
的勒贝格外测度，简称外测度
(2)定义： 设E ⊂ Rn ，称非负广义实数 (R ∪{±∞} = R* )
m ∗ E = in f{ ∑ | I j | : E ⊂ ∪ I j 且 I j 为 开 区 间 }
（2）集合可测的充要条件
E = (E )
C
C
1）定理 集合E可测的充要条件是集合的余集也可测
集合E可测 ⇔∀A ⊂ E, B ⊂ Ec , 都有m∗ ( A ∪ B) = m∗ A + m∗B.
2)定理*
证 ⇒∀A ⊂ E, B ⊂ EC ,因为E可测，所以∀T ⊂ Rn , 有m∗T = m∗ (T ∩ E) + m∗ (T ∩ EC )
问1：外测度为0的集合测度＝？ 0 0 问2：零测度集其任意子集是否可测？
是 是
问3：哪些集合是零测度集？
有有 理 理 数 数 集 集 集 、 集 、 、 可 、 康 可 数 康 托 数 托 集 集 等 等
E可测，即 ∀ T ⊂ R n , 都有 m ∗T = m ∗ (T ∩ E ) + m ∗ (T ∩ E c )
特别对 T = A ∪ B , 有 T ∩ E = A, T ∩ E c = B , 故 m ∗ ( A ∪ B ) = m ∗ A + m ∗ B
⇐ ∀T ⊂ R n ,∵T = (T ∩ E ) ∪ (T ∩ E C )
∴令A = T ∩ E, B = T ∩ EC , 则A ⊂ E, B ⊂ EC , A ∪ B = T
j =1 j =1 ∞ ∞
m∗ (T ∩ E ) + m∗ (T ∩ E c ) ≤ m ((∪ I j ) ∩ E ) + m ((∪ I j ) ∩ E c )
∗ ∗ j =1 j =1 ∞ ∞
= m∗ (∪ ( I j ∩ E )) + m∗ (∪ ( I j ∩ E c ))
j =1
∗
∞
∞
j =1
m T ≤ m (T ∩ E ) + m (T ∩ E )
C
∗
∗
∗
(1)
又
T∩E
C
⊂T
T ∩ E ⊂ E, 0 ≤ m∗ (T ∩ E) ≤ m∗E = 0
∗ 所以 mT ≥ m∗(T ∩EC ) +0 = m∗(T ∩EC ) + m∗(T ∩E) (2)
综合（1）（2），由集合可测的定义知，E可测
可以证明上式 与下式等价
∀ T ⊂ R n , 都有m ∗T = m ∗ (T ∩ E ) + m ∗ (T ∩ E c )
∀T ⊂ R
∞ j =1
n
∀ε > 0
取开区间列 {I j } j =1
∞ j =1
∞
使 ∪ I j ⊃ T , 且 ∑ | I j | ≤ m *T + ε
注意到 (∪ I j ) ∩ E ⊃ T ∩ E , (∪ I j ) ∩ E c ⊃ T ∩ E c , 所以
j =1 j =1
∞
∞
为E的Lebesgue外测度。
S ( f ) − s ( f ) ≤ ∑ ( yi − yi −1 )m Ei ≤
* i =1
k
ε
I
* m ∑ Ei = ε i =1
k
∑m E
* i =1
k
i
= I
一定成立吗？ 怎么才能满足呢？
任意的开区间I ⊂ R n , 都有m∗ I = m∗ ( I ∩ E ) + m∗ ( I ∩ E c )
C S1可测定理* m∗ ((T ∩ S1 ) ∪ ((T ∩ S1C ) ∩ S2 )) + m∗ (T ∩ （S1 ∪ S2） )
C 交 、 并 分 配 律 m ∗ (T ∩ ( S1 ∪ ( S1C ∩ S 2 ))) + m ∗ (T ∩ （ S1 ∪ S 2） )
C 并、交分配律 m∗ (T ∩ ((S1 ∪ S1C ) ∩ (S1 ∪ S2 ))) + m∗ (T ∩ （S1 ∪ S2） )
≤ ∑ m ( I j ∩ E ) + ∑ m∗ ( I j ∩ E c )
∞
∞
= ∑ [m∗ ( I j ∩ E ) +m∗ ( I j ∩ E c )]
j =1
j =1 ∞
j =1
= ∑ m∗ I j ≤m∗T + ε
j =1
∞
1、L可测集（集合L可测）的概念
(1) 定义
称为卡氏 条件
设E ⊂ Rn,