河北衡水中学中考复习普通作业

解析几何专题（二）

1.【2018年天津卷文】设椭圆的右

顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，. （I）求椭圆的方程；

（II）设直线与椭圆交于两点，与直线

交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值. 2.．【2018年新课标I卷文】设抛物线，点

，，过点的直线与交于，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：．

3.【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，

2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的

交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为

定值．

4.【河南省洛阳市2018届三模】已知抛物线，

点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）求的最大值. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆

交于，两点，线段的中点为

．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证

明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

6.【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭

圆C过点，焦点，圆O的直径为

．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐

标；

②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，

求直线l的方程．

答案

1.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而

．所以，椭圆的方程为．

（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而

，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得

．由方程组消去，可得

．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，

，符合题意．所以，的值为．

2.【答案】(1) y=或． (2)见解析. 详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M

的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为

y=或．

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以

∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为

，M（x1，y1），N（x2， y2），则x1>0，

x

2

>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，

y

1

y

2

=–4．直线BM，BN的斜率之和为

．①

将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式

分子，可得

．所

以k BM+k BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠

ABN．综上，∠ABM=∠ABN．

3.【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪

（0，1）(2)证明过程见解析

详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程

为y=kx+1（k≠0）．由得．依

题意，解得k<0或0

PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所

以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪

（0，1）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，

．直线PA的方程为y–2=．令

x=0，得点M的纵坐标为．同

理得点N的纵坐标为．由，

得，．所以

．所以为定值．

4.【答案】(1);(2).

详解：（1）由题可知，，设，

，所以

，故直线斜率的取值范

围是.

（2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横坐标为，

，所以

，令，

，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.故

，即的最大值为.

5.【答案】（1）（2）或

详解：（1）设，则.两式相减，并由得

.由题设知，于是

.①；由题设得，故.

（2）由题意得，设，则

.

由（1）及题设得.

又点P在C上，所以，从而，.于是

.同理

.所以.故

，即成等差数列.

设该数列的公差为d，则

.②

将代入①得.所以l的方程为，代入C

的方程，并整理得.

故，代入②解得.所以该数列

的公差为或.

6.【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程

为

（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为

详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，

可设椭圆C的方程为．又点在椭

圆C上，所以，解得因此，椭圆C的

方程为．

因为圆O的直径为，所以其方程为．

（2）①设直线l与圆O相切于，则

，所以直线l的方程为，即

．由，消去y，得

．（*）因为直线l与椭

圆C有且只有一个公共点，

所以