力学竞赛静力学1

化简后得: 由 由
l (cos sin )(cos + sin ) = 0 2a π cos sin = 0 得 = 4 π l l cos + sin = 0 得 = ± arccos 4 2a 2 2a
l ≤1 2 2a
上式存在的条件为 且
l π arccos ≤ 2 2a 4
NA
FA
l FAl cos α + Q sin α N A l sin α = 0 2 1 FA = N A Q tan α 2 由 FA ≤ N A Ql tan α ≤ 1 + 得 Pa + Ql
当 a = l 时,式子右端达到最小值,所以,当
∑m
C
=0
P + 2Q α ≤ arctan P+Q
时
Gl P< l h(1+ / tan θ )
l 当 h≥ 1+ / tan θ
时,P 为任意值( P > 0 ).
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时,人在爬梯子的过程中,梯子可以一直保持平衡.
8,如图 所示为碰头式门锁机构,依靠滑块 A 的出入 可开门和锁门.已知滑块 A 与各接触面的摩擦系数为 ,求滑块 A 不自锁的条件.
滑块自锁时,有
R1 = R2 1 + 2 = α min (1 , 2 ) < arctan
只有当 且满足
1 = 2 = arctan 1 + 2 < α
∑m
O
(F ) = 0 得
P cos OA + P sin AM P2 cos BN P2 sin OB = 0 1 1 因 P = P2 = P OA = a cos AM = l a sin 1
BN = l a cos
OB = a sin
所以有
a cos 2 + sin (l a sin ) cos (l a cos ) a sin 2 = 0
即
2a ≤ l ≤ 2 2 a
所以,当 l < 2a,或 l > 2 2a 时,曲杆只有一个 平衡位置: π =
4
当时 2a ≤ l ≤ 2 2a ,曲杆有三个平衡位置:
1 = arccos 4 2 π 2 = 4 π 3 = + arccos 4 2
π
1 2a
1 2a
2,钳形工具的尺寸如图 所示,∠ AOB=120O ,∠ OAC= ∠OBC=90O .不计其自重,靠 D 和 E 处的摩擦力将重物吊 起.问 D ,E 处的摩擦系数至少应为多少时才能将重物吊起?
解:物体 ABCD 的受力如图所示,根据平衡方程:
∑F
x
=0
F + W cos α P sin α = 0 F = W cos α + P sin α
∑F
y
=0
O
∑m
由
=0
N W sin α P cos α = 0 N = W sin α + P cos α
2aF 2aW cos α 0.5W sin α + Nx = 0
F ≤ N
即
可得:
a a ≤x≤ 为保证物体不翻倒,必须满足 2 2 可得: 0.21P ≤ W ≤ 0.5P
所以W的取值范围是
3 4 3 + 4 P ≤W ≤ P 4 + 3 4 3
0.27 P ≤ W ≤ 1.64 P
0.27 P ≤ W ≤ 0.5P
5,如图所示,一均质长方体放在水平面上,接触面间摩擦系数为
即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数.
利用摩擦角测摩擦系数:
3,摩擦锥与自锁
因为
0 ≤ F ≤ Fmax
所以,物体平衡时,的 变化范围为
0 ≤ ≤ m
当作用于物体上的主动力的合力位于摩擦锥以 内时,不论此力有多大,支承面上总能产生约束反 力使物体保持平衡,这种现象称为自锁. 这种与力大小无关,而只与摩擦角有关的平衡 条件称为自锁条件.
6,跳板 AB 长为 l ,不计其重量,水平置于直角槽 内.A ,B 两端的摩擦角均为 .试求重量为 P 的人站 在跳板上且保持平衡的范围.
C
C' RA
D'
D
l l ( 3 tan ) 2 AC ′ = ( 3 cos sin ) 2 = 4 4(1 + tan 2 ) l l ( 3 + tan ) 2 AD′ = ( 3 cos + sin ) 2 = 2 4 4(1 + tan )
R2 cos + R3 cos( + 30o ) Mg = 0 解得: cos o P = mg[sin + cos tan( + 30 )] + Mg tan( + 30o ) cos 2
4,均质矩形物体 ABCD 重为 P ,置于斜面上,与跨过滑轮的 细绳相连,细绳另一端与重为 W 的物体相连.设物体的宽 AB=a,高 BC = 4a ,与斜面间的摩擦系数为 = 0.4 ,斜面斜率 为 3/4,细绳的 AE 段保持水平(见图).不计滑轮摩擦,求使 物体保持平衡的 W 的取值范围.
1 2h 用于长方体顶部的推力与水平夹角至少为 α = arctan , b Gb 并且此力大小至少应等于 . 2(b sin α + h cos α )
,长方体重量为 G.试证明: (1)长方体顶部加一水平力 P ,长方体高和宽比值最小为 1/2 时,长方体才有可能翻倒. (2)若长方体高和宽比值小于时1/
h 1 = b 2
FR
tan α =
x 2x = b/2 b
b/2 tan = = x+h
b x= h 2
b 2 h 1 2h 2 = tan α = b b
1 2h α = arctan b
∑m
A
=0
b G + P cos α h + P sin α b = 0 2 Gb P= 2(b sin α + h cos α )
HC 30 = tan m = = ≈ 0.26 O1C + HD 110 + 5
3,质量为 M 的尖劈放在倾角为 30o 的斜面上,已知 所有接触处的摩擦均为 = tan ,为使质量为 m 的 重物匀速上升,求必须对尖劈施加多大的水平力 P?
解:取重物为研究对象,其受力如图所示,由 平衡方程可得 R1 cos R2 sin = 0 R1 sin + R2 cos mg = 0 再取尖劈为研究对象, 其受力如图所示,由平衡方 程可得 R2 sin + R3 sin( + 30o ) P = 0
0 ≤ F ≤ Fmax
最大静摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正 压力成正比,即
Fmax = fN
2, 摩擦角
合力R的大小
R = N2 + F2
方向由表示,有
tg = F N
合力R称为接触面的全反力.
m称为静摩擦角, 的变化范围为 0 ≤ ≤ m
根据静摩擦定律Fmax= fN,有
Fmax fN tg m = = = f N N
∑F
x
=0 =0 =0
N G T cos θ = 0 T sin θ l Ph = 0
P F T sin θ = 0
∑F ∑m
y B
解得:
Ph T= l sin θ
得
Ph F = P l
Ph N =G+ l tan θ
由
F ≤ N
h P 1 1 + ≤ G l tan θ l 当 h< 1+ / tan θ
2 arctan < α
即R1和R2不在同一直线上时,滑块才能滑 动.所以不自锁的条件为
9,长为 l ,重为 G 的直杆 AB 铅直地立在地面上; 直杆的 A 端用绳子 AC 连结在地面上,AB 与 AC 的夹 角为 θ ;又杆端 B 与地面的摩擦系数为 .现在直杆 上某点 D 处施加水平力 P.问要使杆 AB 平衡,力 P 的 大小和高度 h 应满足什么条件? 解:以AB杆为研究 对象,所示受力如图 示.
RB
7,两等长的均质梯,用光滑铰链 C 连 接,两梯之间夹角为 2α ,每个梯子的 长度均为 l ,重量均为 Q,梯子与地面 的静摩擦系数为 .有重量为 P 的人 M 沿梯子缓慢地向上爬,MB=a .问 α 角在什么范围内,梯子能保持静 止?
∑m
B
=0
2Ql sin α + Pa sin α N A 2l sin α = 0 a NA = Q + P 2l
利用摩擦角测摩擦系数:
如上图所示物块A不下滑的条件是:
α ≤ m
即自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角.
1,曲杆DCE中的 CD,CE 是相互垂直的两段均质 杆,每段长为 2l,重量均为 P.将此曲杆搁在宽度为 a 的光滑平台上(图1a),求平衡时的 角.
O 解:以曲杆为研究对象,受力如图1b示. 由
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1,静滑动摩擦定律
如果两个相互接触的物体有相对滑动的趋势,但 仍然保持相对静止状态,则彼此之间阻碍相对滑动的 力称为静滑动摩擦力,简称静摩擦力.静滑动摩擦力 作用在接触面的切平面内,方向与物体相对滑动的趋 势相反. 静滑动摩擦力的大小由平衡条件决定,但必介于 零及最大静摩擦力的大小之间,即