4 微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型[优质ppt]

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人口模型(马尔萨斯--vs--logistic)分解PPT课件

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§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。
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例5 赝品的鉴定
历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945 年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
y=log(x);
p=polyfit(t,y,1) 输出结果： p0.27431.4323

Malthus模型和Logistic模型

Malthus 模型和Logistic 模型随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。

1798年．英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus 人口模型：人口总数为)(t p ,人口的出生率为b ，死亡率为d 。

任取时段【t ,t +dt 】，在此时段中的出生人数为b )(t p dt ，死亡人数为d )(t p dt 。

假设出生数及死亡数与)(t p 及dt 均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。

在时段【t ,t +dt 】中，人口增加量为)(dt t p +-)(t p ≈d )(t p ，它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即d )(t p =b )(t p dt －d )(t p dt =a )(t p dt ,其中a =b －d 称为人口的净增长率。

于是)(t p 满足微分方程dtt dp )(=a )(t p . (1) 若已知初始时刻t =t 0时的人口总数为p 0，那么)(t p 还满足初始条件t =t 0时，)(t p =p 0. (2)可以求得微分方程(1)满足初始条件(2)的解为（设a 是常数）)(t p =p 0e )0(t t a -, (3)即人口总数按指数增长。

模型参数的意义和作用：t 0为初始时刻（初始年度），p 0为初始年度t 0的人口总数，a 为每年的人口净增长率，b 为人口出生率，d为人口死亡率。

Malthus人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。

现在讨论模型的应用和正确性。

例如，根据统计数据知在1961年全世界人口为30.6亿，1951年-1961年十年每年人口净增长率约为0.02。

Logistic模型 ppt课件

局限性：1、无法描述其作用大小及方向，更不能考察各因素间是否存在交互作用；
2、该方法对样本含量的要求较大，当控制的分层因素较多时，单元格被划分的越来越细，列联表的格子中频数可能很小，将导致检验结果的不可靠。
3、卡方检验无法对连续性自变量的影响进行分析，而这将大大限制其应用范围
和最小二乘法区别
选择 “转换”—“计算变量” 命令
在数字表达式框中，输入公式： rv.bernoulli（0.7）
这意思为：返回概率为0.7的bernoulli分布随机值如果在0.7的概率下能够成功，
那么就为1，失败的话，就为"0"
步骤三：剔除缺失值
用"missing”函数的时候，如果“违约”变量中，确实存在缺失值，它的返回值应该为“1”或者为“true"，为
（１）取值区间：上述模型进行预报的范围为整个实数集，而模型左边的取值范围为０≤ Ｐ≤ １，二者并不相符。模型本身不能保证在自变量的各种组合下，因变量的估计值仍限制在０～１内。
（２）曲线关联：根据大量的观察，反应变量Ｐ与自变量的关系通常不是直线关系，而是Ｓ型曲线关系。显然，线性关联是线性回归中至关重要的一个前提假设，而在上述模型中这一假设是明显无法满足的。
0.概05率，值由为于0年.0龄0[6的。n概如x率果i (值显y小i著于性y显水)]著平2 性为水 Sco平re，j 所以是i能1 进入方n 程的。 y(1 y)(xi x) i1
步骤十：Hosmer和Lemeshow检验
从 Hosmer 和 Lemeshow 检验表中，可以看出：经过4次迭代后，最终的卡方统计量为：11.919，而临界值为： Chi-square(0.05,8) = 15.507 卡方统计量< 临界值，从Sig 角度来看：0.155 > 0.05 , 说明模型能够很好的拟合整体，不存在显著的差异。

《微分方程模型》PPT课件

房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很环境简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
：它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一

4-微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型-课件PPT

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于是，
N0 N (t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1].
若此画是真品，t - t0 ≈ 300 (年) . 从而可求出 λN0 的近似值. 对油画《在埃牟斯的门徒》具体计算如下：
N0 N (t)e300 r[e300 1]
由于半衰期: T ln 2 ,
于是， ln 2 .
4.1. 人口增长模型 4.2. 赝品的鉴定 4.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.4. 传染病模型
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4.1 人口增长模型
世界人口增长概况
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
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模型假设： • 人口增长率 r 是常数. • 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一般较大，为建立微分方程模型，可以将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的.
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模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
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• 六十年后，美国记者、专栏作家乔纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格伦的态度并非不可理解. 在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成. 米格伦给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西. 而对于 ‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙了.”

malthus人口模型

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，，上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t N d d 单减,即人口增长率tNd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α.下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p tp)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程t txt x d 1002d 03.0d +-=,即txt x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t tx ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液（指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.四、振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m +--= , ①这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力作用.此时方程①变为0d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x tx ω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221图4()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为tt C C x δ-+=e)(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sinC (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A tδ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为pt m kx t xm sin d d 22=+,pt x tx sin d d 222=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为图7t C t C pt px ωωωcos sin sin 12122++-=, 此时,特解的振幅221p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ ,特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.。

人口模型马尔萨斯vslogistic

本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求
近似解不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计因（rm得马(模ax就种规。近x据r)到尔型为模程实是)最(是x群xx律似实或)的萨拟了型师采际)简x引数是，地际生就斯合得，原用问单或进量未得将物背是模方题出我则尽的一，总知到x景马型法dm的一们。可d形次数（函x了看t，尔的来个不工能数式增项4数实成它萨最.求有妨程简学（是6长r（，验常无）(斯简14的实采师单模常。竞.但结数法指6模单统际用们的型数）争x根果）用出x型的计m时意一在方，项的)，，筹。改x，义下建法此）支x种算对进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，

3：微分方程建模法数学建模精品PPT课件

四.分析法基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型）广告是调整商品销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’

微分方程建模

dt
（3.3））
对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN ），此时得到微分方程：此时得到微分方程：
dN dN N = ( r − aN ) N 或 = r (1 − ) N （3.4）） dt dt K r(N)最简单的形式是常数最简单的形式是常数，最简单的形式是常数为了得出一个有实际意义，此 3.4）可改写成：是未知函数，但根（3.4）可改写成：(N)，我们不妨采用一。 r 时得到的就是马尔萨斯模型。的模型，时得到的就是马尔萨斯模型的模型是未知函数， dN 据实际背景，据实际背景，下工程师原则。它无法用对马尔萨斯模型的最简单的改 = k (下工程师原则。工程师们 K − N )N （3.5））拟合方法来求。进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项在建立实际问题的数学模） dt Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学（3.5）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，型时，型时，总是采用尽可能简生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，单的方法。单的方法。数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
所以初期应采取小批量生产并加在销出量小于最大需求量的一单调增加， t>t0 20% 单调减小。当t<t0时，x’(t)单调增加，当从有时，x’(t)单调减小。单调增加；从有20%用户到有单调减小以广告宣传； 20%用户到有以广告宣传半时，销售速度是不断增大的，半时，销售速度是不断增大的， 80%用户这段时期用户这段时期， 80%用户这段时期，应该大批量销出量达到最大需求量的一半生产；后期则应适时转产，生产；后期则应适时转产，这样时，该产品最为畅销，接着销该产品最为畅销，做可以取得较高的经济效果。做可以取得较高的经济效果。售速度将开始下降。售速度将开始下降。

数学建模竞赛---微分方程模型PPT课件

tr tr
F(r,t)0r p(s,t)ds
p0 (r)
tr
N(t)0rm p(s,t)ds
14 0
f (t)
t
生育率的分解
k(r,t) ~(女性 )性别比函数 b(r,t)~(女性 )生育数[r1,r2 ] ~ 育龄区间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
19
建模为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
2）平均年龄 R(t)N1(t)0rmrp(r,t)dr
3）平均寿命
S(t) e d t(r,t)dr 0
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数 (t)R (t)/S(t)
控制生育率
17
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
二、随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
36
模型3
di/dt
dii(1i)i
dt
i
/
ddtii[i(11)]
>1
i0
>1

常微分方程全册ppt课件

z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称为微分方程或方程
微分方程的阶定义微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系统从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型数学模型的建立有多种方式研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合，不断改进模型由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
此ppt下载后可自行编辑
教学课件
常微分方程

数学建模实例ppt课件

B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12

微分方程讲座-人口增长模型

Malthus模型呈现的是J型增长，只适应于短期内，并无外界因素影响。而Logistic模型呈现S 型，适应于中长期且有外界因素影响。
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模型,再通过对现实世界分析,改进模型引进了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制

用matlab绘制logistic模型图PPT课件

meshc 调用方式与 mesh 相同，在 mesh 基础上增加等高线
meshz
调用方式与 mesh 相同，在 mesh 基础上屏蔽边界面
2021/3/9
18
空间三维作图
绘制由函数 z=z(x,y) 确定的曲面时，首先需产生一个网格矩阵，然后计算函数在各网格点上的值。
网格生成函数：meshgrid
2021/3/9
29
空间曲面作图举例
例：绘制边界面屏蔽 meshz
>> [X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8); >> r=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; >> Z=sin(r)./r; >> meshz(X,Y,Z)
2021/3/9
30
空间三维作图
空间曲面其它作图函数
surf(X,Y,Z) 绘制由矩阵 X,Y,Z 所确定的曲面图，参数含义同 mesh
注：1) 属性与属性的值是成对出现的
2) 更多属性参见 plot 的联机帮助
2021/3/9
15
空间三维作图
三维曲线： plot3
设三维曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t), 则其图形可由下面的命令绘出：
plot3(x,y,z,s)
例：三维螺旋线
>> t=[0:0.1:10*pi]; >> x=2*t; >> y=sin(t); >> z=cos(t); >> plot3(x,y,z);
＋eps？
1) x 与 y 可以取不同的步长 2) 注意这里采用的数组运算
最后一个命令能否改为 mesh(Z)？

精品课件资料数学建模第四章(1)(微分方程)

limW
t
(t
)
0．要导致死亡．
3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0，W (t) W0 at, limW (t) . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致
t
死亡（当然体重不会无限变大）．
4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 W0，要
达到的值为 W1 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，
使
W1
a b
即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食物，如糖、冰淇淋等）
(2)增大 b C . 即增加运动量可减轻体重．
D
反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的．即 “多吃少动，易肥胖”．
美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．
2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不
行的，因为A=B使得a=0，
V[x(t t) x(t)] (Km r)t
t t
Kx(s)ds
t
x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, t 0 dt
x(0) x0
其中，a Km r ,b K 解为
V
V
x(t)
a b
(x0
a )ebt b
Km
r
x0
(Km
r)
Kt
eV
K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。通常
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似．
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，

Malthus模型与Logistic模型

例5 赝品的鉴定
历史背景: 历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后, 然而,事情到此并未结束,许多人还是不肯相信著名的" 在第二次世界大战比利时解放以后,荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹然而,事情到此并未结束,许多人还是不肯相信著名的为了审理这一案件,法庭组织了一个由著名化学家, "在埃牟斯的门为了审理这一案件,法庭组织了一个由著名化学家,物理学家和艺术史是范梅格伦伪造的事实上, 梅格伦伪造的. 徒"是范梅格伦伪造的.事实上,在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为同谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索, 同谋犯.他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索,于1945 学家组成的国际专门小组查究这一事件. 学家组成的国际专门小组查究这一事件.他们用X射线检验画布上是否曾经 29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦( A Vanmeegren), 日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦(HA专家小组对于怀疑者的回真迹,并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下. Vanmeegren),此人曾 17万美元的高价被伦布兰特学会买下真迹,并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下.Vanmeegren),此人曾有过别的画.此外,他们分析了油彩中的拌料(色粉), ),检验油画中有没有有过别的画.此外,他们分析了油彩中的拌料(色粉),检验油画中有没有答是:由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼 17世纪荷兰名画家扬弗米尔( 世纪荷兰名画家扬弗米尔梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼, Veermeer)的油画"捉奸" 将17:由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼,他下决心绘制答是世纪荷兰名画家扬弗米尔(Jan Veermeer)的油画"捉奸"等卖给纳历经岁月的迹象. 历经岁月的迹象.科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕粹德国戈林的中间人.可是,世纪初才发明的酚醛类人工树脂.根据这些证梅格伦在同年7 12日在牢里宣称日在牢里宣称: 粹德国戈林的中间人.可是,范梅格伦在同年7月12日在牢里宣称:他从未在埃牟斯的门徒" 来证明他高于三流画家.当创造出这样的杰作后, "在埃牟斯的门徒",来证明他高于三流画家.当创造出这样的杰作后,他还在几幅画中检验出了20 梅格伦在同年 20世纪初才发明的酚醛类人工树脂迹,还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂. 的志气消退了.而且,而且他还说,这一幅画和众所周知的油画"在埃牟斯梅格伦于1947 日被宣告犯有伪造罪, 把"捉奸"卖给戈林,当他看到这幅"在埃牟斯的门徒"多么容易卖掉以后, 的志气消退了.而且年10月12日被宣告犯有伪造罪,被判刑一年.可是他据,捉奸"卖给戈林,当他看到这幅"在埃牟斯的门徒"多么容易卖掉以后, 范梅格伦于1947 而且他还说,这一幅画和众所周知的油画" 梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪被判刑一年. 的门徒"以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯(17世纪荷兰画家 , 这种解释不能使怀疑者感到满意, 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 .这种解释不能使怀疑者感到满意的门徒"以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯(17世纪荷兰画家) 在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作, 1947年12月30日死去. 日死去. 在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作,于1947年12月30世纪荷兰画家) 日死去他们要求完全科学地,确定地证明"在埃牟斯的门徒"的确是一个伪造品. 的油画,都是他自己的作品,这件事在当时震惊了全世界, 他们要求完全科学地,确定地证明"在埃牟斯的门徒"的确是一个伪造品. 的油画,都是他自己的作品,这件事在当时震惊了全世界,为了证明自己是这一问题一直拖了20 20年直到1967 1967年才被卡内基梅伦 Carnegie-Mellon) 梅伦( 这一问题一直拖了20年,直到1967年,才被卡内基耶稣在门徒们中间",当一个伪造者,他在监狱里开始伪造弗米尔的油画" 梅伦(Carnegie-Mellon) 一个伪造者,他在监狱里开始伪造弗米尔的油画"耶稣在门徒们中间" 这项工作接近完成时, 梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪, 这项工作接近完成时,范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪,因此他基本上解决. 大学的科学家们基本上解决. 拒绝将这幅画变陈,以免留下罪证. 拒绝将这幅画变陈,以免留下罪证.