连续介质力学几个定律汇总情况

第二章连续介质力学的基本定律在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。

本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。

2.1 应力矢量与应力张量在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。

在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。

在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。

在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。

柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为()n t X t t,,=(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,,=指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1).现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。

为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。

此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一点的作用，便可以用A部分截面上的表面力tn来表征，我们称之为应力矢量。

反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量tn -。

它与tn作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。

即t tn n=-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。

为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为(),cos ,cos ,cos 321ααα=n()n e n e n e ⋅⋅⋅=321,, (2.103) 的平截面。

相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。

于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。

在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ∆，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11∆、-t A 22∆与-t A 33∆，其中∆A 与∆A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。

现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。

虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。

描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。

对于微小四面体ABCP ，柯西定律给出 t A t A t A t A b V ∆∆∆∆∆---+112233ρ =-+t A t A b V i i ∆∆∆ρ=-+t A t A bh V i i ∆∆∆cos αρ13==tma Va ρ∆=13ρh Aa ∆ (2.104)其中ρ为物体的密度，h 为P 点到ABC 面的距离，并且考虑到微小四面体的体积.∆∆V h A =13(2.105)2.104式也可写成t t bh ha i i -+=cos αρρ1313(2.106)当微小四面体体积趋于零时，即∆A →0，∆h →0，则有t t i i =cos α (2.107) 考虑到2.103式，并令t T e T e T e i i i i =++112233=T e ij i (2.108) 则式2.107可写成()()j ij i i i e T e n t t ⋅==αcos()Tn e e T n j i ij ⋅=⋅=()()n e e T t i j ij i i ⋅==αcos()n T n e e T T j i ij ⋅=⋅= (2.109)当T 对称时，则t n T T n =⋅=⋅ (2.110) 其中j i ij e e T T = (2.111) 称为应力张量，其矩阵形式为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (2.112) 如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.112可以得到通过该点的任何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。

由A i 面上的应力矢量t i 的定义可知，()t X t t i i ,=，而由式2.108知()t X T T ij ij ,=，因此式2.109变为()()t X T n n t X t ,,,⋅= (2.113) 上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。

下面我们研究应力张量T 的各分量的力学意义。

考虑到T e T e t e ij i j i j =⋅⋅=⋅故知，T ij 代表作用于e i 方向截面上的应力矢量t i 在e j 方向上的分量，如图2.5所示。

我们从图2.5看到，应力张量T 的对角线元素()j i T ij =位于所作用平面的法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量T 的非对角线元素()j i T ij ≠位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。

2.2 质量守恒定律物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之一—质量守恒定律。

下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。

设ρ为物体的密度，dV 表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以 ()0=dV DtDρ (2.201) 展开有()0=+dV DtD dV Dt Dρρ(2.202)又由式()()dV divv dV x v dV Dt Dii ==∂∂ (2.203) 于是式2.202可写成 D Dt vx i i ρρ∂∂+=0 (2.204) 其不变性形式为 D Dtdivv ρρ+=0 (2.205) 其中D Dt t v x i iρ∂ρ∂∂ρ∂=+ (2.206) v t∂ρρ∂=+⋅∇ 把上式代入式2.204，则得()0=+i i x v t ∂ρ∂∂∂ρ (2.207) 其不变性形式为()0div v v t∂ρρρ∂+=注明是张量，只是一个函数，既不是矢量，又不是张量(2.208)式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。

在正交曲线坐标系中，利用式:j i i g g H ⋅=，连续性方程可写为()()()[]01213331223211321=+++H H v H H v H H v H H H t ρ∂ρ∂ρ∂∂∂ρ (2.209) 在直角坐标系中，连续性方程为()()()0=+++z v y v x v t z y x ∂ρ∂∂ρ∂∂ρ∂∂∂ρ (2.210) 在柱面坐标系中，利用第第一部分二章式2.13.03，连续性方程为()()()011=+++zv v r r rv r t z r ∂ρ∂∂θρ∂∂ρ∂∂∂ρθ (2.211) 在球面坐标系中，利用第一部分二章式式2.13.04，连续性方程为()()()0sin 1sin sin 1122=+++∂ϕρ∂θ∂θθρ∂θ∂ρ∂∂∂ρϕθv r v r r v r r t r (2.212) 连续性方程也可用物质描述法表示。

在这种情况下质量定恒定律要求()()dV t x dV t X V V ,,000ρρ⎰⎰= (2.213)其中V 是物质在现时刻所占据的体积，而V 0是物质在时刻t 0所占据的体积。

于是()()[]000,,,0JdV t t X x dV t X V V ρρ⎰⎰=()0,0JdV t X V ρ⎰= (2.214) 因为这个关系式对任意体积V 0都必须成立，故得ρρ0=J (2.215) 它表示ρJ 与时间无关，即ρJ const = (2.216) 这就是物质形式的连续性方程。

2.3 动量平衡定律欧拉把下列关系作为在连续介质中普遍成立的一般性原理：DmDtf = (2.301) 它称为欧拉第一运动定律。

上式说明任意物体具有的动量的变化率等于作用于该物体上的合力f 。

设所研究物体在其体积V 上受有连续分布的体力和在其体积的边界面S 上连续分布的接触力f c ，因此物体上所受合力为f f f b c =+ (2.302) 其中bdV f V b ρ⎰= (2.303) tdS f S c ⎰= (2.304) 物体的动量为vdV m V ρ⎰= (2.305) dV DtDx V ρ⎰=于是将式2.302和式2.305代入式2.301则bdV tdS adV V S Vρρ⎰⎰⎰+= (2.306)其中a D xDt =22表示x 点的加速度。

由式2.109，可将上式改写为adV bdV TdS n V V S ρρ⎰⎰⎰=+⋅ (2.307)利用高斯公式 TdV TdS n V S⋅∇=⋅⎰⎰(2.308)则得adV bdV TdV V V Sρρ⎰⎰⎰=+⋅∇ (2.309)即()0=-+⋅∇⎰dV a b T Vρρ (2.310)考虑到V 的任意性，则∇⋅+-=T b a ρρ0 (2.311) 即divT b a +=ρρ (2.312) 需要指出的是，这里的散度是对于空间坐标的。

上式称为柯西第一运动定律。

其指标形式为T b a ji i i i ;+=ρρ (2.313) 展开得∂∂∂∂∂∂ρρT x T x T x b a 11121231311+++= (2.314) ∂∂∂∂∂∂ρρT x T x Tx b a 12122232322+++= (2.315)∂∂∂∂∂∂ρρT x T x Tx b a 131********+++= (2.316)特别地，在静止的情况下，物体的加速度为零，则式2.313化为divT b +=ρ0 (2.317) 在弹性力学中，上式称为平衡方程。

在柱面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.d 可得上式化为∂∂∂∂θ∂∂ρθθθT r r T T z T T r b rr r zr rr r +++-+=10 (2.318) ∂∂∂∂θ∂∂ρθθθθθθθT r r T T z T T r b r z r r+++-+=10 (2.319) ∂∂∂∂θ∂∂ρθT r r T T z T rb rz z zz rzz ++++=10 (2.320) 在球面坐标系中，利用第一部分第二章2.13.4.e ，则2.317式可化为()0cot 21sin 11=+--++++r r rr r r rr b T T T T r T r T r r T ρθ∂ϕ∂θ∂θ∂∂∂ϕϕθθθϕθ (2.321) ()[]0cot 21sin 11=+-+++++θϕϕθθθθθθθθθρ∂ϕ∂θ∂θ∂∂∂b T T T T r T r T r r T r r r (2.322) ()[]0cot 21sin 11=+-+++++ϕϕθθϕϕϕϕϕθϕϕρθ∂ϕ∂θ∂θ∂∂∂b T T T T rT r T r r T r r r (2.323)2.4 动量矩平衡定律对于任意物体下列关系式成立：DM Dtl x x 00= (2.401) 其中M x 0表示物体绕x 0点的动量矩，l x 0表示作用于物体上的力对x 0点的合力矩。